Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Limites cvm variabilis ad infinitvm tendit

Svmmarivm

Haec lectio inqvirit qvomodo fvnctio se gerat cvm variabilis sine margine crescit, et hvnc casvm diligenter distingvit ab alio statv qvi eodem signo scribitvr: fvnctionis cvivs valores sine margine crescvnt. Per epsilon et marginem MM definitvr limes cvm variabilis ad infinitvm tendit, et semel tantvm demonstratvr evm aeqvivalere limiti laterali in 00 per mvtationem variabilis t=1xt = \frac{1}{x}. Inde seqvitvr omnia theoremata lectionvm svperiorvm etiam in infinito valere, sine nova demonstratione. His limites potentiarvm et fvnctionvm rationalivm compvtantvr, qvod asymptotos horizontales et obliqvas demonstrat qvas Algebra et Geometria admiserat; theorema compressionis et theorema de fvnctionibvs monotonis adhibentvr; et cognoscitvr qvando limes non exsistat.

Proposita discendi

  1. Limitem cvm variabilis ad infinitvm tendit a limite infinito distingvere, et vtrvmqve schemate commvni provocationis et responsionis scribere.
  2. Per epsilon et marginem MM limitem cvm variabilis ad infinitvm tendit definire, et eivs aeqvivalentiam cvm limite laterali in 00 demonstrare.
  3. Limites potentiarvm et fvnctionvm rationalivm cvm variabilis ad infinitvm tendit demonstrare, et ex iis asymptotos horizontales et obliqvas dedvcere.
  4. Limites ad infinitvm theoremate compressionis, fvnctionibvs monotonis et mvtationibvs variabilis compvtare, et demonstrare qvando non exsistant.

Dvo vsvs infiniti

Vocabvlvm «infinitvm» in stvdio limitvm dvobvs sensibvs diversis occvrrit, qvos ab initio separare convenit. In primo, variabilis est qvae sine margine crescit, dvm valores fvnctionis ad nvmervm accedvnt. In altero, fvnctio est qvae sine margine crescit, dvm variabilis ad nvmervm accedit. Tres igitvr assertiones qvae seqvvntvr diversae svnt.

  • lim⁡x→∞f(x)=L\lim_{x \to \infty} f(x) = L: variabilis sine margine crescit et valores ipsivs ff ad nvmervm LL accedvnt. Exempli gratia, 1x\frac{1}{x} ad 00 accedit cvm xx crescit. Haec est materia hvivs lectionis.
  • lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty: variabilis ad nvmervm aa accedit et valores ipsivs ff sine margine crescvnt. Exempli gratia, 1x2\frac{1}{x^2} sine margine crescit cvm xx ad 00 accedit. Haec est materia lectionis de limitibvs infinitis.
  • lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty: ambae sine margine crescvnt, vt x2x^2. Hoc qvoqve in lectione de limitibvs infinitis tractatvr.

Signvm ∞\infty non est nvmervs realis, et dvo statvs non svnt symmetrici. In primo, limes exsistit et est nvmervs, LL, ad qvem vnicitas, algebra limitvm et omnia theoremata nota adhibentvr. In altero, fvnctio limitem non habet sensv lectionis de limite fvnctionvm vnivs variabilis realis: scriptvra =∞= \infty non limitem nominat, sed modvm certvm evm non habendi. Ideo regvlae algebrae limitvm, qvae in nvmeris operantvr, ad ∞\infty adhiberi non possvnt qvasi nvmervs esset.

Ambo statvs tamen in vno eodemqve schemate continentvr. Omnis definitio limitis dicit: pro omni provocatione de valoribvs exsistit responsio de variabili. Solvm mvtatvr qvid significet prope qvamqve rem esse:

  • variabilis prope nvmervm aa est si 0<∣x−a∣<δ0 < \abs{x - a} < \delta, et prope ∞\infty si x>Mx > M;
  • valor prope nvmervm LL est si ∣f(x)−L∣<ε\abs{f(x) - L} < \varepsilon, et prope ∞\infty si f(x)>Nf(x) > N.

Definitio lectionis de limite primam formam cvivsqve versvs conivngit; haec lectio, alteram primi versvs cvm prima alterivs; lectio de limitibvs infinitis, reliqvas. Prima propositio hvivs lectionis dvos vsvs in vna eademqve fvnctione ostendit.