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Topos Uranos
Français

Limites à gauche et à droite

Résumé

Cette leçon étudie le comportement d’une fonction de chaque côté d’un point. La limite à droite et la limite à gauche se définissent comme des limites ordinaires de la restriction de la fonction à l’un des côtés, de sorte que tous les théorèmes des leçons qui précèdent valent pour elles sans nouvelle démonstration. Avec epsilon et delta, on ne démontre que deux résultats : qu’une fonction a une limite si et seulement si ses limites à gauche et à droite existent et coïncident, et qu’une fonction monotone et bornée a une limite à gauche ou à droite en une borne d’un intervalle, égale à la borne supérieure ou à la borne inférieure de ses valeurs. Ce dernier est le premier théorème du cours qui assure qu’une limite existe sans en connaître d’avance la valeur. Les problèmes étudient des fonctions définies par morceaux, la partie entière et des quotients trigonométriques qui tendent vers des nombres distincts de chaque côté.

Objectifs d’apprentissage

  1. Définir avec epsilon et delta la limite à gauche et la limite à droite comme limites d’une restriction, et leur appliquer les théorèmes des leçons qui précèdent.
  2. Démontrer qu’une fonction a une limite en un point si et seulement si ses limites à gauche et à droite existent et sont égales, et s’en servir pour démontrer qu’une limite n’existe pas.
  3. Démontrer qu’une fonction monotone et bornée a, en chaque borne d’un intervalle, une limite à gauche ou à droite, égale à la borne supérieure ou à la borne inférieure de ses valeurs.
  4. Calculer des limites à gauche et à droite de fonctions définies par morceaux, de la partie entière et de quotients trigonométriques, et déterminer des constantes pour qu’une limite existe.

Sauts et bords

Dans la leçon sur la limite des fonctions d’une variable réelle, on a démontré que la fonction signe, qui vaut 11 sur les réels strictement positifs et −1-1 sur les réels strictement négatifs (la valeur qu’on lui attribue en 00 n’affecte pas la limite), n’a pas de limite en 00. Et pourtant son comportement près de 00 est très simple : à droite de 00, elle vaut constamment 11, et à gauche, constamment −1-1. La définition de la limite ne distingue pas les côtés, et c’est pourquoi elle n’enregistre pas cette information. Il en va de même de la partie entière, définie ci-dessous, en chaque nombre entier.

Dans la démonstration de la densité des rationnels, dans la leçon sur la droite réelle, on a montré que pour tout réel tt il existe un entier mm tel que m−1≤t<mm - 1 \leq t < m. Cet entier est unique, car deux entiers distincts sont distants d’au moins 11 et ne tiennent pas tous deux dans un intervalle de longueur 11 ouvert d’un côté. L’entier m−1m - 1 s’appelle la partie entière de tt et se note ⌊t⌋\lfloor t \rfloor : c’est l’unique entier qui vérifie la condition que voici.

⌊t⌋∈Z,⌊t⌋≤t<⌊t⌋+1\lfloor t \rfloor \in \mathbb{Z}, \qquad \lfloor t \rfloor \leq t < \lfloor t \rfloor + 1

Par exemple, ⌊2,7⌋=2\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2, ⌊3⌋=3\lfloor 3 \rfloor = 3 et ⌊−0,5⌋=−1\lfloor -0{,}5 \rfloor = -1. Sur l’intervalle [n,n+1)\ico{n}{n + 1}, avec nn entier, la partie entière vaut constamment nn ; en arrivant en n+1n + 1, elle fait un saut de hauteur un. Près d’un entier nn, la fonction vaut n−1n - 1 à gauche et nn à droite.

Dans toute la leçon, ff est une fonction réelle définie sur un ensemble AA, et l’on écrit A∩(a,∞)A \cap \ioo{a}{\infty} pour les points de AA situés à droite de aa et A∩(−∞,a)A \cap \ioo{-\infty}{a} pour ceux qui sont situés à sa gauche.