等价无穷小与等价无穷大

摘要

本课以一种计算技巧结束极限这一单元，这种技巧几乎汇集了此前的全部内容：对趋于零或趋于无穷大的函数进行比较。本课定义小 $o$ 、大 $O$ 、同阶与等价，并证明在乘积或商中，每个因子都可以换成与它等价的因子而不改变极限。前面几课证明的三角函数的极限，指数函数、对数函数与幂的极限，以及多项式的极限，汇集成一张等价无穷小表，借助它可以一眼算出以前需要多次变形才能求出的极限。本课还给出使用这一技巧时最常见的错误，即在和中进行代换，说明和在什么情况下确实可以代换，以及幂在零附近和远离原点处如何比较。

学习目标

定义函数在一点、一侧或无穷远处的小 $o$ 、大 $O$ 、同阶与等价，并证明它们的性质。
证明乘积与商中的等价代换定理，并认识到它为什么不适用于和。
证明零处的等价无穷小表，并结合复合用它来计算极限，确定无穷小的阶与主部。
比较幂型的无穷大与无穷小，并区分等价与渐近线的存在。

比较函数

关于夹逼定理和关于无穷极限的课表明， $\frac{0}{0}$ 型与 $\frac{\infty}{\infty}$ 型没有固定的结果：两个趋于零的函数之商的极限取决于它们趋于零的快慢。本课的想法是把每个函数与另一个更简单的函数相比较，以度量这种快慢。与关于无穷极限的课一样， $P$ 表示自变量的趋向目标（ $a$ 、 $a^+$ 、 $a^-$ 、 $\infty$ 或 $-\infty$ ），而“在 $P$ 附近”指在一个去心邻域中、在一侧或在一条射线上。如果一个函数只在集合 $A$ 上有定义，而 $a$ 是该集合的聚点，那么“在 $a$ 附近”指在 $A$ 中属于以 $a$ 为中心的某个去心邻域的点处，而极限是关于实变量函数的极限的课中的极限，在 $A$ 上取；下面的定义在这种情形下同样适用。

定义函数的比较

设 $f$ 与 $g$ 是在 $P$ 附近有定义的函数，且 $g(x) \neq 0$ 在 $P$ 附近成立。

$f$ 相对于 $g$ 可忽略（在 $P$ 处），记作 $f = \operatorname{o}(g)$ ，读作“ $f$ 是 $g$ 的小 o”，条件是 $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ 。
$f$ 关于 $g$ 有界（在 $P$ 处），记作 $f = \operatorname{O}(g)$ ，读作“ $f$ 是 $g$ 的大 O”，条件是存在 $C > 0$ ，使得 $\abs{f(x)} \leq C\abs{g(x)}$ 在 $P$ 附近成立；也就是说，商 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 在 $P$ 附近有界。
$f$ 与 $g$ 同阶（在 $P$ 处），条件是 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 趋于一个不为零的数。
$f$ 与 $g$ 等价（在 $P$ 处），记作 $f \sim g$ ，条件是 $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ 。

一个函数若趋于 $0$ （在 $P$ 处），就称为 $P$ 处的无穷小；若趋于 $\infty$ 或 $-\infty$ ，就称为无穷大。 $0$ 处的无穷小具有阶 $k > 0$ ，是指它与 $x^k$ 同阶（在 $0^+$ 处，如果 $x^k$ 只对 $x > 0$ 有定义），这时，若 $\frac{f(x)}{x^k}$ 趋于 $c$ ，函数 $c\,x^k$ 就是它的主部： $f \sim c\,x^k$ 。

“无穷小”这个词指的不是一个很小的数，而是一个趋于零的函数；记号 $\operatorname{o}(g)$ 指的不是一个确定的函数，而是相对于 $g$ 可忽略的函数中的任意一个。例如， $x^2 = \operatorname{o}(x)$ （在 $0$ 处），因为 $\frac{x^2}{x} = x$ 趋于 $0$ ；反之， $x = \operatorname{o}(x^2)$ （在 $\infty$ 处），因为 $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。同一对函数随趋向目标的不同而以相反的方式比较。同阶与等价本质上是同一种比较：若 $f$ 与 $g$ 同阶，且商趋于 $c$ ，则 $f \sim c\,g$ 。

命题比较的性质

在同一个趋向目标 $P$ 下：

等价具有自反性、对称性与传递性： $f \sim f$ ；若 $f \sim g$ ，则 $g \sim f$ ；若 $f \sim g$ 且 $g \sim h$ ，则 $f \sim h$ ；
$f \sim g$ 当且仅当 $f - g = \operatorname{o}(g)$ ；特别地，若 $h = \operatorname{o}(g)$ ，则 $g + h \sim g$ ；
若 $f = \operatorname{o}(h)$ 且 $g = \operatorname{o}(h)$ ，则 $f + g = \operatorname{o}(h)$ ，并且 $c\,f = \operatorname{o}(h)$ ，这里 $c$ 是任意实数。

每一条都是极限的运算法则中的一条法则，应用于一个商。

证明

$\frac{g}{f} = \frac{1}{\frac{f}{g}} \to 1, \qquad \frac{f}{h} = \frac{f}{g} \cdot \frac{g}{h} \to 1 \cdot 1 = \resaltar{1}$
$f$ 与自身之商等于 $1$ 。若 $\frac{f}{g}$ 趋于 $1$ ，则由倒数法则，它的倒数趋于 $\frac{1}{1} = 1$ 。若 $\frac{f}{g}$ 与 $\frac{g}{h}$ 趋于 $1$ ，则由乘积法则，它们的积也趋于它。
$\frac{f - g}{g} = \frac{f}{g} - 1 \to 0 \Leftrightarrow \frac{f}{g} \to \resaltar{1}$
$f - g$ 除以 $g$ 的商是 $\frac{f}{g} - 1$ ，它趋于 $0$ 当且仅当 $\frac{f}{g}$ 趋于 $1$ 。取 $f = g + h$ ，差就是 $h$ 。
$\frac{f + g}{h} = \frac{f}{h} + \frac{g}{h} \to 0 + 0 = \resaltar{0}$
若 $\frac{f}{h}$ 与 $\frac{g}{h}$ 趋于 $0$ ，则由线性组合法则，它们的和以及每一个与常数的积也趋于它。

大 $O$ 并不要求商有极限，只要求它不失控地增长。例如， $\sin x = \operatorname{O}(1)$ （在 $\infty$ 处），尽管 $\sin x$ 在那里没有极限；又如 $x \sin \frac{1}{x} = \operatorname{O}(x)$ （在 $0$ 处），因为 $\abs{x \sin \frac{1}{x}} \leq \abs{x}$ 。计算极限只需要小 $o$ ；大 $O$ 将用于度量近似的误差，例如泰勒多项式的误差，这将在微积分 II 中学习。它的运算规则如下。

命题大 O 的运算规则

在同一个趋向目标 $P$ 下：

若 $\frac{f}{g}$ 在 $P$ 处有有限极限，则 $f = \operatorname{O}(g)$ ；特别地，若 $f = \operatorname{o}(g)$ 或 $f \sim g$ ，亦然；
若 $f = \operatorname{O}(h)$ 且 $g = \operatorname{O}(h)$ ，则 $f + g = \operatorname{O}(h)$ ，并且 $c\,f = \operatorname{O}(h)$ ，这里 $c$ 是任意实数；
若 $f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ 且 $f_2 = \operatorname{O}(g_2)$ ，则 $f_1 f_2 = \operatorname{O}(g_1 g_2)$ ；
若 $f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ 且 $f_2 = \operatorname{o}(g_2)$ ，则 $f_1 f_2 = \operatorname{o}(g_1 g_2)$ 。

每条规则都是绝对值之间的一个不等式；最后一条把一个界与一个趋于零的商结合起来。

证明

$\abs{\frac{f(x)}{g(x)}} \leq \abs{\frac{f(x)}{g(x)} - L} + \abs{L} < \resaltar{\abs{L} + 1}$
若 $\frac{f}{g}$ 趋于 $L$ ，则挑战 $\varepsilon = 1$ 有回应：在 $P$ 附近，商与 $L$ 的距离小于 $1$ ，由三角不等式，它的绝对值不超过 $\abs{L} + 1$ 。
$\abs{f(x) + g(x)} \leq C_1\abs{h(x)} + C_2\abs{h(x)} = \resaltar{(C_1 + C_2)\abs{h(x)}}$
界 $C_1$ （对 $f$ ）与界 $C_2$ （对 $g$ ）在 $P$ 附近同时成立，即在两个邻域的交集中。三角不等式给出和的界；倍数的界是 $\abs{c}\,C_1$ 。
$\abs{f_1(x) f_2(x)} \leq C_1\abs{g_1(x)} \cdot C_2\abs{g_2(x)} = \resaltar{C_1 C_2 \abs{g_1(x) g_2(x)}}$
两个因子的界相乘。
$0 \leq \abs{\frac{f_1(x) f_2(x)}{g_1(x) g_2(x)}} \leq C_1 \abs{\frac{f_2(x)}{g_2(x)}} \to \resaltar{0}$
乘积除以 $g_1 g_2$ 的商，是一个以 $C_1$ 为界的商与另一个趋于 $0$ 的商之积；由夹逼定理，它趋于 $0$ 。