Äquivalente unendlich kleine und unendlich große Größen

Zusammenfassung

Diese Lektion schließt die Einheit über Grenzwerte mit einer Rechentechnik ab, die fast alles bisher Behandelte zusammenführt: dem Vergleich von Funktionen, die gegen null oder gegen unendlich streben. Definiert werden das kleine $o$ , das große $O$ , die gleiche Ordnung und die asymptotische Gleichheit, und es wird bewiesen, dass in einem Produkt oder einem Quotienten jeder Faktor durch einen asymptotisch gleichen ersetzt werden kann, ohne den Grenzwert zu ändern. Die trigonometrischen Grenzwerte, die der Exponentialfunktion, des Logarithmus und der Potenzen sowie die der Polynome, die in den vorigen Lektionen bewiesen wurden, werden in einer Tabelle asymptotisch gleicher Funktionen zusammengefasst, mit der sich Grenzwerte auf einen Blick berechnen lassen, die früher mehrere Umformungen erforderten. Die Lektion zeigt auch den häufigsten Fehler bei dieser Technik, das Ersetzen innerhalb einer Summe, wann eine Summe doch ersetzt werden kann und wie sich Potenzen nahe bei null und fern vom Ursprung vergleichen.

Lernziele

Das kleine $o$ , das große $O$ , die gleiche Ordnung und die asymptotische Gleichheit von Funktionen an einer Stelle, auf einer Seite oder im Unendlichen definieren und ihre Eigenschaften beweisen.
Den Satz über das Ersetzen durch asymptotisch gleiche Funktionen in Produkten und Quotienten beweisen und erkennen, warum er bei Summen nicht gilt.
Die Tabelle asymptotisch gleicher Funktionen bei null beweisen und sie zusammen mit der Verkettung verwenden, um Grenzwerte zu berechnen und die Ordnung und den Hauptteil einer unendlich kleinen Größe zu bestimmen.
Unendlich große und unendlich kleine Potenzen vergleichen und die asymptotische Gleichheit von der Existenz einer Asymptote unterscheiden.

Funktionen vergleichen

Die Lektionen über den Einschnürungssatz und über uneigentliche Grenzwerte haben gezeigt, dass die Ausdrücke vom Typ $\frac{0}{0}$ und $\frac{\infty}{\infty}$ kein festes Ergebnis haben: Der Grenzwert eines Quotienten zweier Funktionen, die gegen null streben, hängt davon ab, wie schnell sie das tun. Die Idee dieser Lektion ist, diese Geschwindigkeit zu messen, indem man jede Funktion mit einer einfacheren vergleicht. Wie in der Lektion über uneigentliche Grenzwerte bezeichnet $P$ das Ziel der Variablen ( $a$ , $a^+$ , $a^-$ , $\infty$ oder $-\infty$ ), und „in der Nähe von $P$ “ bedeutet in einem punktierten Intervall, auf einer Seite oder auf einer Halbgeraden. Ist eine Funktion nur auf einer Menge $A$ definiert, deren Häufungspunkt $a$ ist, so bedeutet „in der Nähe von $a$ “ in den Punkten von $A$ aus einem punktierten Intervall mit Mittelpunkt $a$ , und die Grenzwerte sind die der Lektion über den Grenzwert von Funktionen einer reellen Variablen, genommen in $A$ ; die folgenden Definitionen gelten in diesem Fall ebenso.

DefinitionVergleich von Funktionen

Es seien $f$ und $g$ Funktionen, die in der Nähe von $P$ definiert sind, mit $g(x) \neq 0$ in der Nähe von $P$ .

$f$ heißt vernachlässigbar gegenüber $g$ bei $P$ , und man schreibt $f = \operatorname{o}(g)$ , gelesen „ $f$ ist klein-o von $g$ “, wenn $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ .
$f$ heißt beschränkt durch $g$ bei $P$ , und man schreibt $f = \operatorname{O}(g)$ , gelesen „ $f$ ist groß-O von $g$ “, wenn es $C > 0$ gibt, sodass $\abs{f(x)} \leq C\abs{g(x)}$ in der Nähe von $P$ gilt; das heißt, wenn der Quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ in der Nähe von $P$ beschränkt ist.
$f$ und $g$ sind von gleicher Ordnung bei $P$ , wenn $\frac{f(x)}{g(x)}$ gegen eine von null verschiedene Zahl strebt.
$f$ und $g$ heißen asymptotisch gleich bei $P$ , und man schreibt $f \sim g$ , wenn $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ .

Eine Funktion, die gegen $0$ bei $P$ strebt, heißt eine unendlich kleine Größe bei $P$ , und eine, die gegen $\infty$ oder gegen $-\infty$ strebt, eine unendlich große Größe. Eine unendlich kleine Größe bei $0$ hat die Ordnung $k > 0$ , wenn sie von gleicher Ordnung wie $x^k$ ist (bei $0^+$ , falls $x^k$ nur für $x > 0$ definiert ist), und dann ist, wenn $\frac{f(x)}{x^k}$ gegen $c$ strebt, die Funktion $c\,x^k$ ihr Hauptteil: $f \sim c\,x^k$ .

Der Ausdruck „unendlich kleine Größe“ bezeichnet keine sehr kleine Zahl, sondern eine Funktion, die gegen null strebt; die Schreibweise $\operatorname{o}(g)$ bezeichnet keine bestimmte Funktion, sondern irgendeine von denen, die gegenüber $g$ vernachlässigbar sind. Zum Beispiel gilt $x^2 = \operatorname{o}(x)$ bei $0$ , weil $\frac{x^2}{x} = x$ gegen $0$ strebt; dagegen gilt $x = \operatorname{o}(x^2)$ bei $\infty$ , weil $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$ gegen $0$ strebt. Ein und dasselbe Funktionenpaar vergleicht sich je nach Ziel in entgegengesetzter Weise. Gleiche Ordnung und asymptotische Gleichheit sind im Grunde ein einziger Vergleich: Sind $f$ und $g$ von gleicher Ordnung mit einem Quotienten, der gegen $c$ strebt, so gilt $f \sim c\,g$ .

PropositionEigenschaften des Vergleichs

Bei ein und demselben Ziel $P$ gilt:

die asymptotische Gleichheit ist reflexiv, symmetrisch und transitiv: $f \sim f$ ; aus $f \sim g$ folgt $g \sim f$ ; und aus $f \sim g$ und $g \sim h$ folgt $f \sim h$ ;
$f \sim g$ genau dann, wenn $f - g = \operatorname{o}(g)$ ; insbesondere folgt aus $h = \operatorname{o}(g)$ , dass $g + h \sim g$ ;
aus $f = \operatorname{o}(h)$ und $g = \operatorname{o}(h)$ folgen $f + g = \operatorname{o}(h)$ und $c\,f = \operatorname{o}(h)$ für jede reelle Zahl $c$ .

Jede Aussage ist eine der Rechenregeln für Grenzwerte, angewandt auf einen Quotienten.

Beweis

$\frac{g}{f} = \frac{1}{\frac{f}{g}} \to 1, \qquad \frac{f}{h} = \frac{f}{g} \cdot \frac{g}{h} \to 1 \cdot 1 = \resaltar{1}$
Der Quotient von $f$ durch sich selbst ist $1$ . Strebt $\frac{f}{g}$ gegen $1$ , so strebt sein Kehrwert gegen $\frac{1}{1} = 1$ , nach der Regel für den Kehrwert. Streben $\frac{f}{g}$ und $\frac{g}{h}$ gegen $1$ , so auch ihr Produkt, nach der Produktregel.
$\frac{f - g}{g} = \frac{f}{g} - 1 \to 0 \Leftrightarrow \frac{f}{g} \to \resaltar{1}$
Der Quotient von $f - g$ durch $g$ ist $\frac{f}{g} - 1$ , der genau dann gegen $0$ strebt, wenn $\frac{f}{g}$ gegen $1$ strebt. Mit $f = g + h$ ist die Differenz $h$ .
$\frac{f + g}{h} = \frac{f}{h} + \frac{g}{h} \to 0 + 0 = \resaltar{0}$
Streben $\frac{f}{h}$ und $\frac{g}{h}$ gegen $0$ , so auch ihre Summe und das Produkt jedes der beiden mit einer Konstanten, nach der Regel für Linearkombinationen.

Das große $O$ verlangt nicht, dass der Quotient einen Grenzwert hat, sondern nur, dass er nicht unkontrolliert wächst. Zum Beispiel gilt $\sin x = \operatorname{O}(1)$ bei $\infty$ , obwohl $\sin x$ dort keinen Grenzwert hat, und $x \sin \frac{1}{x} = \operatorname{O}(x)$ bei $0$ , weil $\abs{x \sin \frac{1}{x}} \leq \abs{x}$ . Zum Berechnen von Grenzwerten genügt das kleine $o$ ; das große $O$ wird dazu dienen, Approximationsfehler zu messen, etwa den des Taylorpolynoms, der in Analysis II untersucht wird. Seine Regeln lauten wie folgt.

PropositionRegeln für das große O

Bei ein und demselben Ziel $P$ gilt:

hat $\frac{f}{g}$ bei $P$ einen endlichen Grenzwert, so gilt $f = \operatorname{O}(g)$ ; insbesondere, wenn $f = \operatorname{o}(g)$ oder wenn $f \sim g$ ;
aus $f = \operatorname{O}(h)$ und $g = \operatorname{O}(h)$ folgen $f + g = \operatorname{O}(h)$ und $c\,f = \operatorname{O}(h)$ für jede reelle Zahl $c$ ;
aus $f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ und $f_2 = \operatorname{O}(g_2)$ folgt $f_1 f_2 = \operatorname{O}(g_1 g_2)$ ;
aus $f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ und $f_2 = \operatorname{o}(g_2)$ folgt $f_1 f_2 = \operatorname{o}(g_1 g_2)$ .

Jede Regel ist eine Ungleichung zwischen Beträgen; die letzte verbindet eine Abschätzung mit einem Quotienten, der gegen null strebt.

Beweis

$\abs{\frac{f(x)}{g(x)}} \leq \abs{\frac{f(x)}{g(x)} - L} + \abs{L} < \resaltar{\abs{L} + 1}$
Strebt $\frac{f}{g}$ gegen $L$ , so hat die Herausforderung $\varepsilon = 1$ eine Antwort: In der Nähe von $P$ ist der Abstand des Quotienten von $L$ kleiner als $1$ , und nach der Dreiecksungleichung übersteigt sein Betrag $\abs{L} + 1$ nicht.
$\abs{f(x) + g(x)} \leq C_1\abs{h(x)} + C_2\abs{h(x)} = \resaltar{(C_1 + C_2)\abs{h(x)}}$
Die Abschätzungen mit $C_1$ für $f$ und mit $C_2$ für $g$ gelten in der Nähe von $P$ gleichzeitig, im Durchschnitt der beiden Umgebungen. Die Dreiecksungleichung schätzt die Summe ab; das Vielfache hat die Konstante $\abs{c}\,C_1$ .
$\abs{f_1(x) f_2(x)} \leq C_1\abs{g_1(x)} \cdot C_2\abs{g_2(x)} = \resaltar{C_1 C_2 \abs{g_1(x) g_2(x)}}$
Die Abschätzungen der beiden Faktoren werden multipliziert.
$0 \leq \abs{\frac{f_1(x) f_2(x)}{g_1(x) g_2(x)}} \leq C_1 \abs{\frac{f_2(x)}{g_2(x)}} \to \resaltar{0}$
Der Quotient des Produkts durch $g_1 g_2$ ist das Produkt eines durch $C_1$ beschränkten Quotienten und eines anderen, der gegen $0$ strebt; nach dem Einschnürungssatz strebt er gegen $0$ .