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Topos Uranos
Deutsch

Grenzwerte und Stetigkeit: Synthese und Herausforderungen

Zusammenfassung

Diese Lektion schließt die Einheit über Grenzwerte und Stetigkeit ab. Sie fasst in einer einzigen deduktiven Kette zusammen, was die zehn Lektionen der Einheit bewiesen haben: die Epsilon-Delta-Definition des Grenzwerts und seine lokalen Eigenschaften, die Rechenregeln für Grenzwerte, reduziert auf drei Lemmata, den Einschnürungssatz und die trigonometrischen Grenzwerte; die einseitigen Grenzwerte, die Grenzwerte im Unendlichen und die uneigentlichen Grenzwerte, die diese Regeln durch Einschränkung, durch Inversion und über den Kehrwert erben, zusammen mit den Asymptoten; und die Stetigkeit, die der elementaren Funktionen, die Standardgrenzwerte und den Vergleich von Funktionen mithilfe asymptotisch gleicher unendlich kleiner Größen. Sie erklärt, wie die Einheit auf Algebra und Geometrie I und II aufbaut, deren angenommene Tatsachen über Asymptoten und Stetigkeit sie in Sätze verwandelt, und wie sie das Studium der Ableitungen und ihrer Anwendungen vorbereitet. Sie endet mit einem Abschlusstest, parallel zum Eingangstest, und mit zehn Herausforderungen, die schwieriger sind als die Aufgaben der Lektionen und von denen jede Ergebnisse aus mehreren von ihnen verbindet.

Lernziele

  1. Die Definitionen und die wichtigsten Sätze der Einheit in logischer Ordnung darlegen und dabei angeben, von welchen früheren Ergebnissen jeder abhängt und welche Epsilon-Delta-Argumente wiederverwendet werden.
  2. Unterscheiden, was die Einheit annimmt und was sie beweist, und die Voraussetzungen jedes Ergebnisses erkennen, etwa die des Grenzwerts einer Verkettung oder die des Ersetzens durch asymptotisch gleiche Funktionen.
  3. Die Ergebnisse der Einheit mit Algebra und Geometrie I und II und mit dem Studium der Ableitungen und ihrer Anwendungen in Beziehung setzen.
  4. Nicht routinemäßige Aufgaben lösen, die die Rechenregeln für Grenzwerte, die einseitigen Grenzwerte, die Grenzwerte im Unendlichen und die uneigentlichen Grenzwerte, die Asymptoten, die Stetigkeit, die Standardgrenzwerte und die asymptotisch gleichen unendlich kleinen Größen verbinden.

Was die Einheit erreicht hat

Die Einheit ging von einer Frage und einer Forderung aus. Die Frage: Was bedeutet es, dass sich die Werte einer Funktion einer Zahl nähern, wenn sich die Variable einer Stelle nähert? Die Forderung: Die Antwort sollte erlauben, zu beweisen und nicht nur zu rechnen, und jedes Epsilon-Delta-Argument sollte nur einmal geführt und dann wiederverwendet werden. Die Antwort war eine einzige Definition, formuliert in der Lektion über den Grenzwert von Funktionen einer reellen Variablen: Ist aa ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs AA von ff, so bedeutet die Aussage, dass der Grenzwert von ff an der Stelle aa gleich LL ist, Folgendes.

(∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−a∣<δ→∣f(x)−L∣<ε)(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)

Alles Übrige wurde daraus durch Reduktion gewonnen: die Rechenregeln auf eine Ungleichung; die einseitigen Grenzwerte auf Grenzwerte von Einschränkungen; die Grenzwerte im Unendlichen auf einseitige Grenzwerte bei null; die uneigentlichen Grenzwerte auf Grenzwerte null der Kehrwerte; und die Stetigkeit auf die Gleichheit von Grenzwert und Funktionswert.

Die Definition und die Rechenregeln des Grenzwerts

Die erste Lektion las die Definition als ein Spiel aus Herausforderung und Antwort, schrieb sie als quantifizierte Aussage und gewann ihre Negation Quantor für Quantor. Mit der Forderung, dass aa ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs ist, bewies sie die Eindeutigkeit des Grenzwerts; und mit im Voraus gewählten Herausforderungen, dass der Grenzwert nur von den Werten in der Nähe der Stelle abhängt, dass er die Funktion zwingt, in der Nähe dieser Stelle beschränkt zu bleiben, und dass er ihr, wenn er nicht null ist, sein Vorzeichen aufprägt. Die Lektion über die Rechenregeln für Grenzwerte ordnete die Beweise so, dass sie wiederverwendbar sind: Drei mit Epsilon und Delta bewiesene Lemmata zeigen, dass jede Funktion FF, die in der Nähe von aa eine Abschätzung der Form ∣F(x)−K∣≤C(∣f(x)−L∣+∣g(x)−M∣)\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right) erfüllt, gegen KK strebt, und jede Regel wurde darauf reduziert, eine solche Abschätzung zu finden: Die für Linearkombinationen folgt aus der Dreiecksungleichung, die für Produkte aus der lokalen Beschränktheit und die für Kehrwerte aus der Vorzeichenerhaltung, ergänzt durch ein Lemma, das sichert, dass man durch Einschränkung des Definitionsbereichs den Grenzwert nicht verliert. Daraus folgten das direkte Einsetzen in Polynome und rationale Funktionen, die Grenzwerte von Wurzeln und von Potenzen mit rationalen Exponenten sowie der Satz über die Verkettung, der die Substitution unter einer Voraussetzung rechtfertigt, deren Notwendigkeit ein Gegenbeispiel zeigt: dass die innere Funktion in der Nähe der Stelle den Wert ihres Grenzwerts nicht annimmt. Die Lektion über den Einschnürungssatz bewies, dass Grenzwerte nicht strikte Ungleichungen erhalten, dass eine Funktion, die zwischen zwei gegen dieselbe Zahl strebenden Funktionen eingeschlossen ist, ebenfalls gegen diese strebt, und dass das Produkt einer beschränkten Funktion mit einer, die gegen null strebt, gegen null strebt; mit der Abschätzung ∣sin⁡x−sin⁡a∣≤∣x−a∣\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a} und der Ungleichung zwischen Sinus, Bogen und Tangens gewann sie den Fundamentalgrenzwert sin⁡xx→1\frac{\sin x}{x} \to 1 und seine Folgerungen.

Die Seiten, das Unendliche und die Asymptoten

Die Lektion über die einseitigen Grenzwerte definierte sie als Grenzwerte der Einschränkung der Funktion auf eine Seite der Stelle. Diese Entscheidung ersparte die ganze übrige Arbeit: Die bereits bewiesenen Sätze gelten für sie ohne neuen Beweis, und der Grenzwert existiert genau dann, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und gleich sind. Dieselbe Lektion bewies zum ersten Mal, ohne den Wert zu berechnen, dass ein Grenzwert existiert: Eine auf einem Intervall monoton wachsende und nach oben beschränkte Funktion strebt an dessen rechtem Randpunkt gegen das Supremum ihrer Werte, und die Vollständigkeit garantiert dies. Die Lektion über die Grenzwerte, wenn die Variable gegen unendlich strebt reduzierte jeden von ihnen mit dem Inversionslemma auf einen einseitigen Grenzwert bei null und gewann so das Verhalten der rationalen Funktionen fern vom Ursprung. Die Lektion über die uneigentlichen Grenzwerte vervollständigte das Schema um den Fall, dass die Werte unbeschränkt wachsen: Das Kehrwertlemma übersetzt sie in Grenzwerte null, sodass die Regeln, die man als „∞+c=∞\infty + c = \infty“ oder „c⋅∞=∞c \cdot \infty = \infty“ zusammenfasst, Sätze mit Voraussetzungen sind und die vier unbestimmten Ausdrücke Warnungen, keine Ergebnisse. Schließlich definierte die Lektion über die Asymptoten diese mit Grenzwerten, bestimmte Steigung und Achsenabschnitt einer nicht senkrechten Asymptote als zwei Grenzwerte, woraus folgt, dass es an jedem Ende höchstens eine gibt, bewies die senkrechten Asymptoten der rationalen Funktionen und ordnete die Skizze eines Graphen ohne Ableitungen; sie zeigte auch, dass eine Kurve ihre Asymptote schneiden kann.

Die Stetigkeit und der Vergleich von Funktionen

Die Lektion über Grenzwert und Stetigkeit definierte die Stetigkeit an einer Stelle des Definitionsbereichs, bewies, dass sie an einem Häufungspunkt damit gleichwertig ist, dass der Grenzwert der Funktionswert ist, und klassifizierte die Unstetigkeitsstellen in hebbare, Sprungstellen und wesentliche. Die Rechenregeln für Grenzwerte lieferten die Stetigkeit der Operationen, und die Verkettung stetiger Funktionen erwies sich als stetig ohne die Voraussetzung, die der Satz über den Grenzwert einer Verkettung verlangte; daraus folgt, dass sich der Grenzwert mit einer stetigen Funktion vertauschen lässt. Die Lektion über die Stetigkeit der elementaren Funktionen bewies mit einem einzigen Argument, dem der monotonen Funktionen, deren Bild ein Intervall ist, die Stetigkeit der Exponentialfunktion, des Logarithmus, der Potenzen mit reellen Exponenten und der Arkusfunktionen; mit ihr und der Ungleichung ex≥1+xe^x \geq 1 + x gewann sie die Standardgrenzwerte, die Zahl ee als Grenzwert und die Form 1∞1^\infty, und sie verglich Exponentialfunktion, Potenzen und Logarithmus im Unendlichen. Die Lektion über äquivalente unendlich kleine und unendlich große Größen las alle diese Grenzwerte als Vergleiche zwischen Funktionen: Sie definierte das kleine o⁡\operatorname{o}, das große O⁡\operatorname{O} und die asymptotische Gleichheit, bewies, dass in einem Produkt oder einem Quotienten jeder Faktor durch einen asymptotisch gleichen ersetzt werden kann, und fasste die bis dahin gewonnenen Grenzwerte in einer Tabelle asymptotischer Gleichheiten bei null zusammen.

Was angenommen, was bewiesen wird und was bleibt

Die Bilanz der Einheit lässt sich so zusammenfassen:

  • Angenommen wird ein einziges Axiom: das Vollständigkeitsaxiom, zusammen mit den Körper- und Anordnungsaxiomen, nach dem jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen ein Supremum hat. Außerdem werden in Algebra und Geometrie bewiesene Ergebnisse verwendet: die Ungleichung zwischen Sinus, Bogen und Tangens, die Formeln zur Umformung von Summen in Produkte, die Ungleichung ex≥1+xe^x \geq 1 + x, die Monotonie der Exponentialfunktion und der Faktorsatz.
  • Bewiesen werden Tatsachen, die Algebra und Geometrie angenommen hatte: die senkrechten Asymptoten und die Asymptoten im Unendlichen der rationalen Funktionen sowie die Stetigkeit der rationalen Funktionen, der trigonometrischen Funktionen und der Arkusfunktionen.
  • Wiederverwendet werden fünf Werkzeuge, statt Argumente zu wiederholen: die drei Lemmata zum Schrankenkriterium, die Vorzeichenerhaltung, die Einschränkung des Definitionsbereichs (insbesondere auf eine Seite der Stelle), die Inversion und der Kehrwert.
  • Für später bleibt, was mehr als Grenzwerte verlangt: der Zwischenwertsatz und die Ableitungen in der nächsten Einheit; der Satz von Weierstraß und die Regel von L’Hospital in der dritten; und das Taylorpolynom in Analysis II.

Die folgende Abbildung fasst die drei Abschnitte zu einer einzigen Kette zusammen. Jeder Knoten der Säule ist eine Definition oder ein Satz, nach der logischen Ordnung nummeriert und durch einen Bogen mit den früheren Gliedern verbunden, die sein Beweis verwendet; ringsum schweben die Stützen, das heißt die Prinzipien und Werkzeuge, auf die die Kette immer wieder angewiesen ist, jede durch eine durchgezogene Linie mit den Gliedern verbunden, die sich auf sie stützen, und durch eine gepunktete mit dem Glied, in dem sie begründet wird, außer denen, die aus Algebra und Geometrie stammen und als Ringe gezeichnet sind. Ein Klick auf eine Stütze hebt alle Glieder hervor, die sie verwenden, und jedes Glied verweist auf die Lektion, in der es bewiesen wird.

Stützen der Kette

  • AAxiome der reellen Zahlen. Aus Algebra und Geometrie I wird angenommen, dass die reellen Zahlen einen vollständigen angeordneten Körper bilden: Addition und Multiplikation erfüllen die Körperaxiome, die Ordnung erfüllt die Trichotomie und ist mit den Operationen verträglich, und jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen hat ein Supremum. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
  • BErbe aus Algebra und Geometrie. In Algebra und Geometrie I und II bewiesene Ergebnisse: die Faktorisierung von un−vnu^n - v^n und die Potenz mit rationalem Exponenten, ∣sin⁡x∣≤∣x∣\abs{\sin x} \leq \abs{x} sowie sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x für 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}, die Formeln zur Umformung von Summen in Produkte und zur Potenzreduktion, die Ungleichung ex≥1+xe^x \geq 1 + x, die Monotonie und der Wertebereich der Exponentialfunktion, die Arkusfunktionen, der Faktorsatz und die Vorzeichentabellen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
  • CSchrankenkriterium. Gilt in der Nähe von aa die Abschätzung ∣F(x)−K∣≤C(∣f(x)−L∣+∣g(x)−M∣)\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right) mit C>0C > 0, f→Lf \to L und g→Mg \to M, so folgt F→KF \to K; jede Regel läuft darauf hinaus, eine solche Abschätzung zu finden. Begründet in: 4. Drei Lemmata.
  • DLokale Beschränktheit und Vorzeichen. Strebt ff gegen LL an der Stelle aa, so gilt in der Nähe von aa die Ungleichung ∣f(x)∣<∣L∣+1\abs{f(x)} < \abs{L} + 1; und ist L≠0L \neq 0, so hat die Funktion in der Nähe von aa das Vorzeichen von LL, und es gilt ∣f(x)∣>∣L∣2\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}. Begründet in: 3. Lokale Eigenschaften.
  • ESubstitution. Gelten g(x)→bg(x) \to b, f(t)→Lf(t) \to L für t→bt \to b und g(x)≠bg(x) \neq b in der Nähe von aa, so folgt f(g(x))→Lf(g(x)) \to L. Begründet in: 8. Grenzwert einer Verkettung.
  • FEinschränkung. Strebt ff gegen LL an der Stelle aa und ist aa ein Häufungspunkt einer Teilmenge BB des Definitionsbereichs, so strebt auch die Einschränkung von ff auf BB gegen LL; ein einseitiger Grenzwert ist der Grenzwert einer Einschränkung, und deshalb gelten alle Sätze über Grenzwerte auch für die einseitigen Grenzwerte. Begründet in: 5. Grenzwert einer Einschränkung.
  • GInversion. Der Grenzwert von ff bei ∞\infty ist der Grenzwert von f(1t)f\left(\frac{1}{t}\right), wenn tt von rechts gegen 00 strebt, und der bei −∞-\infty der entsprechende Grenzwert von links; deshalb gelten alle Sätze über Grenzwerte auch im Unendlichen. Begründet in: 15. Inversionslemma.
  • HKehrwert. Eine Funktion strebt genau dann gegen ∞\infty, wenn sie in der Nähe des Ziels positiv ist und ihr Kehrwert gegen 00 strebt; deshalb entscheiden die Regeln für endliche Grenzwerte über die uneigentlichen. Begründet in: 17. Kehrwertlemma.

  1. Abschnitt 1 Die Definition und die Rechenregeln des Grenzwerts

    • Den Grenzwert an einem Häufungspunkt mit Epsilon und Delta definieren, ihn als quantifizierte Aussage schreiben und verneinen und seine Eindeutigkeit und seine lokalen Eigenschaften beweisen.
    • Jede Rechenregel für Grenzwerte mithilfe von drei Lemmata auf eine Abschätzung reduzieren und die Grenzwerte der rationalen Funktionen, der Wurzeln und der Potenzen gewinnen.
    • Mit dem Satz über die Verkettung substituieren und dabei seine Voraussetzung erkennen.
    • Den Einschnürungssatz beweisen und mit ihm den trigonometrischen Fundamentalgrenzwert und seine Folgerungen.

    1. Definition des Grenzwerts. Ist aa ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs AA von ff, so ist der Grenzwert von ff an der Stelle aa gleich LL, wenn (∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−a∣<δ→∣f(x)−L∣<ε)(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right) gilt; und er ist es nicht, wenn (∃ε>0)(∀δ>0)(∃x∈A)(0<∣x−a∣<δ∧∣f(x)−L∣≥ε)(\exists \varepsilon > 0)(\forall \delta > 0)(\exists x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \wedge \abs{f(x) - L} \geq \varepsilon\right) gilt.

      Bewiesen in: Grenzwert von Funktionen einer reellen Variablen.

    2. Eindeutigkeit des Grenzwerts. Ist aa ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs von ff und gelten lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L und lim⁡x→af(x)=L′\lim_{x \to a} f(x) = L', so folgt L=L′L = L'.

      Verwendet: 1. Definition des Grenzwerts. Stützt sich auf: A (Axiome der reellen Zahlen). Bewiesen in: Grenzwert von Funktionen einer reellen Variablen.

    3. Lokale Eigenschaften. Der Grenzwert an der Stelle aa hängt nur von den Werten der Funktion auf einem punktierten Intervall mit Mittelpunkt aa ab; gilt lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L, so gilt in der Nähe von aa die Ungleichung ∣f(x)∣<∣L∣+1\abs{f(x)} < \abs{L} + 1, und ist außerdem L≠0L \neq 0, so hat f(x)f(x) das Vorzeichen von LL, und es gilt ∣f(x)∣>∣L∣2\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}.

      Verwendet: 1. Definition des Grenzwerts. Stützt sich auf: A (Axiome der reellen Zahlen). Bewiesen in: Grenzwert von Funktionen einer reellen Variablen.

    4. Drei Lemmata. Der Grenzwert von ff an der Stelle aa ist genau dann LL, wenn der von ∣f(x)−L∣\abs{f(x) - L} gleich 00 ist; gilt ∣f(x)−L∣≤C∣h(x)∣\abs{f(x) - L} \leq C\abs{h(x)} in der Nähe von aa mit C>0C > 0 und lim⁡x→ah(x)=0\lim_{x \to a} h(x) = 0, so folgt lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L; und die Summe zweier gegen null strebender Abstände strebt gegen null.

      Verwendet: 1. Definition des Grenzwerts. Bewiesen in: Rechenregeln für Grenzwerte.

    5. Grenzwert einer Einschränkung. Ist BB eine Teilmenge des Definitionsbereichs AA von ff, ist aa ein Häufungspunkt von BB und gilt lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L, so strebt auch die Einschränkung von ff auf BB gegen LL an der Stelle aa: Die Antwort, die in AA taugt, taugt auch in BB.

      Verwendet: 1. Definition des Grenzwerts. Bewiesen in: Rechenregeln für Grenzwerte.

    6. Rechenregeln für Grenzwerte. Gelten lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L und lim⁡x→ag(x)=M\lim_{x \to a} g(x) = M, so strebt αf+βg\alpha f + \beta g gegen αL+βM\alpha L + \beta M und fgfg gegen LMLM; und ist M≠0M \neq 0, so strebt 1g\frac{1}{g} gegen 1M\frac{1}{M} und fg\frac{f}{g} gegen LM\frac{L}{M}.

      Verwendet: 3. Lokale Eigenschaften, 4. Drei Lemmata. Stützt sich auf: C (Schrankenkriterium), D (Lokale Beschränktheit und Vorzeichen), F (Einschränkung). Bewiesen in: Rechenregeln für Grenzwerte.

    7. Polynome, Wurzeln und Potenzen. Ein Polynom und eine rationale Funktion, deren Nenner an der Stelle aa nicht verschwindet, haben an der Stelle aa ihren Funktionswert als Grenzwert; f(x)n\sqrt[n]{f(x)} strebt gegen Ln\sqrt[n]{L}, mit f≥0f \geq 0, falls nn gerade ist; und ist L>0L > 0, so strebt (f(x))pq\left(f(x)\right)^{\frac{p}{q}} gegen LpqL^{\frac{p}{q}}.

      Verwendet: 1. Definition des Grenzwerts, 6. Rechenregeln für Grenzwerte. Stützt sich auf: B (Erbe aus Algebra und Geometrie), C (Schrankenkriterium), D (Lokale Beschränktheit und Vorzeichen). Bewiesen in: Rechenregeln für Grenzwerte.

    8. Grenzwert einer Verkettung. Gelten lim⁡x→ag(x)=b\lim_{x \to a} g(x) = b, lim⁡t→bf(t)=L\lim_{t \to b} f(t) = L und g(x)≠bg(x) \neq b in der Nähe von aa, so folgt lim⁡x→af(g(x))=L\lim_{x \to a} f(g(x)) = L; ohne die Voraussetzung g(x)≠bg(x) \neq b kann die Folgerung falsch sein.

      Verwendet: 1. Definition des Grenzwerts. Bewiesen in: Rechenregeln für Grenzwerte.

    9. Erhaltung von Ungleichungen beim Grenzübergang. Gilt f(x)≤g(x)f(x) \leq g(x) in der Nähe von aa sowie lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L und lim⁡x→ag(x)=M\lim_{x \to a} g(x) = M, so folgt L≤ML \leq M; die strikte Ungleichung bleibt nicht erhalten.

      Verwendet: 6. Rechenregeln für Grenzwerte. Stützt sich auf: D (Lokale Beschränktheit und Vorzeichen). Bewiesen in: Der Einschnürungssatz und trigonometrische Grenzwerte.

    10. Einschnürungssatz. Gilt h(x)≤f(x)≤g(x)h(x) \leq f(x) \leq g(x) in der Nähe von aa und streben hh und gg gegen LL, so strebt auch ff gegen LL; und das Produkt einer in der Nähe von aa beschränkten Funktion mit einer, die gegen 00 strebt, strebt gegen 00.

      Verwendet: 4. Drei Lemmata. Stützt sich auf: C (Schrankenkriterium). Bewiesen in: Der Einschnürungssatz und trigonometrische Grenzwerte.

    11. Sinus und Kosinus. Für alle reellen Zahlen xx und aa gelten ∣sin⁡x−sin⁡a∣≤∣x−a∣\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a} und ∣cos⁡x−cos⁡a∣≤∣x−a∣\abs{\cos x - \cos a} \leq \abs{x - a}; folglich gelten lim⁡x→asin⁡x=sin⁡a\lim_{x \to a} \sin x = \sin a und lim⁡x→acos⁡x=cos⁡a\lim_{x \to a} \cos x = \cos a.

      Verwendet: 4. Drei Lemmata. Stützt sich auf: B (Erbe aus Algebra und Geometrie), C (Schrankenkriterium). Bewiesen in: Der Einschnürungssatz und trigonometrische Grenzwerte.

    12. Fundamentalgrenzwert. lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1; und wenn xx gegen 00 strebt, strebt tan⁡xx\frac{\tan x}{x} gegen 11, sin⁡kxx\frac{\sin kx}{x} gegen kk und 1−cos⁡xx2\frac{1 - \cos x}{x^2} gegen 12\frac{1}{2}.

      Verwendet: 6. Rechenregeln für Grenzwerte, 10. Einschnürungssatz, 11. Sinus und Kosinus. Stützt sich auf: B (Erbe aus Algebra und Geometrie), E (Substitution). Bewiesen in: Der Einschnürungssatz und trigonometrische Grenzwerte.

  2. Abschnitt 2 Die Seiten, das Unendliche und die Asymptoten

    • Die einseitigen Grenzwerte als Grenzwerte von Einschränkungen definieren, sodass sie alle Sätze erben, und den Grenzwert durch seine beiden Seiten charakterisieren.
    • Aus der Vollständigkeit den Grenzwert einer monotonen und beschränkten Funktion als Supremum gewinnen.
    • Die Grenzwerte im Unendlichen auf einseitige Grenzwerte bei null und die uneigentlichen Grenzwerte auf Grenzwerte null reduzieren, mit ihren Regeln und ihren unbestimmten Ausdrücken.
    • Die Asymptoten einer Funktion mit zwei Grenzwerten berechnen, die senkrechten Asymptoten der rationalen Funktionen beweisen und Graphen ohne Ableitungen skizzieren.

    1. Einseitige Grenzwerte. Der rechtsseitige Grenzwert von ff an der Stelle aa ist der Grenzwert an der Stelle aa ihrer Einschränkung auf die Punkte des Definitionsbereichs, die größer als aa sind, und der linksseitige Grenzwert der ihrer Einschränkung auf die kleineren; ist aa ein Häufungspunkt von beiden Seiten, so hat ff genau dann den Grenzwert LL an der Stelle aa, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und gleich LL sind.

      Verwendet: 1. Definition des Grenzwerts, 5. Grenzwert einer Einschränkung, 2. Eindeutigkeit des Grenzwerts. Bewiesen in: Einseitige Grenzwerte.

    2. Monotone Funktionen. Ist ff monoton wachsend und nach oben beschränkt auf (c,b)\ioo{c}{b}, so gilt lim⁡x→b−f(x)=sup⁡{f(x):c<x<b}\lim_{x \to b^-} f(x) = \sup\left\{ f(x) : c < x < b \right\}; und ist sie monoton wachsend und nach unten beschränkt, so ist ihr rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle cc das Infimum ihrer Werte.

      Verwendet: 6. Rechenregeln für Grenzwerte, 13. Einseitige Grenzwerte. Stützt sich auf: A (Axiome der reellen Zahlen), E (Substitution), F (Einschränkung). Bewiesen in: Einseitige Grenzwerte.

    3. Inversionslemma. Der Grenzwert von ff bei ∞\infty ist LL, wenn es zu jedem ε>0\varepsilon > 0 ein MM gibt, sodass ∣f(x)−L∣<ε\abs{f(x) - L} < \varepsilon gilt, sobald x>Mx > M; und es gilt lim⁡x→∞f(x)=L⇔lim⁡t→0+f(1t)=L\lim_{x \to \infty} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{t \to 0^+} f\left(\frac{1}{t}\right) = L, und ebenso bei −∞-\infty mit dem linksseitigen Grenzwert.

      Verwendet: 13. Einseitige Grenzwerte. Bewiesen in: Grenzwerte, wenn die Variable gegen unendlich strebt.

    4. Rationale Funktionen im Unendlichen. Für jede rationale Zahl r>0r > 0 strebt 1xr\frac{1}{x^r} gegen 00 bei ∞\infty; und der Quotient zweier Polynome der Grade nn und mm strebt bei ±∞\pm\infty gegen 00, falls n<mn < m, gegen den Quotienten der Leitkoeffizienten, falls n=mn = m, und hat keinen endlichen Grenzwert, falls n>mn > m.

      Verwendet: 2. Eindeutigkeit des Grenzwerts, 6. Rechenregeln für Grenzwerte, 7. Polynome, Wurzeln und Potenzen. Stützt sich auf: D (Lokale Beschränktheit und Vorzeichen), F (Einschränkung), G (Inversion). Bewiesen in: Grenzwerte, wenn die Variable gegen unendlich strebt.

    5. Kehrwertlemma. ff strebt gegen ∞\infty in einem Ziel PP, das ein Punkt, eine Seite eines Punktes oder ±∞\pm\infty ist, wenn für jede reelle Zahl NN die Ungleichung f(x)>Nf(x) > N in der Nähe von PP gilt; dies ist genau dann der Fall, wenn ff in der Nähe von PP positiv ist und 1f\frac{1}{f} gegen 00 strebt; und ff strebt genau dann gegen −∞-\infty, wenn −f-f gegen ∞\infty strebt.

      Verwendet: 1. Definition des Grenzwerts. Bewiesen in: Uneigentliche Grenzwerte.

    6. Regeln für uneigentliche Grenzwerte. Gilt f≤gf \leq g in der Nähe von PP und strebt ff gegen ∞\infty, so auch gg; strebt ff gegen ∞\infty, so auch f+gf + g, falls gg nach unten beschränkt ist, und fgfg, falls gg gegen eine positive Zahl oder gegen ∞\infty strebt; und ein Quotient, dessen Zähler gegen eine positive Zahl und dessen Nenner mit positiven Werten gegen 00 strebt, strebt gegen ∞\infty.

      Verwendet: 6. Rechenregeln für Grenzwerte. Stützt sich auf: D (Lokale Beschränktheit und Vorzeichen), F (Einschränkung), G (Inversion), H (Kehrwert). Bewiesen in: Uneigentliche Grenzwerte.

    7. Unbeschränkte monotone Funktionen. Ist ff monoton wachsend auf (c,b)\ioo{c}{b}, wobei bb reell ist oder b=∞b = \infty gilt, und nicht nach oben beschränkt, so strebt ff gegen ∞\infty von links an der Stelle bb, beziehungsweise bei ∞\infty, falls b=∞b = \infty.

      Verwendet: 17. Kehrwertlemma. Bewiesen in: Uneigentliche Grenzwerte.

    8. Verkettung mit einem uneigentlichen Grenzwert. Strebt gg gegen ∞\infty bei PP und f(u)f(u) gegen LL, wenn uu gegen ∞\infty strebt, so strebt f(g(x))f(g(x)) gegen LL bei PP, ohne jede Voraussetzung über die Werte von gg; und ebenso, wenn f(u)f(u) gegen ∞\infty oder gegen −∞-\infty strebt.

      Verwendet: 15. Inversionslemma, 17. Kehrwertlemma. Bewiesen in: Uneigentliche Grenzwerte.

    9. Berechnung der Asymptote. Die Gerade y=mx+by = mx + b ist genau dann eine Asymptote des Graphen von ff bei ∞\infty, das heißt, f(x)−(mx+b)f(x) - (mx + b) strebt gegen 00, wenn m=lim⁡x→∞f(x)xm = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} und b=lim⁡x→∞(f(x)−mx)b = \lim_{x \to \infty} \left(f(x) - mx\right) gelten; folglich gibt es an jedem Ende höchstens eine nicht senkrechte Asymptote.

      Verwendet: 2. Eindeutigkeit des Grenzwerts, 6. Rechenregeln für Grenzwerte, 16. Rationale Funktionen im Unendlichen. Stützt sich auf: G (Inversion). Bewiesen in: Asymptoten und Techniken der grafischen Darstellung.

    10. Senkrechte Asymptoten. Ist rr eine Nullstelle des Polynoms BB und gilt A(r)≠0A(r) \neq 0, so ist die Gerade x=rx = r eine senkrechte Asymptote des Graphen von AB\frac{A}{B}, und auf jeder Seite von rr strebt die Funktion gegen ∞\infty oder gegen −∞-\infty, je nach dem Vorzeichen, das ihr die Vorzeichentabelle auf dem angrenzenden Intervall zuweist.

      Verwendet: 7. Polynome, Wurzeln und Potenzen, 18. Regeln für uneigentliche Grenzwerte. Stützt sich auf: B (Erbe aus Algebra und Geometrie), D (Lokale Beschränktheit und Vorzeichen), F (Einschränkung). Bewiesen in: Asymptoten und Techniken der grafischen Darstellung.

  3. Abschnitt 3 Die Stetigkeit und der Vergleich von Funktionen

    • Die Stetigkeit definieren, sie mit dem Grenzwert in Beziehung setzen und die Unstetigkeitsstellen in hebbare, Sprungstellen und wesentliche einteilen.
    • Beweisen, dass die Operationen und die Verkettung die Stetigkeit erhalten und dass sich der Grenzwert mit einer stetigen Funktion vertauschen lässt.
    • Die Stetigkeit der elementaren Funktionen mit dem Argument der monotonen Funktionen beweisen und mit ihr die Standardgrenzwerte und die Form 1∞1^\infty.
    • Funktionen mit dem kleinen o⁡\operatorname{o} und der asymptotischen Gleichheit vergleichen und asymptotisch gleiche Funktionen in Produkten und Quotienten ersetzen, aber nicht in Summen.

    1. Stetigkeit und Grenzwert. ff ist an einer Stelle aa ihres Definitionsbereichs AA stetig, wenn (∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈A)(∣x−a∣<δ→∣f(x)−f(a)∣<ε)(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right) gilt; ist aa ein Häufungspunkt von AA, so ist dies gleichwertig mit lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a), und ist sie ein isolierter Punkt, so gilt es immer.

      Verwendet: 1. Definition des Grenzwerts. Bewiesen in: Grenzwert und Stetigkeit.

    2. Operationen mit stetigen Funktionen. Die Linearkombinationen, die Produkte, die Quotienten mit von null verschiedenem Nenner und die Wurzeln von an der Stelle aa stetigen Funktionen sind an der Stelle aa stetig; folglich sind auf ihrem Definitionsbereich stetig: die Polynome, die rationalen Funktionen, die Wurzeln, der Betrag, der Sinus, der Kosinus und der Tangens.

      Verwendet: 6. Rechenregeln für Grenzwerte, 7. Polynome, Wurzeln und Potenzen, 11. Sinus und Kosinus, 23. Stetigkeit und Grenzwert. Stützt sich auf: C (Schrankenkriterium). Bewiesen in: Grenzwert und Stetigkeit.

    3. Verkettung stetiger Funktionen. Ist gg an der Stelle aa stetig und ff an der Stelle g(a)g(a) stetig, so ist f∘gf \circ g an der Stelle aa stetig; und strebt g(x)g(x) gegen bb und ist ff an der Stelle bb stetig, so gilt lim⁡x→af(g(x))=f(b)\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(b), auch einseitig oder bei ±∞\pm\infty.

      Verwendet: 3. Lokale Eigenschaften, 23. Stetigkeit und Grenzwert. Stützt sich auf: F (Einschränkung), G (Inversion). Bewiesen in: Grenzwert und Stetigkeit.

    4. Stetige elementare Funktionen. Eine auf einem Intervall definierte, dort monotone Funktion, deren Bild ein Intervall ist, ist stetig, und ebenso die Umkehrfunktion einer streng monotonen Funktion mit diesen Eigenschaften; daher sind auf ihrem Definitionsbereich stetig: die Exponentialfunktion, der Logarithmus, die Potenzen mit reellen Exponenten, die Arkusfunktionen und die Hyperbelfunktionen.

      Verwendet: 13. Einseitige Grenzwerte, 14. Monotone Funktionen, 23. Stetigkeit und Grenzwert, 24. Operationen mit stetigen Funktionen, 25. Verkettung stetiger Funktionen. Stützt sich auf: B (Erbe aus Algebra und Geometrie). Bewiesen in: Stetigkeit der elementaren Funktionen und Standardgrenzwerte.

    5. Standardgrenzwerte. Wenn xx gegen 00 strebt, streben ex−1x\frac{e^x - 1}{x} und ln⁡(1+x)x\frac{\ln(1 + x)}{x} gegen 11, ax−1x\frac{a^x - 1}{x} gegen ln⁡a\ln a und (1+x)r−1x\frac{\left(1 + x\right)^r - 1}{x} gegen rr; außerdem strebt (1+x)1x\left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}} gegen ee an der Stelle 00, und (1+1x)x\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x tut dies bei ±∞\pm\infty.

      Verwendet: 6. Rechenregeln für Grenzwerte, 10. Einschnürungssatz, 13. Einseitige Grenzwerte, 26. Stetige elementare Funktionen, 25. Verkettung stetiger Funktionen. Stützt sich auf: B (Erbe aus Algebra und Geometrie), E (Substitution), G (Inversion). Bewiesen in: Stetigkeit der elementaren Funktionen und Standardgrenzwerte.

    6. Die Form eins hoch unendlich. Gilt f>0f > 0 in der Nähe von PP, strebt f(x)f(x) gegen 11 und strebt g(x)(f(x)−1)g(x)\left(f(x) - 1\right) gegen eine reelle Zahl λ\lambda, so strebt (f(x))g(x)\left(f(x)\right)^{g(x)} gegen eλe^{\lambda}.

      Verwendet: 6. Rechenregeln für Grenzwerte, 26. Stetige elementare Funktionen, 25. Verkettung stetiger Funktionen, 27. Standardgrenzwerte. Bewiesen in: Stetigkeit der elementaren Funktionen und Standardgrenzwerte.

    7. Exponentialfunktionen, Potenzen und Logarithmen. Ist r>0r > 0 und a>1a > 1, so streben xrax\frac{x^r}{a^x} und ln⁡xxr\frac{\ln x}{x^r} gegen 00 bei ∞\infty, und xrln⁡xx^r \ln x strebt gegen 00, wenn xx von rechts gegen 00 strebt.

      Verwendet: 10. Einschnürungssatz, 16. Rationale Funktionen im Unendlichen, 19. Unbeschränkte monotone Funktionen, 20. Verkettung mit einem uneigentlichen Grenzwert. Stützt sich auf: B (Erbe aus Algebra und Geometrie), G (Inversion). Bewiesen in: Stetigkeit der elementaren Funktionen und Standardgrenzwerte.

    8. Vergleich von Funktionen. f=o⁡(g)f = \operatorname{o}(g) bei PP, wenn fg\frac{f}{g} gegen 00 strebt, und f∼gf \sim g, wenn er gegen 11 strebt; die asymptotische Gleichheit ist reflexiv, symmetrisch und transitiv, und f∼gf \sim g gilt genau dann, wenn f−g=o⁡(g)f - g = \operatorname{o}(g) gilt.

      Verwendet: 6. Rechenregeln für Grenzwerte. Bewiesen in: Äquivalente unendlich kleine und unendlich große Größen.

    9. Ersetzen durch asymptotisch gleiche Funktionen. Gelten f∼f1f \sim f_1 und g∼g1g \sim g_1 bei PP, so hat fhg\frac{f h}{g} genau dann einen endlichen oder unendlichen Grenzwert, wenn f1hg1\frac{f_1 h}{g_1} einen hat, und beide stimmen überein; der Satz gilt für Faktoren, nicht für Summanden.

      Verwendet: 6. Rechenregeln für Grenzwerte, 18. Regeln für uneigentliche Grenzwerte, 30. Vergleich von Funktionen. Bewiesen in: Äquivalente unendlich kleine und unendlich große Größen.

    10. Summe asymptotisch gleicher Funktionen gleichen Vorzeichens. Gelten f1∼g1f_1 \sim g_1 und f2∼g2f_2 \sim g_2 bei PP und sind g1g_1 und g2g_2 in der Nähe von PP beide positiv oder beide negativ, so gilt f1+f2∼g1+g2f_1 + f_2 \sim g_1 + g_2.

      Verwendet: 4. Drei Lemmata, 10. Einschnürungssatz, 30. Vergleich von Funktionen. Stützt sich auf: C (Schrankenkriterium). Bewiesen in: Äquivalente unendlich kleine und unendlich große Größen.

    11. Tabelle asymptotisch gleicher Funktionen. Bei 00 sind sin⁡x\sin x, tan⁡x\tan x, arctan⁡x\arctan x, ex−1e^x - 1 und ln⁡(1+x)\ln(1 + x) asymptotisch gleich xx, es gilt 1−cos⁡x∼x221 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}, ax−1∼xln⁡aa^x - 1 \sim x \ln a, (1+x)r−1∼rx\left(1 + x\right)^r - 1 \sim r x, und jedes Polynom ist asymptotisch gleich seinem Term niedrigsten Grades; die asymptotischen Gleichheiten gelten mit jeder Funktion, die gegen 00 strebt, ohne zu verschwinden, anstelle von xx.

      Verwendet: 7. Polynome, Wurzeln und Potenzen, 12. Fundamentalgrenzwert, 27. Standardgrenzwerte. Stützt sich auf: E (Substitution). Bewiesen in: Äquivalente unendlich kleine und unendlich große Größen.

Hin zur Ableitung. Die Kette endet dort, wo der Grenzwert aufhört, Gegenstand der Untersuchung zu sein, und zu einem Werkzeug wird: Die nächste Einheit definiert die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten, gewinnt ihre Regeln aus den Rechenregeln für Grenzwerte und der Verkettung, die Ableitungen der elementaren Funktionen aus den Standardgrenzwerten und den Zwischenwertsatz aus der Vorzeichenerhaltung und der Vollständigkeit.