Limites e continuidade: síntese e desafios

Resumo

Esta aula encerra a unidade sobre os limites e a continuidade. Reúne numa só cadeia dedutiva o que as dez aulas da unidade demonstraram: a definição épsilon-delta do limite e suas propriedades locais, as regras da álgebra dos limites reduzidas a três lemas, o teorema do confronto e os limites trigonométricos; os limites laterais, no infinito e infinitos, que herdam essas regras por restrição, por inversão e pelo inverso, junto com as assíntotas; e a continuidade, a das funções elementares, os limites notáveis e a comparação de funções por meio de infinitésimos equivalentes. Explica como a unidade se apoia em Álgebra e Geometria I e II, cujos fatos admitidos sobre as assíntotas e a continuidade ela converte em teoremas, e como prepara o estudo das derivadas e de suas aplicações. Termina com uma avaliação de saída, paralela à de entrada, e com dez desafios, mais difíceis que os problemas das aulas, cada um dos quais combina resultados de várias delas.

Objetivos de aprendizagem

Expor em ordem lógica as definições e os teoremas principais da unidade, indicando de que resultados precedentes depende cada um e que argumentos épsilon-delta se reutilizam.
Distinguir o que a unidade admite do que demonstra, e reconhecer as hipóteses de cada resultado, como a do limite de uma composição ou a da substituição de equivalentes.
Relacionar os resultados da unidade com Álgebra e Geometria I e II e com o estudo das derivadas e de suas aplicações.
Resolver problemas não rotineiros que combinam a álgebra dos limites, os limites laterais, no infinito e infinitos, as assíntotas, a continuidade, os limites notáveis e os infinitésimos equivalentes.

O que a unidade alcançou

A unidade partiu de uma pergunta e de uma exigência. A pergunta: o que significa que os valores de uma função se aproximem de um número quando a variável se aproxima de um ponto. A exigência: que a resposta permita demonstrar, e não só calcular, e que cada argumento épsilon-delta seja feito uma só vez e reutilizado. A resposta foi uma única definição, enunciada na aula sobre o limite de funções de uma variável real: se $a$ é ponto de acumulação do domínio $A$ de $f$ , dizer que o limite de $f$ em $a$ é $L$ significa o que se segue.

(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)

Todo o resto se obteve dela, por redução: as regras de cálculo, a uma desigualdade; os limites laterais, a limites de restrições; os limites no infinito, a limites laterais em zero; os limites infinitos, a limites nulos dos inversos; e a continuidade, ao limite igual ao valor.

A definição e a álgebra do limite

A primeira aula leu a definição como um jogo de desafio e resposta, escreveu-a como enunciado quantificado e obteve sua negação quantificador por quantificador. Com a exigência de que $a$ seja ponto de acumulação do domínio, demonstrou a unicidade do limite; e com desafios escolhidos de antemão, que o limite só depende dos valores próximos do ponto, que obriga a função a ficar limitada perto dele e que, se não é zero, lhe impõe seu sinal. A aula sobre a álgebra dos limites ordenou as demonstrações para reutilizá-las: três lemas, demonstrados com épsilon e delta, provam que toda função $F$ que cumpra perto de $a$ uma cota da forma $\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)$ tende a $K$ , e cada regra se reduziu a encontrar essa cota: a da combinação linear sai da desigualdade triangular, a do produto da limitação local e a do inverso da conservação do sinal, com um lema que garante que restringir o domínio não faz perder o limite. Daí se seguiram a substituição direta nos polinômios e nas funções racionais, os limites das raízes e das potências de expoente racional, e o teorema da composição, que justifica a mudança de variável com uma hipótese que um contraexemplo mostra necessária: que a função interna não tome o valor de seu limite perto do ponto. A aula sobre o teorema do confronto demonstrou que os limites conservam as desigualdades não estritas, que uma função encerrada entre duas que tendem ao mesmo número também tende a ele, e que o produto de uma função limitada por outra que tende a zero tende a zero; com a cota $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ e a desigualdade entre o seno, o arco e a tangente, obteve o limite fundamental $\frac{\sin x}{x} \to 1$ e suas consequências.

Os lados, o infinito e as assíntotas

A aula sobre os limites laterais definiu-os como limites da restrição da função a um lado do ponto. Essa decisão poupou todo o trabalho restante: os teoremas já demonstrados valem para eles sem demonstração nova, e o limite existe se e somente se existem os dois laterais e são iguais. A mesma aula demonstrou, pela primeira vez sem calcular o valor, que um limite existe: uma função crescente e limitada superiormente num intervalo tende, em seu extremo direito, ao supremo de seus valores, e quem o garante é a completude. A aula sobre os limites quando a variável tende ao infinito reduziu cada um deles, com o lema da inversão, a um limite lateral em zero, e obteve assim o comportamento das funções racionais longe da origem. A aula sobre os limites infinitos completou o esquema com o caso em que os valores crescem ilimitadamente: o lema do inverso os traduz em limites nulos, de modo que as regras que se resumem como « $\infty + c = \infty$ » ou « $c \cdot \infty = \infty$ » são teoremas com hipóteses, e as quatro formas indeterminadas são avisos, não resultados. Por último, a aula sobre as assíntotas definiu-as com limites, achou o coeficiente angular e o coeficiente linear de uma assíntota não vertical como dois limites, donde há no máximo uma em cada extremo, demonstrou as assíntotas verticais das funções racionais e ordenou o esboço de um gráfico sem derivadas; também mostrou que uma curva pode cortar sua assíntota.

A continuidade e a comparação de funções

A aula sobre limite e continuidade definiu a continuidade num ponto do domínio, demonstrou que num ponto de acumulação ela equivale a que o limite seja o valor, e classificou as descontinuidades em removíveis, de salto e essenciais. As regras da álgebra dos limites deram a continuidade das operações, e a composição de funções contínuas resultou contínua sem a hipótese que o teorema da composição de limites exigia; disso se segue que o limite entra numa função contínua. A aula sobre a continuidade das funções elementares demonstrou com um só argumento, o das funções monótonas cuja imagem é um intervalo, a continuidade da exponencial, do logaritmo, das potências de expoente real e das trigonométricas inversas; com ela e a desigualdade $e^x \geq 1 + x$ obteve os limites notáveis, o número $e$ como limite e a forma $1^\infty$ , e comparou a exponencial, as potências e o logaritmo no infinito. A aula sobre os infinitésimos e infinitamente grandes equivalentes leu todos esses limites como comparações entre funções: definiu o $\operatorname{o}$ pequeno, o $\operatorname{O}$ grande e a equivalência, demonstrou que num produto ou num quociente cada fator pode ser substituído por outro equivalente, e reuniu os limites já obtidos numa tabela de equivalentes em zero.

O que se admite, o que se demonstra e o que fica

O balanço da unidade pode resumir-se assim:

Admite-se um só axioma: o de completude, com os de corpo e de ordem, segundo o qual todo conjunto não vazio de reais limitado superiormente tem supremo. Usam-se, além disso, resultados demonstrados em Álgebra e Geometria: a desigualdade entre o seno, o arco e a tangente, as fórmulas de soma em produto, a desigualdade $e^x \geq 1 + x$ , a monotonia da exponencial e o teorema do fator.
Demonstram-se fatos que Álgebra e Geometria havia admitido: as assíntotas verticais e no infinito das funções racionais, e a continuidade das funções racionais, trigonométricas e trigonométricas inversas.
Reutilizam-se cinco instrumentos em vez de repetir argumentos: os três lemas da cota, a conservação do sinal, a restrição do domínio (em particular, a um lado do ponto), a inversão e o inverso.
Fica para depois o que exige mais que limites: o teorema do valor intermediário e as derivadas, na próxima unidade; o teorema de Weierstrass e a regra de L’Hôpital, na terceira; e o polinômio de Taylor, em Cálculo II.

A figura abaixo reúne os três trechos numa só cadeia. Cada nó da coluna é uma definição ou um teorema, numerado segundo a ordem lógica e unido por um arco aos elos precedentes que sua demonstração usa; ao redor flutuam os apoios, isto é, os princípios e os instrumentos a que a cadeia recorre repetidas vezes, cada um unido por um traço contínuo aos elos que nele se apoiam e por um traço pontilhado ao elo onde se estabelece, exceto os que provêm de Álgebra e Geometria, que são desenhados como anéis. Ao clicar em um apoio, destacam-se todos os elos que o usam, e cada elo remete à aula em que é demonstrado.

Apoios da cadeia

AAxiomas dos reais. Admite-se, desde Álgebra e Geometria I, que os reais formam um corpo ordenado completo: a soma e o produto cumprem os axiomas de corpo, a ordem cumpre a tricotomia e é compatível com as operações, e todo conjunto não vazio de reais limitado superiormente tem supremo. Admitido sem demonstração nesta unidade.
BHerança de Álgebra e Geometria. Resultados demonstrados em Álgebra e Geometria I e II: a fatoração de $u^n - v^n$ e a potência de expoente racional, $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ e $\sin x < x < \tan x$ se $0 < x < \frac{\pi}{2}$ , as fórmulas de soma em produto e de redução de potências, a desigualdade $e^x \geq 1 + x$ , a monotonia e o conjunto imagem da exponencial, as trigonométricas inversas, o teorema do fator e os quadros de sinais. Admitido sem demonstração nesta unidade.
CCritério da cota. Se perto de $a$ se cumpre $\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)$ , com $C > 0$ , $f \to L$ e $g \to M$ , então $F \to K$ ; cada regra se reduz a encontrar uma cota assim. Estabelecido em: 4. Três lemas.
DLimitação local e sinal. Se $f$ tende a $L$ em $a$ , perto de $a$ se cumpre $\abs{f(x)} < \abs{L} + 1$ ; e se $L \neq 0$ , perto de $a$ a função tem o sinal de $L$ e $\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}$ . Estabelecido em: 3. Propriedades locais.
EMudança de variável. Se $g(x) \to b$ , $f(t) \to L$ quando $t \to b$ , e $g(x) \neq b$ perto de $a$ , então $f(g(x)) \to L$ . Estabelecido em: 8. Limite de uma composição.
FRestrição. Se $f$ tende a $L$ em $a$ e $a$ é ponto de acumulação de um subconjunto $B$ do domínio, a restrição de $f$ a $B$ também tende a $L$ ; um limite lateral é o limite de uma restrição, e por isso todos os teoremas sobre limites valem para os limites laterais. Estabelecido em: 5. Limite de uma restrição.
GInversão. O limite de $f$ em $\infty$ é o limite de $f\left(\frac{1}{t}\right)$ quando $t$ tende a $0$ pela direita, e o de $-\infty$ , pela esquerda; por isso todos os teoremas sobre limites valem no infinito. Estabelecido em: 15. Lema da inversão.
HInverso. Uma função tende a $\infty$ se e somente se é positiva perto do destino e seu inverso tende a $0$ ; por isso as regras dos limites finitos decidem os infinitos. Estabelecido em: 17. Lema do inverso.

Trecho 1 A definição e a álgebra do limite
- Definir o limite num ponto de acumulação com épsilon e delta, escrevê-lo e negá-lo como enunciado quantificado, e demonstrar sua unicidade e suas propriedades locais.
- Reduzir cada regra da álgebra dos limites a uma cota mediante três lemas, e obter os limites das funções racionais, das raízes e das potências.
- Mudar de variável com o teorema da composição, reconhecendo sua hipótese.
- Demonstrar o teorema do confronto e, com ele, o limite trigonométrico fundamental e suas consequências.
1. Definição de limite. Se $a$ é ponto de acumulação do domínio $A$ de $f$ , o limite de $f$ em $a$ é $L$ quando $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)$ ; e não o é quando $(\exists \varepsilon > 0)(\forall \delta > 0)(\exists x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \wedge \abs{f(x) - L} \geq \varepsilon\right)$ .
  Demonstrado em: Limite de funções de uma variável real.
2. Unicidade do limite. Se $a$ é ponto de acumulação do domínio de $f$ , $\lim_{x \to a} f(x) = L$ e $\lim_{x \to a} f(x) = L'$ , então $L = L'$ .
  Usa: 1. Definição de limite. Apoia-se em: A (Axiomas dos reais). Demonstrado em: Limite de funções de uma variável real.
3. Propriedades locais. O limite em $a$ só depende dos valores da função num intervalo perfurado de centro $a$ ; se $\lim_{x \to a} f(x) = L$ , perto de $a$ se cumpre $\abs{f(x)} < \abs{L} + 1$ , e se além disso $L \neq 0$ , $f(x)$ tem o sinal de $L$ e $\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}$ .
  Usa: 1. Definição de limite. Apoia-se em: A (Axiomas dos reais). Demonstrado em: Limite de funções de uma variável real.
4. Três lemas. O limite de $f$ em $a$ é $L$ se e somente se o de $\abs{f(x) - L}$ é $0$ ; se $\abs{f(x) - L} \leq C\abs{h(x)}$ perto de $a$ , com $C > 0$ e $\lim_{x \to a} h(x) = 0$ , então $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ; e a soma de duas distâncias que tendem a zero tende a zero.
  Usa: 1. Definição de limite. Demonstrado em: Álgebra dos limites.
5. Limite de uma restrição. Se $B$ é um subconjunto do domínio $A$ de $f$ , $a$ é ponto de acumulação de $B$ e $\lim_{x \to a} f(x) = L$ , então a restrição de $f$ a $B$ também tende a $L$ em $a$ : a resposta que serve em $A$ serve em $B$ .
  Usa: 1. Definição de limite. Demonstrado em: Álgebra dos limites.
6. Álgebra dos limites. Se $\lim_{x \to a} f(x) = L$ e $\lim_{x \to a} g(x) = M$ , então $\alpha f + \beta g$ tende a $\alpha L + \beta M$ e $fg$ a $LM$ ; e se $M \neq 0$ , $\frac{1}{g}$ tende a $\frac{1}{M}$ e $\frac{f}{g}$ a $\frac{L}{M}$ .
  Usa: 3. Propriedades locais, 4. Três lemas. Apoia-se em: C (Critério da cota), D (Limitação local e sinal), F (Restrição). Demonstrado em: Álgebra dos limites.
7. Polinômios, raízes e potências. Um polinômio, e uma função racional cujo denominador não se anula em $a$ , têm por limite em $a$ seu valor; $\sqrt[n]{f(x)}$ tende a $\sqrt[n]{L}$ , com $f \geq 0$ se $n$ é par; e se $L > 0$ , $\left(f(x)\right)^{\frac{p}{q}}$ tende a $L^{\frac{p}{q}}$ .
  Usa: 1. Definição de limite, 6. Álgebra dos limites. Apoia-se em: B (Herança de Álgebra e Geometria), C (Critério da cota), D (Limitação local e sinal). Demonstrado em: Álgebra dos limites.
8. Limite de uma composição. Se $\lim_{x \to a} g(x) = b$ , $\lim_{t \to b} f(t) = L$ e $g(x) \neq b$ perto de $a$ , então $\lim_{x \to a} f(g(x)) = L$ ; sem a hipótese $g(x) \neq b$ , a conclusão pode falhar.
  Usa: 1. Definição de limite. Demonstrado em: Álgebra dos limites.
9. Conservação das desigualdades. Se $f(x) \leq g(x)$ perto de $a$ , $\lim_{x \to a} f(x) = L$ e $\lim_{x \to a} g(x) = M$ , então $L \leq M$ ; a desigualdade estrita não se conserva.
  Usa: 6. Álgebra dos limites. Apoia-se em: D (Limitação local e sinal). Demonstrado em: O teorema do confronto e os limites trigonométricos.
10. Teorema do confronto. Se $h(x) \leq f(x) \leq g(x)$ perto de $a$ e $h$ e $g$ tendem a $L$ , também $f$ tende a $L$ ; e o produto de uma função limitada perto de $a$ por outra que tende a $0$ tende a $0$ .
  Usa: 4. Três lemas. Apoia-se em: C (Critério da cota). Demonstrado em: O teorema do confronto e os limites trigonométricos.
11. Seno e cosseno. Para todos os reais $x$ e $a$ , $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ e $\abs{\cos x - \cos a} \leq \abs{x - a}$ ; portanto, $\lim_{x \to a} \sin x = \sin a$ e $\lim_{x \to a} \cos x = \cos a$ .
  Usa: 4. Três lemas. Apoia-se em: B (Herança de Álgebra e Geometria), C (Critério da cota). Demonstrado em: O teorema do confronto e os limites trigonométricos.
12. Limite fundamental. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ; e quando $x$ tende a $0$ , $\frac{\tan x}{x}$ tende a $1$ , $\frac{\sin kx}{x}$ a $k$ e $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ a $\frac{1}{2}$ .
  Usa: 6. Álgebra dos limites, 10. Teorema do confronto, 11. Seno e cosseno. Apoia-se em: B (Herança de Álgebra e Geometria), E (Mudança de variável). Demonstrado em: O teorema do confronto e os limites trigonométricos.
Trecho 2 Os lados, o infinito e as assíntotas
- Definir os limites laterais como limites de restrições, de modo que herdam todos os teoremas, e caracterizar o limite por seus dois lados.
- Obter da completude o limite de uma função monótona e limitada como um supremo.
- Reduzir os limites no infinito a limites laterais em zero, e os limites infinitos a limites nulos, com suas regras e suas formas indeterminadas.
- Calcular as assíntotas de uma função com dois limites, demonstrar as verticais das funções racionais e esboçar gráficos sem derivadas.
1. Limites laterais. O limite à direita de $f$ em $a$ é o limite em $a$ de sua restrição aos pontos do domínio maiores que $a$ , e o limite à esquerda, aos menores; se $a$ é ponto de acumulação pelos dois lados, $f$ tem limite $L$ em $a$ se e somente se os dois limites laterais existem e valem $L$ .
  Usa: 1. Definição de limite, 5. Limite de uma restrição, 2. Unicidade do limite. Demonstrado em: Limites laterais.
2. Funções monótonas. Se $f$ é crescente e limitada superiormente em $\ioo{c}{b}$ , então $\lim_{x \to b^-} f(x) = \sup\left\{ f(x) : c < x < b \right\}$ ; e se é crescente e limitada inferiormente, seu limite à direita em $c$ é o ínfimo de seus valores.
  Usa: 6. Álgebra dos limites, 13. Limites laterais. Apoia-se em: A (Axiomas dos reais), E (Mudança de variável), F (Restrição). Demonstrado em: Limites laterais.
3. Lema da inversão. O limite de $f$ em $\infty$ é $L$ se para todo $\varepsilon > 0$ existe $M$ tal que $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$ quando $x > M$ ; e vale $\lim_{x \to \infty} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{t \to 0^+} f\left(\frac{1}{t}\right) = L$ , e do mesmo modo em $-\infty$ com o limite à esquerda.
  Usa: 13. Limites laterais. Demonstrado em: Limites quando a variável tende ao infinito.
4. Funções racionais no infinito. Para todo racional $r > 0$ , $\frac{1}{x^r}$ tende a $0$ em $\infty$ ; e o quociente de dois polinômios de graus $n$ e $m$ tende, em $\pm\infty$ , a $0$ se $n < m$ , ao quociente dos coeficientes dominantes se $n = m$ , e não tem limite finito se $n > m$ .
  Usa: 2. Unicidade do limite, 6. Álgebra dos limites, 7. Polinômios, raízes e potências. Apoia-se em: D (Limitação local e sinal), F (Restrição), G (Inversão). Demonstrado em: Limites quando a variável tende ao infinito.
5. Lema do inverso. $f$ tende a $\infty$ num destino $P$ , que é um ponto, um lado de um ponto ou $\pm\infty$ , se para todo real $N$ se cumpre $f(x) > N$ perto de $P$ ; isso ocorre se e somente se $f$ é positiva perto de $P$ e $\frac{1}{f}$ tende a $0$ ; e $f$ tende a $-\infty$ se e somente se $-f$ tende a $\infty$ .
  Usa: 1. Definição de limite. Demonstrado em: Limites infinitos.
6. Regras com limites infinitos. Se $f \leq g$ perto de $P$ e $f$ tende a $\infty$ , também $g$ ; se $f$ tende a $\infty$ , também $f + g$ se $g$ é limitada inferiormente, e $fg$ se $g$ tende a um número positivo ou a $\infty$ ; e um quociente cujo numerador tende a um número positivo e cujo denominador tende a $0$ com valores positivos tende a $\infty$ .
  Usa: 6. Álgebra dos limites. Apoia-se em: D (Limitação local e sinal), F (Restrição), G (Inversão), H (Inverso). Demonstrado em: Limites infinitos.
7. Monótonas ilimitadas. Se $f$ é crescente em $\ioo{c}{b}$ , com $b$ real ou $b = \infty$ , e não é limitada superiormente, então $f$ tende a $\infty$ pela esquerda em $b$ , ou em $\infty$ se $b = \infty$ .
  Usa: 17. Lema do inverso. Demonstrado em: Limites infinitos.
8. Composição com limite infinito. Se $g$ tende a $\infty$ em $P$ e $f(u)$ tende a $L$ quando $u$ tende a $\infty$ , então $f(g(x))$ tende a $L$ em $P$ , sem nenhuma hipótese sobre os valores de $g$ ; e o mesmo se $f(u)$ tende a $\infty$ ou a $-\infty$ .
  Usa: 15. Lema da inversão, 17. Lema do inverso. Demonstrado em: Limites infinitos.
9. Cálculo da assíntota. A reta $y = mx + b$ é assíntota do gráfico de $f$ em $\infty$ , isto é, $f(x) - (mx + b)$ tende a $0$ , se e somente se $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ e $b = \lim_{x \to \infty} \left(f(x) - mx\right)$ ; portanto, em cada extremo há no máximo uma assíntota não vertical.
  Usa: 2. Unicidade do limite, 6. Álgebra dos limites, 16. Funções racionais no infinito. Apoia-se em: G (Inversão). Demonstrado em: Assíntotas e técnicas de representação gráfica.
10. Assíntotas verticais. Se $r$ é raiz do polinômio $B$ e $A(r) \neq 0$ , a reta $x = r$ é assíntota vertical do gráfico de $\frac{A}{B}$ , e de cada lado de $r$ a função tende a $\infty$ ou a $-\infty$ conforme o sinal que lhe atribui o quadro de sinais no intervalo contíguo.
  Usa: 7. Polinômios, raízes e potências, 18. Regras com limites infinitos. Apoia-se em: B (Herança de Álgebra e Geometria), D (Limitação local e sinal), F (Restrição). Demonstrado em: Assíntotas e técnicas de representação gráfica.
Trecho 3 A continuidade e a comparação de funções
- Definir a continuidade, relacioná-la com o limite e classificar as descontinuidades em removíveis, de salto e essenciais.
- Demonstrar que as operações e a composição conservam a continuidade, e que o limite entra numa função contínua.
- Demonstrar a continuidade das funções elementares com o argumento das funções monótonas e, com ela, os limites notáveis e a forma $1^\infty$ .
- Comparar funções com o $\operatorname{o}$ pequeno e a equivalência, e substituir equivalentes em produtos e quocientes, mas não em somas.
1. Continuidade e limite. $f$ é contínua num ponto $a$ de seu domínio $A$ se $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)$ ; se $a$ é ponto de acumulação de $A$ , isso equivale a $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ , e se é um ponto isolado, cumpre-se sempre.
  Usa: 1. Definição de limite. Demonstrado em: Limite e continuidade.
2. Operações com funções contínuas. As combinações lineares, os produtos, os quocientes com denominador não nulo e as raízes de funções contínuas em $a$ são contínuas em $a$ ; portanto, são contínuos em seu domínio os polinômios, as funções racionais, as raízes, o valor absoluto, o seno, o cosseno e a tangente.
  Usa: 6. Álgebra dos limites, 7. Polinômios, raízes e potências, 11. Seno e cosseno, 23. Continuidade e limite. Apoia-se em: C (Critério da cota). Demonstrado em: Limite e continuidade.
3. Composição de funções contínuas. Se $g$ é contínua em $a$ e $f$ é contínua em $g(a)$ , então $f \circ g$ é contínua em $a$ ; e se $g(x)$ tende a $b$ e $f$ é contínua em $b$ , então $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(b)$ , também por um lado ou em $\pm\infty$ .
  Usa: 3. Propriedades locais, 23. Continuidade e limite. Apoia-se em: F (Restrição), G (Inversão). Demonstrado em: Limite e continuidade.
4. Funções elementares contínuas. Uma função definida num intervalo, monótona nele e cuja imagem é um intervalo é contínua, e também a inversa de uma função estritamente monótona com essas propriedades; por isso são contínuas em seu domínio a exponencial, o logaritmo, as potências de expoente real, as trigonométricas inversas e as hiperbólicas.
  Usa: 13. Limites laterais, 14. Funções monótonas, 23. Continuidade e limite, 24. Operações com funções contínuas, 25. Composição de funções contínuas. Apoia-se em: B (Herança de Álgebra e Geometria). Demonstrado em: Continuidade das funções elementares e limites notáveis.
5. Limites notáveis. Quando $x$ tende a $0$ , $\frac{e^x - 1}{x}$ e $\frac{\ln(1 + x)}{x}$ tendem a $1$ , $\frac{a^x - 1}{x}$ a $\ln a$ e $\frac{\left(1 + x\right)^r - 1}{x}$ a $r$ ; além disso, $\left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}$ tende a $e$ em $0$ , e $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ , em $\pm\infty$ .
  Usa: 6. Álgebra dos limites, 10. Teorema do confronto, 13. Limites laterais, 26. Funções elementares contínuas, 25. Composição de funções contínuas. Apoia-se em: B (Herança de Álgebra e Geometria), E (Mudança de variável), G (Inversão). Demonstrado em: Continuidade das funções elementares e limites notáveis.
6. A forma um elevado a infinito. Se $f > 0$ perto de $P$ , $f(x)$ tende a $1$ e $g(x)\left(f(x) - 1\right)$ tende a um real $\lambda$ , então $\left(f(x)\right)^{g(x)}$ tende a $e^{\lambda}$ .
  Usa: 6. Álgebra dos limites, 26. Funções elementares contínuas, 25. Composição de funções contínuas, 27. Limites notáveis. Demonstrado em: Continuidade das funções elementares e limites notáveis.
7. Exponenciais, potências e logaritmos. Se $r > 0$ e $a > 1$ , $\frac{x^r}{a^x}$ e $\frac{\ln x}{x^r}$ tendem a $0$ em $\infty$ , e $x^r \ln x$ tende a $0$ quando $x$ tende a $0$ pela direita.
  Usa: 10. Teorema do confronto, 16. Funções racionais no infinito, 19. Monótonas ilimitadas, 20. Composição com limite infinito. Apoia-se em: B (Herança de Álgebra e Geometria), G (Inversão). Demonstrado em: Continuidade das funções elementares e limites notáveis.
8. Comparação de funções. $f = \operatorname{o}(g)$ em $P$ se $\frac{f}{g}$ tende a $0$ , e $f \sim g$ se tende a $1$ ; a equivalência é reflexiva, simétrica e transitiva, e $f \sim g$ se e somente se $f - g = \operatorname{o}(g)$ .
  Usa: 6. Álgebra dos limites. Demonstrado em: Infinitésimos e infinitamente grandes equivalentes.
9. Substituição de equivalentes. Se $f \sim f_1$ e $g \sim g_1$ em $P$ , então $\frac{f h}{g}$ tem limite, finito ou infinito, se e somente se $\frac{f_1 h}{g_1}$ o tem, e ambos coincidem; o teorema vale para fatores, não para parcelas.
  Usa: 6. Álgebra dos limites, 18. Regras com limites infinitos, 30. Comparação de funções. Demonstrado em: Infinitésimos e infinitamente grandes equivalentes.
10. Soma de equivalentes do mesmo sinal. Se $f_1 \sim g_1$ e $f_2 \sim g_2$ em $P$ , e $g_1$ e $g_2$ são ambas positivas, ou ambas negativas, perto de $P$ , então $f_1 + f_2 \sim g_1 + g_2$ .
  Usa: 4. Três lemas, 10. Teorema do confronto, 30. Comparação de funções. Apoia-se em: C (Critério da cota). Demonstrado em: Infinitésimos e infinitamente grandes equivalentes.
11. Tabela de equivalentes. Em $0$ , $\sin x$ , $\tan x$ , $\arctan x$ , $e^x - 1$ e $\ln(1 + x)$ são equivalentes a $x$ , $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ , $a^x - 1 \sim x \ln a$ , $\left(1 + x\right)^r - 1 \sim r x$ , e todo polinômio é equivalente a seu termo de menor grau; as equivalências valem com qualquer função que tenda a $0$ sem se anular no lugar de $x$ .
  Usa: 7. Polinômios, raízes e potências, 12. Limite fundamental, 27. Limites notáveis. Apoia-se em: E (Mudança de variável). Demonstrado em: Infinitésimos e infinitamente grandes equivalentes.

Rumo à derivada. A cadeia se detém onde o limite deixa de ser o objeto de estudo e passa a ser um instrumento: a próxima unidade define a derivada como o limite da razão incremental, obtém suas regras da álgebra dos limites e da composição, as derivadas das funções elementares dos limites notáveis, e o teorema do valor intermediário da conservação do sinal e da completude.