Infinitésimos e infinitamente grandes equivalentes

Resumo

Esta aula encerra a unidade dos limites com uma técnica de cálculo que reúne quase tudo o que veio antes: a comparação de funções que tendem a zero ou a infinito. Definem-se o $o$ pequeno, o $O$ grande, a mesma ordem e a equivalência, e demonstra-se que, num produto ou num quociente, cada fator pode ser substituído por outro equivalente sem alterar o limite. Os limites trigonométricos, os da exponencial, do logaritmo e das potências, e os dos polinômios, demonstrados nas aulas precedentes, reúnem-se numa tabela de equivalentes, que permite calcular num relance limites que antes exigiam várias transformações. A aula mostra também o erro mais comum com esta técnica, substituir dentro de uma soma, quando uma soma pode, sim, ser substituída, e como se comparam as potências perto de zero e longe da origem.

Objetivos de aprendizagem

Definir o $o$ pequeno, o $O$ grande, a mesma ordem e a equivalência de funções num ponto, de um lado ou no infinito, e demonstrar suas propriedades.
Demonstrar o teorema da substituição de equivalentes em produtos e quocientes, e reconhecer por que não vale nas somas.
Demonstrar a tabela de equivalentes em zero e usá-la, com a composição, para calcular limites e determinar a ordem e a parte principal de um infinitésimo.
Comparar infinitamente grandes e infinitésimos do tipo potência, e distinguir a equivalência da existência de uma assíntota.

Comparar funções

As aulas sobre o teorema do confronto e sobre os limites infinitos mostraram que as formas $\frac{0}{0}$ e $\frac{\infty}{\infty}$ não têm um resultado fixo: o limite de um quociente de duas funções que tendem a zero depende da rapidez com que o fazem. A ideia desta aula é medir essa rapidez comparando cada função com outra mais simples. Como na aula sobre os limites infinitos, $P$ designa o destino da variável ( $a$ , $a^+$ , $a^-$ , $\infty$ ou $-\infty$ ), e «perto de $P$ » significa num intervalo perfurado, de um lado ou numa semirreta. Se uma função só está definida num conjunto $A$ do qual $a$ é ponto de acumulação, «perto de $a$ » significa nos pontos de $A$ de um intervalo perfurado de centro $a$ , e os limites são os da aula sobre o limite de funções de uma variável real, tomados em $A$ ; as definições que vêm a seguir aplicam-se igualmente nesse caso.

DefiniçãoComparação de funções

Sejam $f$ e $g$ funções definidas perto de $P$ , com $g(x) \neq 0$ perto de $P$ .

$f$ é desprezível em relação a $g$ em $P$ , e escreve-se $f = \operatorname{o}(g)$ , que se lê « $f$ é o pequeno de $g$ », se $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ .
$f$ é limitada por $g$ em $P$ , e escreve-se $f = \operatorname{O}(g)$ , que se lê « $f$ é O grande de $g$ », se existe $C > 0$ tal que $\abs{f(x)} \leq C\abs{g(x)}$ perto de $P$ ; isto é, se o quociente $\frac{f(x)}{g(x)}$ é limitado perto de $P$ .
$f$ e $g$ são da mesma ordem em $P$ se $\frac{f(x)}{g(x)}$ tende a um número diferente de zero.
$f$ e $g$ são equivalentes em $P$ , e escreve-se $f \sim g$ , se $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ .

Uma função que tende a $0$ em $P$ chama-se um infinitésimo em $P$ , e uma que tende a $\infty$ ou a $-\infty$ , um infinitamente grande. Um infinitésimo em $0$ tem ordem $k > 0$ se é da mesma ordem que $x^k$ (em $0^+$ , se $x^k$ só está definida para $x > 0$ ), e então, se $\frac{f(x)}{x^k}$ tende a $c$ , a função $c\,x^k$ é sua parte principal: $f \sim c\,x^k$ .

A palavra «infinitésimo» não designa um número muito pequeno, mas uma função que tende a zero; a escrita $\operatorname{o}(g)$ não designa uma função concreta, mas qualquer uma das que são desprezíveis em relação a $g$ . Por exemplo, $x^2 = \operatorname{o}(x)$ em $0$ , porque $\frac{x^2}{x} = x$ tende a $0$ ; em contrapartida, $x = \operatorname{o}(x^2)$ em $\infty$ , porque $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$ tende a $0$ . Um mesmo par de funções compara-se de maneira oposta conforme o destino. A mesma ordem e a equivalência são, no fundo, uma só comparação: se $f$ e $g$ são da mesma ordem com quociente que tende a $c$ , então $f \sim c\,g$ .

ProposiçãoPropriedades da comparação

Num mesmo destino $P$ :

a equivalência é reflexiva, simétrica e transitiva: $f \sim f$ ; se $f \sim g$ , então $g \sim f$ ; e se $f \sim g$ e $g \sim h$ , então $f \sim h$ ;
$f \sim g$ se e somente se $f - g = \operatorname{o}(g)$ ; em particular, se $h = \operatorname{o}(g)$ , então $g + h \sim g$ ;
se $f = \operatorname{o}(h)$ e $g = \operatorname{o}(h)$ , então $f + g = \operatorname{o}(h)$ e $c\,f = \operatorname{o}(h)$ para todo real $c$ .

Cada afirmação é uma regra da álgebra dos limites aplicada a um quociente.

Demonstração

$\frac{g}{f} = \frac{1}{\frac{f}{g}} \to 1, \qquad \frac{f}{h} = \frac{f}{g} \cdot \frac{g}{h} \to 1 \cdot 1 = \resaltar{1}$
O quociente de $f$ por si mesma vale $1$ . Se $\frac{f}{g}$ tende a $1$ , seu inverso tende a $\frac{1}{1} = 1$ , pela regra do inverso. Se $\frac{f}{g}$ e $\frac{g}{h}$ tendem a $1$ , seu produto também, pela regra do produto.
$\frac{f - g}{g} = \frac{f}{g} - 1 \to 0 \Leftrightarrow \frac{f}{g} \to \resaltar{1}$
O quociente de $f - g$ por $g$ é $\frac{f}{g} - 1$ , que tende a $0$ se e somente se $\frac{f}{g}$ tende a $1$ . Com $f = g + h$ , a diferença é $h$ .
$\frac{f + g}{h} = \frac{f}{h} + \frac{g}{h} \to 0 + 0 = \resaltar{0}$
Se $\frac{f}{h}$ e $\frac{g}{h}$ tendem a $0$ , também sua soma e o produto de cada um por uma constante, pela regra da combinação linear.

O $O$ grande não exige que o quociente tenha limite, mas apenas que não cresça sem controle. Por exemplo, $\sin x = \operatorname{O}(1)$ em $\infty$ , embora $\sin x$ não tenha limite ali, e $x \sin \frac{1}{x} = \operatorname{O}(x)$ em $0$ , porque $\abs{x \sin \frac{1}{x}} \leq \abs{x}$ . Para calcular limites basta o $o$ pequeno; o $O$ grande servirá para medir erros de aproximação, como o do polinômio de Taylor, que se estudará em Cálculo II. Suas regras são as que se seguem.

ProposiçãoRegras do O grande

Num mesmo destino $P$ :

se $\frac{f}{g}$ tem limite finito em $P$ , então $f = \operatorname{O}(g)$ ; em particular, se $f = \operatorname{o}(g)$ ou se $f \sim g$ ;
se $f = \operatorname{O}(h)$ e $g = \operatorname{O}(h)$ , então $f + g = \operatorname{O}(h)$ e $c\,f = \operatorname{O}(h)$ para todo real $c$ ;
se $f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ e $f_2 = \operatorname{O}(g_2)$ , então $f_1 f_2 = \operatorname{O}(g_1 g_2)$ ;
se $f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ e $f_2 = \operatorname{o}(g_2)$ , então $f_1 f_2 = \operatorname{o}(g_1 g_2)$ .

Cada regra é uma desigualdade entre valores absolutos; a última combina uma cota com um quociente que tende a zero.

Demonstração

$\abs{\frac{f(x)}{g(x)}} \leq \abs{\frac{f(x)}{g(x)} - L} + \abs{L} < \resaltar{\abs{L} + 1}$
Se $\frac{f}{g}$ tende a $L$ , o desafio $\varepsilon = 1$ tem resposta: perto de $P$ , o quociente dista de $L$ menos que $1$ , e pela desigualdade triangular seu valor absoluto não ultrapassa $\abs{L} + 1$ .
$\abs{f(x) + g(x)} \leq C_1\abs{h(x)} + C_2\abs{h(x)} = \resaltar{(C_1 + C_2)\abs{h(x)}}$
As cotas $C_1$ de $f$ e $C_2$ de $g$ valem ao mesmo tempo perto de $P$ , na interseção das duas vizinhanças. A desigualdade triangular limita a soma; o múltiplo tem a cota $\abs{c}\,C_1$ .
$\abs{f_1(x) f_2(x)} \leq C_1\abs{g_1(x)} \cdot C_2\abs{g_2(x)} = \resaltar{C_1 C_2 \abs{g_1(x) g_2(x)}}$
As cotas dos dois fatores se multiplicam.
$0 \leq \abs{\frac{f_1(x) f_2(x)}{g_1(x) g_2(x)}} \leq C_1 \abs{\frac{f_2(x)}{g_2(x)}} \to \resaltar{0}$
O quociente do produto por $g_1 g_2$ é o produto de um quociente limitado por $C_1$ e outro que tende a $0$ ; pelo teorema do confronto, tende a $0$ .