Limites et continuité : synthèse et défis

Résumé

Cette leçon clôt l’unité sur les limites et la continuité. Elle réunit en une seule chaîne déductive ce que les dix leçons de l’unité ont démontré : la définition epsilon-delta de la limite et ses propriétés locales, les règles des opérations sur les limites ramenées à trois lemmes, le théorème des gendarmes et les limites trigonométriques ; les limites à gauche et à droite, à l’infini et infinies, qui héritent de ces règles par restriction, par inversion et par passage à l’inverse, avec les asymptotes ; et la continuité, celle des fonctions élémentaires, les limites remarquables et la comparaison des fonctions au moyen d’infiniment petits équivalents. Elle explique comment l’unité s’appuie sur Algèbre et géométrie I et II, dont elle transforme en théorèmes les faits admis sur les asymptotes et la continuité, et comment elle prépare l’étude des dérivées et de leurs applications. Elle se termine par une évaluation de sortie, parallèle à l’évaluation d’entrée, et par dix défis, plus difficiles que les problèmes des leçons, dont chacun combine des résultats de plusieurs d’entre elles.

Objectifs d’apprentissage

Exposer dans l’ordre logique les définitions et les théorèmes principaux de l’unité, en indiquant de quels résultats antérieurs dépend chacun d’eux et quels raisonnements epsilon-delta sont réutilisés.
Distinguer ce que l’unité admet de ce qu’elle démontre, et reconnaître les hypothèses de chaque résultat, comme celle de la limite d’une composée ou celle de la substitution d’équivalents.
Relier les résultats de l’unité à Algèbre et géométrie I et II et à l’étude des dérivées et de leurs applications.
Résoudre des problèmes non routiniers qui combinent les opérations sur les limites, les limites à gauche et à droite, à l’infini et infinies, les asymptotes, la continuité, les limites remarquables et les infiniment petits équivalents.

L’acquis de l’unité

L’unité est partie d’une question et d’une exigence. La question : que signifie que les valeurs d’une fonction s’approchent d’un nombre quand la variable s’approche d’un point. L’exigence : que la réponse permette de démontrer, et pas seulement de calculer, et que chaque raisonnement epsilon-delta soit fait une seule fois puis réutilisé. La réponse a été une définition unique, énoncée dans la leçon sur la limite des fonctions d’une variable réelle : si $a$ est un point d’accumulation de l’ensemble de définition $A$ de $f$ , dire que la limite de $f$ en $a$ est $L$ signifie ce qui suit.

(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)

Tout le reste en a été tiré, par réduction : les règles de calcul, à une inégalité ; les limites à gauche et à droite, à des limites de restrictions ; les limites à l’infini, à des limites à droite ou à gauche en zéro ; les limites infinies, à des limites nulles des inverses ; et la continuité, à l’égalité de la limite et de la valeur.

La définition et les opérations sur les limites

La première leçon a lu la définition comme un jeu de défi et de réponse, l’a écrite comme un énoncé quantifié et en a obtenu la négation quantificateur par quantificateur. Avec l’exigence que $a$ soit un point d’accumulation de l’ensemble de définition, elle a démontré l’unicité de la limite ; et avec des défis choisis d’avance, que la limite ne dépend que des valeurs proches du point, qu’elle oblige la fonction à rester bornée au voisinage de celui-ci et que, si elle n’est pas nulle, elle lui impose son signe. La leçon sur les opérations sur les limites a ordonné les démonstrations pour les réutiliser : trois lemmes, démontrés avec epsilon et delta, prouvent que toute fonction $F$ qui vérifie au voisinage de $a$ une majoration de la forme $\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)$ tend vers $K$ , et chaque règle a été ramenée à trouver cette majoration : celle de la combinaison linéaire découle de l’inégalité triangulaire, celle du produit du caractère localement borné et celle de l’inverse de la conservation du signe, avec un lemme qui assure que restreindre l’ensemble de définition ne fait pas perdre la limite. De là ont suivi la substitution directe dans les polynômes et les fonctions rationnelles, les limites des racines et des puissances à exposant rationnel, et le théorème de la composée, qui justifie le changement de variable sous une hypothèse qu’un contre-exemple montre nécessaire : que la fonction intérieure ne prenne pas la valeur de sa limite au voisinage du point. La leçon sur le théorème des gendarmes a démontré que les limites conservent les inégalités larges, qu’une fonction encadrée par deux fonctions qui tendent vers le même nombre tend aussi vers lui, et que le produit d’une fonction bornée par une fonction qui tend vers zéro tend vers zéro ; avec la majoration $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ et l’inégalité entre le sinus, l’arc et la tangente, elle a obtenu la limite fondamentale $\frac{\sin x}{x} \to 1$ et ses conséquences.

Les côtés, l’infini et les asymptotes

La leçon sur les limites à gauche et à droite les a définies comme des limites de la restriction de la fonction à un côté du point. Ce choix a épargné tout le travail restant : les théorèmes déjà établis valent pour elles sans démonstration nouvelle, et la limite existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales. La même leçon a démontré, pour la première fois sans calculer la valeur, qu’une limite existe : une fonction croissante et majorée sur un intervalle tend, en sa borne droite, vers la borne supérieure de ses valeurs, et c’est la complétude qui le garantit. La leçon sur les limites quand la variable tend vers l’infini a ramené chacune d’elles, avec le lemme d’inversion, à une limite à droite ou à gauche en zéro, et a obtenu ainsi le comportement des fonctions rationnelles loin de l’origine. La leçon sur les limites infinies a complété le schéma avec le cas où les valeurs croissent sans être majorées : le lemme de l’inverse les traduit en limites nulles, de sorte que les règles que l’on résume par « $\infty + c = \infty$ » ou « $c \cdot \infty = \infty$ » sont des théorèmes avec hypothèses, et les quatre formes indéterminées sont des avertissements, non des résultats. Enfin, la leçon sur les asymptotes les a définies par des limites, a trouvé la pente et l’ordonnée à l’origine d’une asymptote non verticale comme deux limites, d’où il y en a au plus une en chaque extrémité, a démontré les asymptotes verticales des fonctions rationnelles et a ordonné l’esquisse d’une courbe sans dérivées ; elle a aussi montré qu’une courbe peut couper son asymptote.

La continuité et la comparaison des fonctions

La leçon sur la limite et la continuité a défini la continuité en un point de l’ensemble de définition, a démontré qu’en un point d’accumulation elle équivaut à ce que la limite soit la valeur, et a classé les discontinuités en évitables, de saut et essentielles. Les règles des opérations sur les limites ont donné la continuité des opérations, et la composée de fonctions continues s’est révélée continue sans l’hypothèse qu’exigeait le théorème de la limite d’une composée ; il s’ensuit que la limite passe à l’intérieur d’une fonction continue. La leçon sur la continuité des fonctions élémentaires a démontré par un seul argument, celui des fonctions monotones dont l’image est un intervalle, la continuité de l’exponentielle, du logarithme, des puissances à exposant réel et des fonctions trigonométriques réciproques ; avec elle et l’inégalité $e^x \geq 1 + x$ , elle a obtenu les limites remarquables, le nombre $e$ comme limite et la forme $1^\infty$ , et a comparé l’exponentielle, les puissances et le logarithme à l’infini. La leçon sur les infiniment petits et infiniment grands équivalents a lu toutes ces limites comme des comparaisons entre fonctions : elle a défini le petit $\operatorname{o}$ , le grand $\operatorname{O}$ et l’équivalence, a démontré que dans un produit ou un quotient chaque facteur peut être remplacé par un facteur équivalent, et a réuni les limites déjà obtenues en un tableau d’équivalents en zéro.

Ce qui est admis, ce qui est démontré et ce qui reste

Le bilan de l’unité peut se résumer ainsi :

Un seul axiome est admis : celui de complétude, avec ceux de corps et d’ordre, selon lequel toute partie non vide de réels majorée a une borne supérieure. On utilise en outre des résultats démontrés en Algèbre et géométrie : l’inégalité entre le sinus, l’arc et la tangente, les formules de transformation de somme en produit, l’inégalité $e^x \geq 1 + x$ , la monotonie de l’exponentielle et le théorème du facteur.
On démontre des faits qu’Algèbre et géométrie avait admis : les asymptotes verticales et à l’infini des fonctions rationnelles, et la continuité des fonctions rationnelles, trigonométriques et trigonométriques réciproques.
On réutilise cinq outils au lieu de répéter des raisonnements : les trois lemmes du critère de majoration, la conservation du signe, la restriction de l’ensemble de définition (en particulier, à un côté du point), l’inversion et le passage à l’inverse.
Ce qui exige plus que des limites est laissé pour plus tard : le théorème des valeurs intermédiaires et les dérivées, dans l’unité qui suit ; le théorème de Weierstrass et la règle de L’Hôpital, dans la troisième ; et le polynôme de Taylor, en Analyse II.

La figure ci-dessous réunit les trois tronçons en une seule chaîne. Chaque nœud de la colonne est une définition ou un théorème, numéroté selon l’ordre logique et relié par un arc aux maillons antérieurs qu’utilise sa démonstration ; autour flottent les appuis, c’est-à-dire les principes et les outils auxquels la chaîne recourt sans cesse, chacun relié par un trait plein aux maillons qui reposent sur lui et par un trait en pointillés au maillon où il est établi, sauf ceux qui proviennent d’Algèbre et géométrie, qui sont dessinés comme des anneaux. Un clic sur un appui met en évidence tous les maillons qui l’utilisent, et chaque maillon renvoie à la leçon où il est démontré.

Appuis de la chaîne

AAxiomes des réels. On admet, depuis Algèbre et géométrie I, que les réels forment un corps ordonné complet : l’addition et la multiplication vérifient les axiomes de corps, l’ordre vérifie la trichotomie et est compatible avec les opérations, et toute partie non vide de réels majorée a une borne supérieure. Admis sans démonstration dans cette unité.
BHéritage d’Algèbre et géométrie. Résultats démontrés en Algèbre et géométrie I et II : la factorisation de $u^n - v^n$ et la puissance à exposant rationnel, $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ et $\sin x < x < \tan x$ si $0 < x < \frac{\pi}{2}$ , les formules de transformation de somme en produit et de linéarisation, l’inégalité $e^x \geq 1 + x$ , la monotonie et l’ensemble image de l’exponentielle, les fonctions trigonométriques réciproques, le théorème du facteur et les tableaux de signes. Admis sans démonstration dans cette unité.
CCritère de majoration. Si au voisinage de $a$ on a $\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)$ , avec $C > 0$ , $f \to L$ et $g \to M$ , alors $F \to K$ ; chaque règle se ramène à trouver une telle majoration. Établi dans: 4. Trois lemmes.
DCaractère localement borné et signe. Si $f$ tend vers $L$ en $a$ , au voisinage de $a$ on a $\abs{f(x)} < \abs{L} + 1$ ; et si $L \neq 0$ , au voisinage de $a$ la fonction a le signe de $L$ et $\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}$ . Établi dans: 3. Propriétés locales.
EChangement de variable. Si $g(x) \to b$ , $f(t) \to L$ quand $t \to b$ , et $g(x) \neq b$ au voisinage de $a$ , alors $f(g(x)) \to L$ . Établi dans: 8. Limite d’une composée.
FRestriction. Si $f$ tend vers $L$ en $a$ et si $a$ est un point d’accumulation d’une partie $B$ de l’ensemble de définition, la restriction de $f$ à $B$ tend aussi vers $L$ ; une limite à gauche ou à droite est la limite d’une restriction, et c’est pourquoi tous les théorèmes sur les limites valent pour les limites à gauche et à droite. Établi dans: 5. Limite d’une restriction.
GInversion. La limite de $f$ en $\infty$ est la limite de $f\left(\frac{1}{t}\right)$ quand $t$ tend vers $0$ par la droite, et celle en $-\infty$ , par la gauche ; c’est pourquoi tous les théorèmes sur les limites valent à l’infini. Établi dans: 15. Lemme d’inversion.
HInverse. Une fonction tend vers $\infty$ si et seulement si elle est strictement positive au voisinage de la cible et son inverse tend vers $0$ ; c’est pourquoi les règles des limites finies décident des limites infinies. Établi dans: 17. Lemme de l’inverse.

Tronçon 1 La définition et les opérations sur les limites
- Définir la limite en un point d’accumulation avec epsilon et delta, l’écrire et la nier comme un énoncé quantifié, et démontrer son unicité et ses propriétés locales.
- Ramener chaque règle des opérations sur les limites à une majoration au moyen de trois lemmes, et obtenir les limites des fonctions rationnelles, des racines et des puissances.
- Changer de variable avec le théorème de la composée, en reconnaissant son hypothèse.
- Démontrer le théorème des gendarmes et, avec lui, la limite trigonométrique fondamentale et ses conséquences.
1. Définition de la limite. Si $a$ est un point d’accumulation de l’ensemble de définition $A$ de $f$ , la limite de $f$ en $a$ est $L$ lorsque $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)$ ; et elle ne l’est pas lorsque $(\exists \varepsilon > 0)(\forall \delta > 0)(\exists x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \wedge \abs{f(x) - L} \geq \varepsilon\right)$ .
  Démontré dans: Limite des fonctions d’une variable réelle.
2. Unicité de la limite. Si $a$ est un point d’accumulation de l’ensemble de définition de $f$ , si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ et $\lim_{x \to a} f(x) = L'$ , alors $L = L'$ .
  Utilise: 1. Définition de la limite. Repose sur: A (Axiomes des réels). Démontré dans: Limite des fonctions d’une variable réelle.
3. Propriétés locales. La limite en $a$ ne dépend que des valeurs de la fonction sur un intervalle épointé de centre $a$ ; si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ , au voisinage de $a$ on a $\abs{f(x)} < \abs{L} + 1$ , et si de plus $L \neq 0$ , $f(x)$ a le signe de $L$ et $\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}$ .
  Utilise: 1. Définition de la limite. Repose sur: A (Axiomes des réels). Démontré dans: Limite des fonctions d’une variable réelle.
4. Trois lemmes. La limite de $f$ en $a$ est $L$ si et seulement si celle de $\abs{f(x) - L}$ est $0$ ; si $\abs{f(x) - L} \leq C\abs{h(x)}$ au voisinage de $a$ , avec $C > 0$ et $\lim_{x \to a} h(x) = 0$ , alors $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ; et la somme de deux distances qui tendent vers zéro tend vers zéro.
  Utilise: 1. Définition de la limite. Démontré dans: Opérations sur les limites.
5. Limite d’une restriction. Si $B$ est une partie de l’ensemble de définition $A$ de $f$ , si $a$ est un point d’accumulation de $B$ et si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ , alors la restriction de $f$ à $B$ tend aussi vers $L$ en $a$ : la réponse qui convient dans $A$ convient dans $B$ .
  Utilise: 1. Définition de la limite. Démontré dans: Opérations sur les limites.
6. Opérations sur les limites. Si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ et $\lim_{x \to a} g(x) = M$ , alors $\alpha f + \beta g$ tend vers $\alpha L + \beta M$ et $fg$ vers $LM$ ; et si $M \neq 0$ , $\frac{1}{g}$ tend vers $\frac{1}{M}$ et $\frac{f}{g}$ vers $\frac{L}{M}$ .
  Utilise: 3. Propriétés locales, 4. Trois lemmes. Repose sur: C (Critère de majoration), D (Caractère localement borné et signe), F (Restriction). Démontré dans: Opérations sur les limites.
7. Polynômes, racines et puissances. Un polynôme, et une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas en $a$ , ont pour limite en $a$ leur valeur ; $\sqrt[n]{f(x)}$ tend vers $\sqrt[n]{L}$ , avec $f \geq 0$ si $n$ est pair ; et si $L > 0$ , $\left(f(x)\right)^{\frac{p}{q}}$ tend vers $L^{\frac{p}{q}}$ .
  Utilise: 1. Définition de la limite, 6. Opérations sur les limites. Repose sur: B (Héritage d’Algèbre et géométrie), C (Critère de majoration), D (Caractère localement borné et signe). Démontré dans: Opérations sur les limites.
8. Limite d’une composée. Si $\lim_{x \to a} g(x) = b$ , $\lim_{t \to b} f(t) = L$ et $g(x) \neq b$ au voisinage de $a$ , alors $\lim_{x \to a} f(g(x)) = L$ ; sans l’hypothèse $g(x) \neq b$ , la conclusion peut être fausse.
  Utilise: 1. Définition de la limite. Démontré dans: Opérations sur les limites.
9. Passage à la limite dans les inégalités. Si $f(x) \leq g(x)$ au voisinage de $a$ , si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ et $\lim_{x \to a} g(x) = M$ , alors $L \leq M$ ; l’inégalité stricte ne se conserve pas.
  Utilise: 6. Opérations sur les limites. Repose sur: D (Caractère localement borné et signe). Démontré dans: Le théorème des gendarmes et les limites trigonométriques.
10. Théorème des gendarmes. Si $h(x) \leq f(x) \leq g(x)$ au voisinage de $a$ et si $h$ et $g$ tendent vers $L$ , alors $f$ tend aussi vers $L$ ; et le produit d’une fonction bornée au voisinage de $a$ par une fonction qui tend vers $0$ tend vers $0$ .
  Utilise: 4. Trois lemmes. Repose sur: C (Critère de majoration). Démontré dans: Le théorème des gendarmes et les limites trigonométriques.
11. Sinus et cosinus. Pour tous réels $x$ et $a$ , $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ et $\abs{\cos x - \cos a} \leq \abs{x - a}$ ; par conséquent, $\lim_{x \to a} \sin x = \sin a$ et $\lim_{x \to a} \cos x = \cos a$ .
  Utilise: 4. Trois lemmes. Repose sur: B (Héritage d’Algèbre et géométrie), C (Critère de majoration). Démontré dans: Le théorème des gendarmes et les limites trigonométriques.
12. Limite fondamentale. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ; et quand $x$ tend vers $0$ , $\frac{\tan x}{x}$ tend vers $1$ , $\frac{\sin kx}{x}$ vers $k$ et $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ vers $\frac{1}{2}$ .
  Utilise: 6. Opérations sur les limites, 10. Théorème des gendarmes, 11. Sinus et cosinus. Repose sur: B (Héritage d’Algèbre et géométrie), E (Changement de variable). Démontré dans: Le théorème des gendarmes et les limites trigonométriques.
Tronçon 2 Les côtés, l’infini et les asymptotes
- Définir les limites à gauche et à droite comme des limites de restrictions, de sorte qu’elles héritent de tous les théorèmes, et caractériser la limite par ses deux côtés.
- Obtenir de la complétude la limite d’une fonction monotone et bornée comme une borne supérieure.
- Ramener les limites à l’infini à des limites à droite ou à gauche en zéro, et les limites infinies à des limites nulles, avec leurs règles et leurs formes indéterminées.
- Calculer les asymptotes d’une fonction par deux limites, démontrer les asymptotes verticales des fonctions rationnelles et esquisser des courbes sans dérivées.
1. Limites à gauche et à droite. La limite à droite de $f$ en $a$ est la limite en $a$ de sa restriction aux points de l’ensemble de définition strictement supérieurs à $a$ , et la limite à gauche, aux points strictement inférieurs ; si $a$ est un point d’accumulation des deux côtés, $f$ a pour limite $L$ en $a$ si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et valent $L$ .
  Utilise: 1. Définition de la limite, 5. Limite d’une restriction, 2. Unicité de la limite. Démontré dans: Limites à gauche et à droite.
2. Fonctions monotones. Si $f$ est croissante et majorée sur $\ioo{c}{b}$ , alors $\lim_{x \to b^-} f(x) = \sup\left\{ f(x) : c < x < b \right\}$ ; et si elle est croissante et minorée, sa limite à droite en $c$ est la borne inférieure de ses valeurs.
  Utilise: 6. Opérations sur les limites, 13. Limites à gauche et à droite. Repose sur: A (Axiomes des réels), E (Changement de variable), F (Restriction). Démontré dans: Limites à gauche et à droite.
3. Lemme d’inversion. La limite de $f$ en $\infty$ est $L$ si pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $M$ tel que $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$ dès que $x > M$ ; et on a $\lim_{x \to \infty} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{t \to 0^+} f\left(\frac{1}{t}\right) = L$ , et de même en $-\infty$ avec la limite à gauche.
  Utilise: 13. Limites à gauche et à droite. Démontré dans: Limites quand la variable tend vers l’infini.
4. Fonctions rationnelles à l’infini. Pour tout rationnel $r > 0$ , $\frac{1}{x^r}$ tend vers $0$ en $\infty$ ; et le quotient de deux polynômes de degrés $n$ et $m$ tend, en $\pm\infty$ , vers $0$ si $n < m$ , vers le quotient des coefficients dominants si $n = m$ , et n’a pas de limite finie si $n > m$ .
  Utilise: 2. Unicité de la limite, 6. Opérations sur les limites, 7. Polynômes, racines et puissances. Repose sur: D (Caractère localement borné et signe), F (Restriction), G (Inversion). Démontré dans: Limites quand la variable tend vers l’infini.
5. Lemme de l’inverse. $f$ tend vers $\infty$ en une cible $P$ , qui est un point, un côté d’un point ou $\pm\infty$ , si pour tout réel $N$ on a $f(x) > N$ au voisinage de $P$ ; cela a lieu si et seulement si $f$ est strictement positive au voisinage de $P$ et $\frac{1}{f}$ tend vers $0$ ; et $f$ tend vers $-\infty$ si et seulement si $-f$ tend vers $\infty$ .
  Utilise: 1. Définition de la limite. Démontré dans: Limites infinies.
6. Règles avec des limites infinies. Si $f \leq g$ au voisinage de $P$ et si $f$ tend vers $\infty$ , alors $g$ aussi ; si $f$ tend vers $\infty$ , alors $f + g$ aussi si $g$ est minorée, et $fg$ aussi si $g$ tend vers un nombre strictement positif ou vers $\infty$ ; et un quotient dont le numérateur tend vers un nombre strictement positif et dont le dénominateur tend vers $0$ par valeurs strictement positives tend vers $\infty$ .
  Utilise: 6. Opérations sur les limites. Repose sur: D (Caractère localement borné et signe), F (Restriction), G (Inversion), H (Inverse). Démontré dans: Limites infinies.
7. Monotones non bornées. Si $f$ est croissante sur $\ioo{c}{b}$ , avec $b$ réel ou $b = \infty$ , et n’est pas majorée, alors $f$ tend vers $\infty$ à gauche en $b$ , ou en $\infty$ si $b = \infty$ .
  Utilise: 17. Lemme de l’inverse. Démontré dans: Limites infinies.
8. Composition avec une limite infinie. Si $g$ tend vers $\infty$ en $P$ et si $f(u)$ tend vers $L$ quand $u$ tend vers $\infty$ , alors $f(g(x))$ tend vers $L$ en $P$ , sans aucune hypothèse sur les valeurs de $g$ ; et de même si $f(u)$ tend vers $\infty$ ou vers $-\infty$ .
  Utilise: 15. Lemme d’inversion, 17. Lemme de l’inverse. Démontré dans: Limites infinies.
9. Calcul de l’asymptote. La droite $y = mx + b$ est asymptote à la courbe de $f$ en $\infty$ , c’est-à-dire que $f(x) - (mx + b)$ tend vers $0$ , si et seulement si $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ et $b = \lim_{x \to \infty} \left(f(x) - mx\right)$ ; par conséquent, en chaque extrémité il y a au plus une asymptote non verticale.
  Utilise: 2. Unicité de la limite, 6. Opérations sur les limites, 16. Fonctions rationnelles à l’infini. Repose sur: G (Inversion). Démontré dans: Asymptotes et techniques de représentation graphique.
10. Asymptotes verticales. Si $r$ est racine du polynôme $B$ et si $A(r) \neq 0$ , la droite $x = r$ est asymptote verticale à la courbe de $\frac{A}{B}$ , et de chaque côté de $r$ la fonction tend vers $\infty$ ou vers $-\infty$ selon le signe que lui attribue le tableau de signes sur l’intervalle contigu.
  Utilise: 7. Polynômes, racines et puissances, 18. Règles avec des limites infinies. Repose sur: B (Héritage d’Algèbre et géométrie), D (Caractère localement borné et signe), F (Restriction). Démontré dans: Asymptotes et techniques de représentation graphique.
Tronçon 3 La continuité et la comparaison des fonctions
- Définir la continuité, la relier à la limite et classer les discontinuités en évitables, de saut et essentielles.
- Démontrer que les opérations et la composition conservent la continuité, et que la limite passe à l’intérieur d’une fonction continue.
- Démontrer la continuité des fonctions élémentaires par l’argument des fonctions monotones et, avec elle, les limites remarquables et la forme $1^\infty$ .
- Comparer des fonctions avec le petit $\operatorname{o}$ et l’équivalence, et substituer des équivalents dans les produits et les quotients, mais pas dans les sommes.
1. Continuité et limite. $f$ est continue en un point $a$ de son ensemble de définition $A$ si $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)$ ; si $a$ est un point d’accumulation de $A$ , cela équivaut à $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ , et si c’est un point isolé, cela a toujours lieu.
  Utilise: 1. Définition de la limite. Démontré dans: Limite et continuité.
2. Opérations sur les fonctions continues. Les combinaisons linéaires, les produits, les quotients à dénominateur non nul et les racines de fonctions continues en $a$ sont continus en $a$ ; par conséquent, les polynômes, les fonctions rationnelles, les racines, la valeur absolue, le sinus, le cosinus et la tangente sont continus sur leur ensemble de définition.
  Utilise: 6. Opérations sur les limites, 7. Polynômes, racines et puissances, 11. Sinus et cosinus, 23. Continuité et limite. Repose sur: C (Critère de majoration). Démontré dans: Limite et continuité.
3. Composée de fonctions continues. Si $g$ est continue en $a$ et $f$ est continue en $g(a)$ , alors $f \circ g$ est continue en $a$ ; et si $g(x)$ tend vers $b$ et si $f$ est continue en $b$ , alors $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(b)$ , aussi d’un seul côté ou en $\pm\infty$ .
  Utilise: 3. Propriétés locales, 23. Continuité et limite. Repose sur: F (Restriction), G (Inversion). Démontré dans: Limite et continuité.
4. Fonctions élémentaires continues. Une fonction définie sur un intervalle, monotone sur celui-ci et dont l’image est un intervalle est continue, de même que la réciproque d’une fonction strictement monotone ayant ces propriétés ; c’est pourquoi l’exponentielle, le logarithme, les puissances à exposant réel, les fonctions trigonométriques réciproques et les fonctions hyperboliques sont continues sur leur ensemble de définition.
  Utilise: 13. Limites à gauche et à droite, 14. Fonctions monotones, 23. Continuité et limite, 24. Opérations sur les fonctions continues, 25. Composée de fonctions continues. Repose sur: B (Héritage d’Algèbre et géométrie). Démontré dans: Continuité des fonctions élémentaires et limites remarquables.
5. Limites remarquables. Quand $x$ tend vers $0$ , $\frac{e^x - 1}{x}$ et $\frac{\ln(1 + x)}{x}$ tendent vers $1$ , $\frac{a^x - 1}{x}$ vers $\ln a$ et $\frac{\left(1 + x\right)^r - 1}{x}$ vers $r$ ; de plus, $\left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}$ tend vers $e$ en $0$ , et $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ , en $\pm\infty$ .
  Utilise: 6. Opérations sur les limites, 10. Théorème des gendarmes, 13. Limites à gauche et à droite, 26. Fonctions élémentaires continues, 25. Composée de fonctions continues. Repose sur: B (Héritage d’Algèbre et géométrie), E (Changement de variable), G (Inversion). Démontré dans: Continuité des fonctions élémentaires et limites remarquables.
6. La forme un puissance infini. Si $f > 0$ au voisinage de $P$ , si $f(x)$ tend vers $1$ et si $g(x)\left(f(x) - 1\right)$ tend vers un réel $\lambda$ , alors $\left(f(x)\right)^{g(x)}$ tend vers $e^{\lambda}$ .
  Utilise: 6. Opérations sur les limites, 26. Fonctions élémentaires continues, 25. Composée de fonctions continues, 27. Limites remarquables. Démontré dans: Continuité des fonctions élémentaires et limites remarquables.
7. Exponentielles, puissances et logarithmes. Si $r > 0$ et $a > 1$ , $\frac{x^r}{a^x}$ et $\frac{\ln x}{x^r}$ tendent vers $0$ en $\infty$ , et $x^r \ln x$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$ par la droite.
  Utilise: 10. Théorème des gendarmes, 16. Fonctions rationnelles à l’infini, 19. Monotones non bornées, 20. Composition avec une limite infinie. Repose sur: B (Héritage d’Algèbre et géométrie), G (Inversion). Démontré dans: Continuité des fonctions élémentaires et limites remarquables.
8. Comparaison des fonctions. $f = \operatorname{o}(g)$ en $P$ si $\frac{f}{g}$ tend vers $0$ , et $f \sim g$ s’il tend vers $1$ ; l’équivalence est réflexive, symétrique et transitive, et $f \sim g$ si et seulement si $f - g = \operatorname{o}(g)$ .
  Utilise: 6. Opérations sur les limites. Démontré dans: Infiniment petits et infiniment grands équivalents.
9. Substitution d’équivalents. Si $f \sim f_1$ et $g \sim g_1$ en $P$ , alors $\frac{f h}{g}$ a une limite, finie ou infinie, si et seulement si $\frac{f_1 h}{g_1}$ en a une, et les deux coïncident ; le théorème vaut pour les facteurs, non pour les termes d’une somme.
  Utilise: 6. Opérations sur les limites, 18. Règles avec des limites infinies, 30. Comparaison des fonctions. Démontré dans: Infiniment petits et infiniment grands équivalents.
10. Somme d’équivalents de même signe. Si $f_1 \sim g_1$ et $f_2 \sim g_2$ en $P$ , et si $g_1$ et $g_2$ sont toutes deux strictement positives, ou toutes deux strictement négatives, au voisinage de $P$ , alors $f_1 + f_2 \sim g_1 + g_2$ .
  Utilise: 4. Trois lemmes, 10. Théorème des gendarmes, 30. Comparaison des fonctions. Repose sur: C (Critère de majoration). Démontré dans: Infiniment petits et infiniment grands équivalents.
11. Tableau d’équivalents. En $0$ , $\sin x$ , $\tan x$ , $\arctan x$ , $e^x - 1$ et $\ln(1 + x)$ sont équivalents à $x$ , $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ , $a^x - 1 \sim x \ln a$ , $\left(1 + x\right)^r - 1 \sim r x$ , et tout polynôme est équivalent à son terme de plus bas degré ; les équivalences valent avec toute fonction qui tend vers $0$ sans s’annuler à la place de $x$ .
  Utilise: 7. Polynômes, racines et puissances, 12. Limite fondamentale, 27. Limites remarquables. Repose sur: E (Changement de variable). Démontré dans: Infiniment petits et infiniment grands équivalents.

Vers la dérivée. La chaîne s’arrête là où la limite cesse d’être l’objet d’étude et devient un outil : l’unité qui suit définit la dérivée comme la limite du taux d’accroissement, obtient ses règles des opérations sur les limites et de la composition, les dérivées des fonctions élémentaires des limites remarquables, et le théorème des valeurs intermédiaires de la conservation du signe et de la complétude.