Infiniment petits et infiniment grands équivalents

Résumé

Cette leçon clôt l’unité des limites par une technique de calcul qui réunit presque tout ce qui précède : la comparaison des fonctions qui tendent vers zéro ou vers l’infini. On définit le petit $o$ , le grand $O$ , le même ordre et l’équivalence, et l’on démontre que, dans un produit ou un quotient, chaque facteur peut être remplacé par un autre qui lui est équivalent sans modifier la limite. Les limites trigonométriques, celles de l’exponentielle, du logarithme et des puissances, et celles des polynômes, démontrées dans les leçons qui précèdent, se rassemblent en un tableau d’équivalents, qui permet de calculer d’un coup d’œil des limites qui exigeaient auparavant plusieurs transformations. La leçon montre aussi l’erreur la plus courante avec cette technique, remplacer à l’intérieur d’une somme, dans quels cas une somme peut bel et bien être remplacée, et comment se comparent les puissances près de zéro et loin de l’origine.

Objectifs d’apprentissage

Définir le petit $o$ , le grand $O$ , le même ordre et l’équivalence de fonctions en un point, d’un côté ou à l’infini, et démontrer leurs propriétés.
Démontrer le théorème de substitution d’équivalents dans les produits et les quotients, et reconnaître pourquoi il ne vaut pas dans les sommes.
Démontrer le tableau d’équivalents en zéro et l’utiliser, avec la composition, pour calculer des limites et déterminer l’ordre et la partie principale d’un infiniment petit.
Comparer des infiniment grands et des infiniment petits de type puissance, et distinguer l’équivalence de l’existence d’une asymptote.

Comparer des fonctions

Les leçons sur le théorème des gendarmes et sur les limites infinies ont montré que les formes $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$ n’ont pas de résultat fixe : la limite d’un quotient de deux fonctions qui tendent vers zéro dépend de la rapidité avec laquelle elles le font. L’idée de cette leçon est de mesurer cette rapidité en comparant chaque fonction à une autre plus simple. Comme dans la leçon sur les limites infinies, $P$ désigne la cible de la variable ( $a$ , $a^+$ , $a^-$ , $\infty$ ou $-\infty$ ), et « au voisinage de $P$ » signifie dans un intervalle épointé, d’un côté ou sur une demi-droite. Si une fonction n’est définie que sur un ensemble $A$ dont $a$ est un point d’accumulation, « au voisinage de $a$ » signifie aux points de $A$ d’un intervalle épointé de centre $a$ , et les limites sont celles de la leçon sur la limite des fonctions d’une variable réelle, prises dans $A$ ; les définitions ci-dessous s’appliquent de la même façon dans ce cas.

DéfinitionComparaison des fonctions

Soient $f$ et $g$ des fonctions définies au voisinage de $P$ , avec $g(x) \neq 0$ au voisinage de $P$ .

$f$ est négligeable devant $g$ en $P$ , et l’on écrit $f = \operatorname{o}(g)$ , qui se lit « $f$ est un petit o de $g$ », si $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ .
$f$ est dominée par $g$ en $P$ , et l’on écrit $f = \operatorname{O}(g)$ , qui se lit « $f$ est un grand O de $g$ », s’il existe $C > 0$ tel que $\abs{f(x)} \leq C\abs{g(x)}$ au voisinage de $P$ ; autrement dit, si le quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ est borné au voisinage de $P$ .
$f$ et $g$ sont du même ordre en $P$ si $\frac{f(x)}{g(x)}$ tend vers un nombre non nul.
$f$ et $g$ sont équivalentes en $P$ , et l’on écrit $f \sim g$ , si $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ .

Une fonction qui tend vers $0$ en $P$ s’appelle un infiniment petit en $P$ , et une fonction qui tend vers $\infty$ ou vers $-\infty$ , un infiniment grand. Un infiniment petit en $0$ est d’ordre $k > 0$ s’il est du même ordre que $x^k$ (en $0^+$ , si $x^k$ n’est définie que pour $x > 0$ ), et alors, si $\frac{f(x)}{x^k}$ tend vers $c$ , la fonction $c\,x^k$ est sa partie principale : $f \sim c\,x^k$ .

Le mot « infiniment petit » ne désigne pas un nombre très petit, mais une fonction qui tend vers zéro ; l’écriture $\operatorname{o}(g)$ ne désigne pas une fonction précise, mais n’importe laquelle de celles qui sont négligeables devant $g$ . Par exemple, $x^2 = \operatorname{o}(x)$ en $0$ , car $\frac{x^2}{x} = x$ tend vers $0$ ; en revanche, $x = \operatorname{o}(x^2)$ en $\infty$ , car $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$ tend vers $0$ . Un même couple de fonctions se compare de façon opposée selon la cible. Le même ordre et l’équivalence ne font, au fond, qu’une seule comparaison : si $f$ et $g$ sont du même ordre avec un quotient qui tend vers $c$ , alors $f \sim c\,g$ .

PropositionPropriétés de la comparaison

En une même cible $P$ :

l’équivalence est réflexive, symétrique et transitive : $f \sim f$ ; si $f \sim g$ , alors $g \sim f$ ; et si $f \sim g$ et $g \sim h$ , alors $f \sim h$ ;
$f \sim g$ si et seulement si $f - g = \operatorname{o}(g)$ ; en particulier, si $h = \operatorname{o}(g)$ , alors $g + h \sim g$ ;
si $f = \operatorname{o}(h)$ et $g = \operatorname{o}(h)$ , alors $f + g = \operatorname{o}(h)$ et $c\,f = \operatorname{o}(h)$ pour tout réel $c$ .

Chaque affirmation est une règle des opérations sur les limites appliquée à un quotient.

Démonstration

$\frac{g}{f} = \frac{1}{\frac{f}{g}} \to 1, \qquad \frac{f}{h} = \frac{f}{g} \cdot \frac{g}{h} \to 1 \cdot 1 = \resaltar{1}$
Le quotient de $f$ par elle-même vaut $1$ . Si $\frac{f}{g}$ tend vers $1$ , son inverse tend vers $\frac{1}{1} = 1$ , par la règle de l’inverse. Si $\frac{f}{g}$ et $\frac{g}{h}$ tendent vers $1$ , leur produit aussi, par la règle du produit.
$\frac{f - g}{g} = \frac{f}{g} - 1 \to 0 \Leftrightarrow \frac{f}{g} \to \resaltar{1}$
Le quotient de $f - g$ par $g$ est $\frac{f}{g} - 1$ , qui tend vers $0$ si et seulement si $\frac{f}{g}$ tend vers $1$ . Avec $f = g + h$ , la différence est $h$ .
$\frac{f + g}{h} = \frac{f}{h} + \frac{g}{h} \to 0 + 0 = \resaltar{0}$
Si $\frac{f}{h}$ et $\frac{g}{h}$ tendent vers $0$ , leur somme et le produit de chacun par une constante aussi, par la règle de la combinaison linéaire.

Le grand $O$ n’exige pas que le quotient ait une limite, mais seulement qu’il ne croisse pas sans contrôle. Par exemple, $\sin x = \operatorname{O}(1)$ en $\infty$ , bien que $\sin x$ n’y ait pas de limite, et $x \sin \frac{1}{x} = \operatorname{O}(x)$ en $0$ , car $\abs{x \sin \frac{1}{x}} \leq \abs{x}$ . Pour calculer des limites, le petit $o$ suffit ; le grand $O$ servira à mesurer des erreurs d’approximation, comme celle du polynôme de Taylor, qui sera étudiée en Analyse II. Ses règles sont énoncées ci-dessous.

PropositionRègles du grand O

En une même cible $P$ :

si $\frac{f}{g}$ a une limite finie en $P$ , alors $f = \operatorname{O}(g)$ ; en particulier, si $f = \operatorname{o}(g)$ ou si $f \sim g$ ;
si $f = \operatorname{O}(h)$ et $g = \operatorname{O}(h)$ , alors $f + g = \operatorname{O}(h)$ et $c\,f = \operatorname{O}(h)$ pour tout réel $c$ ;
si $f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ et $f_2 = \operatorname{O}(g_2)$ , alors $f_1 f_2 = \operatorname{O}(g_1 g_2)$ ;
si $f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ et $f_2 = \operatorname{o}(g_2)$ , alors $f_1 f_2 = \operatorname{o}(g_1 g_2)$ .

Chaque règle est une inégalité entre valeurs absolues ; la dernière combine une majoration avec un quotient qui tend vers zéro.

Démonstration

$\abs{\frac{f(x)}{g(x)}} \leq \abs{\frac{f(x)}{g(x)} - L} + \abs{L} < \resaltar{\abs{L} + 1}$
Si $\frac{f}{g}$ tend vers $L$ , le défi $\varepsilon = 1$ a une réponse : au voisinage de $P$ , le quotient est à une distance de $L$ strictement inférieure à $1$ , et par l’inégalité triangulaire sa valeur absolue ne dépasse pas $\abs{L} + 1$ .
$\abs{f(x) + g(x)} \leq C_1\abs{h(x)} + C_2\abs{h(x)} = \resaltar{(C_1 + C_2)\abs{h(x)}}$
Les constantes de majoration $C_1$ de $f$ et $C_2$ de $g$ valent à la fois au voisinage de $P$ , dans l’intersection des deux voisinages. L’inégalité triangulaire majore la somme ; le multiple a la constante de majoration $\abs{c}\,C_1$ .
$\abs{f_1(x) f_2(x)} \leq C_1\abs{g_1(x)} \cdot C_2\abs{g_2(x)} = \resaltar{C_1 C_2 \abs{g_1(x) g_2(x)}}$
Les majorations des deux facteurs se multiplient.
$0 \leq \abs{\frac{f_1(x) f_2(x)}{g_1(x) g_2(x)}} \leq C_1 \abs{\frac{f_2(x)}{g_2(x)}} \to \resaltar{0}$
Le quotient du produit par $g_1 g_2$ est le produit d’un quotient majoré en valeur absolue par $C_1$ et d’un autre qui tend vers $0$ ; par le théorème des gendarmes, il tend vers $0$ .