극한과 연속: 종합과 도전 과제

요약

이 수업은 극한과 연속성에 관한 단원을 마무리한다. 단원의 열 개 수업이 증명한 것을 하나의 연역 사슬로 모은다. 곧 엡실론과 델타에 의한 극한의 정의와 그 국소적 성질, 세 보조정리로 환원된 극한의 연산 법칙, 조임 정리와 삼각함수의 극한; 한쪽 극한, 무한대에서의 극한, 무한 극한(이들은 제한, 반전, 역수를 통해 그 법칙들을 물려받는다)과 점근선; 그리고 연속성, 초등함수의 연속성, 주요 극한, 동치 무한소에 의한 함수의 비교이다. 단원이 대수학과 기하학 I과 II에 어떻게 기대는지, 그 강좌들이 점근선과 연속성에 관해 받아들인 사실을 어떻게 정리로 바꾸는지, 그리고 도함수와 그 응용의 학습을 어떻게 준비하는지 설명한다. 마지막으로 입문 평가와 짝을 이루는 마무리 평가와, 열 개의 도전 과제를 둔다. 도전 과제는 각 수업의 문제보다 어렵고, 하나하나가 그 수업들 가운데 여러 수업의 결과를 결합한다.

학습 목표

단원의 정의와 주요 정리를 논리적 순서로 서술하고, 각각이 앞선 어떤 결과에 의존하며 엡실론과 델타를 쓰는 어떤 논법이 재사용되는지 밝힌다.
단원이 받아들이는 것과 증명하는 것을 구별하고, 합성함수의 극한의 가정이나 동치 치환의 가정처럼 각 결과의 가정을 알아본다.
단원의 결과를 대수학과 기하학 I, II 및 도함수와 그 응용의 학습과 관련짓는다.
극한의 연산 법칙, 한쪽 극한, 무한대에서의 극한과 무한 극한, 점근선, 연속성, 주요 극한, 동치 무한소를 결합하는 정형적이지 않은 문제를 푼다.

단원에서 이룬 것

단원은 하나의 물음과 하나의 요구에서 출발했다. 물음은 변수가 한 점에 다가갈 때 함수의 값이 한 수에 다가간다는 것이 무엇을 뜻하는가였다. 요구는 그 대답이 계산만이 아니라 증명을 가능하게 하고, 엡실론과 델타를 쓰는 논법을 한 번만 하고 재사용할 수 있게 하는 것이었다. 대답은 단 하나의 정의였고, 실변수 함수의 극한에 관한 수업에서 서술되었다. $a$ 가 정의역 $A$ ( $f$ 의 정의역)의 집적점일 때, $f$ 의 $a$ 에서의 극한이 $L$ 이라는 것은 아래의 뜻이다.

(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)

그 밖의 모든 것은 그것에서 환원을 통해 얻어졌다. 계산 법칙은 하나의 부등식으로, 한쪽 극한은 제한의 극한으로, 무한대에서의 극한은 영에서의 한쪽 극한으로, 무한 극한은 역수의 극한이 영인 것으로, 그리고 연속성은 극한이 함숫값과 같은 것으로 환원되었다.

극한의 정의와 연산 법칙

첫 수업은 정의를 도전과 응답의 게임으로 읽고, 양화사가 있는 진술로 쓰고, 그 부정을 양화사 하나하나에 대해 구했다. $a$ 가 정의역의 집적점이라는 요구로 극한의 유일성을 증명했고, 미리 고른 도전으로, 극한이 그 점 근처의 값에만 의존한다는 것, 함수를 그 점 근처에서 유계로 만든다는 것, 극한이 영이 아니면 함수에 자기 부호를 부여한다는 것을 증명했다. 극한의 연산 법칙에 관한 수업은 증명을 재사용할 수 있도록 정리했다. 엡실론과 델타로 증명된 세 보조정리는, 어떤 함수 $F$ 든 $a$ 근처에서 $\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)$ 꼴의 상계를 만족하면 $K$ 로 간다는 것을 보이고, 각 법칙은 그런 상계를 찾는 일로 환원되었다. 일차결합의 법칙은 삼각부등식에서, 곱의 법칙은 국소 유계성에서, 역수의 법칙은 부호 보존에서 나오며, 정의역을 제한해도 극한을 잃지 않음을 한 보조정리가 보장한다. 거기서 다항식과 유리함수의 직접 대입, 거듭제곱근과 유리수 지수의 거듭제곱의 극한, 그리고 합성함수의 극한 정리가 나왔다. 이 정리는 변수 치환을 정당화하지만, 반례가 보여 주듯 없어서는 안 될 가정을 동반한다. 곧 속함수가 그 점 근처에서 자기 극한값을 취하지 않는다는 것이다. 조임 정리에 관한 수업은 극한이 엄격하지 않은 부등식을 보존한다는 것, 같은 수로 가는 두 함수 사이에 끼인 함수도 그 수로 간다는 것, 유계함수와 영으로 가는 함수의 곱은 영으로 간다는 것을 증명했다. 상계 $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ 과 사인, 호, 탄젠트 사이의 부등식으로 삼각함수의 기본 극한 $\frac{\sin x}{x} \to 1$ 과 그 귀결을 얻었다.

한쪽, 무한대와 점근선

좌극한과 우극한에 관한 수업은 한쪽 극한을 점의 한쪽으로의 함수의 제한의 극한으로 정의했다. 이 결정이 나머지 일을 모두 덜어 주었다. 앞선 정리들은 새 증명 없이 그것들에 대해 성립하고, 극한이 존재할 필요충분조건은 두 한쪽 극한이 존재하고 같은 것이다. 같은 수업은 값을 계산하지 않고 극한이 존재함을 처음으로 증명했다. 구간에서 증가하고 위로 유계인 함수는 그 오른쪽 끝에서 함숫값들의 상한으로 가며, 이를 보장하는 것은 완비성이다. 변수가 무한대로 갈 때의 극한에 관한 수업은 반전 보조정리로 그런 극한 각각을 영에서의 한쪽 극한으로 환원했고, 그렇게 하여 원점에서 먼 곳에서의 유리함수의 거동을 얻었다. 무한 극한에 관한 수업은 값이 한없이 커지는 경우로 이 틀을 완성했다. 역수 보조정리가 그것을 영으로의 극한으로 옮기므로, “ $\infty + c = \infty$ ”이나 “ $c \cdot \infty = \infty$ ”로 요약되는 법칙은 가정이 붙은 정리이고, 네 가지 부정형은 결과가 아니라 경고이다. 끝으로 점근선에 관한 수업은 점근선을 극한으로 정의하고, 수직이 아닌 점근선의 기울기와 절편을 두 극한으로 구했으며(그래서 각 끝에 많아야 하나뿐이다), 유리함수의 수직 점근선을 증명하고, 도함수 없이 그래프의 개형을 그리는 절차를 정리했다. 곡선이 그 점근선과 만날 수 있음도 보였다.

연속성과 함수의 비교

극한과 연속성에 관한 수업은 정의역의 한 점에서의 연속성을 정의하고, 집적점에서는 그것이 극한이 함숫값과 같다는 것과 동치임을 증명하고, 불연속을 제거 가능한 불연속, 도약 불연속, 본질적 불연속으로 분류했다. 극한의 연산 법칙이 연산의 연속성을 주었고, 연속함수의 합성은 합성함수의 극한 정리가 요구한 가정 없이도 연속임이 밝혀졌다. 이로부터 극한이 연속함수 안으로 들어간다. 초등함수의 연속성에 관한 수업은 상이 구간인 단조함수의 논법이라는 단 하나의 논법으로 지수함수, 로그함수, 실수 지수의 거듭제곱, 역삼각함수의 연속성을 증명했다. 그것과 부등식 $e^x \geq 1 + x$ 로 주요 극한, 극한으로서의 수 $e$ , $1^\infty$ 꼴을 얻고, 무한대에서 지수함수, 거듭제곱, 로그를 비교했다. 동치인 무한소와 무한대에 관한 수업은 이 모든 극한을 함수 사이의 비교로 읽었다. 스몰 $\operatorname{o}$ , 빅 $\operatorname{O}$ 와 동치를 정의하고, 곱이나 몫에서 각 인수를 그것과 동치인 다른 인수로 바꿀 수 있음을 증명하고, 그때까지의 극한을 영에서의 동치 무한소 표로 모았다.

받아들이는 것, 증명하는 것, 남는 것

단원의 결산은 이렇게 요약할 수 있다.

받아들이는 공리는 단 하나, 완비성 공리이며, 체의 공리 및 순서의 공리와 함께 받아들인다. 이에 따르면 위로 유계인 공집합이 아닌 실수 집합은 모두 상한을 갖는다. 그 밖에 대수학과 기하학에서 증명된 결과를 쓴다. 사인, 호, 탄젠트 사이의 부등식, 합을 곱으로 바꾸는 공식, 부등식 $e^x \geq 1 + x$ , 지수함수의 단조성, 인수 정리이다.
대수학과 기하학이 받아들였던 사실을 증명한다. 유리함수의 수직 점근선과 무한대에서의 점근선, 그리고 유리함수, 삼각함수, 역삼각함수의 연속성이다.
논법을 반복하는 대신 다섯 도구를 재사용한다. 상계의 세 보조정리, 부호 보존, 정의역의 제한(특히 점의 한쪽으로의 제한), 반전, 역수이다.
극한 이상의 것이 필요한 내용은 뒤로 미룬다. 사잇값 정리와 도함수는 이어지는 단원에서, 바이어슈트라스 정리와 로피탈의 정리는 셋째 단원에서, 테일러 다항식은 미적분학 II에서 다룬다.

아래 그림은 세 구간을 하나의 사슬로 모은 것이다. 가운데 열의 각 마디는 정의나 정리이며, 논리적 순서에 따라 번호가 붙고, 그 증명이 쓰는 앞선 고리들과 호로 이어진다. 그 둘레에 떠 있는 것이 받침, 곧 사슬이 거듭 의지하는 원리와 도구이며, 각 받침은 자신에게 기대는 고리들과 실선으로, 자신이 세워지는 고리와 점선으로 이어진다. 다만 대수학과 기하학에서 온 것은 예외로, 둥근 테로 그려진다. 받침을 누르면 그것을 쓰는 고리가 모두 강조되고, 각 고리는 그것이 증명되는 수업으로 이어진다.

사슬의 받침

A실수의 공리. 대수학과 기하학 I부터, 실수가 완비 순서체를 이룬다는 것을 받아들인다. 곧 합과 곱은 체의 공리를 만족하고, 순서는 삼분법을 만족하며 연산과 양립하고, 위로 유계인 공집합이 아닌 실수 집합은 모두 상한을 갖는다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
B대수학과 기하학에서 물려받은 것. 대수학과 기하학 I과 II에서 증명된 결과: $u^n - v^n$ 의 인수분해와 유리수 지수의 거듭제곱, $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ , 그리고 $\sin x < x < \tan x$ (단, $0 < x < \frac{\pi}{2}$ ), 합을 곱으로 바꾸는 공식과 차수를 낮추는 공식, 부등식 $e^x \geq 1 + x$ , 지수함수의 단조성과 치역, 역삼각함수, 인수 정리, 부호표. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
C상계 판정법. $a$ 근처에서 $\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)$ 식이 성립하고 $C > 0$ , $f \to L$ , $g \to M$ 이면 $F \to K$ 이다. 각 법칙은 이런 상계를 찾는 일로 환원된다. 확립되는 곳: 4. 세 보조정리.
D국소 유계성과 부호. $f$ 가 $L$ 로 가면( $a$ 에서) $a$ 근처에서 $\abs{f(x)} < \abs{L} + 1$ 식이 성립한다. 또 $L \neq 0$ 이면 $a$ 근처에서 함수는 $L$ 의 부호를 가지며 $\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}$ 이다. 확립되는 곳: 3. 국소적 성질.
E변수 치환. $g(x) \to b$ , $f(t) \to L$ ( $t \to b$ 일 때)이고 $g(x) \neq b$ 식이 $a$ 근처에서 성립하면 $f(g(x)) \to L$ 이다. 확립되는 곳: 8. 합성함수의 극한.
F제한. $f$ 가 $L$ 로 가고( $a$ 에서) $a$ 가 정의역의 부분집합 $B$ 의 집적점이면, $f$ 의 $B$ 로의 제한도 $L$ 로 간다. 한쪽 극한은 제한의 극한이며, 그래서 극한에 관한 모든 정리가 한쪽 극한에 대해서도 성립한다. 확립되는 곳: 5. 제한의 극한.
G반전. $f$ 의 $\infty$ 에서의 극한은 $f\left(\frac{1}{t}\right)$ 의 극한( $t$ 가 오른쪽에서 $0$ 으로 갈 때)이고, $-\infty$ 에서의 극한은 왼쪽에서의 극한이다. 그래서 극한에 관한 모든 정리가 무한대에서도 성립한다. 확립되는 곳: 15. 반전 보조정리.
H역수. 함수가 $\infty$ 로 발산할 필요충분조건은 그것이 목표 근처에서 양수이고 그 역수가 $0$ 으로 가는 것이다. 그래서 유한 극한의 법칙이 무한 극한을 결정한다. 확립되는 곳: 17. 역수 보조정리.

제1구간 극한의 정의와 연산 법칙
- 집적점에서의 극한을 엡실론과 델타로 정의하고, 양화사가 있는 진술로 써서 부정하며, 그 유일성과 국소적 성질을 증명한다.
- 세 보조정리로 극한의 연산 법칙의 각 법칙을 상계로 환원하고, 유리함수, 거듭제곱근, 거듭제곱의 극한을 얻는다.
- 합성함수의 극한 정리로 변수를 치환하고, 그 가정을 알아본다.
- 조임 정리를 증명하고, 그것으로 삼각함수의 기본 극한과 그 귀결을 얻는다.
1. 극한의 정의. $a$ 가 정의역 $A$ ( $f$ 의 정의역)의 집적점일 때, $f$ 의 $a$ 에서의 극한이 $L$ 이라는 것은 $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)$ 이라는 뜻이고, 그렇지 않다는 것은 $(\exists \varepsilon > 0)(\forall \delta > 0)(\exists x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \wedge \abs{f(x) - L} \geq \varepsilon\right)$ 이라는 뜻이다.
  증명된 수업: 실변수 함수의 극한.
2. 극한의 유일성. $a$ 가 $f$ 의 정의역의 집적점이고 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ , $\lim_{x \to a} f(x) = L'$ 이면 $L = L'$ 이다.
  사용: 1. 극한의 정의. 받침: A (실수의 공리). 증명된 수업: 실변수 함수의 극한.
3. 국소적 성질. $a$ 에서의 극한은 $a$ 를 중심으로 하는 구멍 뚫린 근방에서의 함숫값에만 의존한다. $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 이면 $a$ 근처에서 $\abs{f(x)} < \abs{L} + 1$ 식이 성립하고, 또 $L \neq 0$ 이면 $f(x)$ 는 $L$ 의 부호를 가지며 $\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}$ 이다.
  사용: 1. 극한의 정의. 받침: A (실수의 공리). 증명된 수업: 실변수 함수의 극한.
4. 세 보조정리. $f$ 의 $a$ 에서의 극한이 $L$ 일 필요충분조건은 $\abs{f(x) - L}$ 의 극한이 $0$ 인 것이다. $\abs{f(x) - L} \leq C\abs{h(x)}$ 식이 $a$ 근처에서 성립하고 $C > 0$ , $\lim_{x \to a} h(x) = 0$ 이면 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 이다. 또 영으로 가는 두 거리의 합은 영으로 간다.
  사용: 1. 극한의 정의. 증명된 수업: 극한의 연산 법칙.
5. 제한의 극한. $B$ 가 정의역 $A$ ( $f$ 의 정의역)의 부분집합이고, $a$ 가 $B$ 의 집적점이며 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 이면, $f$ 의 $B$ 로의 제한도 $L$ 로 간다( $a$ 에서). $A$ 에서 통하는 응답은 $B$ 에서도 통한다.
  사용: 1. 극한의 정의. 증명된 수업: 극한의 연산 법칙.
6. 극한의 연산 법칙. $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 이고 $\lim_{x \to a} g(x) = M$ 이면 $\alpha f + \beta g$ 는 $\alpha L + \beta M$ 으로, $fg$ 는 $LM$ 으로 간다. 또 $M \neq 0$ 이면 $\frac{1}{g}$ 는 $\frac{1}{M}$ 으로, $\frac{f}{g}$ 는 $\frac{L}{M}$ 으로 간다.
  사용: 3. 국소적 성질, 4. 세 보조정리. 받침: C (상계 판정법), D (국소 유계성과 부호), F (제한). 증명된 수업: 극한의 연산 법칙.
7. 다항식, 거듭제곱근, 거듭제곱. 다항식과, 분모가 $a$ 에서 영이 되지 않는 유리함수는 $a$ 에서의 극한이 함숫값과 같다. $\sqrt[n]{f(x)}$ 는 $\sqrt[n]{L}$ 로 간다. 단, $f \geq 0$ ( $n$ 이 짝수일 때). $L > 0$ 이면 $\left(f(x)\right)^{\frac{p}{q}}$ 은 $L^{\frac{p}{q}}$ 로 간다.
  사용: 1. 극한의 정의, 6. 극한의 연산 법칙. 받침: B (대수학과 기하학에서 물려받은 것), C (상계 판정법), D (국소 유계성과 부호). 증명된 수업: 극한의 연산 법칙.
8. 합성함수의 극한. $\lim_{x \to a} g(x) = b$ , $\lim_{t \to b} f(t) = L$ 이고 $g(x) \neq b$ 식이 $a$ 근처에서 성립하면 $\lim_{x \to a} f(g(x)) = L$ 이다. $g(x) \neq b$ 이라는 가정이 없으면 결론이 성립하지 않을 수 있다.
  사용: 1. 극한의 정의. 증명된 수업: 극한의 연산 법칙.
9. 부등식의 보존. $f(x) \leq g(x)$ 식이 $a$ 근처에서 성립하고 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ , $\lim_{x \to a} g(x) = M$ 이면 $L \leq M$ 이다. 엄격한 부등식은 보존되지 않는다.
  사용: 6. 극한의 연산 법칙. 받침: D (국소 유계성과 부호). 증명된 수업: 조임 정리와 삼각함수의 극한.
10. 조임 정리. $h(x) \leq f(x) \leq g(x)$ 식이 $a$ 근처에서 성립하고 $h$ 와 $g$ 가 $L$ 로 가면 $f$ 도 $L$ 로 간다. 또 $a$ 근처에서 유계인 함수와 $0$ 으로 가는 함수의 곱은 $0$ 으로 간다.
  사용: 4. 세 보조정리. 받침: C (상계 판정법). 증명된 수업: 조임 정리와 삼각함수의 극한.
11. 사인과 코사인. 모든 실수 $x$ 와 $a$ 에 대하여 $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ 이고 $\abs{\cos x - \cos a} \leq \abs{x - a}$ 이다. 따라서 $\lim_{x \to a} \sin x = \sin a$ 이고 $\lim_{x \to a} \cos x = \cos a$ 이다.
  사용: 4. 세 보조정리. 받침: B (대수학과 기하학에서 물려받은 것), C (상계 판정법). 증명된 수업: 조임 정리와 삼각함수의 극한.
12. 삼각함수의 기본 극한. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 이다. 또 $x$ 가 $0$ 으로 갈 때 $\frac{\tan x}{x}$ 는 $1$ 로, $\frac{\sin kx}{x}$ 는 $k$ 로, $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ 는 $\frac{1}{2}$ 로 간다.
  사용: 6. 극한의 연산 법칙, 10. 조임 정리, 11. 사인과 코사인. 받침: B (대수학과 기하학에서 물려받은 것), E (변수 치환). 증명된 수업: 조임 정리와 삼각함수의 극한.
제2구간 한쪽, 무한대와 점근선
- 한쪽 극한을 제한의 극한으로 정의하여 모든 정리를 물려받게 하고, 극한을 그 두 쪽으로 특징짓는다.
- 완비성에서 단조이고 유계인 함수의 극한을 상한으로 얻는다.
- 무한대에서의 극한을 영에서의 한쪽 극한으로, 무한 극한을 영으로의 극한으로 환원하고, 그 법칙과 부정형을 다룬다.
- 함수의 점근선을 두 극한으로 구하고, 유리함수의 수직 점근선을 증명하며, 도함수 없이 그래프의 개형을 그린다.
1. 한쪽 극한. $f$ 의 $a$ 에서의 우극한은 $a$ 에서의, 정의역 중 $a$ 보다 큰 점들로의 제한의 극한이고, 좌극한은 작은 점들로의 제한에 대한 것이다. $a$ 가 양쪽에서의 집적점이면, $f$ 가 극한 $L$ 을 가질( $a$ 에서) 필요충분조건은 두 한쪽 극한이 존재하고 $L$ 과 같은 것이다.
  사용: 1. 극한의 정의, 5. 제한의 극한, 2. 극한의 유일성. 증명된 수업: 좌극한과 우극한.
2. 단조함수. $f$ 가 $\ioo{c}{b}$ 에서 증가하고 위로 유계이면 $\lim_{x \to b^-} f(x) = \sup\left\{ f(x) : c < x < b \right\}$ 이다. 증가하고 아래로 유계이면 $c$ 에서의 우극한은 함숫값들의 하한이다.
  사용: 6. 극한의 연산 법칙, 13. 한쪽 극한. 받침: A (실수의 공리), E (변수 치환), F (제한). 증명된 수업: 좌극한과 우극한.
3. 반전 보조정리. $f$ 의 $\infty$ 에서의 극한이 $L$ 이라는 것은 임의의 $\varepsilon > 0$ 에 대하여 $M$ 이 존재하여 $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$ 식이 $x > M$ 일 때 성립한다는 뜻이다. 또 $\lim_{x \to \infty} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{t \to 0^+} f\left(\frac{1}{t}\right) = L$ 이고, $-\infty$ 에서도 좌극한에 대해 마찬가지이다.
  사용: 13. 한쪽 극한. 증명된 수업: 변수가 무한대로 갈 때의 극한.
4. 무한대에서의 유리함수. 임의의 유리수 $r > 0$ 에 대하여 $\frac{1}{x^r}$ 은 $0$ 으로 간다( $\infty$ 에서). 차수가 $n$ 과 $m$ 인 두 다항식의 몫은 $\pm\infty$ 에서 $0$ 으로 가고( $n < m$ 일 때), 최고차항의 계수의 몫으로 가며( $n = m$ 일 때), 유한 극한을 갖지 않는다( $n > m$ 일 때).
  사용: 2. 극한의 유일성, 6. 극한의 연산 법칙, 7. 다항식, 거듭제곱근, 거듭제곱. 받침: D (국소 유계성과 부호), F (제한), G (반전). 증명된 수업: 변수가 무한대로 갈 때의 극한.
5. 역수 보조정리. $f$ 가 $\infty$ 로 발산한다는 것(목표 $P$ 에서. 이것은 점, 점의 한쪽, 또는 $\pm\infty$ 이다)은 임의의 실수 $N$ 에 대하여 $f(x) > N$ 식이 $P$ 근처에서 성립한다는 뜻이다. 이것은 $f$ 가 $P$ 근처에서 양수이고 $\frac{1}{f}$ 가 $0$ 으로 가는 것과 동치이다. 또 $f$ 가 $-\infty$ 로 발산할 필요충분조건은 $-f$ 가 $\infty$ 로 발산하는 것이다.
  사용: 1. 극한의 정의. 증명된 수업: 무한 극한.
6. 무한 극한을 포함한 법칙. $f \leq g$ 식이 $P$ 근처에서 성립하고 $f$ 가 $\infty$ 로 발산하면 $g$ 도 그렇다. $f$ 가 $\infty$ 로 발산하면 $f + g$ 도 그렇고( $g$ 가 아래로 유계일 때), $fg$ 도 그렇다( $g$ 가 양수로 가거나 $\infty$ 로 발산할 때). 분자가 양수로 가고 분모가 양의 값을 취하며 $0$ 으로 가는 몫은 $\infty$ 로 발산한다.
  사용: 6. 극한의 연산 법칙. 받침: D (국소 유계성과 부호), F (제한), G (반전), H (역수). 증명된 수업: 무한 극한.
7. 유계가 아닌 단조함수. $f$ 가 $\ioo{c}{b}$ 에서 증가하고( $b$ 는 실수 또는 $b = \infty$ ) 위로 유계가 아니면, $f$ 는 $\infty$ 로 발산한다. 왼쪽에서 $b$ 에서, 또는 $\infty$ 에서( $b = \infty$ 일 때) 그렇다.
  사용: 17. 역수 보조정리. 증명된 수업: 무한 극한.
8. 무한 극한과의 합성. $g$ 가 $\infty$ 로 발산하고( $P$ 에서) $f(u)$ 가 $L$ 로 가면( $u$ 가 $\infty$ 로 발산할 때), $f(g(x))$ 는 $L$ 로 간다( $P$ 에서). $g$ 의 값에 대해서는 아무 가정도 필요 없다. $f(u)$ 가 $\infty$ 또는 $-\infty$ 로 발산하는 경우에도 마찬가지이다.
  사용: 15. 반전 보조정리, 17. 역수 보조정리. 증명된 수업: 무한 극한.
9. 점근선의 계산. 직선 $y = mx + b$ 이 $f$ 의 그래프의 $\infty$ 에서의 점근선이라는 것, 곧 $f(x) - (mx + b)$ 가 $0$ 으로 간다는 것은 $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ 이고 $b = \lim_{x \to \infty} \left(f(x) - mx\right)$ 인 것과 동치이다. 따라서 각 끝에 수직이 아닌 점근선은 많아야 하나뿐이다.
  사용: 2. 극한의 유일성, 6. 극한의 연산 법칙, 16. 무한대에서의 유리함수. 받침: G (반전). 증명된 수업: 점근선과 그래프의 개형.
10. 수직 점근선. $r$ 이 다항식 $B$ 의 근이고 $A(r) \neq 0$ 이면, 직선 $x = r$ 는 $\frac{A}{B}$ 의 그래프의 수직 점근선이고, $r$ 의 각 쪽에서 함수는 이웃한 구간에서 부호표가 주는 부호에 따라 $\infty$ 또는 $-\infty$ 로 발산한다.
  사용: 7. 다항식, 거듭제곱근, 거듭제곱, 18. 무한 극한을 포함한 법칙. 받침: B (대수학과 기하학에서 물려받은 것), D (국소 유계성과 부호), F (제한). 증명된 수업: 점근선과 그래프의 개형.
제3구간 연속성과 함수의 비교
- 연속성을 정의하고, 극한과 관련짓고, 불연속을 제거 가능한 불연속, 도약 불연속, 본질적 불연속으로 분류한다.
- 연산과 합성이 연속성을 보존한다는 것과, 극한이 연속함수 안으로 들어간다는 것을 증명한다.
- 단조함수의 논법으로 초등함수의 연속성을 증명하고, 그것으로 주요 극한과 $1^\infty$ 꼴을 얻는다.
- 스몰 $\operatorname{o}$ 와 동치로 함수를 비교하고, 곱과 몫에서는 동치인 것으로 치환하되 합에서는 치환하지 않는다.
1. 연속성과 극한. $f$ 가 점 $a$ (정의역 $A$ 의 점)에서 연속이라는 것은 $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)$ 라는 뜻이다. $a$ 가 $A$ 의 집적점이면 이것은 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ 과 동치이고, 고립점이면 항상 성립한다.
  사용: 1. 극한의 정의. 증명된 수업: 극한과 연속성.
2. 연속함수의 연산. $a$ 에서 연속인 함수들의 일차결합, 곱, 분모가 영이 아닌 몫, 거듭제곱근은 $a$ 에서 연속이다. 따라서 다항식, 유리함수, 거듭제곱근, 절댓값, 사인, 코사인, 탄젠트는 그 정의역에서 연속이다.
  사용: 6. 극한의 연산 법칙, 7. 다항식, 거듭제곱근, 거듭제곱, 11. 사인과 코사인, 23. 연속성과 극한. 받침: C (상계 판정법). 증명된 수업: 극한과 연속성.
3. 연속함수의 합성. $g$ 가 $a$ 에서 연속이고 $f$ 가 $g(a)$ 에서 연속이면 $f \circ g$ 는 $a$ 에서 연속이다. 또 $g(x)$ 가 $b$ 로 가고 $f$ 가 $b$ 에서 연속이면 $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(b)$ 이며, 한쪽에서나 $\pm\infty$ 에서도 마찬가지이다.
  사용: 3. 국소적 성질, 23. 연속성과 극한. 받침: F (제한), G (반전). 증명된 수업: 극한과 연속성.
4. 연속인 초등함수. 구간에서 정의되고 거기서 단조이며 상이 구간인 함수는 연속이고, 이런 성질을 가진 순단조함수의 역함수도 연속이다. 그래서 지수함수, 로그함수, 실수 지수의 거듭제곱, 역삼각함수, 쌍곡선함수는 그 정의역에서 연속이다.
  사용: 13. 한쪽 극한, 14. 단조함수, 23. 연속성과 극한, 24. 연속함수의 연산, 25. 연속함수의 합성. 받침: B (대수학과 기하학에서 물려받은 것). 증명된 수업: 초등함수의 연속성과 주요 극한.
5. 주요 극한. $x$ 가 $0$ 으로 갈 때 $\frac{e^x - 1}{x}$ 와 $\frac{\ln(1 + x)}{x}$ 는 $1$ 로, $\frac{a^x - 1}{x}$ 는 $\ln a$ 로, $\frac{\left(1 + x\right)^r - 1}{x}$ 은 $r$ 로 간다. 또 $\left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}$ 은 $e$ 로 가고( $0$ 에서), $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ 도 마찬가지이다( $\pm\infty$ 에서).
  사용: 6. 극한의 연산 법칙, 10. 조임 정리, 13. 한쪽 극한, 26. 연속인 초등함수, 25. 연속함수의 합성. 받침: B (대수학과 기하학에서 물려받은 것), E (변수 치환), G (반전). 증명된 수업: 초등함수의 연속성과 주요 극한.
6. 1의 무한대 거듭제곱 꼴. $f > 0$ 식이 $P$ 근처에서 성립하고, $f(x)$ 가 $1$ 로 가며, $g(x)\left(f(x) - 1\right)$ 가 실수 $\lambda$ 로 가면 $\left(f(x)\right)^{g(x)}$ 은 $e^{\lambda}$ 으로 간다.
  사용: 6. 극한의 연산 법칙, 26. 연속인 초등함수, 25. 연속함수의 합성, 27. 주요 극한. 증명된 수업: 초등함수의 연속성과 주요 극한.
7. 지수함수, 거듭제곱, 로그. $r > 0$ 이고 $a > 1$ 이면, $\frac{x^r}{a^x}$ 와 $\frac{\ln x}{x^r}$ 은 $0$ 으로 가고( $\infty$ 에서), $x^r \ln x$ 는 $0$ 으로 간다( $x$ 가 오른쪽에서 $0$ 으로 갈 때).
  사용: 10. 조임 정리, 16. 무한대에서의 유리함수, 19. 유계가 아닌 단조함수, 20. 무한 극한과의 합성. 받침: B (대수학과 기하학에서 물려받은 것), G (반전). 증명된 수업: 초등함수의 연속성과 주요 극한.
8. 함수의 비교. $f = \operatorname{o}(g)$ ( $P$ 에서)이라는 것은 $\frac{f}{g}$ 가 $0$ 으로 간다는 뜻이고, $f \sim g$ 라는 것은 그것이 $1$ 로 간다는 뜻이다. 동치 관계는 반사적, 대칭적, 추이적이며, $f \sim g$ 일 필요충분조건은 $f - g = \operatorname{o}(g)$ 인 것이다.
  사용: 6. 극한의 연산 법칙. 증명된 수업: 동치인 무한소와 무한대.
9. 동치 치환. $f \sim f_1$ 이고 $g \sim g_1$ 이면( $P$ 에서), $\frac{f h}{g}$ 가 극한(유한 또는 무한)을 가질 필요충분조건은 $\frac{f_1 h}{g_1}$ 이 그것을 갖는 것이며, 둘은 일치한다. 이 정리는 인수에 대해 성립하고 합의 항에 대해서는 성립하지 않는다.
  사용: 6. 극한의 연산 법칙, 18. 무한 극한을 포함한 법칙, 30. 함수의 비교. 증명된 수업: 동치인 무한소와 무한대.
10. 부호가 같은 동치의 합. $f_1 \sim g_1$ 이고 $f_2 \sim g_2$ 이며( $P$ 에서), $g_1$ 과 $g_2$ 가 $P$ 근처에서 둘 다 양수이거나 둘 다 음수이면 $f_1 + f_2 \sim g_1 + g_2$ 이다.
  사용: 4. 세 보조정리, 10. 조임 정리, 30. 함수의 비교. 받침: C (상계 판정법). 증명된 수업: 동치인 무한소와 무한대.
11. 동치 무한소 표. $0$ 에서 $\sin x$ , $\tan x$ , $\arctan x$ , $e^x - 1$ , $\ln(1 + x)$ 는 $x$ 와 동치이고, $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ , $a^x - 1 \sim x \ln a$ , $\left(1 + x\right)^r - 1 \sim r x$ 이며, 모든 다항식은 최저차항과 동치이다. 이 동치들은 $0$ 으로 가며 영이 되지 않는 임의의 함수를 $x$ 대신 써도 성립한다.
  사용: 7. 다항식, 거듭제곱근, 거듭제곱, 12. 삼각함수의 기본 극한, 27. 주요 극한. 받침: E (변수 치환). 증명된 수업: 동치인 무한소와 무한대.

도함수를 향하여. 사슬은 극한이 연구 대상이기를 그치고 도구가 되는 곳에서 멈춘다. 이어지는 단원은 도함수를 평균변화율의 극한으로 정의하고, 그 법칙을 극한의 연산 법칙과 합성에서, 초등함수의 도함수를 주요 극한에서, 사잇값 정리를 부호 보존과 완비성에서 얻는다.