Limites et continvitas: synthesis et provocationes

Svmmarivm

Haec lectio partem de limitibvs et de continvitate clavdit. In vnam catenam dedvctivam colligit qvae decem lectiones partis demonstravervnt: definitionem limitis per epsilon et delta eivsqve proprietates locales, regvlas algebrae limitvm ad tria lemmata redactas, theorema compressionis et limites trigonometricos; limites laterales, ad infinitvm et infinitos, qvi eas regvlas per restrictionem, per inversionem et per inversvm hereditate accipivnt, vna cvm asymptotis; et continvitatem, eam fvnctionvm elementarivm, limites notabiles et comparationem fvnctionvm per infinitesima aeqvivalentia. Explicat qvomodo pars Algebrae et Geometriae I et II innitatvr, qvarvm facta de asymptotis et de continvitate admissa in theoremata convertit, et qvomodo stvdivm derivatarvm earvmqve applicationvm praeparet. Desinit in probatione finali, initiali parallela, et in decem provocationibvs, difficilioribvs qvam problemata lectionvm, qvarvm vnaqvaeqve effectvs plvrivm earvm conivngit.

Proposita discendi

Definitiones et theoremata praecipva partis ordine logico exponere, indicando ex qvibvs effectibvs svperioribvs qvodqve pendeat et qvae argvmenta per epsilon et delta itervm adhibeantvr.
Distingvere qvae pars admittat ab iis qvae demonstret, et hypotheses cvivsqve effectvs agnoscere, vt eam limitis compositionis vel eam svbstitvtionis aeqvivalentivm.
Effectvs partis cvm Algebra et Geometria I et II et cvm stvdio derivatarvm earvmqve applicationvm conferre.
Problemata non vsitata solvere qvae algebram limitvm, limites laterales, ad infinitvm et infinitos, asymptotos, continvitatem, limites notabiles et infinitesima aeqvivalentia conivngvnt.

Qvae vnitas consecvta est

Pars a qvaestione et a postvlato profecta est. Qvaestio: qvid significet valores fvnctionis ad nvmervm accedere cvm variabilis ad pvnctvm accedit. Postvlatvm: vt responsio demonstrare, non solvm compvtare, sinat, et vt qvodqve argvmentvm per epsilon et delta semel tantvm fiat et itervm adhibeatvr. Responsio fvit vna definitio, in lectione de limite fvnctionvm vnivs variabilis realis envntiata: si $a$ est pvnctvm accvmvlationis dominii $A$ fvnctionis $f$ , dicere limitem ipsivs $f$ in $a$ esse $L$ id significat qvod seqvitvr.

(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)

Cetera omnia ex ea redvctione obtenta svnt: regvlae compvtandi, ad inaeqvalitatem; limites laterales, ad limites restrictionvm; limites ad infinitvm, ad limites laterales in nihilo; limites infiniti, ad limites nvllos inversorvm; et continvitas, ad limitem valori aeqvalem.

Definitio et algebra limitis

Prima lectio definitionem vt lvdvm provocationis et responsionis legit, vt envntiatvm qvantificatvm scripsit eivsqve negationem qvantificatore post qvantificatorem obtinvit. Postvlato vt $a$ pvnctvm accvmvlationis dominii sit, vnicitatem limitis demonstravit; et provocationibvs antea electis, limitem ex solis valoribvs pvncto propinqvis pendere, fvnctionem cogere vt prope id circvmscripta maneat et, si nihilvm non est, ei svvm signvm imponere. Lectio de algebra limitvm demonstrationes ordinavit vt itervm adhiberentvr: tria lemmata, per epsilon et delta demonstrata, ostendvnt omnem fvnctionem $F$ qvae prope $a$ marginem formae $\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)$ servet ad $K$ tendere, et qvaeqve regvla ad talem marginem inveniendvm redacta est: ea combinationis linearis ex inaeqvalitate triangvlari oritvr, ea prodvcti ex circvmscriptione locali et ea inversi ex conservatione signi, cvm lemmate qvod praestat restrictionem dominii limitem non amittere. Inde secvta svnt svbstitvtio directa in polynomiis et in fvnctionibvs rationalibvs, limites radicvm et potentiarvm exponentis rationalis, et theorema compositionis, qvod mvtationem variabilis ivstificat hypothesi qvam exemplvm contrarivm necessariam esse ostendit: vt fvnctio interior valorem svi limitis prope pvnctvm non capiat. Lectio de theoremate compressionis demonstravit limites inaeqvalitates non strictas conservare, fvnctionem inter dvas inclvsam qvae ad evndem nvmervm tendvnt ad evm qvoqve tendere, et prodvctvm fvnctionis circvmscriptae et fvnctionis ad nihilvm tendentis ad nihilvm tendere; margine $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ et inaeqvalitate inter sinvm, arcvm et tangentem limitem fvndamentalem $\frac{\sin x}{x} \to 1$ eivsqve conseqventias obtinvit.

Latera, infinitvm et asymptoti

Lectio de limitibvs lateralibvs eos definivit vt limites restrictionis fvnctionis ad vnvm latvs pvncti. Hoc consilio omnis labor reliqvvs vitatvs est: theoremata svperiora de eis sine nova demonstratione valent, et limes exsistit si et solvm si dvo limites laterales exsistvnt et aeqvales svnt. Eadem lectio primvm, valore non compvtato, limitem exsistere demonstravit: fvnctio crescens et svperne circvmscripta in intervallo ad svpremvm valorvm svorvm in termino dextro tendit, idqve completvdo praestat. Lectio de limitibvs cvm variabilis ad infinitvm tendit vnvmqvemqve eorvm, lemmate inversionis, ad limitem lateralem in nihilo redegit, et ita habitvm fvnctionvm rationalivm procvl ab origine obtinvit. Lectio de limitibvs infinitis schema complevit casv qvo valores sine margine crescvnt: lemma inversi eos in limites nvllos convertit, ita vt regvlae qvae vt « $\infty + c = \infty$ » vel « $c \cdot \infty = \infty$ » svmmatim dicvntvr theoremata cvm hypothesibvs sint, et qvattvor formae indeterminatae monita, non effectvs. Deniqve lectio de asymptotis eas per limites definivit, declivitatem et ordinatam in origine asymptoti non verticalis vt dvos limites invenit, vnde in vtroqve fine vna ad svmmvm est, asymptotos verticales fvnctionvm rationalivm demonstravit et advmbrationem delineationis sine derivatis ordinavit; ostendit etiam cvrvam asymptotvm svam secare posse.

Continvitas et comparatio fvnctionvm

Lectio de limite et continvitate continvitatem in pvncto dominii definivit, demonstravit eam in pvncto accvmvlationis aeqvivalere ei qvod limes valor sit, et discontinvitates in evitabiles, saltvs et essentiales distribvit. Regvlae algebrae limitvm continvitatem operationvm dedervnt, et compositio fvnctionvm continvarvm continva evasit sine hypothesi qvam theorema compositionis limitvm postvlabat; inde seqvitvr limitem intra fvnctionem continvam transire. Lectio de continvitate fvnctionvm elementarivm vno argvmento, eo fvnctionvm monotonarvm qvarvm imago intervallvm est, continvitatem exponentialis, logarithmi, potentiarvm exponentis realis et fvnctionvm trigonometricarvm inversarvm demonstravit; ea et inaeqvalitate $e^x \geq 1 + x$ limites notabiles, nvmervm $e$ vt limitem et formam $1^\infty$ obtinvit, et exponentialem, potentias et logarithmvm ad infinitvm comparavit. Lectio de infinitesimis et infinitis aeqvivalentibvs omnes eos limites vt comparationes inter fvnctiones legit: $\operatorname{o}$ parvvm, $\operatorname{O}$ magnvm et aeqvivalentiam definivit, demonstravit in prodvcto vel qvotiente qvemqve factorem alio aeqvivalenti svbstitvi posse, et limites svperiores in tabvlam aeqvivalentivm in nihilo collegit.

Qvae admittvntvr, qvae demonstrantvr, qvae restant

Ratio partis sic svmmatim reddi potest:

Vnvm tantvm axioma admittitvr: completvdinis, vna cvm axiomatibvs corporis et ordinis, secvndvm qvod omnis copia non vacva realivm svperne circvmscripta svpremvm habet. Adhibentvr praeterea effectvs in Algebra et Geometria demonstrati: inaeqvalitas inter sinvm, arcvm et tangentem, formvlae de svmma in prodvctvm, inaeqvalitas $e^x \geq 1 + x$ , monotonia exponentialis et theorema factoris.
Demonstrantvr facta qvae Algebra et Geometria admiserat: asymptoti verticales et ad infinitvm fvnctionvm rationalivm, et continvitas fvnctionvm rationalivm, trigonometricarvm et trigonometricarvm inversarvm.
Qvinqve instrvmenta itervm adhibentvr loco argvmentorvm repetendorvm: tria lemmata marginis, conservatio signi, restrictio dominii (praesertim ad vnvm latvs pvncti), inversio et inversvm.
In postervm differtvr qvod plvs qvam limites postvlat: theorema valoris intermedii et derivatae, in parte qvae seqvitvr; theorema Weierstrassii et regvla Hospitalii, in tertia; et polynomivm Taylorianvm, in Calcvlo II.

Pictvra qvae seqvitvr tria segmenta in vnam catenam colligit. Qvisqve nodvs colvmnae est definitio avt theorema, secvndvm ordinem logicvm nvmeratvs et arcv cvm anvlis svperioribvs conivnctvs qvibvs eivs demonstratio vtitvr; circvm flvitant fvlcra, id est principia et instrvmenta ad qvae catena itervm atqve itervm recvrrit, qvodqve linea continva cvm anvlis qvi ei nitvntvr conivnctvm et linea pvnctata cvm anvlo vbi statvitvr, exceptis iis qvae ex Algebra et Geometria provenivnt, qvae vt circvli vacvi pingvntvr. Fvlcro pvlsato omnes anvli qvi eo vtvntvr illvstrantvr, et qvisqve anvlvs ad lectionem remittit in qva demonstratvr.

Fvlcra catenae

AAxiomata realivm. Ex Algebra et Geometria I admittitvr reales corpvs ordinatvm completvm efficere: svmma et prodvctvm axiomatibvs corporis satisfacivnt, ordo trichotomiae satisfacit et cvm operationibvs congrvit, et omnis copia non vacva realivm svperne circvmscripta svpremvm habet. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
BHereditas Algebrae et Geometriae. Effectvs in Algebra et Geometria I et II demonstrati: resolvtio ipsivs $u^n - v^n$ in factores et potentia exponentis rationalis, $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ et $\sin x < x < \tan x$ si $0 < x < \frac{\pi}{2}$ , formvlae de svmma in prodvctvm et redvctionis potentiarvm, inaeqvalitas $e^x \geq 1 + x$ , monotonia et copia imaginvm exponentialis, fvnctiones trigonometricae inversae, theorema factoris et tabvlae signorvm. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
CCriterivm marginis. Si prope $a$ valet $\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)$ , cvm $C > 0$ , $f \to L$ et $g \to M$ , tvm $F \to K$ ; qvaeqve regvla ad talem marginem inveniendvm redigitvr. Constitvitvr in: 4. Tria lemmata.
DCircvmscriptio localis et signvm. Si $f$ ad $L$ in $a$ tendit, prope $a$ valet $\abs{f(x)} < \abs{L} + 1$ ; et si $L \neq 0$ , prope $a$ fvnctio signvm ipsivs $L$ habet et $\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}$ . Constitvitvr in: 3. Proprietates locales.
EMvtatio variabilis. Si $g(x) \to b$ , $f(t) \to L$ cvm $t \to b$ , et $g(x) \neq b$ prope $a$ , tvm $f(g(x)) \to L$ . Constitvitvr in: 8. Limes compositionis.
FRestrictio. Si $f$ ad $L$ in $a$ tendit et $a$ est pvnctvm accvmvlationis svbcopiae $B$ dominii, restrictio ipsivs $f$ ad $B$ qvoqve ad $L$ tendit; limes lateralis est limes restrictionis, ideoqve omnia theoremata de limitibvs de limitibvs lateralibvs valent. Constitvitvr in: 5. Limes restrictionis.
GInversio. Limes ipsivs $f$ in $\infty$ est limes ipsivs $f\left(\frac{1}{t}\right)$ cvm $t$ ad $0$ a dextra tendit, et is in $-\infty$ , a sinistra; ideo omnia theoremata de limitibvs ad infinitvm valent. Constitvitvr in: 15. Lemma inversionis.
HInversvm. Fvnctio ad $\infty$ tendit si et solvm si prope metam positiva est et eivs inversvm ad $0$ tendit; ideo regvlae limitvm finitorvm de infinitis decernvnt. Constitvitvr in: 17. Lemma inversi.

Segmentvm 1 Definitio et algebra limitis
- Limitem in pvncto accvmvlationis per epsilon et delta definire, evm vt envntiatvm qvantificatvm scribere et negare, eivsqve vnicitatem et proprietates locales demonstrare.
- Qvamqve regvlam algebrae limitvm per tria lemmata ad marginem redigere, et limites fvnctionvm rationalivm, radicvm et potentiarvm obtinere.
- Variabilem mvtare theoremate compositionis, eivs hypothesi agnita.
- Theorema compressionis demonstrare et, eo adhibito, limitem fvndamentalem trigonometriae eivsqve conseqventias.
1. Definitio limitis. Si $a$ est pvnctvm accvmvlationis dominii $A$ fvnctionis $f$ , limes ipsivs $f$ in $a$ est $L$ cvm $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)$ ; et non est cvm $(\exists \varepsilon > 0)(\forall \delta > 0)(\exists x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \wedge \abs{f(x) - L} \geq \varepsilon\right)$ .
  Demonstratvr in: Limes fvnctionvm vnivs variabilis realis.
2. Vnicitas limitis. Si $a$ est pvnctvm accvmvlationis dominii ipsivs $f$ , $\lim_{x \to a} f(x) = L$ et $\lim_{x \to a} f(x) = L'$ , tvm $L = L'$ .
  Vtitvr: 1. Definitio limitis. Nititvr: A (Axiomata realivm). Demonstratvr in: Limes fvnctionvm vnivs variabilis realis.
3. Proprietates locales. Limes in $a$ ex solis valoribvs fvnctionis in intervallo perforato centri $a$ pendet; si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ , prope $a$ valet $\abs{f(x)} < \abs{L} + 1$ , et si praeterea $L \neq 0$ , $f(x)$ signvm ipsivs $L$ habet et $\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}$ .
  Vtitvr: 1. Definitio limitis. Nititvr: A (Axiomata realivm). Demonstratvr in: Limes fvnctionvm vnivs variabilis realis.
4. Tria lemmata. Limes ipsivs $f$ in $a$ est $L$ si et solvm si is ipsivs $\abs{f(x) - L}$ est $0$ ; si $\abs{f(x) - L} \leq C\abs{h(x)}$ prope $a$ , cvm $C > 0$ et $\lim_{x \to a} h(x) = 0$ , tvm $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ; et svmma dvarvm distantiarvm ad nihilvm tendentivm ad nihilvm tendit.
  Vtitvr: 1. Definitio limitis. Demonstratvr in: Algebra limitvm.
5. Limes restrictionis. Si $B$ est svbcopia dominii $A$ fvnctionis $f$ , $a$ est pvnctvm accvmvlationis ipsivs $B$ et $\lim_{x \to a} f(x) = L$ , tvm restrictio ipsivs $f$ ad $B$ qvoqve ad $L$ in $a$ tendit: responsio qvae in $A$ valet in $B$ valet.
  Vtitvr: 1. Definitio limitis. Demonstratvr in: Algebra limitvm.
6. Algebra limitvm. Si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ et $\lim_{x \to a} g(x) = M$ , tvm $\alpha f + \beta g$ ad $\alpha L + \beta M$ tendit et $fg$ ad $LM$ ; et si $M \neq 0$ , $\frac{1}{g}$ ad $\frac{1}{M}$ tendit et $\frac{f}{g}$ ad $\frac{L}{M}$ .
  Vtitvr: 3. Proprietates locales, 4. Tria lemmata. Nititvr: C (Criterivm marginis), D (Circvmscriptio localis et signvm), F (Restrictio). Demonstratvr in: Algebra limitvm.
7. Polynomia, radices et potentiae. Polynomivm, et fvnctio rationalis cvivs denominator in $a$ non evanescit, pro limite in $a$ valorem svvm habent; $\sqrt[n]{f(x)}$ ad $\sqrt[n]{L}$ tendit, cvm $f \geq 0$ si $n$ par est; et si $L > 0$ , $\left(f(x)\right)^{\frac{p}{q}}$ ad $L^{\frac{p}{q}}$ tendit.
  Vtitvr: 1. Definitio limitis, 6. Algebra limitvm. Nititvr: B (Hereditas Algebrae et Geometriae), C (Criterivm marginis), D (Circvmscriptio localis et signvm). Demonstratvr in: Algebra limitvm.
8. Limes compositionis. Si $\lim_{x \to a} g(x) = b$ , $\lim_{t \to b} f(t) = L$ et $g(x) \neq b$ prope $a$ , tvm $\lim_{x \to a} f(g(x)) = L$ ; sine hypothesi $g(x) \neq b$ , conclvsio deficere potest.
  Vtitvr: 1. Definitio limitis. Demonstratvr in: Algebra limitvm.
9. Conservatio inaeqvalitatvm. Si $f(x) \leq g(x)$ prope $a$ , $\lim_{x \to a} f(x) = L$ et $\lim_{x \to a} g(x) = M$ , tvm $L \leq M$ ; inaeqvalitas stricta non conservatvr.
  Vtitvr: 6. Algebra limitvm. Nititvr: D (Circvmscriptio localis et signvm). Demonstratvr in: Theorema compressionis et limites trigonometrici.
10. Theorema compressionis. Si $h(x) \leq f(x) \leq g(x)$ prope $a$ et $h$ et $g$ ad $L$ tendvnt, $f$ qvoqve ad $L$ tendit; et prodvctvm fvnctionis prope $a$ circvmscriptae et fvnctionis ad $0$ tendentis ad $0$ tendit.
  Vtitvr: 4. Tria lemmata. Nititvr: C (Criterivm marginis). Demonstratvr in: Theorema compressionis et limites trigonometrici.
11. Sinvs et cosinvs. Pro omnibvs realibvs $x$ et $a$ , $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ et $\abs{\cos x - \cos a} \leq \abs{x - a}$ ; itaqve $\lim_{x \to a} \sin x = \sin a$ et $\lim_{x \to a} \cos x = \cos a$ .
  Vtitvr: 4. Tria lemmata. Nititvr: B (Hereditas Algebrae et Geometriae), C (Criterivm marginis). Demonstratvr in: Theorema compressionis et limites trigonometrici.
12. Limes fvndamentalis. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ; et cvm $x$ ad $0$ tendit, $\frac{\tan x}{x}$ ad $1$ tendit, $\frac{\sin kx}{x}$ ad $k$ et $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ ad $\frac{1}{2}$ .
  Vtitvr: 6. Algebra limitvm, 10. Theorema compressionis, 11. Sinvs et cosinvs. Nititvr: B (Hereditas Algebrae et Geometriae), E (Mvtatio variabilis). Demonstratvr in: Theorema compressionis et limites trigonometrici.
Segmentvm 2 Latera, infinitvm et asymptoti
- Limites laterales vt limites restrictionvm definire, ita vt omnia theoremata hereditate accipiant, et limitem per dvo eivs latera describere.
- Ex completvdine limitem fvnctionis monotonae et circvmscriptae vt svpremvm obtinere.
- Limites ad infinitvm ad limites laterales in nihilo, et limites infinitos ad limites nvllos redigere, cvm eorvm regvlis et formis indeterminatis.
- Asymptotos fvnctionis dvobvs limitibvs compvtare, verticales fvnctionvm rationalivm demonstrare et delineationes sine derivatis advmbrare.
1. Limites laterales. Limes a dextra ipsivs $f$ in $a$ est limes in $a$ restrictionis eivs ad pvncta dominii maiora qvam $a$ , et limes a sinistra, ad minora; si $a$ est pvnctvm accvmvlationis ex vtraqve parte, $f$ limitem $L$ in $a$ habet si et solvm si dvo limites laterales exsistvnt et $L$ valent.
  Vtitvr: 1. Definitio limitis, 5. Limes restrictionis, 2. Vnicitas limitis. Demonstratvr in: Limites laterales.
2. Fvnctiones monotonae. Si $f$ crescens et svperne circvmscripta in $\ioo{c}{b}$ est, tvm $\lim_{x \to b^-} f(x) = \sup\left\{ f(x) : c < x < b \right\}$ ; et si crescens et inferne circvmscripta est, eivs limes a dextra in $c$ est infimvm valorvm eivs.
  Vtitvr: 6. Algebra limitvm, 13. Limites laterales. Nititvr: A (Axiomata realivm), E (Mvtatio variabilis), F (Restrictio). Demonstratvr in: Limites laterales.
3. Lemma inversionis. Limes ipsivs $f$ in $\infty$ est $L$ si pro omni $\varepsilon > 0$ exsistit $M$ talis vt $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$ cvm $x > M$ ; et valet $\lim_{x \to \infty} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{t \to 0^+} f\left(\frac{1}{t}\right) = L$ , et eodem modo in $-\infty$ cvm limite a sinistra.
  Vtitvr: 13. Limites laterales. Demonstratvr in: Limites cvm variabilis ad infinitvm tendit.
4. Fvnctiones rationales ad infinitvm. Pro omni rationali $r > 0$ , $\frac{1}{x^r}$ ad $0$ in $\infty$ tendit; et qvotiens dvorvm polynomiorvm gradvvm $n$ et $m$ tendit, in $\pm\infty$ , ad $0$ si $n < m$ , ad qvotientem coefficientivm principalivm si $n = m$ , et limitem finitvm non habet si $n > m$ .
  Vtitvr: 2. Vnicitas limitis, 6. Algebra limitvm, 7. Polynomia, radices et potentiae. Nititvr: D (Circvmscriptio localis et signvm), F (Restrictio), G (Inversio). Demonstratvr in: Limites cvm variabilis ad infinitvm tendit.
5. Lemma inversi. $f$ ad $\infty$ tendit in meta $P$ , qvae est pvnctvm, latvs pvncti vel $\pm\infty$ , si pro omni reali $N$ valet $f(x) > N$ prope $P$ ; hoc accidit si et solvm si $f$ prope $P$ positiva est et $\frac{1}{f}$ ad $0$ tendit; et $f$ ad $-\infty$ tendit si et solvm si $-f$ ad $\infty$ tendit.
  Vtitvr: 1. Definitio limitis. Demonstratvr in: Limites infiniti.
6. Regvlae cvm limitibvs infinitis. Si $f \leq g$ prope $P$ et $f$ ad $\infty$ tendit, etiam $g$ ; si $f$ ad $\infty$ tendit, etiam $f + g$ si $g$ inferne circvmscripta est, et $fg$ si $g$ ad nvmervm positivvm vel ad $\infty$ tendit; et qvotiens cvivs nvmerator ad nvmervm positivvm tendit et cvivs denominator ad $0$ valoribvs positivis tendit ad $\infty$ tendit.
  Vtitvr: 6. Algebra limitvm. Nititvr: D (Circvmscriptio localis et signvm), F (Restrictio), G (Inversio), H (Inversvm). Demonstratvr in: Limites infiniti.
7. Monotonae non circvmscriptae. Si $f$ crescens est in $\ioo{c}{b}$ , cvm $b$ reali vel $b = \infty$ , et svperne circvmscripta non est, tvm $f$ ad $\infty$ a sinistra in $b$ tendit, vel in $\infty$ si $b = \infty$ .
  Vtitvr: 17. Lemma inversi. Demonstratvr in: Limites infiniti.
8. Compositio cvm limite infinito. Si $g$ ad $\infty$ in $P$ tendit et $f(u)$ ad $L$ tendit cvm $u$ ad $\infty$ tendit, tvm $f(g(x))$ ad $L$ in $P$ tendit, nvlla hypothesi de valoribvs ipsivs $g$ ; et idem si $f(u)$ ad $\infty$ vel ad $-\infty$ tendit.
  Vtitvr: 15. Lemma inversionis, 17. Lemma inversi. Demonstratvr in: Limites infiniti.
9. Calcvlvs asymptoti. Recta $y = mx + b$ est asymptotvs delineationis ipsivs $f$ in $\infty$ , id est $f(x) - (mx + b)$ ad $0$ tendit, si et solvm si $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ et $b = \lim_{x \to \infty} \left(f(x) - mx\right)$ ; itaqve in vtroqve fine vna ad svmmvm asymptotvs non verticalis est.
  Vtitvr: 2. Vnicitas limitis, 6. Algebra limitvm, 16. Fvnctiones rationales ad infinitvm. Nititvr: G (Inversio). Demonstratvr in: Asymptoti et artes repraesentationis graphicae.
10. Asymptoti verticales. Si $r$ est radix polynomii $B$ et $A(r) \neq 0$ , recta $x = r$ est asymptotvs verticalis delineationis ipsivs $\frac{A}{B}$ , et ex vtraqve parte ipsivs $r$ fvnctio ad $\infty$ vel ad $-\infty$ tendit secvndvm signvm qvod ei tabvla signorvm in intervallo contigvo tribvit.
  Vtitvr: 7. Polynomia, radices et potentiae, 18. Regvlae cvm limitibvs infinitis. Nititvr: B (Hereditas Algebrae et Geometriae), D (Circvmscriptio localis et signvm), F (Restrictio). Demonstratvr in: Asymptoti et artes repraesentationis graphicae.
Segmentvm 3 Continvitas et comparatio fvnctionvm
- Continvitatem definire, eam cvm limite conferre et discontinvitates in evitabiles, saltvs et essentiales distribvere.
- Demonstrare operationes et compositionem continvitatem conservare, et limitem intra fvnctionem continvam transire.
- Continvitatem fvnctionvm elementarivm argvmento fvnctionvm monotonarvm demonstrare et, ea adhibita, limites notabiles et formam $1^\infty$ .
- Fvnctiones per $\operatorname{o}$ parvvm et aeqvivalentiam comparare, et aeqvivalentia in prodvctis et qvotientibvs svbstitvere, non avtem in svmmis.
1. Continvitas et limes. $f$ continva est in pvncto $a$ dominii svi $A$ si $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)$ ; si $a$ est pvnctvm accvmvlationis ipsivs $A$ , hoc aeqvivalet ei qvod $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ , et si pvnctvm isolatvm est, semper valet.
  Vtitvr: 1. Definitio limitis. Demonstratvr in: Limes et continvitas.
2. Operationes cvm fvnctionibvs continvis. Combinationes lineares, prodvcta, qvotientes cvm denominatore non nvllo et radices fvnctionvm in $a$ continvarvm in $a$ continva svnt; itaqve in dominio svo continva svnt polynomia, fvnctiones rationales, radices, valor absolvtvs, sinvs, cosinvs et tangens.
  Vtitvr: 6. Algebra limitvm, 7. Polynomia, radices et potentiae, 11. Sinvs et cosinvs, 23. Continvitas et limes. Nititvr: C (Criterivm marginis). Demonstratvr in: Limes et continvitas.
3. Compositio fvnctionvm continvarvm. Si $g$ continva est in $a$ et $f$ continva est in $g(a)$ , tvm $f \circ g$ continva est in $a$ ; et si $g(x)$ ad $b$ tendit et $f$ continva est in $b$ , tvm $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(b)$ , etiam ex vna parte vel in $\pm\infty$ .
  Vtitvr: 3. Proprietates locales, 23. Continvitas et limes. Nititvr: F (Restrictio), G (Inversio). Demonstratvr in: Limes et continvitas.
4. Fvnctiones elementares continvae. Fvnctio in intervallo definita, in eo monotona et cvivs imago intervallvm est continva est, et inversa qvoqve fvnctionis stricte monotonae his proprietatibvs praeditae; ideo in dominio svo continvae svnt exponentialis, logarithmvs, potentiae exponentis realis, fvnctiones trigonometricae inversae et hyperbolicae.
  Vtitvr: 13. Limites laterales, 14. Fvnctiones monotonae, 23. Continvitas et limes, 24. Operationes cvm fvnctionibvs continvis, 25. Compositio fvnctionvm continvarvm. Nititvr: B (Hereditas Algebrae et Geometriae). Demonstratvr in: Continvitas fvnctionvm elementarivm et limites notabiles.
5. Limites notabiles. Cvm $x$ ad $0$ tendit, $\frac{e^x - 1}{x}$ et $\frac{\ln(1 + x)}{x}$ ad $1$ tendvnt, $\frac{a^x - 1}{x}$ ad $\ln a$ et $\frac{\left(1 + x\right)^r - 1}{x}$ ad $r$ ; praeterea $\left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}$ ad $e$ in $0$ tendit, et $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ , in $\pm\infty$ .
  Vtitvr: 6. Algebra limitvm, 10. Theorema compressionis, 13. Limites laterales, 26. Fvnctiones elementares continvae, 25. Compositio fvnctionvm continvarvm. Nititvr: B (Hereditas Algebrae et Geometriae), E (Mvtatio variabilis), G (Inversio). Demonstratvr in: Continvitas fvnctionvm elementarivm et limites notabiles.
6. Forma vnvm elatvm ad infinitvm. Si $f > 0$ prope $P$ , $f(x)$ ad $1$ tendit et $g(x)\left(f(x) - 1\right)$ ad realem $\lambda$ tendit, tvm $\left(f(x)\right)^{g(x)}$ ad $e^{\lambda}$ tendit.
  Vtitvr: 6. Algebra limitvm, 26. Fvnctiones elementares continvae, 25. Compositio fvnctionvm continvarvm, 27. Limites notabiles. Demonstratvr in: Continvitas fvnctionvm elementarivm et limites notabiles.
7. Exponentiales, potentiae et logarithmi. Si $r > 0$ et $a > 1$ , $\frac{x^r}{a^x}$ et $\frac{\ln x}{x^r}$ ad $0$ in $\infty$ tendvnt, et $x^r \ln x$ ad $0$ tendit cvm $x$ ad $0$ a dextra tendit.
  Vtitvr: 10. Theorema compressionis, 16. Fvnctiones rationales ad infinitvm, 19. Monotonae non circvmscriptae, 20. Compositio cvm limite infinito. Nititvr: B (Hereditas Algebrae et Geometriae), G (Inversio). Demonstratvr in: Continvitas fvnctionvm elementarivm et limites notabiles.
8. Comparatio fvnctionvm. $f = \operatorname{o}(g)$ in $P$ si $\frac{f}{g}$ ad $0$ tendit, et $f \sim g$ si ad $1$ tendit; aeqvivalentia reflexiva, symmetrica et transitiva est, et $f \sim g$ si et solvm si $f - g = \operatorname{o}(g)$ .
  Vtitvr: 6. Algebra limitvm. Demonstratvr in: Infinitesima et infinita aeqvivalentia.
9. Svbstitvtio aeqvivalentivm. Si $f \sim f_1$ et $g \sim g_1$ in $P$ , tvm $\frac{f h}{g}$ limitem, finitvm vel infinitvm, habet si et solvm si $\frac{f_1 h}{g_1}$ evm habet, et ambo congrvvnt; theorema de factoribvs valet, non de addendis.
  Vtitvr: 6. Algebra limitvm, 18. Regvlae cvm limitibvs infinitis, 30. Comparatio fvnctionvm. Demonstratvr in: Infinitesima et infinita aeqvivalentia.
10. Svmma aeqvivalentivm eivsdem signi. Si $f_1 \sim g_1$ et $f_2 \sim g_2$ in $P$ , et $g_1$ et $g_2$ ambae positivae, vel ambae negativae, prope $P$ svnt, tvm $f_1 + f_2 \sim g_1 + g_2$ .
  Vtitvr: 4. Tria lemmata, 10. Theorema compressionis, 30. Comparatio fvnctionvm. Nititvr: C (Criterivm marginis). Demonstratvr in: Infinitesima et infinita aeqvivalentia.
11. Tabvla aeqvivalentivm. In $0$ , $\sin x$ , $\tan x$ , $\arctan x$ , $e^x - 1$ et $\ln(1 + x)$ aeqvivalentes svnt ipsi $x$ , $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ , $a^x - 1 \sim x \ln a$ , $\left(1 + x\right)^r - 1 \sim r x$ , et omne polynomivm aeqvivalens est termino svo gradvs minimi; aeqvivalentiae valent cvm qvalibet fvnctione qvae ad $0$ tendit nec evanescit loco ipsivs $x$ .
  Vtitvr: 7. Polynomia, radices et potentiae, 12. Limes fvndamentalis, 27. Limites notabiles. Nititvr: E (Mvtatio variabilis). Demonstratvr in: Infinitesima et infinita aeqvivalentia.

Ad derivatam. Catena ibi consistit vbi limes obiectvm stvdii esse desinit et instrvmentvm fit: pars qvae seqvitvr derivatam vt limitem qvotientis incrementalis definit, eivs regvlas ex algebra limitvm et ex compositione obtinet, derivatas fvnctionvm elementarivm ex limitibvs notabilibvs, et theorema valoris intermedii ex conservatione signi et completvdine.