Πρόγραμμα σπουδών του Λογισμού I

Σκοπός και σε ποιους απευθύνεται

Τρία αρχαία προβλήματα οδήγησαν στον απειροστικό λογισμό: η ταχύτητα ενός κινητού σε μια στιγμή, η κλίση της εφαπτομένης σε μια καμπύλη και το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου σχήματος. Και στα τρία, η άμεση αντικατάσταση δίνει $\frac{0}{0}$ ή ένα άθροισμα χωρίς νόημα, και η σωστή απάντηση είναι εκείνο που πλησιάζουν οι προσεγγίσεις. Ο κύκλος αυτός δίνει σε αυτή την ιδέα του πλησιάσματος έναν ακριβή ορισμό, το όριο, και μελετά με αυτόν τα δύο πρώτα προβλήματα, που οδηγούν στην παράγωγο· το τρίτο οδηγεί στο ολοκλήρωμα, αντικείμενο του κύκλου Λογισμός II: ολοκληρωτικός λογισμός.

Ο σκοπός του είναι να θεμελιώσει τον διαφορικό λογισμό των συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής πάνω στον ορισμό του ορίου και στο αξίωμα πληρότητας, και να συναγάγει από αυτά, με πλήρεις αποδείξεις, όσα η παράγωγος επιτρέπει να γνωρίζουμε για τη μεταβολή, τη μορφή και τα ακρότατα μιας συνάρτησης. Αν αυτό ισχύει, ο κύκλος δεν είναι μια συλλογή κανόνων παραγώγισης, αλλά ένα παραγωγικό οικοδόμημα: κάθε αποτέλεσμα που χρησιμοποιείται διατυπώνεται και αποδεικνύεται, ή δηλώνεται ρητά ότι γίνεται δεκτό όταν η απόδειξή του ανήκει σε άλλον κύκλο, όπως συμβαίνει με το θεώρημα που εξασφαλίζει την ύπαρξη των συναρτήσεων που ορίζονται πεπλεγμένα ή με την ταχύτητα με την οποία συγκλίνει η μέθοδος Νεύτωνα-Ράφσον, που απαιτούν μεταγενέστερα εργαλεία. Οι ορισμοί γράφονται ως προτάσεις με ποσοδείκτες, και οι αποδείξεις με έψιλον και δέλτα οργανώνονται ώστε να επαναχρησιμοποιούνται: τρία λήμματα του μαθήματος για την άλγεβρα των ορίων στηρίζουν τους κανόνες των ορίων, και η παραγοντοποίηση του Καραθεοδωρή, τους κανόνες παραγώγισης.

Απευθύνεται σε όποιον έχει ολοκληρώσει τον κύκλο Άλγεβρα και γεωμετρία II ή κατέχει με άλλον τρόπο τα περιεχόμενά του: σε φοιτητές του πρώτου πανεπιστημιακού έτους στις θετικές επιστήμες, στη μηχανική, στα οικονομικά ή στην παιδαγωγική των μαθηματικών, σε μαθητές των τελευταίων τάξεων της σχολικής εκπαίδευσης που προετοιμάζουν την εισαγωγή τους στο πανεπιστήμιο, και σε όποιον θέλει να ανασυνθέσει με αυστηρότητα έναν απειροστικό λογισμό που έμαθε ως σύνολο κανόνων.

Προαπαιτούμενες γνώσεις και μαθήματα

Προαπαιτούμενο του κύκλου είναι ο κύκλος Άλγεβρα και γεωμετρία II, που προϋποθέτει με τη σειρά του τον κύκλο Άλγεβρα και γεωμετρία I. Από τους δύο, ο κύκλος χρησιμοποιεί κυρίως το αξίωμα πληρότητας των πραγματικών αριθμών, με το supremum και το infimum, και τον λογισμό με ανισότητες και απόλυτες τιμές, που θεμελιώνει το μάθημα για την πραγματική ευθεία και πάνω στα οποία στηρίζονται τα θεωρήματα του Μπολτσάνο, του Βάιερστρας και μέσης τιμής· τις συναρτήσεις, τις αντίστροφές τους, τους μετασχηματισμούς τους και τους πίνακες προσήμων τους· τις δυνάμεις με πραγματικό εκθέτη, τον αριθμό $e$ και τη φυσική εκθετική συνάρτηση, τον λογάριθμο και τις υπερβολικές συναρτήσεις· την επαγωγή και το διωνυμικό θεώρημα· και, από την Άλγεβρα και γεωμετρία II, τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, τις αντίστροφές τους, τους τύπους αθροίσματος και μετατροπής αθροισμάτων σε γινόμενα, και την ανισότητα $\sin x < x < \tan x$ για $0 < x < \frac{\pi}{2}$, από την οποία εξαρτάται η παράγωγος του ημιτόνου.

Ωστόσο, πολλά από αυτά τα αποτελέσματα έγιναν δεκτά εκεί χωρίς απόδειξη, επειδή απαιτούσαν το όριο: η συνέχεια των ρητών και των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, οι ασύμπτωτες και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών. Ο κύκλος αυτός τα αποδεικνύει ένα προς ένα. Όποιος αμφιβάλλει για κάποια από τις προαπαιτούμενες γνώσεις μπορεί να επιστρέψει στη σύνθεση της αντίστοιχης ενότητας της Άλγεβρας και γεωμετρίας· επιπλέον, η αρχική αξιολόγηση κάθε ενότητας περιλαμβάνει ερωτήσεις για όσα η ενότητα θεωρεί γνωστά, με το μάθημα που αξίζει να επαναληφθεί για κάθε λάθος.

Ο κύκλος είναι σχεδιασμένος, τέλος, για να παρακολουθείται παράλληλα με έναν κύκλο κατηγορηματικής λογικής, τη Μαθηματική λογική II, που προβλέπεται στον ιστότοπο: τα μαθήματα γράφουν τους ορισμούς ως προτάσεις με ποσοδείκτες και επεξεργάζονται την άρνησή τους χωρίς να εξαρτώνται από εκείνον τον κύκλο. Όποιος θέλει να αποκτήσει πρώτα τη συνήθεια της τυπικής απαγωγής μπορεί να μελετήσει τον κύκλο Μαθηματική λογική I: προτασιακή λογική.

Πού οδηγεί

Δύο κύκλοι μαθημάτων έχουν αυτόν ως προαπαιτούμενο. Ο κύκλος Λογισμός II: ολοκληρωτικός λογισμός θα ορίσει το ολοκλήρωμα ως το όριο αθροισμάτων εμβαδών ορθογωνίων, θα το συνδέσει με την παράγωγο μέσω του θεμελιώδους θεωρήματος, του οποίου βάση είναι το πόρισμα σύμφωνα με το οποίο δύο συναρτήσεις με την ίδια παράγωγο διαφέρουν κατά μια σταθερά, και θα διατρέξει αντίστροφα τους κανόνες παραγώγισης: η αντικατάσταση αντιστρέφει τον κανόνα της αλυσίδας, και η ολοκλήρωση κατά παράγοντες, τον κανόνα του γινομένου. Ο κύκλος Μηχανική I: βασικές αρχές της μηχανικής θα πάρει την ταχύτητα και την επιτάχυνση ως την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της θέσης. Μετά τον Λογισμό II, ο κύκλος Λογισμός III: λογισμός πολλών μεταβλητών θα επεκτείνει το όριο, την παράγωγο και τα ακρότατα στις συναρτήσεις πολλών μεταβλητών.

Από αυτό προκύπτει τι αφήνει ο κύκλος αυτός, με ρητή απόφαση, στους κύκλους που ακολουθούν. Στον Λογισμό II, την ομοιόμορφη συνέχεια, τις παράγουσες, τις ακολουθίες, που θα ανοίξουν τον δρόμο προς το ορισμένο ολοκλήρωμα και, στο τέλος, τις σειρές, και το πολυώνυμο του Τέιλορ, που θα φράξει το σφάλμα του διαφορικού και θα αποδείξει την τετραγωνική σύγκλιση της μεθόδου Νεύτωνα-Ράφσον. Στον Λογισμό III, τις παραμετρικές καμπύλες και το θεώρημα της πεπλεγμένης συνάρτησης, που προϋποθέτει η πεπλεγμένη παραγώγιση της ενότητας 2.

Τα αποτελέσματα του κύκλου επανεμφανίζονται επίσης σε κύκλους που δεν τον απαιτούν. Στον κύκλο Χρηματοοικονομικά μαθηματικά, ο συνεχής ανατοκισμός θα είναι ένα αξιοσημείωτο όριο, και το επιτόκιο που εξισώνει την παρούσα αξία μιας σειράς πληρωμών με ένα δεδομένο ποσό θα υπολογίζεται με τη μέθοδο Νεύτωνα-Ράφσον. Στον κύκλο Ανάλυση δεδομένων με R, τα μοντέλα αύξησης θα διακρίνονται από τη συμπεριφορά τους στο άπειρο, και ο μέσος όρος ενός συνόλου δεδομένων θα προκύπτει ως ο αριθμός που ελαχιστοποιεί ένα άθροισμα τετραγώνων. Στον κύκλο Προγραμματισμός σε C++ I, η διχοτόμηση στηρίζεται στο θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, το κόστος ενός αλγορίθμου μετριέται με τον συμβολισμό του μεγάλου $\operatorname{O}$, και η αριθμητική κινητής υποδιαστολής εξηγεί τα σφάλματα στρογγυλοποίησης με τα οποία ένας υπολογιστής ξεγελά έναν πίνακα τιμών, όπως εκείνον της ενότητας 1.

Γενικοί μαθησιακοί στόχοι

Οι στόχοι που ακολουθούν περιγράφουν τι πρέπει να μπορεί να κάνει όποιος ολοκληρώνει τον κύκλο. Ο καθένας διατυπώνεται ως παρατηρήσιμη επίδοση, ώστε να μπορεί να ελεγχθεί με μια συγκεκριμένη εργασία· κάθε μάθημα δηλώνει, με τη σειρά του, τους δικούς του στόχους, και το μάθημα ολοκλήρωσης δείχνει, μάθημα προς μάθημα, σε ποιον από αυτούς τους επτά αντιστοιχίστηκε το καθένα. Οι στόχοι αριθμούνται ώστε να μπορούν να αναφέρονται σε εκείνο το μάθημα.

1. Στόχος 1. Να αποδεικνύει τις προτάσεις του διαφορικού λογισμού με ρητό παραγωγικό συλλογισμό: να γράφει τους ορισμούς ως προτάσεις με ποσοδείκτες και να τους αρνείται, να κατασκευάζει επιχειρήματα με έψιλον και δέλτα που επαναχρησιμοποιούν τα ήδη αποδεδειγμένα λήμματα, να συνάγει τα θεωρήματα ύπαρξης από το αξίωμα πληρότητας, να δείχνει με αντιπαραδείγματα ότι μια παραδοχή δεν μπορεί να παραλειφθεί, και να διακρίνει σε κάθε απόδειξη όσα συνάγονται από όσα γίνονται δεκτά.
2. Στόχος 2. Να ορίζει και να υπολογίζει όρια συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής, πεπερασμένα, πλευρικά, στο άπειρο και άπειρα, να αίρει τις απροσδιόριστες μορφές με την άλγεβρα των ορίων, το θεώρημα της παρεμβολής, τα αξιοσημείωτα όρια, τις ισοδύναμες απειροστές και τον κανόνα του Λοπιτάλ, και να προσδιορίζει με αυτά τις ασύμπτωτες μιας συνάρτησης και τη γραφική της παράσταση.
3. Στόχος 3. Να αποφαίνεται για τη συνέχεια μιας συνάρτησης και να ταξινομεί τις ασυνέχειές της, να αποδεικνύει τη συνέχεια των στοιχειωδών συναρτήσεων και των αντιστρόφων τους, και να εφαρμόζει τα θεωρήματα του Μπολτσάνο, ενδιάμεσων τιμών και του Βάιερστρας, που στηρίζονται στο αξίωμα πληρότητας, για να αποδεικνύει την ύπαρξη λύσεων και ακρότατων τιμών και για να βρίσκει την εικόνα ενός διαστήματος.
4. Στόχος 4. Να ορίζει την παράγωγο ως όριο του λόγου μεταβολής και να τη χαρακτηρίζει μέσω της γραμμικής προσέγγισης και μέσω της παραγοντοποίησης του Καραθεοδωρή, να αποδεικνύει τους κανόνες παραγώγισης, τον κανόνα της αλυσίδας και την παράγωγο της αντίστροφης συνάρτησης, και να παραγωγίζει με αυτά τις στοιχειώδεις συναρτήσεις, τις πεπλεγμένες συναρτήσεις και τις δυνάμεις με μεταβλητό εκθέτη και να υπολογίζει τις παραγώγους ανώτερης τάξης, προσδιορίζοντας το πεδίο ορισμού κάθε παραγώγου.
5. Στόχος 5. Να αποδεικνύει και να εφαρμόζει τα θεωρήματα του Φερμά, του Ρολ, μέσης τιμής του Λαγκράνζ και μέσης τιμής του Κωσί, να συνάγει από αυτά τα κριτήρια μονοτονίας, τοπικών και ολικών ακροτάτων και κυρτότητας, και να μελετά με την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο τη μορφή της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης: αύξηση, ακρότατα, κοιλότητα, καμπή και καμπυλότητα.
6. Στόχος 6. Να προσεγγίζει τιμές συναρτήσεων και ρίζες εξισώσεων με το διαφορικό, τη μέθοδο της διχοτόμησης και τη μέθοδο Νεύτωνα-Ράφσον, να φράσσει το σφάλμα κάθε προσέγγισης με το θεώρημα μέσης τιμής, τη μονοτονία ή την κυρτότητα, και να αναγνωρίζει πότε μια μέθοδος αποτυγχάνει ή συγκλίνει αργά.
7. Στόχος 7. Να μοντελοποιεί με την παράγωγο καταστάσεις της γεωμετρίας, της φυσικής και των άλλων επιστημών, όπως ρυθμούς μεταβολής, συσχετισμένους ρυθμούς μεταβολής και προβλήματα βελτιστοποίησης, ορίζοντας με ακρίβεια τις μεταβλητές, τις μονάδες τους και το πεδίο ορισμού, και να επικοινωνεί γραπτώς τις διατυπώσεις, τους υπολογισμούς και τις αποδείξεις με σωστό συμβολισμό, συμπεριλαμβανομένου του συμβολισμού του Λάιμπνιτς, πλήρη επιχειρηματολογία και έλεγχο της αληθοφάνειας των αποτελεσμάτων.

Οι στόχοι 2, 4 και 5 αντιστοιχούν, κατά βάση, στις τρεις ενότητες περιεχομένου: ο 2 στην ενότητα 1, που μελετά τα όρια· ο 4 στην ενότητα 2, που μελετά τις παραγώγους· ο 5 στην ενότητα 3, που εφαρμόζει τα θεωρήματα μέσης τιμής. Ο κανόνας του Λοπιτάλ, αν και αποδεικνύεται στην ενότητα 3 με αφετηρία το θεώρημα μέσης τιμής του Κωσί, χρησιμεύει κυρίως για τον υπολογισμό ορίων, και γι’ αυτό ανήκει στον στόχο 2. Οι στόχοι 3 και 6 είναι νήματα που διατρέχουν τις τρεις ενότητες. Ο στόχος 3 έχει ως κύρια μαθήματα εκείνο για το όριο και τη συνέχεια της ενότητας 1, εκείνο για το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών της ενότητας 2 και εκείνο για το θεώρημα του Βάιερστρας της ενότητας 3· τα δύο τελευταία στηρίζονται στην πληρότητα, την οποία η ενότητα 1 χρησιμοποιεί ήδη για τα όρια των μονότονων συναρτήσεων. Η προσέγγιση εμφανίζεται στο κύριο μέρος ενός απειροστού, στη διχοτόμηση, στο διαφορικό και στα φράγματα που δίνει το θεώρημα μέσης τιμής, και έχει στη μέθοδο Νεύτωνα-Ράφσον το δικό της μάθημα. Ο πρώτος και ο έβδομος, αντίθετα, είναι εγκάρσιοι: δεν ανήκουν σε μία ενότητα, αλλά ασκούνται σε όλες. Από αυτό προκύπτει ότι η επίτευξή τους δεν μπορεί να αποδοθεί σε ένα ορισμένο μάθημα, και ότι αξίζει να καλλιεργούνται σε όλη τη διάρκεια του κύκλου. Ωστόσο, και οι δύο έχουν επίσης μαθήματα που τους υπηρετούν κατά κύριο λόγο: ο πρώτος, τις τρεις συνθέσεις, των οποίων το κεντρικό μέρος ανασυνθέτει την αποδεικτική αλυσίδα κάθε ενότητας· ο έβδομος, τα δύο μαθήματα στα οποία η διατύπωση του προβλήματος είναι η ίδια η ύλη, εκείνο για τους ρυθμούς μεταβολής και τους συσχετισμένους ρυθμούς και εκείνο για τα προβλήματα βελτιστοποίησης.

Περιεχόμενα

Ο κύκλος οργανώνεται σε πέντε ενότητες. Η πρώτη και η τελευταία πλαισιώνουν τη διαδρομή· οι τρεις ενδιάμεσες αναπτύσσουν τα περιεχόμενα. Καθεμιά από αυτές ανοίγει με ένα εισαγωγικό μάθημα, που παρουσιάζει τα μαθήματά της, το ιστορικό υπόβαθρο των ιδεών της, το πρόβλημα από το οποίο γεννήθηκαν και τη σημασία τους, και κλείνει με ένα μάθημα σύνθεσης, που ανασυνθέτει την αποδεικτική αλυσίδα της ενότητας, τη συνδέει με τον υπόλοιπο κύκλο και με την Άλγεβρα και γεωμετρία και προτείνει δέκα προκλήσεις μεγαλύτερης δυσκολίας από τα προβλήματα των μαθημάτων.

Ενότητα 0. Παρουσίαση του μαθήματος

Αποτελείται από αυτό το μάθημα, που ορίζει τον σκοπό, τους γενικούς στόχους, τα περιεχόμενα, τον φόρτο εργασίας και τον σχεδιασμό του κύκλου.

Ενότητα 1. Όρια και συνέχεια

Στόχος της είναι να ορίσει το όριο με έψιλον και δέλτα, να αποδείξει τους κανόνες του και να το υπολογίσει σε όλες τις μορφές του, πεπερασμένο, πλευρικό, στο άπειρο και άπειρο· να ορίσει με όρια τις ασύμπτωτες· να ορίσει τη συνέχεια και να την αποδείξει για τις στοιχειώδεις συναρτήσεις, και να συγκρίνει συναρτήσεις μέσω των ισοδύναμων απειροστών και απειριζουσών.

1. Όρια και συνέχεια: εισαγωγή.
2. Όριο συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής.
3. Άλγεβρα των ορίων.
4. Το θεώρημα της παρεμβολής και τα τριγωνομετρικά όρια.
5. Πλευρικά όρια.
6. Όρια όταν η μεταβλητή τείνει στο άπειρο.
7. Άπειρα όρια.
8. Ασύμπτωτες και τεχνικές γραφικής παράστασης.
9. Όριο και συνέχεια.
10. Συνέχεια των στοιχειωδών συναρτήσεων και αξιοσημείωτα όρια.
11. Ισοδύναμες απειροστές και απειρίζουσες συναρτήσεις.
12. Όρια και συνέχεια: σύνθεση και προκλήσεις.

Ενότητα 2. Παράγωγοι

Στόχος της είναι να ορίσει την παράγωγο ως όριο και να τη χαρακτηρίσει μέσω της γραμμικής προσέγγισης και μέσω της παραγοντοποίησης του Καραθεοδωρή· να αποδείξει τους κανόνες παραγώγισης και τον κανόνα της αλυσίδας· να αποδείξει το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, από το οποίο συνάγεται η συνέχεια της αντίστροφης που απαιτεί η παράγωγός της· να παραγωγίσει τις στοιχειώδεις συναρτήσεις, τις αντίστροφές τους, τις πεπλεγμένες συναρτήσεις και τις δυνάμεις με μεταβλητό εκθέτη, και να εφαρμόσει τις παραγώγους ανώτερης τάξης, το διαφορικό και τους ρυθμούς μεταβολής.

1. Παράγωγοι: εισαγωγή.
2. Η παράγωγος ως το όριο μιας συνάρτησης.
3. Κανόνες παραγώγισης.
4. Παράγωγοι των στοιχειωδών συναρτήσεων.
5. Κανόνας της αλυσίδας για την παράγωγο της σύνθεσης συναρτήσεων.
6. Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.
7. Παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης και πεπλεγμένη παραγώγιση.
8. Η μεταβλητή στον εκθέτη και η λογαριθμική παραγώγιση.
9. Παράγωγοι ανώτερης τάξης και διαφορικό.
10. Ρυθμοί μεταβολής και συσχετισμένοι ρυθμοί.
11. Παράγωγοι: σύνθεση και προκλήσεις.

Ενότητα 3. Εφαρμογές των παραγώγων

Στόχος της είναι να αποδείξει, με αφετηρία το αξίωμα πληρότητας, τα θεωρήματα του Βάιερστρας, του Φερμά, του Ρολ, του Λαγκράνζ και του Κωσί, και να συναγάγει από αυτά τον κανόνα του Λοπιτάλ και τα κριτήρια μονοτονίας, ακροτάτων και κυρτότητας· να μελετήσει την καμπυλότητα μιας γραφικής παράστασης, να λύσει προβλήματα βελτιστοποίησης και να προσεγγίσει ρίζες με τη μέθοδο Νεύτωνα-Ράφσον.

1. Εφαρμογές των παραγώγων: εισαγωγή.
2. Θεώρημα ακρότατων τιμών του Βάιερστρας.
3. Θεωρήματα των Φερμά, Ρολ, Λαγκράνζ και Κωσί.
4. Κανόνας του Λοπιτάλ.
5. Μονοτονία και κριτήριο της πρώτης παραγώγου.
6. Μέγιστα και ελάχιστα μιας συνάρτησης.
7. Κοιλότητα, κυρτότητα και σημεία καμπής.
8. Καμπυλότητα και ακτίνα καμπυλότητας.
9. Προβλήματα βελτιστοποίησης.
10. Η μέθοδος Νεύτωνα-Ράφσον.
11. Εφαρμογές των παραγώγων: σύνθεση και προκλήσεις.

Ενότητα 4. Ολοκλήρωση του μαθήματος

Αποτελείται από το μάθημα Τελικός απολογισμός του Λογισμού I, που υπενθυμίζει τους επτά γενικούς στόχους, δείχνει σε ένα σχήμα σε ποιον από αυτούς αντιστοιχίστηκε κάθε μάθημα του κύκλου και ποιους ειδικούς στόχους πέτυχε κάθε ενότητα, και συγκεντρώνει ανά στόχο την πρώτη προσπάθεια των τελικών αξιολογήσεων.

Φόρτος εργασίας και πιστωτικές μονάδες

Ο φόρτος ενός κύκλου δεν μετριέται με τις ώρες παράδοσης, που σε έναν ασύγχρονο κύκλο δεν υπάρχουν, αλλά με τη συνολική εργασία όποιου τον μελετά: ανάγνωση, παρακολούθηση των αποδείξεων, επίλυση προβλημάτων και επανάληψη. Η εκτίμηση ακολουθεί την ίδια μέθοδο σε όλους τους κύκλους του ιστότοπου: λογαριάζει τον χρόνο ανάγνωσης του κειμένου κάθε μαθήματος με εκατό λέξεις το λεπτό, μετρώντας κάθε τύπο ως μία λέξη, είκοσι λεπτά ανά λυμένο πρόβλημα, τριάντα πέντε ανά προτεινόμενο πρόβλημα, σαράντα πέντε ανά πρόκληση και δώδεκα ανά αρχική ή τελική αξιολόγηση, και προσθέτει ένα περιθώριο ενός δεκάτου για την επανάληψη.

Αποτελέσματα

Τα μαθήματα των ενοτήτων 1 έως 3 περιέχουν συνολικά $140$ λυμένα προβλήματα, $140$ προτεινόμενα προβλήματα και $30$ προκλήσεις, καθώς και έξι αξιολογήσεις ενότητας. Ο εκτιμώμενος φόρτος ανά ενότητα, στρογγυλεμένος στην ώρα, είναι ο εξής:

• Ενότητα 0, παρουσίαση του μαθήματος: λιγότερο από $1$ ώρα.
• Ενότητα 1, όρια και συνέχεια: $66$ ώρες.
• Ενότητα 2, παράγωγοι: $61$ ώρες.
• Ενότητα 3, εφαρμογές των παραγώγων: $63$ ώρες.
• Ενότητα 4, ολοκλήρωση του μαθήματος: λιγότερο από $1$ ώρα.

Οι τρεις ενότητες περιεχομένου έχουν παρόμοιο φόρτο: η ενότητα 1 συγκεντρώνει περισσότερα μαθήματα, και η ενότητα 3, εκτενέστερα μαθήματα. Το σύνολο είναι περίπου $191$ ώρες εργασίας. Τον αριθμό αυτόν πρέπει να τον διαβάζει κανείς ως αυτό που είναι: μια εκτίμηση για όποιον μελετά όλες τις αποδείξεις και λύνει όλα τα προβλήματα και τις προκλήσεις. Όποιος έχει ήδη μελετήσει απειροστικό λογισμό, ή περιορίζεται στα προτεινόμενα προβλήματα χωρίς να καταπιάνεται με τις προκλήσεις, θα χρειαστεί αρκετά λιγότερο· όποιος μελετά το θέμα για πρώτη φορά και χωρίς συνήθεια στις αποδείξεις μπορεί να χρειαστεί περισσότερο, ιδίως στην ενότητα 1, όπου μαθαίνει κανείς να συλλογίζεται με έψιλον και δέλτα.

Ωστόσο, ο αριθμός είναι ονομαστικός: είναι αυτός που καθορίζει τις πιστωτικές μονάδες του κύκλου, και προϋποθέτει ανάγνωση με σταθερό ρυθμό και τρία τέταρτα της ώρας ανά πρόκληση. Όσο δεν έχει μετρηθεί με πραγματικούς φοιτητές, αξίζει να συνοδεύεται από ένα ρεαλιστικό εύρος. Αν η ανάγνωση προχωρούσε με τον μισό από τον υποτιθέμενο ρυθμό, όπως συμβαίνει όταν κάθε απόδειξη ξαναγράφεται με χαρτί και μολύβι, και κάθε πρόκληση απαιτούσε εβδομήντα πέντε λεπτά αντί για σαράντα πέντε, η ίδια μέθοδος θα έδινε περίπου $231$ ώρες. Άρα ο αναμενόμενος φόρτος βρίσκεται μεταξύ περίπου $191$ και περίπου $231$ ωρών. Το ανώτερο άκρο είναι ένα συνετό φράγμα, όχι μέτρηση· το εύρος θα διορθωθεί όταν γίνει γνωστός ο χρόνος που αφιερώνουν όσοι μελετούν τον κύκλο, και ως τότε οι πιστωτικές μονάδες υπολογίζονται με τον ονομαστικό αριθμό.

Προτεινόμενος ρυθμός

Για να ονομάσει τους ρυθμούς, αυτό το πρόγραμμα χρησιμοποιεί το ίδιο κριτήριο με τα άλλα προγράμματα του ιστότοπου: η πλήρης φοίτηση είναι ένα ακαδημαϊκό έτος $60$ πιστωτικών μονάδων, περίπου $1650$ ώρες μοιρασμένες σε περίπου σαράντα εβδομάδες, δηλαδή περίπου $40$ ώρες την εβδομάδα, και η μερική φοίτηση είναι το μισό, περίπου $20$ ώρες την εβδομάδα. Από αυτό προκύπτει ένας προτεινόμενος ρυθμός ενός εξαμήνου δεκαέξι εβδομάδων, με περίπου $12$ ώρες μελέτης την εβδομάδα, λιγότερο από το ένα τρίτο της πλήρους φοίτησης· με το ρεαλιστικό εύρος, από $12$ έως $14$ ώρες την εβδομάδα, παραμένει κάτω από τη μερική φοίτηση. Έτσι, ο Λογισμός I μπορεί να καταλάβει το εξάμηνο που ακολουθεί την Άλγεβρα και γεωμετρία II, και ο Λογισμός II, το εξάμηνο μετά από αυτό.

Ένας εντατικός ρυθμός, περίπου $24$ ωρών την εβδομάδα, λίγο περισσότερο από τη μερική φοίτηση, ολοκληρώνει τον κύκλο σε οκτώ εβδομάδες, πράγμα που ισοδυναμεί με τον φόρτο όποιου δεν μελετά κανέναν άλλο απαιτητικό κύκλο την ίδια περίοδο. Ένας πιο άνετος ρυθμός, περίπου $6$ ωρών την εβδομάδα, τον απλώνει σε δύο εξάμηνα, που μπορούν να μοιραστούν ως εξής: οι ενότητες 0 έως 2, τα όρια, η συνέχεια και οι παράγωγοι, καταλαμβάνουν περίπου $128$ ώρες, και οι ενότητες 3 και 4, οι εφαρμογές των παραγώγων και η ολοκλήρωση, περίπου $63$.

Πιστωτικές μονάδες

Οι πιστωτικές μονάδες αυτού του ιστότοπου μετρούν τον συνολικό φόρτο εργασίας που απαιτεί ένας κύκλος από όποιον τον μελετά (την ανάγνωση, τα προβλήματα, τις προκλήσεις και την επανάληψη), και όχι τις ώρες διδασκαλίας. Μία πιστωτική μονάδα αντιστοιχεί σε περίπου $27{,}5$ ώρες εργασίας, και ένα έτος πλήρους φοίτησης σε $60$ πιστωτικές μονάδες, δηλαδή σε περίπου $1650$ ώρες· είναι το ίδιο κριτήριο με το οποίο η παραπάνω παράγραφος ονομάζει τους ρυθμούς μελέτης.

Ωστόσο, αν διαιρέσουμε τις $191$ εκτιμώμενες ώρες με $27{,}5$, προκύπτει 6,95, που στρογγυλεύεται σε $7$. Αν δεχτούμε για την πιστωτική μονάδα ένα εύρος από $25$ έως $30$ ώρες εργασίας, ο αριθμός $C$ των πιστωτικών μονάδων του κύκλου φράσσεται μεταξύ 6,4 και 7,6:

Άρα ο κύκλος έχει $7$ πιστωτικές μονάδες, λίγο λιγότερο από το ένα όγδοο ενός έτους πλήρους φοίτησης. Όποιος επιθυμεί να μελετήσει μόνο ένα μέρος του κύκλου μπορεί να χρησιμοποιήσει τον κατάλογο των ωρών ανά ενότητα: οι ενότητες 0 έως 2, για παράδειγμα, αθροίζουν περίπου $128$ ώρες, δηλαδή περίπου $5$ πιστωτικές μονάδες.

Η χρησιμότητά τους είναι πρακτική: επιτρέπουν να συγκρίνει κανείς μεταξύ τους τον φόρτο των κύκλων του ιστότοπου και να αποφασίσει πόσους συμφέρει να μελετά ταυτόχρονα χωρίς να υπερβαίνει τον διαθέσιμο χρόνο. Με μερική φοίτηση επί ένα εξάμηνο δεκαέξι εβδομάδων, δηλαδή με περίπου $320$ ώρες, μπορεί κανείς, για παράδειγμα, να αναλάβει κύκλους που αθροίζουν περίπου $12$ πιστωτικές μονάδες· με πλήρη φοίτηση στο ίδιο εξάμηνο, περίπου $23$.

Αυτές οι πιστωτικές μονάδες είναι ένα μέτρο του ίδιου του ιστότοπου για τον προγραμματισμό της μελέτης: δεν αντιστοιχούν σε κανένα επίσημο σύστημα πιστωτικών μονάδων ούτε συνεπάγονται ακαδημαϊκή αναγνώριση από κανένα ίδρυμα.

Σχεδιασμός του κύκλου

Μορφή

Ο κύκλος είναι ασύγχρονος, διαδικτυακός και με αυτόνομο ρυθμό: δεν έχει ημερομηνίες, ζωντανές συνεδρίες ούτε προθεσμίες, και κάθε φοιτητής προχωρά με την ταχύτητα που του επιτρέπουν η προετοιμασία και ο χρόνος του. Προσφέρεται στις δεκατέσσερις γλώσσες του ιστότοπου, με τα ίδια μαθηματικά σε όλες: οι τύποι και τα βήματα των αποδείξεων είναι ίδια σε κάθε έκδοση, και μεταφράζεται μόνο το κείμενο. Κάθε μάθημα δηλώνει ποιο μάθημα καλό είναι να έχει μελετηθεί πριν, και τα πρώτα παραπέμπουν στην Άλγεβρα και γεωμετρία, ώστε η προτεινόμενη σειρά να είναι ρητή και να μπορεί να επαληθευτεί.

Η δομή ενός μαθήματος

Όλα τα θεματικά μαθήματα ακολουθούν την ίδια δομή. Αρχίζουν με μια περίληψη και με έναν κατάλογο δικών τους μαθησιακών στόχων, διατυπωμένων ως παρατηρήσιμες επιδόσεις. Ακολουθεί η θεωρία, με τους ορισμούς, τα θεωρήματα διατυπωμένα με ακρίβεια και τις αποδείξεις τους, καθώς και τα παραδείγματα. Οι αποδείξεις και τα παραδείγματα παρουσιάζονται ως αναπαραγωγοί βημάτων: κάθε βήμα γράφει μια γραμμή του συλλογισμού, φωτίζει τους όρους που συμμετέχουν και, όταν στηρίζεται σε προγενέστερο αποτέλεσμα, επιστρέφει σε αυτό και το φωτίζει όσο διαβάζεται, ώστε η μνήμη του συλλογισμού να μένει ορατή· πολλά συνοδεύονται από ένα σχήμα που αλλάζει σε κάθε βήμα. Το μάθημα κλείνει με πέντε λυμένα προβλήματα, με τη λύση τους βήμα προς βήμα, και πέντε προτεινόμενα προβλήματα, το καθένα με μια διπλωμένη υπόδειξη και, μετά, την τελική απάντηση, ώστε ο φοιτητής να ελέγχει το αποτέλεσμά του χωρίς να του αποκαλύπτεται ο δρόμος· ορισμένα προτεινόμενα προβλήματα, ιδίως εκείνα απόδειξης, προσθέτουν, διπλωμένη μετά την απάντηση, μια αναλυτική λύση, που αξίζει να ανοίγεται μόνο αφού έχει συνταχθεί η δική του.

Τα εισαγωγικά μαθήματα και τα μαθήματα σύνθεσης έχουν δική τους δομή. Η εισαγωγή παρουσιάζει την ενότητα, την ιστορία της, το πρόβλημα από το οποίο γεννήθηκε και τη σημασία της· η σύνθεση ανασυνθέτει σε ένα σχήμα την αποδεικτική αλυσίδα της ενότητας, με τα αποτελέσματα που επαναχρησιμοποιεί και τους κρίκους που αποδεικνύει, τη συνδέει με τις ενότητες που προηγούνται και με την Άλγεβρα και γεωμετρία, και προτείνει δέκα προκλήσεις, την καθεμιά με υπόδειξη, τελική απάντηση και μια διπλωμένη αναλυτική λύση, που συνδυάζουν διάφορα μαθήματα και απαιτούν περισσότερη επινοητικότητα από τα προτεινόμενα προβλήματα.

Ο αναγνώστης φωνής

Κάθε μάθημα μπορεί να ακουστεί φωναχτά με τον αναγνώστη του ιστότοπου, που χρησιμοποιεί τις φωνές της ίδιας της συσκευής: το κείμενο διαβάζεται όπως είναι γραμμένο και οι τύποι προφέρονται με λέξεις. Αυτό επιτρέπει να γίνεται επανάληψη ενός μαθήματος μακριά από την οθόνη, να παρακολουθείται μια απόδειξη ακούγοντάς την ενώ κανείς κοιτάζει τον αναπαραγωγό βημάτων, και να μελετά κανείς με προβλήματα όρασης.

Αξιολόγηση

Ο κύκλος δεν βαθμολογεί ούτε πιστοποιεί: η αξιολόγησή του στον ιστότοπο είναι διαμορφωτική. Τα προτεινόμενα προβλήματα επιτρέπουν να ελεγχθεί η επίτευξη των στόχων κάθε μαθήματος, και οι προκλήσεις, η επίτευξη των στόχων κάθε ενότητας. Καθεμιά από τις τρεις ενότητες περιεχομένου έχει, επιπλέον, μια αρχική αξιολόγηση στην εισαγωγή της και μια τελική στη σύνθεσή της, πριν από τις προκλήσεις: σύντομες αυτοαξιολογήσεις, που διορθώνονται στον φυλλομετρητή χωρίς βαθμολογία. Η αρχική έχει εννέα ή δέκα ερωτήσεις για την ενότητα, συν πέντε ή έξι για όσα η ενότητα θεωρεί γνωστά από τις ενότητες που προηγούνται ή από την Άλγεβρα και γεωμετρία, και η τελική, έντεκα ή δώδεκα· και οι δύο υποδεικνύουν ποιο μάθημα αξίζει να επαναληφθεί για κάθε λάθος και συγκρίνονται μεταξύ τους για να φανεί η πρόοδος. Ο τελικός απολογισμός συγκεντρώνει την πρώτη προσπάθεια κάθε τελικής αξιολόγησης σε ένα προφίλ ανά γενικό στόχο, που φυλάσσεται, όπως κι εκείνες, μόνο στον φυλλομετρητή του φοιτητή. Η επικύρωση των δεξιοτήτων, με αξία πιστοποίησης, θα γίνει αργότερα και εκτός αυτού του ιστότοπου, σε άλλη πλατφόρμα.

Για τους γενικούς στόχους προτείνονται, επιπλέον, τα ακόλουθα τεκμήρια επίτευξης, που κάθε φοιτητής μπορεί να παραγάγει μόνος του:

• Στόχος 1: να συντάξει, χωρίς να συμβουλευτεί το μάθημα, την απόδειξη ενός θεωρήματος του κύκλου, όπως ο κανόνας της αλυσίδας με την παραγοντοποίηση του Καραθεοδωρή ή το θεώρημα μέσης τιμής του Λαγκράνζ, και να δείξει με ένα αντιπαράδειγμα ότι καμία από τις παραδοχές του δεν περισσεύει.
• Στόχος 2: να υπολογίσει ένα απροσδιόριστο όριο με δύο τρόπους, με τις ισοδύναμες απειροστές και με τον κανόνα του Λοπιτάλ, και να βρει όλες τις ασύμπτωτες μιας συνάρτησης.
• Στόχος 3: να αποδείξει ότι μια εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση σε ένα διάστημα, με το θεώρημα του Μπολτσάνο και τη μονοτονία, και να βρει την εικόνα ενός κλειστού και φραγμένου διαστήματος μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης.
• Στόχος 4: να παραγωγίσει μια δύναμη με μεταβλητή βάση και μεταβλητό εκθέτη και μια πεπλεγμένη συνάρτηση, προσδιορίζοντας πού υπάρχει κάθε παράγωγος.
• Στόχος 5: να μελετήσει τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής μιας συνάρτησης, και να σχεδιάσει με αυτά τη γραφική της παράσταση.
• Στόχος 6: να προσεγγίσει με τη μέθοδο Νεύτωνα-Ράφσον μια ρίζα μιας εξίσωσης που δεν λύνεται αλγεβρικά, να επιλέξει το σημείο εκκίνησης και να φράξει το σφάλμα της προσέγγισης που προκύπτει.
• Στόχος 7: να γράψει την πλήρη λύση ενός προβλήματος βελτιστοποίησης ή συσχετισμένων ρυθμών μεταβολής, με διατύπωση, πεδίο ορισμού, ανάπτυξη, αιτιολόγηση του ακροτάτου, απάντηση και έλεγχο αληθοφάνειας, ώστε ένα άλλο πρόσωπο να μπορεί να την παρακολουθήσει χωρίς πρόσθετες εξηγήσεις.

Πώς να μελετήσετε αυτόν τον κύκλο

Ο κύκλος είναι σχεδιασμένος για να μελετάται με τη σειρά. Κάθε ενότητα προϋποθέτει όσες προηγούνται και τους δύο κύκλους της Άλγεβρας και γεωμετρίας, και πολλές αποδείξεις επικαλούνται αποτελέσματα από προγενέστερα μαθήματα· η παράλειψη ενός μαθήματος αναγκάζει, αργά ή γρήγορα, να επιστρέψει κανείς σε αυτό. Αυτό ισχύει ιδίως για την ενότητα 1: οι ορισμοί με έψιλον και δέλτα και τα λήμματα των πρώτων μαθημάτων της στηρίζουν όλες τις μεταγενέστερες αποδείξεις.

Κάθε ενότητα έχει δύο σημεία ελέγχου. Η αρχική αξιολόγηση, στην αρχή της εισαγωγής, είναι το σημείο εκκίνησης: αξίζει να απαντηθεί πριν από τη μελέτη της ενότητας, χωρίς να συμβουλευτεί κανείς τίποτα, και να σημειωθούν τα μαθήματα στα οποία παραπέμπουν τα λάθη, που είναι εκείνα που ζητούν περισσότερη προσοχή. Η τελική αξιολόγηση, στη σύνθεση και πριν από τις προκλήσεις, είναι η αντιπαραβολή: απαντάται στο τέλος των μαθημάτων, επίσης χωρίς βοήθημα, και συγκρίνεται με την αρχική για να φανεί τι άλλαξε και ποια μαθήματα αξίζει να επαναληφθούν. Και στις δύο μετρά η πρώτη προσπάθεια, που είναι αυτή που συγκρίνεται και αυτή που συγκεντρώνει το προφίλ του τελικού απολογισμού· οι μεταγενέστερες γίνονται αφού έχει ήδη φανεί η ανατροφοδότηση. Οι προκλήσεις συμπληρώνουν τον έλεγχο, επειδή απαιτούν να συνδυαστεί και να συνταχθεί ό,τι οι σύντομες ερωτήσεις μόνο αγγίζουν. Από αυτό προκύπτει ότι όποιος πιστεύει ότι κατέχει ήδη μια ενότητα δεν πρέπει να το αποφασίσει με βάση μία μόνο δοκιμασία: αν η τελική του αξιολόγηση είναι στέρεη και λύνει τις προκλήσεις της σύνθεσης, μπορεί να περάσει στην ενότητα που ακολουθεί· αν όχι, αξίζει να διατρέξει τα μαθήματα που υποδεικνύουν η μία και οι άλλες.

Σε κάθε μάθημα, αξίζει να διαβάζονται πρώτα η περίληψη και οι στόχοι, που λένε τι επιδιώκεται· να μελετάται έπειτα η θεωρία με χαρτί και μολύβι, προσπαθώντας να προβλέπεται κάθε βήμα των αποδείξεων πριν το γράψει ο αναπαραγωγός· να επιχειρούνται τα λυμένα προβλήματα πριν κοιτάξει κανείς τη λύση τους, και να λύνονται τα προτεινόμενα χωρίς βοήθεια, ανοίγοντας την υπόδειξη μόνο όταν η προσπάθεια έχει εξαντληθεί, και την απάντηση μόνο στο τέλος, για έλεγχο. Ένα πρόβλημα του οποίου η απάντηση κοιτάχτηκε πριν από την προσπάθεια δεν έχει λυθεί, αλλά διαβαστεί. Σε έναν κύκλο απειροστικού λογισμού, επιπλέον, αξίζει να δυσπιστεί κανείς απέναντι στους πίνακες τιμών και στις γραφικές παραστάσεις που σχεδιάζει μια αριθμομηχανή: υποδεικνύουν ένα όριο ή ένα ακρότατο, αλλά δεν το αποδεικνύουν, και η ενότητα 1 δείχνει πίνακες που παραπλανούν.

Οι προκλήσεις είναι δυσκολότερες από τα προβλήματα των μαθημάτων, και είναι φυσικό ορισμένες να απαιτούν αρκετές προσπάθειες σε διαφορετικές ημέρες. Δεν αξίζει να σταματά κανείς επ’ αόριστον σε μία: το να τη σημειώσει, να συνεχίσει να προχωρά και να επιστρέψει σε αυτήν αργότερα είναι, συχνά, ο συντομότερος δρόμος. Ωστόσο, ο εκτιμώμενος φόρτος προϋποθέτει ότι όλες επιχειρούνται με σοβαρότητα, και σε αυτή την προσπάθεια κρίνεται μεγάλο μέρος όσων μπορεί να διδάξει ο κύκλος.

Τέλος, αξίζει να γράφει κανείς. Η σύνταξη μιας απόδειξης ή μιας πλήρους λύσης, με τις προκείμενες και τα συμπεράσματά της, είναι ο μόνος τρόπος για να ξέρει κανείς αν έχει καταλάβει, και είναι επίσης ο έβδομος από τους στόχους του κύκλου. Ένα τετράδιο μελέτης, στο οποίο ξαναγράφονται με δικά του λόγια οι ορισμοί και τα θεωρήματα κάθε ενότητας, είναι το καλύτερο υλικό επανάληψης που μπορεί να αφήσει ο κύκλος, και θα είναι ακόμη περισσότερο στον Λογισμό II, που θα επανέλθει σε σχεδόν όλα όσα αποδεικνύονται εδώ.