Piano di studi di Analisi I

Scopo e destinatari

Tre problemi antichi condussero al calcolo infinitesimale: la velocità di un corpo in moto in un istante, il coefficiente angolare della tangente a una curva e l’area di una figura curvilinea. In tutti e tre, la sostituzione diretta produce $\frac{0}{0}$ o una somma priva di senso, e la risposta corretta è ciò a cui si avvicinano le approssimazioni. Questo corso dà a quell’idea di avvicinarsi una definizione esatta, il limite, e studia con essa i primi due problemi, che conducono alla derivata; il terzo conduce all’integrale, materia di Analisi II: Calcolo Integrale.

Il suo scopo è fondare il calcolo differenziale delle funzioni di una variabile reale sulla definizione di limite e sull’assioma di completezza, e dedurne, con dimostrazioni complete, ciò che la derivata permette di sapere della variazione, della forma e degli estremi di una funzione. Se è così, il corso non è un repertorio di regole di derivazione, ma un edificio deduttivo: ogni risultato che si impiega si enuncia e si dimostra, oppure si dichiara espressamente ammesso quando la sua dimostrazione appartiene a un altro corso, come accade con il teorema che garantisce l’esistenza delle funzioni definite implicitamente o con la rapidità con cui converge il metodo di Newton-Raphson, che richiedono strumenti posteriori. Le definizioni si scrivono come enunciati quantificati, e le dimostrazioni con epsilon e delta sono ordinate per essere riutilizzate: tre lemmi della lezione sull’algebra dei limiti sostengono le regole dei limiti, e la fattorizzazione di Carathéodory, le regole di derivazione.

Si rivolge a chi abbia completato Algebra e Geometria II, o ne padroneggi per altra via i contenuti: studenti del primo anno universitario di scienze, ingegneria, economia o formazione degli insegnanti di matematica, studenti degli ultimi anni della scuola superiore che preparano l’ingresso all’università, e chiunque voglia ricostruire con rigore un calcolo differenziale imparato come un insieme di regole.

Conoscenze preliminari e prerequisiti

Il prerequisito del corso è Algebra e Geometria II, che presuppone a sua volta Algebra e Geometria I. Dei due, il corso usa soprattutto l’assioma di completezza dei numeri reali, con l’estremo superiore e l’estremo inferiore, e il calcolo con disuguaglianze e valori assoluti, che la lezione sulla retta reale stabilisce e su cui poggiano il teorema di Bolzano, il teorema di Weierstrass e il teorema del valor medio; le funzioni, le loro inverse, le loro trasformazioni e le loro tabelle dei segni; le potenze a esponente reale, il numero $e$ e l’esponenziale naturale, il logaritmo e le funzioni iperboliche; l’induzione e il binomio di Newton; e, da Algebra e Geometria II, le funzioni trigonometriche, le loro inverse, le formule di addizione e di prostaferesi, e la disuguaglianza $\sin x < x < \tan x$ per $0 < x < \frac{\pi}{2}$, da cui dipende la derivata del seno.

Ora, molti di quei risultati vi furono ammessi senza dimostrazione perché richiedevano il limite: la continuità delle funzioni razionali e di quelle trigonometriche, gli asintoti e il teorema dei valori intermedi. Questo corso li dimostra uno per uno. Chi abbia dubbi su qualcuna delle conoscenze preliminari può tornare alla sintesi dell’unità corrispondente di Algebra e Geometria; inoltre, la valutazione d’ingresso di ogni unità include domande su ciò che l’unità dà per noto, con la lezione che conviene ripassare per ogni errore.

Il corso è pensato, infine, per essere seguito in parallelo con un corso di logica dei predicati, la Logica Matematica II, prevista nel sito: le lezioni scrivono le definizioni come enunciati quantificati e ne studiano la negazione senza dipendere da quel corso. Chi voglia acquisire prima l’abitudine alla deduzione formale può studiare Logica Matematica I: Logica Proposizionale.

Dove conduce

Due corsi hanno questo come prerequisito. Analisi II: Calcolo Integrale definirà l’integrale come il limite di somme di aree di rettangoli, lo collegherà alla derivata mediante il teorema fondamentale del calcolo integrale, la cui base è il corollario secondo cui due funzioni con la stessa derivata differiscono per una costante, e percorrerà a ritroso le regole di derivazione: la sostituzione inverte la regola della catena, e l’integrazione per parti, quella del prodotto. Meccanica I: Fondamenti di Meccanica prenderà la velocità e l’accelerazione come la derivata prima e la derivata seconda della posizione. Dopo Analisi II, Analisi III: Calcolo in Più Variabili porterà il limite, la derivata e gli estremi alle funzioni di più variabili.

Ne segue ciò che questo corso lascia, per decisione espressa, a quelli che vengono dopo. Ad Analisi II, la continuità uniforme, le primitive, le successioni, che apriranno la strada all’integrale definito e, alla fine, alle serie, e il polinomio di Taylor, che maggiorerà l’errore del differenziale e dimostrerà la convergenza quadratica del metodo di Newton-Raphson. Ad Analisi III, le curve parametriche e il teorema della funzione implicita, che la derivazione implicita dell’unità 2 presuppone.

I risultati del corso ricompaiono anche in corsi che non lo richiedono. In Matematica Finanziaria, la capitalizzazione continua sarà un limite notevole, e il tasso che uguaglia il valore attuale di una serie di pagamenti a un importo dato si calcolerà con il metodo di Newton-Raphson. In Analisi dei Dati con R, i modelli di crescita si distingueranno per il loro comportamento all’infinito, e la media di un insieme di dati si otterrà come il numero che rende minima una somma di quadrati. In Programmazione in C++ I, la bisezione si affida al teorema dei valori intermedi, il costo di un algoritmo si misura con la notazione dell’$\operatorname{O}$ grande, e l’aritmetica in virgola mobile spiega gli errori di arrotondamento con cui un computer rende ingannevole una tabella di valori, come quella dell’unità 1.

Obiettivi di apprendimento globali

Gli obiettivi elencati qui sotto descrivono ciò che chi completa il corso deve essere in grado di fare. Ciascuno è formulato come una prestazione osservabile, in modo che lo si possa verificare con un compito concreto; ogni lezione dichiara, a sua volta, i propri obiettivi, e la lezione di chiusura mostra, lezione per lezione, a quale di questi sette è stata assegnata ciascuna. Gli obiettivi sono numerati perché vi si possano citare.

1. Obiettivo 1. Dimostrare gli enunciati del calcolo differenziale mediante un ragionamento deduttivo esplicito: scrivere le definizioni come enunciati quantificati e negarli, costruire argomenti con epsilon e delta che riutilizzino i lemmi già dimostrati, dedurre dall’assioma di completezza i teoremi di esistenza, mostrare con controesempi che un’ipotesi non può essere soppressa, e distinguere in ogni dimostrazione ciò che è dedotto da ciò che è ammesso.
2. Obiettivo 2. Definire e calcolare limiti di funzioni di una variabile reale, finiti, unilaterali, all’infinito e infiniti, risolvere le forme indeterminate con l’algebra dei limiti, il teorema del confronto, i limiti notevoli, gli infinitesimi equivalenti e la regola di de l’Hôpital, e determinare con essi gli asintoti di una funzione e la rappresentazione del suo grafico.
3. Obiettivo 3. Decidere la continuità di una funzione e classificarne le discontinuità, dimostrare la continuità delle funzioni elementari e delle loro inverse, e applicare il teorema di Bolzano, il teorema dei valori intermedi e il teorema di Weierstrass, che poggiano sull’assioma di completezza, per provare l’esistenza di soluzioni e di valori estremi e per trovare l’immagine di un intervallo.
4. Obiettivo 4. Definire la derivata come limite del rapporto incrementale e caratterizzarla mediante l’approssimazione lineare e la fattorizzazione di Carathéodory, dimostrare le regole di derivazione, la regola della catena e la derivata della funzione inversa, e derivare con esse le funzioni elementari, le funzioni definite implicitamente e le potenze a esponente variabile, e calcolare le derivate di ordine superiore, precisando il dominio di ogni derivata.
5. Obiettivo 5. Dimostrare e applicare il teorema di Fermat, il teorema di Rolle, il teorema del valor medio di Lagrange e il teorema del valor medio di Cauchy, dedurne i criteri di monotonia, di estremi locali e assoluti e di convessità, e studiare con la derivata prima e la derivata seconda la forma del grafico di una funzione: crescenza, estremi, concavità, flessi e curvatura.
6. Obiettivo 6. Approssimare valori di funzioni e radici di equazioni con il differenziale, il metodo di bisezione e quello di Newton-Raphson, maggiorare l’errore di ogni approssimazione con il teorema del valor medio, la monotonia o la convessità, e riconoscere quando un metodo fallisce o converge con lentezza.
7. Obiettivo 7. Modellizzare con la derivata situazioni della geometria, della fisica e delle altre scienze, come tassi di variazione, tassi di variazione correlati e problemi di ottimizzazione, fissando con precisione le variabili, le loro unità di misura e il dominio, e comunicare per iscritto le impostazioni, i calcoli e le dimostrazioni con una notazione corretta, compresa quella di Leibniz, un’argomentazione completa e un controllo della plausibilità dei risultati.

Gli obiettivi 2, 4 e 5 corrispondono, nella sostanza, alle tre unità di contenuto: il 2 all’unità 1, che studia i limiti; il 4 all’unità 2, che studia le derivate; il 5 all’unità 3, che applica i teoremi del valor medio. La regola di de l’Hôpital, benché si dimostri nell’unità 3 a partire dal teorema del valor medio di Cauchy, serve soprattutto a calcolare limiti, e per questo appartiene all’obiettivo 2. Gli obiettivi 3 e 6 sono fili che attraversano le tre unità. L’obiettivo 3 ha come lezioni principali quella sul limite e la continuità dell’unità 1, quella del teorema dei valori intermedi dell’unità 2 e quella del teorema di Weierstrass dell’unità 3; le ultime due poggiano sulla completezza, che l’unità 1 usa già per i limiti delle funzioni monotone. L’approssimazione compare nella parte principale di un infinitesimo, nella bisezione, nel differenziale e nelle maggiorazioni che dà il teorema del valor medio, e ha nel metodo di Newton-Raphson la sua lezione propria. Il primo e il settimo, invece, sono trasversali: non appartengono a un’unità, ma si esercitano in tutte. Ne segue che il loro raggiungimento non può essere attribuito a una lezione determinata, e che conviene coltivarli lungo l’intero corso. Ora, entrambi hanno anche lezioni che li servono in modo principale: il primo, le tre sintesi, il cui nucleo ricostruisce la catena deduttiva di ogni unità; il settimo, le due lezioni in cui l’impostazione è la materia stessa, quella dei tassi di variazione e dei tassi di variazione correlati e quella dei problemi di ottimizzazione.

Contenuti

Il corso si organizza in cinque unità. La prima e l’ultima inquadrano il percorso; le tre intermedie sviluppano i contenuti. Ciascuna di queste si apre con una lezione di introduzione, che presenta le sue lezioni, il contesto storico delle sue idee, il problema che diede loro origine e la loro rilevanza, e si chiude con una lezione di sintesi, che ricostruisce la catena deduttiva dell’unità, la collega al resto del corso e ad Algebra e Geometria, e propone dieci sfide di difficoltà superiore a quella dei problemi delle lezioni.

Unità 0. Presentazione del corso

Consta di questa lezione, che fissa lo scopo, gli obiettivi globali, i contenuti, l’impegno e la progettazione del corso.

Unità 1. Limiti e continuità

Il suo obiettivo è definire il limite con epsilon e delta, dimostrarne le regole e calcolarlo in tutte le sue forme, finite, unilaterali, all’infinito e infinite; definire con i limiti gli asintoti; definire la continuità e dimostrarla per le funzioni elementari, e confrontare funzioni mediante gli infinitesimi e gli infiniti equivalenti.

1. Limiti e continuità: introduzione.
2. Limite di funzioni di una variabile reale.
3. Algebra dei limiti.
4. Il teorema del confronto e i limiti trigonometrici.
5. Limiti unilaterali.
6. Limiti quando la variabile tende all’infinito.
7. Limiti infiniti.
8. Asintoti e tecniche di rappresentazione grafica.
9. Limite e continuità.
10. Continuità delle funzioni elementari e limiti notevoli.
11. Infinitesimi e infiniti equivalenti.
12. Limiti e continuità: sintesi e sfide.

Unità 2. Derivate

Il suo obiettivo è definire la derivata come limite e caratterizzarla mediante l’approssimazione lineare e la fattorizzazione di Carathéodory; dimostrare le regole di derivazione e la regola della catena; dimostrare il teorema dei valori intermedi, da cui si deduce la continuità dell’inversa che la sua derivata richiede; derivare le funzioni elementari, le loro inverse, le funzioni definite implicitamente e le potenze a esponente variabile, e applicare le derivate di ordine superiore, il differenziale e i tassi di variazione.

1. Derivate: introduzione.
2. La derivata come limite di una funzione.
3. Regole di derivazione.
4. Derivate delle funzioni elementari.
5. Regola della catena per la derivata della composizione di funzioni.
6. Teorema dei valori intermedi.
7. Derivata della funzione inversa e derivazione implicita.
8. La variabile all’esponente e la derivazione logaritmica.
9. Derivate di ordine superiore e differenziale.
10. Tassi di variazione e tassi di variazione correlati.
11. Derivate: sintesi e sfide.

Unità 3. Applicazioni delle derivate

Il suo obiettivo è dimostrare, a partire dall’assioma di completezza, i teoremi di Weierstrass, di Fermat, di Rolle, di Lagrange e di Cauchy, e dedurne la regola di de l’Hôpital e i criteri di monotonia, di estremi e di convessità; studiare la curvatura di un grafico, risolvere problemi di ottimizzazione e approssimare radici con il metodo di Newton-Raphson.

1. Applicazioni delle derivate: introduzione.
2. Teorema di Weierstrass dei valori estremi.
3. Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy.
4. Regola di de l’Hôpital.
5. Monotonia e criterio della derivata prima.
6. Massimi e minimi di una funzione.
7. Concavità, convessità e punti di flesso.
8. Curvatura e raggio di curvatura.
9. Problemi di ottimizzazione.
10. Il metodo di Newton-Raphson.
11. Applicazioni delle derivate: sintesi e sfide.

Unità 4. Chiusura del corso

Consta della lezione Bilancio finale di Analisi I, che ricorda i sette obiettivi globali, mostra in una figura a quale di essi è stata assegnata ogni lezione del corso e quali obiettivi specifici ha raggiunto ogni unità, e riunisce per obiettivo il primo tentativo delle valutazioni d’uscita.

Impegno e crediti

L’impegno di un corso non si misura con le ore di lezione frontale, che in un corso asincrono non esistono, ma con il lavoro totale di chi lo studia: leggere, seguire le dimostrazioni, risolvere problemi e ripassare. La stima segue lo stesso metodo in tutti i corsi del sito: conta il tempo di lettura del testo di ogni lezione a cento parole al minuto, contando ogni formula come una parola, venti minuti per problema risolto, trentacinque per problema proposto, quarantacinque per sfida e dodici per valutazione d’ingresso o d’uscita, e aggiunge un margine di un decimo per il ripasso.

Risultati

Le lezioni delle unità da 1 a 3 contengono nel complesso $140$ problemi risolti, $140$ problemi proposti e $30$ sfide, oltre a sei valutazioni di unità. L’impegno stimato per unità, arrotondato all’ora, è il seguente:

• Unità 0, presentazione del corso: meno di $1$ ora.
• Unità 1, limiti e continuità: $66$ ore.
• Unità 2, derivate: $61$ ore.
• Unità 3, applicazioni delle derivate: $63$ ore.
• Unità 4, chiusura del corso: meno di $1$ ora.

Le tre unità di contenuto hanno un carico simile: l’unità 1 riunisce più lezioni, e l’unità 3, lezioni più estese. Il totale è di circa $191$ ore di lavoro. Conviene leggere questa cifra per ciò che è: una stima per chi studia tutte le dimostrazioni e risolve tutti i problemi e le sfide. Chi abbia già studiato analisi, o si limiti ai problemi proposti senza affrontare le sfide, impiegherà molto meno; chi studia l’argomento per la prima volta e senza l’abitudine a dimostrare può averne bisogno di più, soprattutto nell’unità 1, dove si impara a ragionare con epsilon e delta.

Ora, la cifra è nominale: è quella che fissa i crediti del corso, e presuppone una lettura a ritmo costante e tre quarti d’ora per sfida. Finché non sarà misurata con studenti reali, conviene accompagnarla con un intervallo realistico. Se la lettura avanzasse alla metà del ritmo supposto, come accade quando ogni dimostrazione si riscrive con carta e matita, e ogni sfida richiedesse settantacinque minuti invece di quarantacinque, lo stesso metodo darebbe circa $231$ ore. Pertanto, l’impegno prevedibile si colloca tra circa $191$ e circa $231$ ore. L’estremo superiore è una stima prudente, non una misurazione; l’intervallo sarà corretto quando si conoscerà il tempo che impiegano coloro che studiano il corso, e fino ad allora i crediti si calcolano con la cifra nominale.

Ritmo suggerito

Per denominare i ritmi, questo piano segue lo stesso criterio degli altri piani del sito: l’impegno a tempo pieno è quello di un anno accademico di $60$ crediti, circa $1650$ ore distribuite in una quarantina di settimane, cioè circa $40$ ore settimanali, e l’impegno a tempo parziale ne è la metà, circa $20$ ore settimanali. Ne segue un ritmo raccomandato di un semestre di sedici settimane, con circa $12$ ore settimanali di studio, meno di un terzo del tempo pieno; con l’intervallo realistico, da $12$ a $14$ ore settimanali, resta al di sotto del tempo parziale. Così, Analisi I può occupare il semestre che segue Algebra e Geometria II, e Analisi II quello dopo ancora.

Un ritmo intensivo, di circa $24$ ore settimanali, poco più del tempo parziale, completa il corso in otto settimane, il che equivale all’impegno di chi non studia nessun altro corso impegnativo nello stesso periodo. Un ritmo più disteso, di circa $6$ ore settimanali, lo porta a due semestri, che si possono ripartire così: le unità da 0 a 2, i limiti, la continuità e le derivate, occupano circa $128$ ore, e le unità 3 e 4, le applicazioni delle derivate e la chiusura, circa $63$.

Crediti

I crediti di questo sito misurano l’impegno totale che un corso richiede a chi lo studia (la lettura, i problemi, le sfide e il ripasso), e non le ore di lezione. Un credito equivale a circa $27{,}5$ ore di lavoro, e un anno a tempo pieno a $60$ crediti, cioè a circa $1650$ ore; è lo stesso criterio con cui più sopra si denominano i ritmi di studio.

Ora, dividendo le $191$ ore stimate per $27{,}5$ si ottiene 6,95, che si arrotonda a $7$. Se si ammette per il credito una fascia da $25$ a $30$ ore di lavoro, il numero $C$ di crediti del corso risulta compreso tra 6,4 e 7,6:

Pertanto, il corso ha $7$ crediti, poco meno di un ottavo di un anno a tempo pieno. Chi desideri studiare solo una porzione del corso può usare l’elenco delle ore per unità: le unità da 0 a 2, per esempio, sommano circa $128$ ore, cioè circa $5$ crediti.

La loro utilità è pratica: permettono di confrontare tra loro il carico dei corsi del sito e di decidere quanti convenga studiarne contemporaneamente senza superare il tempo disponibile. Chi possa dedicare, per esempio, un tempo parziale a un semestre di sedici settimane, cioè circa $320$ ore, può affrontare corsi che sommino circa $12$ crediti; dedicando a tempo pieno lo stesso semestre, circa $23$.

Questi crediti sono una misura propria del sito per pianificare lo studio: non corrispondono ad alcun sistema ufficiale di crediti né comportano il riconoscimento accademico di alcuna istituzione.

Progettazione del corso

Modalità

Il corso è asincrono, online e a ritmo autonomo: non ha date, sessioni dal vivo né scadenze, e ogni studente avanza alla velocità che gli consentono la sua preparazione e il suo tempo. È offerto nelle quattordici lingue del sito, con la stessa matematica in tutte: le formule e i passi delle dimostrazioni sono identici in ogni versione, e si traduce solo il testo. Ogni lezione dichiara quale lezione conviene aver studiato prima, e le prime rinviano ad Algebra e Geometria, in modo che l’ordine raccomandato sia esplicito e possa essere verificato.

La struttura di una lezione

Tutte le lezioni tematiche seguono la stessa struttura. Cominciano con un riassunto e con un elenco di obiettivi di apprendimento propri, formulati come prestazioni osservabili. Seguono la teoria, con le definizioni, i teoremi enunciati con precisione e le loro dimostrazioni, e gli esempi. Le dimostrazioni e gli esempi si presentano come riproduttori passo per passo: ogni passo scrive una riga del ragionamento, illumina i termini che intervengono e, quando si appoggia su un risultato anteriore, vi ritorna e lo illumina mentre si legge, in modo che la memoria del ragionamento resti in vista; molti sono accompagnati da una figura che cambia a ogni passo. Chiudono la lezione cinque problemi risolti, con la loro soluzione passo per passo, e cinque problemi proposti, ciascuno con un suggerimento ripiegato e, poi, la risposta finale, perché lo studente verifichi il suo risultato senza che gli si riveli il cammino; alcuni problemi proposti, soprattutto quelli di dimostrazione, aggiungono, ripiegata dopo la risposta, una soluzione svolta, che conviene aprire solo dopo aver redatto la propria.

Le lezioni di introduzione e di sintesi hanno una struttura propria. L’introduzione presenta l’unità, la sua storia, il problema che le diede origine e la sua rilevanza; la sintesi ricostruisce in una figura la catena deduttiva dell’unità, con i risultati che riutilizza e gli anelli che dimostra, la collega alle unità anteriori e ad Algebra e Geometria, e propone dieci sfide, ciascuna con suggerimento, risposta finale e una soluzione svolta ripiegata, che combinano più lezioni ed esigono più inventiva dei problemi proposti.

Il lettore vocale

Ogni lezione si può ascoltare ad alta voce con il lettore del sito, che usa le voci del dispositivo stesso: il testo si legge così come è scritto e le formule si pronunciano a parole. Ciò permette di ripassare una lezione lontano dallo schermo, di seguire una dimostrazione ascoltandola mentre si guarda il riproduttore passo per passo, e di studiare con limitazioni visive.

Valutazione

Il corso non assegna voti né certifica: la sua valutazione nel sito è formativa. I problemi proposti permettono di verificare il raggiungimento degli obiettivi di ogni lezione, e le sfide, quello degli obiettivi di ogni unità. Ciascuna delle tre unità di contenuto ha, inoltre, una valutazione d’ingresso nella sua introduzione e una d’uscita nella sua sintesi, prima delle sfide: autovalutazioni brevi, corrette nel browser senza voto. Quella d’ingresso ha nove o dieci domande sull’unità, più cinque o sei su ciò che l’unità dà per noto delle unità anteriori o di Algebra e Geometria, e quella d’uscita, undici o dodici; entrambe indicano quale lezione ripassare per ogni errore e si confrontano tra loro per mostrare il progresso. Il bilancio finale riunisce il primo tentativo di ogni valutazione d’uscita in un profilo per obiettivo globale, che si conserva, come esse, soltanto nel browser dello studente. La convalida delle abilità, con valore di certificazione, si farà più avanti e fuori da questo sito, su un’altra piattaforma.

Per gli obiettivi globali si suggeriscono, inoltre, le evidenze di raggiungimento elencate qui sotto, che ogni studente può produrre da sé:

• Obiettivo 1: redigere, senza consultare la lezione, la dimostrazione di un teorema del corso, come la regola della catena con la fattorizzazione di Carathéodory o il teorema del valor medio di Lagrange, e mostrare con un controesempio che nessuna delle sue ipotesi è superflua.
• Obiettivo 2: calcolare un limite indeterminato per due vie, con gli infinitesimi equivalenti e con la regola di de l’Hôpital, e trovare tutti gli asintoti di una funzione.
• Obiettivo 3: dimostrare che un’equazione ha esattamente una soluzione in un intervallo, con il teorema di Bolzano e la monotonia, e trovare l’immagine di un intervallo chiuso e limitato mediante una funzione continua.
• Obiettivo 4: derivare una potenza a base ed esponente variabili e una funzione definita implicitamente, precisando dove esiste ciascuna derivata.
• Obiettivo 5: studiare la monotonia, gli estremi, la convessità e i punti di flesso di una funzione, e tracciarne con essi il grafico.
• Obiettivo 6: approssimare con il metodo di Newton-Raphson una radice di un’equazione che non si risolve esplicitamente, scegliere il punto iniziale e maggiorare l’errore dell’approssimazione ottenuta.
• Obiettivo 7: scrivere la soluzione completa di un problema di ottimizzazione o di tassi di variazione correlati, con impostazione, dominio, svolgimento, giustificazione dell’estremo, risposta e controllo di plausibilità, in modo che un’altra persona possa seguirla senza spiegazioni aggiuntive.

Come studiare questo corso

Il corso è pensato per essere studiato in ordine. Ogni unità presuppone quelle anteriori e i due corsi di Algebra e Geometria, e molte dimostrazioni citano risultati di lezioni anteriori; saltare una lezione obbliga, prima o poi, a tornarci sopra. Questo vale soprattutto per l’unità 1: le definizioni con epsilon e delta e i lemmi delle sue prime lezioni sostengono tutte le dimostrazioni posteriori.

Ogni unità ha due punti di controllo. La valutazione d’ingresso, all’inizio dell’introduzione, è il punto di partenza: conviene rispondervi prima di studiare l’unità, senza consultare nulla, e annotare le lezioni a cui rinviano gli errori, che sono quelle che chiedono più cura. La valutazione d’uscita, nella sintesi e prima delle sfide, è il confronto: vi si risponde al termine delle lezioni, anch’essa senza consultare, e si confronta con quella d’ingresso per vedere che cosa è cambiato e quali lezioni conviene ripassare. In entrambe conta il primo tentativo, che è quello che si confronta e quello che riunisce il profilo del bilancio finale; i tentativi ulteriori si fanno ormai con la retroazione vista. Le sfide completano la verifica, perché esigono di combinare e redigere ciò che le domande brevi toccano soltanto. Ne segue che chi crede di padroneggiare già un’unità non deve deciderlo in base a una sola prova: se la sua valutazione d’uscita è solida e risolve le sfide della sintesi, può passare all’unità dopo; altrimenti, conviene percorrere le lezioni che l’una e le altre indicano.

In ogni lezione, conviene leggere prima il riassunto e gli obiettivi, che dicono che cosa si cerca; studiare poi la teoria con carta e matita, cercando di anticipare ogni passo delle dimostrazioni prima che il riproduttore lo scriva; tentare i problemi risolti prima di guardarne la soluzione, e risolvere i proposti senza aiuto, aprendo il suggerimento solo quando il tentativo si sia esaurito, e la risposta solo alla fine, per verificare. Un problema la cui risposta si è consultata prima di tentarlo non è stato risolto, ma letto. In un corso di analisi, inoltre, conviene diffidare delle tabelle di valori e dei grafici tracciati da una calcolatrice: suggeriscono un limite o un estremo, ma non lo dimostrano, e l’unità 1 mostra tabelle che ingannano.

Le sfide sono più difficili dei problemi delle lezioni, ed è normale che alcune richiedano diversi tentativi in giorni diversi. Non conviene fermarsi indefinitamente su una: annotarla, continuare ad avanzare e tornarci più tardi è, spesso, il cammino più breve. Ora, l’impegno stimato presuppone che tutte si tentino con serietà, e in questo sforzo si gioca molto di ciò che il corso può insegnare.

Infine, conviene scrivere. Redigere una dimostrazione o una soluzione completa, con le sue premesse e le sue conclusioni, è l’unico modo di sapere se si è capito, ed è anche il settimo degli obiettivi del corso. Un quaderno di studio, in cui si riscrivano con parole proprie le definizioni e i teoremi di ogni unità, è il miglior materiale di ripasso che il corso possa lasciare, e lo sarà ancor più in Analisi II, che tornerà su quasi tutto ciò che qui si dimostra.