Balance final de Cálculo I

Lo que el curso se propuso

Tres problemas antiguos condujeron al cálculo: la velocidad de un móvil en un instante, la pendiente de la tangente a una curva y el área de una figura curva. El curso tomó los dos primeros, que conducen a la derivada, y nació con un propósito general: fundar el cálculo diferencial de las funciones de una variable real sobre la definición de límite y el axioma de completitud, y deducir de ellos, con demostraciones completas, lo que la derivada permite saber del cambio, de la forma y de los extremos de una función. La clase sobre el plan de estudios desplegó ese propósito en siete objetivos de aprendizaje globales, que conviene tener a la vista con la numeración con que la figura los cita:

1. Demostrar con razonamiento deductivo explícito: escribir las definiciones como enunciados cuantificados y negarlos, argumentar con épsilon y delta, deducir los teoremas de existencia del axioma de completitud, mostrar con contraejemplos que una hipótesis no sobra y distinguir lo deducido de lo admitido.
2. Definir y calcular límites finitos, laterales, en el infinito e infinitos, resolver las formas indeterminadas, también con la regla de L'Hôpital, y hallar con ellos las asíntotas y el gráfico de una función.
3. Decidir la continuidad de una función, clasificar sus discontinuidades y aplicar los teoremas de Bolzano, del valor intermedio y de Weierstrass, que descansan en el axioma de completitud.
4. Definir la derivada, caracterizarla por la aproximación lineal y por la factorización de Carathéodory, demostrar sus reglas y derivar con ellas toda clase de funciones, precisando el dominio de cada derivada.
5. Demostrar y aplicar los teoremas de Fermat, de Rolle, de Lagrange y de Cauchy, y estudiar con ellos la monotonía, los extremos, la convexidad, la inflexión y la curvatura de un gráfico.
6. Aproximar valores y raíces con la diferencial, la bisección y el método de Newton-Raphson, acotar el error de cada aproximación y reconocer cuándo un método falla.
7. Modelar con la derivada razones de cambio, tasas relacionadas y problemas de optimización, y comunicar por escrito planteamientos, cálculos y demostraciones.

Cada clase del curso declaró, además, sus propios objetivos específicos. Las clases no dicen a qué objetivo global sirve cada uno; esa correspondencia es una lectura hecha desde fuera, con el mismo método que en los demás cursos del sitio. Cada objetivo específico se asigna a un objetivo global principal y, si los toca, a otros secundarios; cada uno cuenta entero en su principal y por mitad en cada secundario, y la clase se une como principal al objetivo global que reúne más peso y como secundarios a los demás que reciben alguno. Si dos objetivos empatan, decide el de menor número. Los objetivos de las introducciones que solo describen el recorrido de la unidad no se asignan a ninguno. Las síntesis siguen un criterio común a todos los cursos de matemáticas del sitio: su principal es el objetivo 1, porque su parte central reconstruye la cadena deductiva de la unidad. Por último, la clase sobre los problemas de optimización tiene como principal el objetivo 7, aunque por un margen estrecho la regla daría el 5, porque su materia declarada es el planteamiento: traducir el problema, fijar el dominio y justificar que el extremo hallado es absoluto. Si esto es así, el curso entero admite la forma de una espina: la cabeza es el propósito general; la columna, el orden de las unidades, cada una con su tramo; cada clase es un nudo de ese tramo, unido a su objetivo principal, y los siete objetivos flotan alrededor de la columna, sostenidos por las clases que los alimentan.