Limiti e continuità: introduzione

Riepilogo

Questa lezione apre l’unità sui limiti e sulla continuità. Presenta il percorso dell’unità, che parte dalla definizione di limite con epsilon e delta e arriva, attraverso lezioni che riutilizzano le dimostrazioni anteriori invece di ripeterle, alla continuità delle funzioni elementari e al confronto degli infinitesimi; ricostruisce la storia della nozione di limite, dai paradossi di Zenone e dal metodo di esaustione fino alla definizione di Weierstrass, passando per gli infinitesimali di Newton e Leibniz e per la critica di Berkeley; formula il problema che gli diede origine, che è dare senso a un quoziente che diventa $\frac{0}{0}$ , ed esamina perché né l’idea di avvicinarsi né una tabella di valori bastano a decidere un limite. Termina indicando dove si impiegano i limiti e la continuità nel resto del corso, in altri corsi del sito e nella scienza e nella tecnica.

Obiettivi di apprendimento

Descrivere il percorso dell’unità e spiegare che cosa dimostra ciascuna lezione e di quali risultati anteriori si serve.
Spiegare perché la velocità istantanea, la tangente e l’area richiedono la nozione di limite, e perché l’idea intuitiva di avvicinarsi e le tabelle di valori non bastano né a definirla né a calcolarla.
Collocare nel loro contesto storico le tappe della nozione di limite, dal metodo di esaustione fino alla definizione con epsilon e delta, e individuare il problema o la critica che ha dato impulso a ciascuna.
Indicare dove intervengono i limiti e la continuità nel resto del corso, in altri corsi e in applicazioni scientifiche e tecniche.

Valutazione d’ingresso

Prima di percorrere l’unità conviene misurare il punto di partenza. Questa autovalutazione non assegna voti: serve a sapere dove soffermarsi. Le prime dieci domande riguardano, nell’ordine, le dieci lezioni di contenuto dell’unità, una ciascuna, e misurano un’abilità di calcolo o di ragionamento, non un enunciato da ricordare; le stesse abilità si misurano di nuovo alla fine, nella lezione di sintesi, con altri dati. Le ultime sei verificano ciò che questa unità dà per acquisito da Algebra e Geometria I e II: il valore assoluto, l’estremo superiore, la composizione di funzioni, le tabelle dei segni, la disuguaglianza tra il seno, l’arco e la tangente, e la disuguaglianza fondamentale dell’esponenziale.

I contenuti dell’unità

In Algebra e Geometria I, la lezione sulle funzioni razionali ha usato gli asintoti verticali e gli asintoti all’infinito, la continuità di queste funzioni e il teorema dei valori intermedi come fatti ammessi, senza dimostrazione, perché esigevano una definizione di limite che ancora non si aveva; e Algebra e Geometria II ha ammesso allo stesso modo la continuità delle funzioni trigonometriche e delle loro inverse. Questa unità dà quella definizione e dimostra, uno per uno, i fatti ammessi, salvo i valori intermedi, che si dimostreranno nell’unità seguente. Le dimostrazioni sono ordinate per essere riutilizzate: poche si fanno con epsilon e delta, e le altre citano i risultati anteriori invece di ripetere l’argomento. Le lezioni seguono quest’ordine:

Il limite di una funzione trasforma l’idea di avvicinarsi nella definizione con epsilon e delta, precisa con i punti di accumulazione dove essa ha senso, scrive la definizione e la sua negazione come enunciati quantificati, e dimostra che il limite è unico, che dipende solo dai valori vicini e che obbliga la funzione a restare limitata e a conservare il segno vicino al punto.
L’algebra dei limiti riduce le regole di calcolo a tre lemmi dimostrati con epsilon e delta, il principale dei quali è il criterio di maggiorazione, e ne deduce, con un lemma secondo cui restringere il dominio non fa perdere il limite, i limiti della somma, del prodotto, del reciproco e del quoziente, quelli dei polinomi, delle funzioni razionali, delle radici e delle potenze a esponente razionale, e il teorema del limite di una composizione, che giustifica il cambio di variabile.
Il teorema del confronto dimostra, con il criterio di maggiorazione, che i limiti conservano le disuguaglianze non strette, il teorema stesso e il limite del prodotto di una funzione limitata per una che tende a zero; con essi ottiene i limiti del seno e del coseno e il limite fondamentale $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ , da cui si deducono gli altri limiti trigonometrici.
I limiti unilaterali si definiscono come limiti di una restrizione, sicché ereditano tutti i teoremi anteriori; la lezione dimostra che il limite esiste se e solo se i due limiti unilaterali esistono e coincidono, e che una funzione monotona e limitata ha limite unilaterale uguale all’estremo superiore o all’estremo inferiore dei suoi valori, il primo teorema che assicura che un limite esiste senza conoscerne il valore.
Il limite all’infinito definisce il limite quando la variabile cresce illimitatamente e dimostra, con il lemma di inversione, che equivale a un limite unilaterale in $0$ , sicché tutti i teoremi anteriori valgono anche all’infinito; con essi calcola i limiti delle potenze e delle funzioni razionali.
I limiti infiniti si riducono, con il lemma del reciproco, a limiti uguali a zero; da qui e dal confronto discendono le regole della somma, del prodotto e del quoziente, e la lezione mostra che le forme indeterminate possono dare qualsiasi risultato, e dimostra il teorema delle funzioni monotone illimitate e quello della composizione con limiti infiniti.
Gli asintoti si definiscono con i limiti unilaterali, all’infinito e infiniti; la lezione dimostra le formule del coefficiente angolare e dell’ordinata all’origine dell’asintoto obliquo, l’unicità dell’asintoto non verticale a ciascun estremo e i fatti ammessi in Algebra e Geometria sulle funzioni razionali, e propone un metodo per rappresentare funzioni senza derivate.
La continuità si definisce con la sfida e la risposta di sempre, senza escludere il punto; la lezione dimostra che, in un punto di accumulazione, essa equivale al fatto che il limite esista e sia uguale al valore, classifica le discontinuità in eliminabili, di salto ed essenziali, eredita dall’algebra dei limiti la continuità delle operazioni, e dimostra che la composizione di funzioni continue è continua, sicché il limite entra in una funzione continua.
Le funzioni elementari risultano continue per un solo argomento, che una funzione monotona la cui immagine è un intervallo non può saltare; con questa continuità e la disuguaglianza fondamentale dell’esponenziale, la lezione dimostra i limiti notevoli dell’esponenziale e del logaritmo, ottiene il numero $e$ come limite, risolve la forma $1^\infty$ e confronta l’esponenziale, le potenze e il logaritmo all’infinito.
Gli infinitesimi e gli infiniti equivalenti si confrontano con l’ $\operatorname{o}$ piccolo, l’ $\operatorname{O}$ grande, lo stesso ordine e l’equivalenza; la lezione dimostra che, in un prodotto o in un quoziente, ciascun fattore può essere sostituito da un altro equivalente, ma non in una somma, salvo quando gli equivalenti degli addendi hanno lo stesso segno, e riunisce i limiti delle lezioni anteriori in una tabella degli equivalenti in zero.

L’unità termina con la lezione di sintesi e sfide, che riunisce ciò che si è ottenuto in una catena deduttiva, ripete nella sua valutazione d’uscita le abilità della valutazione d’ingresso e propone dieci problemi di maggiore difficoltà.

Il contesto storico

Neanche l’ordine logico dell’unità coincide con quello storico. Per più di un secolo il calcolo infinitesimale fu praticato con successo senza una definizione di limite; la continuità fu definita con rigore prima del limite nella sua forma attuale, e la definizione con epsilon e delta arrivò alla fine del processo, quando il calcolo infinitesimale aveva già risolto i problemi per i quali era nato. Conviene ripercorrere questa storia, perché le obiezioni che esso dovette superare sono le stesse che di solito solleva chi lo studia.

L’infinito dei Greci

Zenone di Elea, che visse tra il 490 e il 425 prima della nostra era, approssimativamente, propose argomenti contro la possibilità del movimento che si conoscono soprattutto attraverso la Fisica di Aristotele. Quello della dicotomia sostiene che, per percorrere un cammino, bisogna prima arrivare alla sua metà, prima ancora alla metà della metà, e così senza fine, sicché il movimento non potrebbe cominciare. Il paradosso pone, senza risolverla, la questione se infinite grandezze possano sommarsi in una grandezza finita, come $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1$ .

I matematici greci aggirarono questa questione con il metodo di esaustione, al quale Eudosso di Cnido diede forma rigorosa verso il 370 prima della nostra era: per provare che un’area vale una certa quantità, si inscrivono nella figura poligoni la cui differenza da essa può rendersi minore di qualsiasi grandezza data, e si dimostra per assurdo che l’area non può essere né maggiore né minore di quella quantità. Verso il 225 prima della nostra era, Archimede provò così che l’area di un segmento parabolico è $\frac{4}{3}$ dell’area del triangolo inscritto con la stessa base e lo stesso vertice, sommando i triangoli che si aggiungono a ogni fase, le cui aree formano la progressione $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots$ . Lo schema dell’argomento, una quantità che può rendersi minore di qualsiasi grandezza data, è già quello della sfida e della risposta.

Gli infinitesimali di Newton e Leibniz

Nel XVII secolo, il problema delle tangenti e quello delle aree ricevettero un metodo generale. Isaac Newton scrisse nell’ottobre del 1666 un trattato sulle flussioni, che non pubblicò, e nel 1671 il suo Metodo delle flussioni e delle serie infinite, che fu pubblicato solo nel 1736. Gottfried Wilhelm Leibniz introdusse il segno di integrale in un manoscritto del 29 ottobre 1675, e il 21 novembre scrisse per la prima volta un integrale con il segno e il differenziale; pubblicò il suo calcolo differenziale nel 1684 nella rivista Acta Eruditorum di Lipsia, con il titolo Nova methodus pro maximis et minimis, e il suo calcolo integrale nella stessa rivista nel 1686. Entrambi calcolavano con incrementi che si trattano come diversi da zero per poter dividere per essi e come nulli per scartarli alla fine.

Nel 1734 George Berkeley pubblicò L’analista, una critica dei fondamenti del calcolo di Newton. Sostenne che gli incrementi evanescenti non erano né quantità finite, né infinitamente piccole, né nulla, che il calcolo cambiava ipotesi a metà del ragionamento, e domandò se non si potessero chiamare fantasmi di quantità scomparse. I risultati erano corretti; ciò che Berkeley mostrò è che il ragionamento che li giustificava non lo era. L’esempio che segue riproduce il calcolo che egli criticava e mostra come lo risolve la definizione di limite.

EsempioIl quoziente che Berkeley criticava

Consideriamo il coefficiente angolare della tangente alla parabola $y = x^2$ nel punto $(1, 1)$ . La figura disegna le secanti che uniscono quel punto con un altro della parabola sempre più vicino e, poi, il quoziente come funzione dell’incremento, con il buco che lascia in $h = 0$ .

Dimostrazione

$q(h) = \frac{(1 + h)^2 - 1^2}{h}$
La secante che unisce $(1, 1)$ con il punto di ascissa $1 + h$ , con $h \neq 0$ , ha come coefficiente angolare il rapporto incrementale.
$h \neq 0 \rightarrow \dato{q}{q(h) = 2 + h}$
Per $h \neq 0$ , il numeratore vale $2h + h^2$ , e il fattore $h$ si semplifica. Accorciando $h$ , le secanti si inclinano sempre meno.
$q(0) = \frac{0}{0}, \qquad h \neq 0 \rightarrow q(h) \neq 2$
Ecco l’obiezione di Berkeley: se $h = 0$ , il quoziente è $\frac{0}{0}$ e non si può semplificare; se $h \neq 0$ , il risultato non è $2$ . Il calcolo degli infinitesimali usava $h \neq 0$ per dividere e $h = 0$ per scartare l’addendo $h$ .
$0 < \abs{h} < \varepsilon \rightarrow \abs{q(h) - 2} = \resaltar{\abs{h}} < \varepsilon$
La definizione di limite scioglie l’obiezione: non esamina $h = 0$ né esige che $q(h)$ valga $2$ , ma che sia vicino a $2$ quanto si vuole. Alla sfida $\varepsilon$ si risponde con $\delta = \varepsilon$ .
$\lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \resaltar{2}, \qquad y = 2x - 1$
Pertanto il limite è $2$ , il coefficiente angolare della tangente, e nessuna quantità deve essere a un tempo nulla e non nulla. La retta di coefficiente angolare $2$ che passa per $(1, 1)$ è la tangente.

Il limite come fondamento

La via d’uscita che l’esempio ha indicato si fece strada nel corso di un secolo. Jean le Rond d’Alembert, nella voce «Différentiel» del quarto volume dell’Encyclopédie, scritta nel 1754, propose di fondare il calcolo infinitesimale sulla teoria dei limiti e definì la derivata come il limite di un quoziente di incrementi. Nel 1817 Bernard Bolzano pubblicò una dimostrazione puramente analitica del teorema dei valori intermedi, con lo scopo dichiarato di liberare il calcolo infinitesimale dalla nozione di infinitesimale, e vi impiegò una nozione di continuità molto vicina a quella attuale; la sua opera fu poco conosciuta in vita. Nel 1821 Augustin-Louis Cauchy pubblicò il suo Cours d’analyse, scritto per gli studenti dell’École polytechnique di Parigi, che pose i limiti alla base del calcolo infinitesimale e definì la funzione continua come quella in cui un incremento infinitamente piccolo della variabile produce un incremento infinitamente piccolo della funzione.

Nello stesso tempo cambiava la nozione di funzione. Per Euler, nel 1748, una funzione era un’espressione analitica; Peter Gustav Lejeune Dirichlet accettò nel 1837 una nozione molto più ampia, in cui i valori possono succedersi in qualsiasi modo, e a lui si deve l’esempio della funzione che vale $0$ nei razionali e $1$ negli irrazionali, discontinua in tutti i punti. Con funzioni così generali, l’intuizione geometrica cessava di essere una guida sicura, e le definizioni dovevano parlare solo di numeri e di disuguaglianze.

La definizione di Weierstrass

Karl Weierstrass, professore all’Università di Berlino dal 1856, affrontò per la prima volta i fondamenti dell’analisi nel suo corso di introduzione all’analisi del 1859 e del 1860. Nelle sue lezioni, note soprattutto attraverso gli appunti dei suoi studenti, la definizione del limite e della continuità fu scritta con epsilon e delta, nella forma che usa questo corso: senza movimento, senza infinitesimali, come un enunciato quantificato sui numeri reali. Nel 1872, lo stesso anno in cui Richard Dedekind e Georg Cantor pubblicarono le loro costruzioni dei numeri reali, che dimostrano la completezza, Weierstrass presentò all’Accademia delle Scienze di Berlino una funzione continua che non ha derivata in nessun punto, prova che l’intuizione di una curva continua non basta per ragionare su di essa.

La notazione con cui l’ultima lezione dell’unità confronta le funzioni è posteriore. Paul Bachmann introdusse il simbolo $\operatorname{O}$ nel 1894, in Die analytische Zahlentheorie, secondo volume del suo trattato di teoria dei numeri, ed Edmund Landau, che lo adottò, introdusse il simbolo $\operatorname{o}$ nel 1909, nel suo trattato sulla distribuzione dei numeri primi.

Il problema che gli diede origine

Tre problemi antichi condussero al calcolo infinitesimale, e tutti e tre hanno la stessa struttura. La velocità di un corpo in moto in un istante dovrebbe essere il quoziente tra la distanza percorsa e il tempo impiegato quando il tempo impiegato è nullo; il coefficiente angolare della tangente a una curva dovrebbe essere quello di una secante i cui due punti coincidono; l’area di una figura curva dovrebbe essere la somma di infiniti rettangoli di larghezza nulla. Nei tre casi, la sostituzione diretta produce $\frac{0}{0}$ o una somma senza senso, e il risultato corretto è ciò a cui si avvicinano le approssimazioni. I primi due conducono alla derivata, che è la materia dell’unità seguente; il terzo, all’integrale, che si studia in Analisi II.

Ora, «ciò a cui si avvicinano» non è ancora una definizione, per tre ragioni. La prima è che avvicinarsi non basta: la lezione sul limite di funzioni di una variabile reale mostra che i valori di $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ si avvicinano a $3$ quando $x$ passa da $0{,}9$ a $0{,}99$ , benché il limite sia $2$ . La seconda è che una tabella esamina un numero finito di punti: la stessa lezione mostra che $\sin\frac{\pi}{x}$ vale $0$ in tutti i punti della forma $\frac{1}{n}$ e, tuttavia, non ha limite in $0$ . La terza è che i valori della tabella possono essere calcolati male, come mostra l’esempio che segue.

EsempioUna tabella ingannevole

Consideriamo la funzione $q(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 9} - 3}{x^2}$ , definita per $x \neq 0$ . La figura disegna il suo grafico, con il buco in $x = 0$ , i valori di una tabella e il valore che dà un computer molto vicino a $0$ ; poi, la maggiorazione che decide il limite.

Dimostrazione

$q(1) \approx 0{,}1623, \qquad q\left(10^{-1}\right) \approx 0{,}16662, \qquad q\left(10^{-2}\right) \approx 0{,}1666662$
I valori in $1$ , $10^{-1}$ e $10^{-2}$ sembrano avvicinarsi a $0{,}1666\ldots$ , cioè a $\frac{1}{6}$ .
$9 + 10^{-16} \approx 9 \rightarrow q\left(10^{-8}\right) \approx \resaltar{0}$
Ma in $x = 10^{-8}$ un programma che calcola con la consueta virgola mobile in doppia precisione ottiene $0$ : la somma $9 + 10^{-16}$ si arrotonda a $9$ , e la sottrazione del numeratore dà esattamente $0$ . La tabella, da sola, non decide tra $\frac{1}{6}$ e $0$ .
$q(x) = \frac{\left(x^2 + 9\right) - 9}{x^2\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)} = \dato{r}{\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9} + 3}}$
Per $x \neq 0$ , moltiplichiamo e dividiamo per l’espressione coniugata $\sqrt{x^2 + 9} + 3$ ; il numeratore diventa $x^2$ , che si semplifica.
$\abs{q(x) - \frac{1}{6}} = \frac{x^2}{6\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)^2} \leq \resaltar{\frac{x^2}{216}}$
La distanza da $\frac{1}{6}$ si scrive con la stessa espressione coniugata, e si maggiora perché $\sqrt{x^2 + 9} \geq 3$ , sicché il quadrato di $\sqrt{x^2 + 9} + 3$ è almeno $36$ .
$0 < \abs{x} < \sqrt{216\varepsilon} \rightarrow \abs{q(x) - \frac{1}{6}} < \varepsilon, \qquad \lim_{x \to 0} q(x) = \resaltar{\frac{1}{6}}$
Alla sfida $\varepsilon$ si risponde con $\delta = \sqrt{216\varepsilon}$ , e il limite è $\frac{1}{6}$ . Lo $0$ del computer è un errore di arrotondamento: la maggiorazione assicura che $q\left(10^{-8}\right)$ dista da $\frac{1}{6}$ meno di $10^{-18}$ .

La definizione di limite risponde alle tre obiezioni: parla di tutti i punti vicini insieme, fissa con numeri che cosa significa «vicino quanto si vuole» e si dimostra con disuguaglianze, non con calcoli approssimati. Ma il problema ha un’altra faccia, che non è di calcolo ma di esistenza. Molti limiti dell’unità si dimostrano dopo averne conosciuto o indovinato il valore; altri, invece, esistono senza che si sappia calcolarli, e la loro esistenza poggia sulla completezza dei reali. Il teorema delle funzioni monotone della lezione sui limiti unilaterali dà il limite come un estremo superiore, e da esso dipende la continuità dell’esponenziale, del logaritmo e delle altre funzioni elementari. La lezione su limite e continuità dimostra che una funzione continua e positiva in un punto lo è anche nei punti del suo dominio vicini a esso, e questa permanenza del segno, unita alla completezza, darà nell’unità seguente il teorema dei valori intermedi. Senza la completezza nulla di tutto ciò varrebbe: la funzione $x^2 - 2$ , considerata solo nei razionali, passa da valori negativi a positivi senza mai annullarsi.

La rilevanza dei limiti e della continuità

Nel resto del corso

Tutto il corso poggia su questa unità. L’unità seguente, sulle derivate, definisce nella sua prima lezione la derivata come limite di una funzione, il rapporto incrementale dell’esempio di Berkeley, e ottiene le regole di derivazione dall’algebra dei limiti; le derivate del seno, dell’esponenziale e del logaritmo, nella lezione sulle derivate delle funzioni elementari, sono i limiti notevoli di questa unità; la regola della catena si basa sulla composizione di funzioni continue; il teorema dei valori intermedi si dimostra con la permanenza del segno e la completezza, e giustifica il metodo di bisezione; e la derivata dell’inversa, nella lezione sulla derivata dell’inversa e la derivazione implicita, richiede la continuità dell’inversa. La terza unità, sulle applicazioni delle derivate, comincia con il teorema di Weierstrass, secondo cui una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato assume il suo massimo e il suo minimo, e su di esso poggiano i teoremi di Rolle e del valor medio, la ricerca di massimi e minimi e i problemi di ottimizzazione. La regola di de l’Hôpital risolve le forme indeterminate che questa unità sa soltanto riconoscere, e il metodo di Newton-Raphson, che chiude il corso, vede dimostrata la sua convergenza con la convessità e l’estremo superiore.

In altri corsi

In Analisi II, l’integrale si definisce come il limite di somme di aree di rettangoli, il problema di Archimede; le successioni e le serie, che questo corso non studia, si trattano con definizioni dello stesso tipo, e il polinomio di Taylor misura il suo errore con l’ $\operatorname{O}$ grande dell’ultima lezione dell’unità. In Analisi III, la definizione con epsilon e delta passa alle funzioni di più variabili, con la distanza del piano al posto del valore assoluto, e il limite può dipendere dal cammino per il quale si arriva al punto. In Fondamenti di Meccanica, la velocità e l’accelerazione istantanee sono limiti di quozienti di incrementi. In Matematica Finanziaria, la capitalizzazione continua è il limite di $\left(1 + \frac{r}{x}\right)^{x}$ quando $x$ tende all’infinito, che vale $e^{r}$ per la lezione sui limiti notevoli. In Analisi dei Dati con R, i modelli di crescita si distinguono per il loro comportamento all’infinito, che è ciò che descrive il confronto tra l’esponenziale, le potenze e il logaritmo. In Programmazione in C++ I, la bisezione approssima una radice affidandosi al teorema dei valori intermedi, il costo di un algoritmo si misura con la notazione $\operatorname{O}$ di Bachmann e Landau, e i numeri in virgola mobile obbligano a distinguere il limite esatto dal valore calcolato, come nella tabella ingannevole.

Nella scienza e nella tecnica

Ogni grandezza che cambia in modo continuo, una posizione, una temperatura, una concentrazione, una tensione elettrica, si descrive con funzioni continue, e i suoi tassi di variazione istantanei sono limiti. Le approssimazioni con cui lavorano l’ingegneria e le scienze sperimentali (la linearizzazione di un fenomeno vicino a un punto di equilibrio, la sostituzione di $\sin x$ con $x$ nelle piccole oscillazioni, il trascurare un termine rispetto a un altro molto maggiore) sono equivalenze come quelle dell’ultima lezione dell’unità, e valgono alle stesse condizioni. Gli asintoti descrivono il valore di saturazione di un processo che si stabilizza e la crescita illimitata di uno che non si stabilizza. E il calcolo numerico, che risolve con un computer ciò che non ha una formula chiusa, si fonda sulla distinzione dell’esempio della tabella ingannevole: un algoritmo produce approssimazioni, e solo una stima dell’errore, dimostrata con disuguaglianze, dice quanto esse si avvicinano al valore esatto.