미적분학 I: 학습 계획

목적과 대상

세 가지 오래된 문제가 미적분학으로 이끌었다. 움직이는 물체의 한 순간의 속도, 곡선의 접선의 기울기, 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이이다. 세 문제 모두에서 그대로 대입하면 $\frac{0}{0}$ 또는 의미 없는 합이 나오며, 올바른 답은 근삿값들이 다가가는 대상이다. 이 강좌는 다가간다는 이 생각에 극한이라는 정확한 정의를 주고, 그것으로 처음 두 문제를 공부하는데, 이 두 문제는 도함수로 이어진다. 셋째 문제는 적분으로 이어지며, 이는 미적분학 II: 적분법의 주제이다.

그 목적은 일변수 실함수의 미분법을 극한의 정의와 완비성 공리 위에 세우고, 그로부터 도함수가 함수의 변화, 모양, 극값에 대해 알려 주는 것을 완전한 증명과 함께 이끌어 내는 것이다. 그렇다면 이 강좌는 미분 공식의 모음이 아니라 연역의 건축물이다. 사용하는 결과는 모두 진술하고 증명하며, 그 증명이 다른 강좌에 속할 때에는 받아들인다는 것을 명시한다. 음함수의 존재를 보장하는 정리나 뉴턴-랩슨 방법이 수렴하는 빠르기가 그러한데, 이것들은 나중에 배우는 도구를 필요로 한다. 정의는 양화사가 있는 진술로 쓰고, 엡실론과 델타를 사용한 증명은 다시 쓸 수 있도록 짜인다. 극한의 연산 법칙 수업의 세 보조정리가 극한의 법칙들을 떠받치고, 카라테오도리 분해가 미분법의 공식들을 떠받친다.

이 강좌는 대수학과 기하학 II를 마쳤거나 다른 방법으로 그 내용을 익힌 사람을 대상으로 한다. 곧 이학, 공학, 경제학, 수학 교육을 전공하는 대학 1학년 학생, 대학 입학을 준비하는 학교 교육 마지막 학년의 학생, 그리고 예전에 공식의 모음으로 배운 미적분학을 엄밀하게 다시 세우고자 하는 모든 사람이다.

선수 지식과 선수 강좌

이 강좌의 선수 강좌는 대수학과 기하학 II이며, 그 강좌는 다시 대수학과 기하학 I을 전제한다. 이 두 강좌에서 이 강좌가 주로 쓰는 것은 상한과 하한을 포함한 실수의 완비성 공리, 그리고 부등식과 절댓값의 계산이다. 이 계산은 실수 직선에 관한 수업이 확립하며, 볼차노 정리, 바이어슈트라스 정리, 평균값 정리가 그 위에 선다. 또한 함수, 그 역함수, 그 변환, 그 부호표, 실수 지수의 거듭제곱, 수 $e$와 자연지수함수, 로그, 쌍곡선함수, 귀납법과 이항정리, 그리고 대수학과 기하학 II에서 삼각함수, 그 역함수, 덧셈정리와 합을 곱으로 바꾸는 공식, 그리고 부등식 $\sin x < x < \tan x$(단, $0 < x < \frac{\pi}{2}$)도 쓰며, 사인의 도함수는 이 부등식에 의존한다.

그런데 이 결과들 가운데 많은 것은 극한을 필요로 하기 때문에 그곳에서 증명 없이 받아들여졌다. 유리함수와 삼각함수의 연속성, 점근선, 사잇값 정리가 그렇다. 이 강좌는 그것들을 하나씩 증명한다. 선수 지식 가운데 어느 것에 자신이 없는 사람은 대수학과 기하학의 해당 단원의 종합 수업으로 돌아갈 수 있다. 또한 각 단원의 입문 평가에는 그 단원이 이미 안다고 가정하는 것에 관한 문항이 들어 있으며, 오류마다 복습하면 좋은 수업을 알려 준다.

끝으로, 이 강좌는 사이트에 예정된 술어 논리 강좌인 수리논리학 II와 나란히 공부할 수 있도록 설계되었다. 수업들은 정의를 양화사가 있는 진술로 쓰고 그 부정을 다루지만, 그 강좌에 의존하지는 않는다. 형식적 연역의 습관을 먼저 익히고 싶은 사람은 수리논리학 I: 명제 논리를 공부할 수 있다.

이 강좌가 이어지는 곳

두 강좌가 이 강좌를 선수 강좌로 삼는다. 미적분학 II: 적분법은 적분을 직사각형 넓이의 합의 극한으로 정의하고, 기본 정리를 통해 그것을 도함수와 연결하며, 미분법의 공식들을 거꾸로 거쳐 간다. 기본 정리의 토대는 같은 도함수를 가지는 두 함수는 상수만큼 차이 난다는 따름정리이다. 치환적분은 연쇄 법칙을 거꾸로 하고, 부분적분은 곱의 미분법을 거꾸로 한다. 역학 I: 역학의 기초는 속도와 가속도를 위치의 일계도함수와 이계도함수로 다룰 것이다. 미적분학 II 뒤에는 미적분학 III: 다변수 미적분학이 극한, 도함수, 극값을 다변수함수로 넓힐 것이다.

이로부터 이 강좌가 분명한 결정에 따라 뒤의 강좌들에 남기는 것이 따라 나온다. 미적분학 II에는 균등연속성, 원시함수, 수열(이것은 정적분으로 가는 길을 열고, 끝에 가서는 급수로 이어진다), 그리고 테일러 다항식을 남긴다. 테일러 다항식은 미분의 오차의 한계를 주고 뉴턴-랩슨 방법의 이차 수렴을 증명할 것이다. 미적분학 III에는 매개변수 곡선과 음함수 정리를 남기는데, 2단원의 음함수의 미분법은 이 정리를 전제한다.

이 강좌의 결과는 이 강좌를 요구하지 않는 강좌들에서도 다시 나타난다. 재무 수학에서는 연속 복리가 주요 극한이 되고, 일련의 지급액의 현재 가치를 주어진 금액과 같게 만드는 이율이 뉴턴-랩슨 방법으로 계산될 것이다. R을 이용한 데이터 분석에서는 성장 모형들이 무한대에서의 거동으로 구별되고, 자료의 평균이 제곱의 합을 최소로 만드는 수로 얻어질 것이다. C++ 프로그래밍 I에서는 이분법이 사잇값 정리에 기대고, 알고리즘의 비용이 큰 $\operatorname{O}$ 표기법으로 측정되며, 부동소수점 산술이 컴퓨터가 값의 표를 속이는 반올림 오차를 설명하는데, 1단원의 표가 그 예이다.

전체 학습 목표

아래의 목표들은 강좌를 마친 사람이 할 수 있어야 하는 것을 기술한다. 각 목표는 관찰 가능한 수행으로 진술되어, 구체적인 과제로 확인할 수 있다. 각 수업은 또한 자신의 목표를 밝히며, 마무리 수업은 수업마다 그 수업이 이 일곱 목표 가운데 어느 것에 배정되었는지를 보여 준다. 목표에는 그 수업에서 인용할 수 있도록 번호를 붙인다.

1. 목표 1. 명시적인 연역적 추론으로 미분법의 명제를 증명한다. 정의를 양화사가 있는 진술로 쓰고 그것을 부정하며, 이미 증명한 보조정리를 다시 쓰는 엡실론-델타 논증을 세우고, 존재 정리를 완비성 공리에서 이끌어 내며, 어떤 가정을 없앨 수 없음을 반례로 보이고, 각 증명에서 이끌어 낸 것과 받아들인 것을 구별한다.
2. 목표 2. 일변수 실함수의 극한, 곧 유한한 극한, 한쪽 극한, 무한대에서의 극한, 무한 극한을 정의하고 계산하며, 극한의 연산 법칙, 조임 정리, 주요 극한, 동치인 무한소, 로피탈의 정리로 부정형을 풀고, 그것들을 써서 함수의 점근선과 그래프의 개형을 정한다.
3. 목표 3. 함수의 연속성을 판정하고 불연속점을 분류하며, 초등함수와 그 역함수의 연속성을 증명하고, 완비성 공리에 기대는 볼차노 정리, 사잇값 정리, 바이어슈트라스 정리를 적용하여 해와 최댓값·최솟값의 존재를 증명하고 구간의 상을 구한다.
4. 목표 4. 도함수를 평균변화율의 극한으로 정의하고 일차근사와 카라테오도리 분해로 특징짓고, 미분법의 공식, 연쇄 법칙, 역함수의 미분법을 증명하며, 그것들로 초등함수, 음함수, 지수가 변수인 거듭제곱을 미분하고 고계도함수를 구하되, 각 도함수의 정의역을 분명히 한다.
5. 목표 5. 페르마의 정리, 롤의 정리, 라그랑주의 평균값 정리, 코시의 평균값 정리를 증명하고 적용하며, 그것들에서 단조성, 극값과 최댓값·최솟값, 오목·볼록의 판정법을 이끌어 내고, 일계도함수와 이계도함수로 함수의 그래프의 모양, 곧 증가와 감소, 극값, 오목·볼록, 변곡점, 곡률을 조사한다.
6. 목표 6. 미분, 이분법, 뉴턴-랩슨 방법으로 함수의 값과 방정식의 근의 근삿값을 구하고, 각 근사의 오차의 한계를 평균값 정리, 단조성, 오목·볼록으로 구하며, 어떤 방법이 실패하거나 느리게 수렴하는 때를 알아본다.
7. 목표 7. 변화율, 관련된 변화율, 최적화 문제 같은 기하학, 물리학, 그 밖의 과학의 상황을 도함수로 모형화하고, 변수, 그 단위, 정의역을 정확히 정하며, 문제의 설정, 계산, 증명을 라이프니츠 표기법을 포함한 올바른 표기, 완전한 논증, 결과의 타당성 점검과 함께 글로 전달한다.

목표 2, 4, 5는 대체로 세 내용 단원에 대응한다. 목표 2는 극한을 공부하는 1단원에, 목표 4는 도함수를 공부하는 2단원에, 목표 5는 평균값 정리를 응용하는 3단원에 대응한다. 로피탈의 정리는 3단원에서 코시의 평균값 정리로부터 증명되지만 주로 극한을 계산하는 데 쓰이므로 목표 2에 속한다. 목표 3과 목표 6은 세 단원을 관통하는 줄기이다. 목표 3의 주된 수업은 1단원의 극한과 연속성에 관한 수업, 2단원의 사잇값 정리에 관한 수업, 3단원의 바이어슈트라스 정리에 관한 수업이다. 뒤의 두 수업은 완비성에 기대며, 1단원은 이미 단조함수의 극한에 완비성을 쓴다. 근사는 무한소의 주요부, 이분법, 미분, 평균값 정리가 주는 한계에서 나타나며, 뉴턴-랩슨 방법에서 그 고유한 수업을 가진다. 반면 첫째 목표와 일곱째 목표는 횡단적이다. 어느 한 단원에 속하지 않고 모든 단원에서 훈련된다. 따라서 그 달성을 특정한 수업에 돌릴 수 없으며, 강좌 전체에 걸쳐 길러 가는 것이 좋다. 그렇지만 두 목표 모두 주로 그것에 이바지하는 수업이 있다. 첫째 목표에는 중심 내용에서 각 단원의 연역 사슬을 재구성하는 세 종합 수업이, 일곱째 목표에는 문제의 설정 자체가 공부의 대상인 두 수업, 곧 변화율과 관련된 변화율에 관한 수업과 최적화 문제에 관한 수업이 그것이다.

내용

강좌는 다섯 단원으로 이루어진다. 첫 단원과 마지막 단원은 전체 여정의 틀을 이루고, 가운데 세 단원이 내용을 전개한다. 이 단원들은 각각 도입 수업으로 시작하는데, 도입 수업은 단원의 수업들, 그 생각의 역사적 배경, 그것들을 낳은 문제, 그 의의를 소개한다. 그리고 종합 수업으로 끝나는데, 종합 수업은 단원의 연역 사슬을 재구성하고, 그것을 강좌의 나머지 내용 및 대수학과 기하학과 연결하며, 각 수업의 문제보다 어려운 열 개의 도전 과제를 제시한다.

0단원. 강좌 소개

이 단원은 이 수업으로 이루어지며, 이 수업은 강좌의 목적, 전체 목표, 내용, 학습량, 설계를 정한다.

1단원. 극한과 연속

그 목표는 극한을 엡실론과 델타로 정의하고, 그 법칙들을 증명하며, 유한, 한쪽, 무한대에서, 무한이라는 모든 형태로 극한을 계산하는 것, 극한으로 점근선을 정의하는 것, 연속성을 정의하고 초등함수에 대해 그것을 증명하는 것, 그리고 동치인 무한소와 무한대로 함수를 비교하는 것이다.

1. 극한과 연속: 도입.
2. 실변수 함수의 극한.
3. 극한의 연산 법칙.
4. 조임 정리와 삼각함수의 극한.
5. 좌극한과 우극한.
6. 변수가 무한대로 갈 때의 극한.
7. 무한 극한.
8. 점근선과 그래프의 개형.
9. 극한과 연속성.
10. 초등함수의 연속성과 주요 극한.
11. 동치인 무한소와 무한대.
12. 극한과 연속: 종합과 도전 과제.

2단원. 도함수

그 목표는 도함수를 극한으로 정의하고 일차근사와 카라테오도리 분해로 특징짓는 것, 미분법의 공식과 연쇄 법칙을 증명하는 것, 사잇값 정리를 증명하고 그로부터 역함수의 미분에 필요한 역함수의 연속성을 이끌어 내는 것, 초등함수, 그 역함수, 음함수, 지수가 변수인 거듭제곱을 미분하고 고계도함수, 미분, 변화율을 응용하는 것이다.

1. 도함수: 도입.
2. 함수의 극한으로서의 도함수.
3. 미분법의 공식.
4. 초등함수의 도함수.
5. 합성함수의 미분과 연쇄 법칙.
6. 사잇값 정리.
7. 역함수의 미분법과 음함수의 미분법.
8. 지수에 있는 변수와 로그미분법.
9. 고계도함수와 미분.
10. 변화율과 관련된 변화율.
11. 도함수: 종합과 도전 과제.

3단원. 도함수의 응용

그 목표는 완비성 공리에서 출발하여 바이어슈트라스, 페르마, 롤, 라그랑주, 코시의 정리를 증명하고, 그것들에서 로피탈의 정리와 단조성, 극값, 오목·볼록의 판정법을 이끌어 내는 것, 그래프의 곡률을 조사하고, 최적화 문제를 풀고, 뉴턴-랩슨 방법으로 근의 근삿값을 구하는 것이다.

1. 도함수의 응용: 도입.
2. 바이어슈트라스의 최대·최소 정리.
3. 페르마, 롤, 라그랑주, 코시의 정리.
4. 로피탈의 정리.
5. 단조성과 일계도함수 판정법.
6. 함수의 극값과 최댓값·최솟값.
7. 오목·볼록과 변곡점.
8. 곡률과 곡률 반지름.
9. 최적화 문제.
10. 뉴턴-랩슨 방법.
11. 도함수의 응용: 종합과 도전 과제.

4단원. 강좌 마무리

이 단원은 미적분학 I: 최종 결산 수업으로 이루어진다. 이 수업은 일곱 전체 목표를 되돌아보고, 강좌의 각 수업이 그 가운데 어느 것에 배정되었는지와 각 단원이 어떤 세부 목표를 달성했는지를 그림으로 보여 주며, 마무리 평가의 첫 시도를 목표별로 모은다.

학습량과 학점

강좌의 학습량은 강의 시간으로 재지 않는다. 비동기 강좌에는 강의 시간이 없기 때문이다. 재는 것은 공부하는 사람의 작업 총량, 곧 읽기, 증명 따라가기, 문제 풀기, 복습이다. 추정은 사이트의 모든 강좌에서 같은 방법을 따른다. 각 수업의 본문을 읽는 시간을 분당 백 단어로 세되 수식 하나를 한 단어로 치고, 예제 문제 하나에 이십 분, 연습 문제 하나에 삼십오 분, 도전 과제 하나에 사십오 분, 입문 평가나 마무리 평가 한 번에 십이 분을 세며, 복습을 위해 십분의 일의 여유를 더한다.

결과

1단원부터 3단원까지의 수업들은 모두 합쳐 예제 문제 $140$개, 연습 문제 $140$개, 도전 과제 $30$개를 담고 있으며, 그 밖에 여섯 번의 단원 평가가 있다. 시간 단위로 반올림한 단원별 추정 학습량은 아래와 같다.

• 0단원, 강좌 소개: $1$시간 미만.
• 1단원, 극한과 연속: $66$시간.
• 2단원, 도함수: $61$시간.
• 3단원, 도함수의 응용: $63$시간.
• 4단원, 강좌 마무리: $1$시간 미만.

세 내용 단원의 부담은 비슷하다. 1단원은 수업이 더 많고, 3단원은 수업이 더 길다. 합계는 약 $191$시간의 작업이다. 이 수치는 있는 그대로 읽어야 한다. 곧 모든 증명을 공부하고 모든 문제와 도전 과제를 푸는 사람에 대한 추정이다. 이미 미적분학을 공부한 사람이나 도전 과제에 손대지 않고 연습 문제에 그치는 사람은 훨씬 적은 시간을 쓸 것이고, 이 주제를 처음 공부하며 증명하는 습관이 없는 사람은 더 많은 시간이 필요할 수 있다. 특히 엡실론과 델타로 추론하는 법을 배우는 1단원에서 그렇다.

그런데 이 수치는 명목상의 것이다. 강좌의 학점을 정하는 것이 이 수치이며, 일정한 속도로 읽고 도전 과제 하나에 사분의 삼 시간을 쓴다고 가정한다. 실제 학생으로 측정하기 전까지는 현실적인 범위를 함께 제시하는 것이 좋다. 각 증명을 종이와 연필로 다시 쓸 때처럼 읽기가 가정한 속도의 절반으로 진행되고, 도전 과제 하나에 사십오 분 대신 칠십오 분이 걸린다면, 같은 방법으로 약 $231$시간이 된다. 따라서 예상되는 학습량은 약 $191$시간에서 약 $231$시간 사이에 놓인다. 상한은 신중한 한계이지 측정값이 아니다. 이 범위는 강좌를 공부하는 사람들이 실제로 쓰는 시간이 알려지면 수정될 것이며, 그때까지 학점은 명목상의 수치로 계산한다.

권장 속도

속도를 부르는 데에는 이 계획도 사이트의 다른 계획들과 같은 기준을 쓴다. 전일 학습은 $60$학점의 한 학년, 곧 약 사십 주에 걸친 약 $1650$시간, 다시 말해 주당 약 $40$시간이고, 반일 학습은 그 절반인 주당 약 $20$시간이다. 이로부터 권장 속도가 따라 나온다. 십육 주의 한 학기에 주당 약 $12$시간을 공부하는 것으로, 전일 학습의 삼분의 일에 못 미친다. 현실적인 범위로는 주당 $12$시간에서 $14$시간이며, 여전히 반일 학습보다 적다. 이렇게 미적분학 I은 대수학과 기하학 II에 이어지는 학기를, 미적분학 II는 그 뒤의 학기를 차지할 수 있다.

집중적인 속도인 주당 약 $24$시간은 반일 학습을 조금 넘으며 팔 주 만에 강좌를 마치게 하는데, 이는 같은 기간에 부담이 큰 다른 강좌를 하나도 공부하지 않는 사람의 학습량에 해당한다. 더 여유 있는 속도인 주당 약 $6$시간이면 강좌가 두 학기에 걸치며, 두 학기는 이렇게 나눌 수 있다. 0단원부터 2단원까지, 곧 극한, 연속, 도함수가 약 $128$시간을 차지하고, 3단원과 4단원, 곧 도함수의 응용과 마무리가 약 $63$시간을 차지한다.

학점

이 사이트의 학점은 강좌가 공부하는 사람에게 요구하는 학습의 총량(읽기, 문제, 도전 과제, 복습)을 재는 것이지, 수업 시간을 재는 것이 아니다. 한 학점은 약 $27.5$시간의 학습에 해당하고, 전일 학습 일 년은 $60$학점, 곧 약 $1650$시간에 해당한다. 이는 앞 항목에서 학습 속도를 부를 때 쓴 것과 같은 기준이다.

그런데 추정한 $191$시간을 $27.5$로 나누면 6.95를 얻으며, 이를 반올림하면 $7$이 된다. 학점 하나의 범위를 $25$시간에서 $30$시간의 학습으로 인정하면, 이 강좌의 학점 수 $C$는 6.4와 7.6 사이로 범위가 정해진다.

따라서 이 강좌는 $7$학점으로, 전일 학습 한 학년의 팔분의 일에 조금 못 미친다. 강좌의 일부만 공부하고 싶은 사람은 단원별 시간 목록을 이용할 수 있다. 예를 들어 0단원부터 2단원까지는 합쳐서 약 $128$시간, 곧 약 $5$학점이 된다.

학점의 쓸모는 실제적이다. 학점으로 사이트 강좌들의 부담을 서로 비교하고, 쓸 수 있는 시간을 넘지 않으면서 몇 개의 강좌를 함께 공부하는 것이 좋은지 정할 수 있다. 예를 들어 십육 주의 한 학기 동안 반일 학습으로, 곧 약 $320$시간을 쓸 수 있는 사람은 합계 약 $12$학점의 강좌들을 다룰 수 있고, 같은 학기를 전일 학습으로 쓸 수 있다면 약 $23$학점이다.

이 학점은 학습을 계획하기 위해 이 사이트가 자체적으로 쓰는 척도이며, 어떤 공식적인 학점 제도에도 대응하지 않고, 어떤 기관의 학술적 인정을 뜻하지도 않는다.

강좌의 설계

형태

강좌는 비동기, 온라인, 자기 속도 학습 방식이다. 날짜도, 실시간 수업도, 마감도 없으며, 학생은 저마다 준비와 시간이 허락하는 속도로 나아간다. 강좌는 사이트의 열네 개 언어로 제공되며, 모든 언어에서 수학은 같다. 수식과 증명의 단계는 모든 판에서 동일하고, 번역되는 것은 본문뿐이다. 각 수업은 먼저 공부해 두면 좋은 수업을 밝히고, 처음 수업들은 대수학과 기하학을 가리키므로, 권장 순서는 명시적이며 확인할 수 있다.

수업의 구성

주제를 다루는 수업은 모두 같은 구성을 따른다. 먼저 요약과, 관찰 가능한 수행으로 진술한 고유한 학습 목표의 목록이 있다. 이어서 이론이 나오며, 정의, 정확하게 진술한 정리와 그 증명, 그리고 예로 이루어진다. 증명과 예는 단계 재생기로 제시된다. 각 단계는 추론의 한 줄을 쓰고, 관련된 항을 강조하며, 앞선 결과에 기댈 때에는 그 결과로 돌아가 읽는 동안 그것을 강조한다. 그리하여 추론의 기억이 눈에 보이는 채로 남는다. 많은 예에는 단계마다 바뀌는 그림이 곁들여진다. 수업의 끝에는 단계별 풀이가 붙은 예제 문제 다섯 개와 연습 문제 다섯 개가 있다. 연습 문제마다 접힌 힌트가 있고 그 뒤에 최종 답이 주어지므로, 학생은 풀이의 길을 드러내 보이지 않고도 자기 결과를 확인할 수 있다. 일부 연습 문제, 특히 증명을 요구하는 문제에는 답 뒤에 접힌 풀이 과정이 더해지는데, 이것은 자기 풀이를 다 쓴 뒤에 여는 것이 좋다.

도입 수업과 종합 수업은 고유한 구성을 가진다. 도입은 단원, 그 역사, 그것을 낳은 문제, 그 의의를 소개한다. 종합은 단원의 연역 사슬을, 다시 사용하는 결과와 증명하는 고리와 함께 그림으로 재구성하고, 그것을 앞의 단원들 및 대수학과 기하학과 연결하며, 열 개의 도전 과제를 제시한다. 도전 과제마다 힌트, 최종 답, 접힌 풀이 과정이 있으며, 도전 과제는 여러 수업을 결합하고 연습 문제보다 더 많은 창의를 요구한다.

음성 읽기

각 수업은 기기 자체의 음성을 사용하는 사이트의 읽기 기능으로 소리 내어 들을 수 있다. 본문은 쓰인 그대로 읽히고, 수식은 말로 발음된다. 이로써 화면에서 떨어져 수업을 복습하거나, 단계 재생기를 보면서 들으며 증명을 따라가거나, 시각에 제약이 있어도 공부할 수 있다.

평가

이 강좌는 성적을 매기지도 인증하지도 않는다. 사이트에서의 학습 확인은 형성적이다. 연습 문제로 각 수업의 목표 달성을, 도전 과제로 각 단원의 목표 달성을 확인할 수 있다. 또한 세 내용 단원은 각각 도입 수업에 입문 평가를, 종합 수업의 도전 과제 앞에 마무리 평가를 둔다. 둘 다 짧은 자기 점검으로, 브라우저 안에서 성적 없이 채점된다. 입문 평가는 단원에 관한 아홉 문항이나 열 문항에, 단원이 앞의 단원들이나 대수학과 기하학에서 이미 안다고 가정하는 것에 관한 다섯 문항이나 여섯 문항을 더한 것이고, 마무리 평가는 열한 문항이나 열두 문항이다. 둘 다 오류마다 복습할 수업을 가리키며, 서로 비교되어 진척을 보여 준다. 최종 결산은 각 마무리 평가의 첫 시도를 전체 목표별 개요로 모으며, 이 개요는 평가들과 마찬가지로 학생의 브라우저에만 저장된다. 인증의 효력을 가지는 능력의 검증은 나중에 이 사이트 밖의 다른 플랫폼에서 이루어질 것이다.

전체 목표에 대해서는 또한 학생이 저마다 스스로 만들어 낼 수 있는 아래와 같은 달성의 증거를 제안한다.

• 목표 1: 수업을 참고하지 않고, 카라테오도리 분해를 이용한 연쇄 법칙이나 라그랑주의 평균값 정리 같은 강좌의 정리의 증명을 쓰고, 그 가정 가운데 어느 것도 군더더기가 아님을 반례로 보인다.
• 목표 2: 부정형의 극한을 동치인 무한소와 로피탈의 정리라는 두 가지 길로 계산하고, 함수의 모든 점근선을 구한다.
• 목표 3: 볼차노 정리와 단조성으로 방정식이 어떤 구간에서 정확히 하나의 해를 가짐을 증명하고, 유계인 닫힌구간의 연속함수에 의한 상을 구한다.
• 목표 4: 밑과 지수가 모두 변하는 거듭제곱과 음함수를 미분하되, 각 도함수가 어디서 존재하는지를 분명히 한다.
• 목표 5: 함수의 단조성, 극값, 오목·볼록, 변곡점을 조사하고, 그것들로 그래프를 그린다.
• 목표 6: 대수적으로 풀리지 않는 방정식의 근의 근삿값을 뉴턴-랩슨 방법으로 구하고, 출발점을 고르며, 얻은 근사의 오차의 한계를 구한다.
• 목표 7: 최적화 문제나 관련된 변화율 문제에 대해 설정, 정의역, 전개, 극값의 정당화, 답, 타당성 점검을 갖춘 완전한 풀이를, 다른 사람이 추가 설명 없이 따라갈 수 있도록 쓴다.

이 강좌를 공부하는 방법

이 강좌는 차례대로 공부하도록 만들어졌다. 각 단원은 앞의 단원들과 대수학과 기하학의 두 강좌를 전제하며, 많은 증명이 앞선 수업의 결과를 인용한다. 수업 하나를 건너뛰면 조만간 그 수업으로 되돌아가야 한다. 이것은 특히 1단원에 해당한다. 엡실론과 델타를 사용한 정의와 그 처음 수업들의 보조정리가 그 뒤의 모든 증명을 떠받친다.

각 단원에는 두 개의 점검 지점이 있다. 입문 평가는 도입의 처음에 있으며 출발점이다. 단원을 공부하기 전에 아무것도 참고하지 않고 답하고, 오류가 가리키는 수업들을 적어 두는 것이 좋다. 그 수업들이 더 주의를 요하는 수업이다. 마무리 평가는 종합 수업에서 도전 과제 앞에 있으며 대조이다. 수업들을 마친 뒤 역시 아무것도 참고하지 않고 답하고, 입문 평가와 비교하여 무엇이 달라졌는지, 어떤 수업을 복습하면 좋은지 본다. 두 평가 모두 첫 시도가 인정되며, 비교되는 것도, 최종 결산의 개요에 모이는 것도 그것이다. 그 뒤의 시도는 이미 피드백을 본 상태에서 이루어진다. 도전 과제는 확인을 완성한다. 짧은 문항이 건드리기만 하는 것을 결합하고 글로 쓰기를 요구하기 때문이다. 이로부터 어떤 단원을 이미 익혔다고 생각하는 사람도 한 번의 시험만으로 그것을 판단해서는 안 된다는 것이 따라 나온다. 마무리 평가의 결과가 탄탄하고 종합 수업의 도전 과제를 풀 수 있다면 그 뒤의 단원으로 넘어가도 된다. 그렇지 않다면 둘이 가리키는 수업들을 다시 공부하는 것이 좋다.

각 수업에서는 먼저 요약과 목표를 읽는 것이 좋다. 그것들은 무엇을 목표로 하는지 말해 준다. 그 뒤 종이와 연필로 이론을 공부하면서, 재생기가 쓰기 전에 증명의 각 단계를 미리 짐작해 본다. 예제 문제는 풀이를 보기 전에 시도하고, 연습 문제는 도움 없이 풀며, 힌트는 시도가 바닥났을 때에만 열고, 답은 마지막에 확인하기 위해서만 연다. 시도하기 전에 답을 본 문제는 푼 것이 아니라 읽은 것이다. 또한 미적분학 강좌에서는 값의 표와 계산기가 그린 그래프를 경계하는 것이 좋다. 그것들은 극한이나 극값을 시사하지만 증명하지는 않으며, 1단원은 사람을 속이는 표들을 보여 준다.

도전 과제는 수업의 문제보다 어려우며, 일부는 서로 다른 날에 여러 번 시도해야 하는 것이 보통이다. 한 과제에 끝없이 머무는 것은 좋지 않다. 그것을 적어 두고, 계속 나아가고, 나중에 그것으로 돌아오는 것이 흔히 가장 짧은 길이다. 그런데 추정한 학습량은 모든 과제를 진지하게 시도한다고 가정하며, 강좌가 가르칠 수 있는 것의 상당 부분이 그 노력에 달려 있다.

마지막으로, 글로 쓰는 것이 좋다. 전제와 결론을 갖춘 증명이나 완전한 풀이를 쓰는 것은 이해했는지를 아는 유일한 방법이며, 강좌의 일곱째 목표이기도 하다. 각 단원의 정의와 정리를 자기 말로 다시 쓴 공부 노트는 강좌가 남길 수 있는 가장 좋은 복습 자료이며, 여기서 증명하는 것의 거의 모두로 되돌아갈 미적분학 II에서는 더욱 그러할 것이다.