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Topos Uranos
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극한과 연속: 도입

요약

이 수업은 극한과 연속에 관한 단원을 연다. 먼저 단원의 경로를 보여 준다. 그 경로는 엡실론과 델타에 의한 극한의 정의에서 출발하여, 앞의 증명을 되풀이하지 않고 다시 쓰는 수업들을 거쳐, 초등함수의 연속성과 무한소의 비교에 이른다. 다음으로 극한 개념의 역사를, 제논의 역설과 실진법에서 바이어슈트라스의 정의까지, 뉴턴과 라이프니츠의 무한소량과 버클리의 비판을 거쳐 다시 구성한다. 또한 이 개념을 낳은 문제, 곧 00\frac{0}{0} 꼴이 되어 버리는 몫에 뜻을 주는 문제를 정식화하고, 다가간다는 생각도 값의 표도 극한을 결정하기에 왜 충분하지 않은지 살펴본다. 끝으로 극한과 연속이 강좌의 나머지 부분, 사이트의 다른 강좌, 과학과 기술의 어디에서 쓰이는지를 짚는다.

학습 목표

  1. 단원의 경로를 설명하고, 각 수업이 무엇을 증명하며 앞의 어떤 결과를 이용하는지 설명할 수 있다.
  2. 순간속도, 접선, 넓이가 왜 극한 개념을 필요로 하는지, 그리고 다가간다는 직관적인 생각과 값의 표가 왜 극한을 정의하기에도 계산하기에도 충분하지 않은지 설명할 수 있다.
  3. 실진법에서 엡실론과 델타에 의한 정의까지, 극한 개념의 각 단계를 역사적 맥락 속에 놓고, 각 단계를 이끈 문제나 비판을 밝힐 수 있다.
  4. 극한과 연속이 강좌의 나머지 부분, 다른 강좌, 과학과 기술의 응용 어디에서 작용하는지 짚을 수 있다.

입문 평가

단원을 공부하기 전에 출발점을 재어 보는 것이 좋다. 이 자기 평가는 점수를 매기지 않는다. 어디에서 멈추어 공부해야 할지 알기 위한 것이다. 처음 열 문항은 단원의 내용 수업 열 개를 차례로 하나씩 다루며, 외워 두는 진술이 아니라 계산이나 추론의 기능을 잰다. 같은 기능은 마지막 종합 수업에서 다른 자료로 다시 잰다. 마지막 여섯 문항은 이 단원이 대수학과 기하학 I과 II에서 이미 안다고 전제하는 것을 확인한다. 곧 절댓값, 상한, 함수의 합성, 부호표, 사인, 호, 탄젠트 사이의 부등식, 그리고 지수함수의 기본 부등식이다.

입문 평가

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  1. 문제 1lim⁡x→−1(5−4x)=9\lim_{x \to -1} (5 - 4x) = 9임을 증명하기 위해 도전 ε=150\varepsilon = \frac{1}{50}가 주어졌다. 이 도전에 응하는 가장 큰 δ\delta는 얼마인가?

  2. 문제 2lim⁡x→3x+1−2x−3\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3}의 값을 구하여라.

  3. 문제 3lim⁡x→01−cos⁡4xx2\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{x^2}의 값을 구하여라.

  4. 문제 4lim⁡x→2∣x−2∣x2−4\lim_{x \to 2} \frac{\abs{x - 2}}{x^2 - 4}에 대해 무엇을 말할 수 있는가?

  5. 문제 5lim⁡x→−∞4x2+13x−2\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{3x - 2}의 값을 구하여라.

  6. 문제 6lim⁡x→1−x+2x2−1\lim_{x \to 1^-} \frac{x + 2}{x^2 - 1}의 값을 구하여라.

  7. 문제 7f(x)=x2+6xf(x) = \sqrt{x^2 + 6x}의 그래프의 ∞\infty에서의 점근선은 무엇인가?

  8. 문제 8함수 f(x)=x2−xx2−1f(x) = \frac{x^2 - x}{x^2 - 1}는 11에서도 −1-1에서도 정의되지 않는다. 이 점들에서의 불연속은 어떻게 분류되는가?

  9. 문제 9lim⁡x→0(1+3x)2x\lim_{x \to 0} \left(1 + 3x\right)^{\frac{2}{x}}의 값을 구하여라.

  10. 문제 10lim⁡x→0(e2x−1)sin⁡3xln⁡(1+x2)\lim_{x \to 0} \frac{\left(e^{2x} - 1\right)\sin 3x}{\ln\left(1 + x^2\right)}의 값을 구하여라.

  11. 문제 11이전 단원에서실수 xx 가운데 0<∣x−3∣<120 < \abs{x - 3} < \frac{1}{2}를 만족하는 것들의 집합은 무엇인가?

  12. 문제 12이전 단원에서집합 {nn+1:n∈N}\left\{ \frac{n}{n + 1} : n \in \mathbb{N} \right\}의 상한은 무엇인가?

  13. 문제 13이전 단원에서f(x)=xf(x) = \sqrt{x}이고 g(x)=x2−4x+3g(x) = x^2 - 4x + 3일 때, f∘gf \circ g의 정의역은 무엇인가?

  14. 문제 14이전 단원에서x−1x2−4>0\frac{x - 1}{x^2 - 4} > 0의 해의 집합은 무엇인가?

  15. 문제 15이전 단원에서0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}이고 xx를 라디안으로 잴 때, 어느 부등식의 묶음이 성립하는가?

  16. 문제 16이전 단원에서기본 부등식 ex≥1+xe^x \geq 1 + x은 모든 실수 xx에 대해 성립한다. 다음 주장 가운데 이로부터 유도되는 것은 무엇인가?

단원의 내용

대수학과 기하학 I에서 유리함수에 관한 수업은 수직 점근선과 무한대에서의 점근선, 이 함수들의 연속성, 사잇값 정리를 증명 없이 받아들인 사실로 사용했다. 아직 갖추지 못한 극한의 정의가 필요했기 때문이다. 또한 대수학과 기하학 II도 같은 방식으로 삼각함수와 그 역함수의 연속성을 받아들였다. 이 단원은 그 정의를 주고, 받아들인 사실을 하나씩 증명한다. 다만 사잇값 정리는 다음 단원에서 증명한다. 증명은 다시 쓸 수 있도록 배열되어 있다. 엡실론과 델타에 의한 것은 몇 개뿐이고, 나머지는 논증을 되풀이하지 않고 앞의 결과를 인용한다. 수업의 순서는 다음과 같다.

  1. 함수의 극한 수업은 다가간다는 생각을 엡실론과 델타에 의한 정의로 바꾸고, 집적점을 써서 그 정의가 뜻을 갖는 곳을 밝히며, 정의와 그 부정을 양화사가 있는 진술로 쓰고, 극한이 유일하다는 것, 가까운 값에만 의존한다는 것, 그리고 점 근처에서 함수가 유계로 남고 부호를 유지하게 한다는 것을 증명한다.
  2. 극한의 연산 법칙 수업은 계산 법칙을 엡실론과 델타로 증명되는 세 보조정리로 환원하며, 그 가운데 주된 것은 상계 판정법이다. 그리고 정의역을 제한해도 극한을 잃지 않는다는 보조정리를 써서 그것들로부터 합, 곱, 역수, 몫의 극한, 다항식, 유리함수, 근, 유리수 지수의 거듭제곱의 극한, 그리고 변수 치환을 정당화하는 합성함수의 극한 정리를 이끌어 낸다.
  3. 조임 정리 수업은 상계 판정법을 써서, 극한이 엄격하지 않은 부등식을 보존한다는 것, 정리 자체, 그리고 유계 함수와 영으로 가는 함수의 곱의 극한을 증명한다. 그것들로부터 사인과 코사인의 극한과 삼각함수의 기본 극한 lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1을 얻고, 그로부터 나머지 삼각함수의 극한을 이끌어 낸다.
  4. 좌극한과 우극한 수업은 한쪽 극한을 제한의 극한으로 정의하므로, 한쪽 극한은 그때까지의 정리를 모두 물려받는다. 이 수업은 극한이 존재할 필요충분조건이 두 한쪽 극한이 존재하고 일치하는 것임을 증명하고, 단조이고 유계인 함수는 그 값들의 상한 또는 하한과 같은 한쪽 극한을 갖는다는 것을 증명한다. 이것은 극한의 값을 모르고도 그 존재를 보장하는 첫 정리이다.
  5. 변수가 무한대로 갈 때의 극한 수업은 변수가 한없이 커질 때의 극한을 정의하고, 반전 보조정리를 써서 그것이 00에서의 한쪽 극한과 동치임을 증명한다. 따라서 그때까지의 모든 정리가 무한대에서도 성립한다. 그것들을 써서 거듭제곱과 유리함수의 극한을 구한다.
  6. 무한 극한 수업은 역수 보조정리를 써서 무한 극한을 영과 같은 극한으로 환원한다. 거기서 비교와 함께 합, 곱, 몫의 법칙이 나온다. 이 수업은 부정형이 어떤 결과든 낼 수 있음을 보이고, 유계가 아닌 단조함수의 정리와 무한 극한과의 합성 정리를 증명한다.
  7. 점근선 수업은 한쪽 극한, 무한대에서의 극한, 무한 극한을 써서 점근선을 정의한다. 이 수업은 사점근선의 기울기와 절편의 공식, 각 끝에서 수직이 아닌 점근선의 유일성, 대수학과 기하학에서 유리함수에 관해 받아들인 사실을 증명하고, 도함수 없이 함수의 그래프를 그리는 방법을 제안한다.
  8. 연속성 수업은 늘 쓰던 도전과 응답으로, 점을 빼지 않고 연속을 정의한다. 이 수업은 집적점에서 연속이 극한이 존재하여 함숫값과 같은 것과 동치임을 증명하고, 불연속을 제거 가능한 불연속, 도약 불연속, 본질적 불연속으로 분류하며, 극한의 연산 법칙에서 연산의 연속성을 물려받고, 연속함수의 합성이 연속임을 증명한다. 따라서 극한이 연속함수 안으로 들어간다.
  9. 초등함수 수업은 단 하나의 논법으로 초등함수가 연속임을 보인다. 치역이 구간인 단조함수는 뛸 수 없다는 논법이다. 이 연속성과 지수함수의 기본 부등식을 써서 이 수업은 지수함수와 로그의 주요 극한을 증명하고, 수 ee를 극한으로 얻으며, 1∞1^\infty 꼴을 풀고, 무한대에서 지수함수, 거듭제곱, 로그를 비교한다.
  10. 동치인 무한소와 무한대 수업은 o⁡\operatorname{o} (스몰 오), O⁡\operatorname{O} (빅 오), 같은 차수, 동치로 그것들을 비교한다. 이 수업은 곱이나 몫에서는 각 인수를 동치인 것으로 바꿀 수 있지만, 합에서는 각 항의 동치인 것들이 같은 부호를 가질 때를 빼고는 바꿀 수 없음을 증명하고, 앞 수업들의 극한을 영에서의 동치 무한소 표로 모은다.

단원은 종합과 도전 과제 수업으로 끝난다. 그 수업은 이룬 것을 하나의 연역 사슬로 모으고, 마무리 평가에서 입문 평가의 기능을 다시 재며, 더 어려운 문제 열 개를 제시한다.

역사적 배경

단원의 논리적 순서는 역사적 순서와도 일치하지 않는다. 한 세기가 넘는 동안 미적분은 극한의 정의 없이 성공적으로 쓰였다. 연속은 지금 형태의 극한보다 먼저 엄밀하게 정의되었고, 엡실론과 델타에 의한 정의는 이 과정의 끝에, 미적분이 자신을 낳은 문제들을 이미 해결한 뒤에 나타났다. 이 역사를 따라가 볼 가치가 있다. 미적분이 넘어서야 했던 반론은 학습자가 흔히 품는 의문과 같기 때문이다.

그리스인의 무한

엘레아의 제논은 대략 기원전 490년부터 기원전 425년까지 살았으며, 운동의 가능성에 반대하는 논증을 내놓았다. 그 논증들은 주로 아리스토텔레스의 자연학을 통해 알려져 있다. 이분법의 논증에 따르면, 길을 가려면 먼저 그 중점에 이르러야 하고, 그 전에 그 절반의 중점에 이르러야 하며, 이것이 끝없이 이어지므로 운동은 시작될 수 없다. 이 역설은 무한히 많은 양의 합이 유한한 양이 될 수 있는가 하는 물음을 풀지 않은 채 제기한다. 예를 들면 12+14+18+⋯=1\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1 같은 합이다.

그리스의 수학자들은 실진법으로 이 물음을 피해 갔다. 크니도스의 에우독소스가 기원전 370년 무렵 이 방법에 엄밀한 형태를 주었다. 어떤 넓이가 어떤 양과 같음을 증명하려면, 도형 안에 도형과의 차를 주어진 어떤 양보다도 작게 할 수 있는 다각형을 내접시키고, 넓이가 그 양보다 클 수도 작을 수도 없음을 귀류법으로 증명한다. 기원전 225년 무렵 아르키메데스는 이렇게 하여, 포물선의 활꼴의 넓이가 같은 밑변과 같은 꼭짓점을 갖는 내접 삼각형 넓이의 43\frac{4}{3}임을, 각 단계에서 더해지는 삼각형들을 합하여 증명했다. 그 삼각형들의 넓이는 급수 1+14+116+⋯1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots을 이룬다. 논증의 틀, 곧 주어진 어떤 양보다도 작게 할 수 있는 양이라는 틀은 이미 도전과 응답의 틀이다.

뉴턴과 라이프니츠의 무한소량

17세기에 접선의 문제와 넓이의 문제는 일반적인 방법을 얻었다. 아이작 뉴턴은 1666년 10월에 유율에 관한 논문을 썼으나 발표하지 않았고, 1671년에는 유율법과 무한급수를 썼는데, 이 책은 1736년에야 출판되었다. 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 1675년 10월 29일의 원고에서 적분 기호를 도입했고, 11월 21일에는 처음으로 그 기호와 미분을 써서 적분을 적었다. 그는 1684년에 라이프치히의 잡지 Acta Eruditorum에 Nova methodus pro maximis et minimis라는 제목으로 미분법을 발표했고, 1686년에 같은 잡지에 적분법을 발표했다. 두 사람 모두 증분을, 그것으로 나눌 수 있도록 영이 아닌 것으로 다루고, 마지막에 버리기 위해 영으로 다루며 계산했다.

1734년 조지 버클리는 분석가를 출판하여 뉴턴 미적분의 기초를 비판했다. 그는 사라지는 증분이 유한한 양도, 무한히 작은 양도, 무도 아니라고 주장했고, 미적분이 추론 도중에 가정을 바꾼다고 말했으며, 그것들을 사라진 양의 유령이라고 부를 수는 없느냐고 물었다. 결과는 옳았다. 버클리가 보인 것은 그 결과를 정당화하는 추론이 옳지 않다는 것이다. 다음 예는 그가 비판한 계산을 재현하고, 극한의 정의가 그것을 어떻게 해결하는지 보여 준다.

예시버클리가 비판한 몫

포물선 y=x2y = x^2의 점 (1,1)(1, 1)에서의 접선의 기울기를 생각하자. 그림은 이 점과 포물선 위의 점점 가까워지는 다른 점을 잇는 할선들을 그리고, 이어서 증분의 함수로서의 몫을 h=0h = 0에 남는 구멍과 함께 그린다.

증명

  1. q(h)=(1+h)2−12hq(h) = \frac{(1 + h)^2 - 1^2}{h}

    (1,1)(1, 1)과 가로 좌표가 1+h1 + h인 점(단, h≠0h \neq 0)을 잇는 할선의 기울기는 평균변화율이다.

  2. h≠0→q(h)=2+hh \neq 0 \rightarrow \dato{q}{q(h) = 2 + h}

    h≠0h \neq 0일 때 분자는 2h+h22h + h^2이고, 인수 hh는 약분된다. hh를 줄여 갈수록 할선의 기울기는 점점 작아진다.

  3. q(0)=00,h≠0→q(h)≠2q(0) = \frac{0}{0}, \qquad h \neq 0 \rightarrow q(h) \neq 2

    여기에 버클리의 반론이 있다. h=0h = 0이면 몫은 00\frac{0}{0}이 되어 약분할 수 없고, h≠0h \neq 0이면 결과는 22가 아니다. 무한소량의 계산은 나누기 위해 h≠0h \neq 0을 쓰고, h=0h = 0을 써서 항 hh를 버렸다.

  4. 0<∣h∣<ε→∣q(h)−2∣=∣h∣<ε0 < \abs{h} < \varepsilon \rightarrow \abs{q(h) - 2} = \resaltar{\abs{h}} < \varepsilon

    극한의 정의는 이 반론을 해소한다. 정의는 h=0h = 0을 살피지 않고, q(h)q(h)가 22와 같기를 요구하지도 않으며, 다만 22에 원하는 만큼 가깝기를 요구할 뿐이다. 도전 ε\varepsilon에는 δ=ε\delta = \varepsilon로 응한다.

  5. lim⁡h→0(1+h)2−1h=2,y=2x−1\lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \resaltar{2}, \qquad y = 2x - 1

    따라서 극한은 22, 곧 접선의 기울기이며, 어떤 양도 동시에 영이면서 영이 아닐 필요가 없다. 기울기가 22이고 (1,1)(1, 1)을 지나는 직선이 접선이다.

기초로서의 극한

예가 가리킨 출구는 한 세기에 걸쳐 열려 갔다. 장 르 롱 달랑베르는 1754년에 쓴 백과전서 제4권의 항목 「미분」에서 미적분을 극한의 이론 위에 세우자고 제안했고, 도함수를 증분의 비의 극한으로 정의했다. 1817년 베른하르트 볼차노는 사잇값 정리의 순수하게 해석적인 증명을 발표했다. 그 공언된 목적은 미적분을 무한소량의 개념에서 해방하는 것이었으며, 그 증명에서 그는 오늘날의 것과 매우 가까운 연속의 개념을 사용했다. 그의 업적은 살아 있는 동안 거의 알려지지 않았다. 1821년 오귀스탱루이 코시는 파리의 에콜 폴리테크니크 학생들을 위해 쓴 해석학 강의를 출판했는데, 이 책은 극한을 미적분의 기초에 놓았고, 연속함수를 변수의 무한히 작은 증분이 함수의 무한히 작은 증분을 낳는 함수로 정의했다.

같은 무렵 함수의 개념도 바뀌고 있었다. 1748년의 오일러에게 함수는 해석적인 식이었다. 페터 구스타프 르죈 디리클레는 1837년에 값들이 어떤 방식으로든 이어질 수 있는 훨씬 넓은 개념을 받아들였고, 유리수에서 00, 무리수에서 11의 값을 가지며 모든 점에서 불연속인 함수의 예는 그에게서 나왔다. 이처럼 일반적인 함수에서는 기하학적 직관이 더 이상 믿을 만한 안내자가 아니었고, 정의는 수와 부등식에 대해서만 말해야 했다.

바이어슈트라스의 정의

카를 바이어슈트라스는 1856년부터 베를린 대학교의 교수였으며, 1859년과 1860년의 해석학 입문 강의에서 처음으로 해석학의 기초를 다루었다. 주로 학생들의 필기를 통해 알려진 그의 강의에서, 극한과 연속의 정의는 엡실론과 델타에 의해, 이 강좌가 쓰는 형태로 적혔다. 운동도 무한소량도 없이, 실수에 관한 양화사가 있는 진술로서이다. 1872년, 리하르트 데데킨트와 게오르크 칸토어가 완비성을 증명하는 실수의 구성을 발표한 바로 그해에, 바이어슈트라스는 베를린 과학 아카데미에 어느 점에서도 미분 가능하지 않은 연속함수를 제출했다. 이는 연속곡선에 대한 직관만으로는 그것에 관해 추론하기에 충분하지 않다는 증거였다.

단원의 마지막 수업이 함수를 비교하는 데 쓰는 표기법은 그 뒤의 것이다. 파울 바흐만은 1894년에 수론에 관한 저작의 제2권인 Die analytische Zahlentheorie에서 기호 O⁡\operatorname{O}를 도입했고, 그것을 받아들인 에드문트 란다우는 1909년에 소수의 분포에 관한 저작에서 기호 o⁡\operatorname{o}를 도입했다.

개념을 낳은 문제

세 가지 오래된 문제가 미적분으로 이끌었고, 세 문제는 같은 구조를 갖는다. 움직이는 물체의 어느 순간의 속도는 걸린 시간이 영일 때의, 지나간 거리와 걸린 시간의 몫이어야 할 것이다. 곡선의 접선의 기울기는 두 점이 일치하는 할선의 기울기여야 할 것이다. 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 폭이 영인 무한히 많은 직사각형의 합이어야 할 것이다. 세 경우 모두 직접 대입하면 00\frac{0}{0} 꼴이나 뜻 없는 합이 나오며, 올바른 결과는 근삿값들이 다가가는 곳이다. 앞의 두 문제는 다음 단원의 주제인 도함수로, 셋째 문제는 미적분학 II에서 공부하는 적분으로 이끈다.

그러나 「다가가는 곳」은 아직 정의가 아니다. 이유는 셋이다. 첫째, 다가가는 것만으로는 충분하지 않다. 실변수 함수의 극한에 관한 수업이 보이듯이, x2−1x−1\frac{x^2 - 1}{x - 1}의 값은 33에 다가간다(xx가 0.90.9에서 0.990.99로 옮겨 갈 때). 그런데도 극한은 22이다. 둘째, 표는 유한개의 점만 살핀다. 같은 수업이 보이듯이, sin⁡πx\sin\frac{\pi}{x}는 00과 같지만(1n\frac{1}{n} 꼴의 모든 점에서), 그런데도 00에서 극한을 갖지 않는다. 셋째, 표의 값은 잘못 계산되어 있을 수 있다. 다음 예가 그것을 보여 준다.

예시속이는 표

함수 q(x)=x2+9−3x2q(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 9} - 3}{x^2} (x≠0x \neq 0에서 정의됨)을 생각하자. 그림은 그 그래프를 x=0x = 0의 구멍, 표의 값, 00의 아주 가까이에서 컴퓨터가 내놓는 값과 함께 그리고, 이어서 극한을 결정하는 상계를 그린다.

증명

  1. q(1)≈0.1623,q(10−1)≈0.16662,q(10−2)≈0.1666662q(1) \approx 0.1623, \qquad q\left(10^{-1}\right) \approx 0.16662, \qquad q\left(10^{-2}\right) \approx 0.1666662

    11, 10−110^{-1}, 10−210^{-2}에서의 값은 0.1666…0.1666\ldots, 곧 16\frac{1}{6}에 다가가는 것처럼 보인다.

  2. 9+10−16≈9→q(10−8)≈09 + 10^{-16} \approx 9 \rightarrow q\left(10^{-8}\right) \approx \resaltar{0}

    그러나 x=10−8x = 10^{-8}에서 보통의 배정밀도 부동소수점으로 계산하는 프로그램은 00을 얻는다. 합 9+10−169 + 10^{-16}은 99로 반올림되고, 분자의 뺄셈은 정확히 00이 된다. 표만으로는 16\frac{1}{6}과 00 사이에서 결정할 수 없다.

  3. q(x)=(x2+9)−9x2(x2+9+3)=1x2+9+3q(x) = \frac{\left(x^2 + 9\right) - 9}{x^2\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)} = \dato{r}{\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9} + 3}}

    x≠0x \neq 0일 때 켤레식 x2+9+3\sqrt{x^2 + 9} + 3을 곱하고 나눈다. 분자는 x2x^2이 되어 약분된다.

  4. ∣q(x)−16∣=x26(x2+9+3)2≤x2216\abs{q(x) - \frac{1}{6}} = \frac{x^2}{6\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)^2} \leq \resaltar{\frac{x^2}{216}}

    16\frac{1}{6}까지의 거리를 같은 켤레식으로 쓰고, x2+9≥3\sqrt{x^2 + 9} \geq 3이므로 위에서 누른다. 따라서 x2+9+3\sqrt{x^2 + 9} + 3의 제곱은 적어도 3636이다.

  5. 0<∣x∣<216ε→∣q(x)−16∣<ε,lim⁡x→0q(x)=160 < \abs{x} < \sqrt{216\varepsilon} \rightarrow \abs{q(x) - \frac{1}{6}} < \varepsilon, \qquad \lim_{x \to 0} q(x) = \resaltar{\frac{1}{6}}

    도전 ε\varepsilon에는 δ=216ε\delta = \sqrt{216\varepsilon}로 응하며, 극한은 16\frac{1}{6}이다. 컴퓨터의 00은 반올림 오차이다. 상계에 의해 q(10−8)q\left(10^{-8}\right)와 16\frac{1}{6}의 차가 10−1810^{-18}보다 작음이 보장된다.

극한의 정의는 세 반론 모두에 응한다. 가까운 모든 점에 대해 한꺼번에 말하고, 「원하는 만큼 가깝게」가 무엇을 뜻하는지 수로 정하며, 근사 계산이 아니라 부등식으로 증명된다. 그러나 문제에는 또 다른 면이 있다. 그것은 계산이 아니라 존재에 관한 것이다. 단원의 많은 극한은 그 값을 알거나 짐작한 뒤에 증명된다. 반면에 계산하는 법을 모르면서도 존재하는 극한도 있으며, 그 존재는 실수의 완비성에 기댄다. 좌극한과 우극한 수업의 단조함수 정리는 극한을 상한으로 주며, 지수함수, 로그, 그 밖의 초등함수의 연속성은 이 정리에 의존한다. 극한과 연속성 수업은 한 점에서 연속이고 양인 함수가 그 점에 가까운 정의역의 점들에서도 양임을 증명하며, 이 부호 보존이 완비성과 함께 다음 단원에서 사잇값 정리를 준다. 완비성이 없으면 이 가운데 어느 것도 성립하지 않는다. 함수 x2−2x^2 - 2를 유리수에서만 생각하면, 한 번도 영이 되지 않고 음의 값에서 양의 값으로 넘어간다.

극한과 연속의 의의

강좌의 나머지 부분에서

강좌 전체가 이 단원 위에 서 있다. 도함수에 관한 다음 단원은 첫 수업에서 함수의 극한으로서의 도함수, 곧 버클리 예의 평균변화율을 정의하고, 극한의 연산 법칙에서 미분법의 공식을 얻는다. 사인, 지수함수, 로그의 도함수는 초등함수의 도함수 수업에서 이 단원의 주요 극한 그 자체이다. 연쇄 법칙은 연속함수의 합성에 기댄다. 사잇값 정리는 부호 보존과 완비성으로 증명되며, 이분법을 정당화한다. 그리고 역함수의 도함수는 역함수의 미분법과 음함수의 미분법 수업에서 역함수의 연속성을 필요로 한다. 도함수의 응용에 관한 셋째 단원은 바이어슈트라스의 정리로 시작한다. 이 정리에 따르면 유계인 닫힌구간에서 연속인 함수는 최댓값과 최솟값을 갖는다. 이 정리 위에 롤의 정리와 평균값 정리, 극값과 최댓값·최솟값의 탐색, 최적화 문제가 선다. 로피탈의 정리는 이 단원이 알아보기만 할 수 있는 부정형을 풀며, 강좌를 마무리하는 뉴턴-랩슨 방법은 아래로 볼록함과 상한을 써서 그 수렴을 증명한다.

다른 강좌에서

미적분학 II에서 적분은 직사각형 넓이의 합의 극한으로 정의되는데, 이것이 아르키메데스의 문제이다. 이 강좌에서 다루지 않는 수열과 급수도 같은 유형의 정의로 다루며, 테일러 다항식은 단원의 마지막 수업의 O⁡\operatorname{O} (빅 오)로 그 오차를 잰다. 미적분학 III에서는 엡실론과 델타에 의한 정의가 다변수 함수로 옮겨 가며, 절댓값 대신 평면의 거리를 쓰고, 극한은 점에 다가가는 길에 따라 달라질 수 있다. 역학의 기초에서 순간속도와 순간가속도는 증분의 비의 극한이다. 재무 수학에서 연속 복리는 (1+rx)x\left(1 + \frac{r}{x}\right)^{x}의 극한(xx를 무한대로 보낼 때)이며, 주요 극한 수업에 의해 ere^{r}과 같다. R을 이용한 데이터 분석에서 성장 모형은 무한대에서의 행동으로 구별되며, 그것이 바로 지수함수, 거듭제곱, 로그의 비교가 다루는 것이다. C++ 프로그래밍 I에서 이분법은 사잇값 정리에 기대어 근을 근사하고, 알고리즘의 비용은 바흐만과 란다우의 O⁡\operatorname{O} 표기법으로 재며, 부동소수점 수는 속이는 표에서처럼 정확한 극한과 계산된 값을 구별하게 만든다.

과학과 기술에서

위치, 온도, 농도, 전압처럼 연속적으로 변하는 양은 모두 연속함수로 기술되며, 그 순간변화율은 극한이다. 공학과 실험 과학이 쓰는 근사(평형점 근처에서 현상의 선형화, 작은 진동에서 sin⁡x\sin x를 xx로 바꾸기, 훨씬 큰 항 앞에서 한 항을 무시하기)는 단원의 마지막 수업의 동치와 같은 종류이며, 같은 조건에서 성립한다. 점근선은 안정되는 과정의 포화값과 안정되지 않는 과정의 한없는 증가를 기술한다. 그리고 닫힌 공식이 없는 것을 컴퓨터로 푸는 수치 계산은 속이는 표의 예가 보여 준 구별에 바탕을 둔다. 알고리즘은 근삿값을 만들어 내고, 부등식으로 증명된 오차의 상계만이 그것이 정확한 값에 얼마나 가까운지 알려 준다.