実変数関数の極限

極限の考え

代数と幾何は関数が各点でとる値を調べる。微分積分学はさらに、変数がある点に近づくとき関数の値に何が起こるかを、たとえその点で関数が定義されていなくても調べる。この必要は古くからある。曲線上の2点を結ぶ直線の傾きは差分商で計算される。接線の傾きは2点が一致したときのこの商の値であるはずだが、そのとき商は $\frac{0}{0}$ となり、これは数ではない。同様に、動点の平均の速度は進んだ距離をかかった時間で割った商であり、ある瞬間の速度は、かかった時間が無に縮むときにこの商が行き着く値である。どちらの場合も、関数が定義されていない点の近くでの関数の値が問われている。

簡単な例が状況を示す。以下の関数は $x = 1$ で定義されていない。そこで分母が 0 になるからである。しかし、$1$ に近い点での値は $2$ に近い。

理由は、$x \neq 1$ のとき分子が $(x - 1)(x + 1)$ と因数分解され、商が $x + 1$ に等しくなることである。$f$ のグラフは直線 $y = x + 1$ で、点 $(1, 2)$ に穴があいている。そこで、$f$ の極限（$x$ が $1$ に近づくときの）は $2$ であるといい、次のように書く。

しかし、「値が $2$ に近づく」という言い方は、二つの理由で定義にはならない。第一に、近づくだけでは足りない。$x$ が $0.9$ から $0.99$ に移るとき、$f$ の値は $3$ にも近づく。$1.99$ は $3$ に、$1.9$ よりも近いからである。それでも $3$ は極限ではない。$2$ を特別なものにしているのは、$f$ の値がそれにいくらでも近くなることであり、単に前より近くなることではない。第二に、表は有限個の点しか調べないが、関数はそれらの点の間で別のふるまいをしうる。関数 $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ の値は $0$ であり、それは $x = 0.1$ でも、$x = 0.01$ でも、形 $\frac{1}{n}$ のすべての点でもそうである。それでも $0$ では極限をもたない。それらの点の間で $-1$ と $1$ の間を振動するからである。練習問題 3 は、同じ論法でこれを $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ について証明する。そうであれば、定義は近くのすべての点について同時に語り、「いくらでも近く」が何を意味するかを数で定めなければならない。そのための道具は、距離を測る絶対値と三角不等式であり、これらは実数直線の課で学んだ。

集積点

極限を定義する前に、どの点で極限を問うことに意味があるかを明確にしなければならない。点 $a$ は関数の定義域に属する必要はない。今見た例がそれを示している。しかし、定義域の点が $a$ にいくらでも近くになければならない。そうでなければ、観察すべき関数の値がないことになる。

たとえば、$1$ は $\mathbb{R} \setminus \{1\}$（例の関数の定義域）の集積点であるが、それに属してはいない。閉区間 $\icc{0}{1}$ のどの点も開区間 $\ioo{0}{1}$ の集積点であり、端点も含まれる。$0$ は数 $\frac{1}{n}$（$n$ は自然数）の集合の集積点である。アルキメデスの性質により、すべての $\delta > 0$ に対して自然数 $n$ で $\frac{1}{n} < \delta$ となるものが存在するからである。これに対し、集合 $\mathbb{N}$ は集積点をもたない。中心 $a$、半径 $\frac{1}{2}$ の区間は高々一つの自然数 $m$ しか含まない。$m = a$ ならば、$a$ と異なる自然数を一つも含まず、$m \neq a$ ならば、半径 $\abs{m - a}$ の区間はもはや自然数を一つも含まない。条件 $0 < \abs{x - a}$ は本質的である。それがなければ、$A$ のすべての元が $A$ の集積点になってしまう。中心が $a$ のどの区間も $a$ 自身を含むからである。

極限の定義

これらの概念によって定義を与えることができる。「$f(x)$ は $L$ にいくらでも近い」という言い方は、次のように言い換えられる。どの距離 $\varepsilon > 0$ に対しても、それがどれほど小さくても、$f$ の値は $\varepsilon$ 未満の距離で $L$ に近い。ただし $x$ が $a$ に十分近いとき、すなわち、ある距離 $\delta > 0$ 未満のところにあり、$a$ に等しくないときである。

幾何学的には、条件 $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$ は、グラフ上の点 $(x, f(x))$ が直線 $y = L - \varepsilon$ と $y = L + \varepsilon$ の間の水平な帯にあることをいう。条件 $0 < \abs{x - a} < \delta$ は、$x$ が中心 $a$、半径 $\delta$ の区間にあり、その中心ではないことをいう。定義は二人の間のゲームとして読むことができる。一人目が $\varepsilon$ を提示する。これは $L$ のまわりの帯の半径で、帯は望むだけ細くてよい。二人目は $\delta$ で応じなければならない。それは、半径 $\delta$ の穴あき近傍の上にあるグラフの部分が帯の中に収まるような値である。二人目がすべての挑戦に応じられるとき、極限は $L$ である。

この例は、心にとめておくべき定義の三つの特徴を示している。第一に、$\delta$ は $\varepsilon$ に依存し、一般には点 $a$ にも依存する。ある $\delta$ がある挑戦に応じるならば、それより小さいどの正の数も応じるので、一つ見つければ十分であり、最大のものは必要ない。第二に、$a$ での関数の値は、存在するとしても関与しない。条件 $0 < \abs{x - a}$ がそれを除外している。だからこそ、$g$ の $1$ における極限は $1$ であり、$g(1)$ が $\frac{5}{2}$ に等しくてもそうである。第三に、定義域の $x$ だけが数に入り、それ以外は調べない。

この例の方法が一般的な方法である。$\abs{f(x) - L}$ を、因子 $\abs{x - a}$ が現れるように書き、残りを上から押さえる。残りが定数でないときは、$\delta$ をあらかじめ一定の値に制限して押さえる。たとえば $\delta \leq 1$ とする。これが以下の例の技法である。

この課の最初の極限も同じように証明でき、しかもこれからよく使う注意が伴う。定義は点 $a$ を調べないので、$f$ の式を簡単にしてよい。ただし $a$ と異なる点においてである。$x \neq 1$ のとき、商 $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ は $x + 1$ に等しく、したがって $\abs{f(x) - 2} = \abs{x - 1}$ である。$\delta = \varepsilon$ が応じる。因子 $x - 1$ を約分してよいのは、まさに定義において $x$ が決して $1$ に等しくならないからである。

量化子を含む言明としての定義

極限の定義は、交互に並ぶ三つの量化子をもつ言明である。すべての $\varepsilon$ に対して、ある $\delta$ が存在し、すべての $x$ に対して、という形である。その論理構造は述語論理が調べる言明の構造であり、それを扱えることが極限を扱う仕事の半分である。そこから二つの帰結が出る。

第一は、量化子の順序が重要だということである。定義では、$\delta$ は $\varepsilon$ がわかった後に選ばれるので、それに依存してよい。もし先に $(\exists \delta > 0)$ と書き、その後に $(\forall \varepsilon > 0)$ と書けば、同じ一つの $\delta$ がすべての $\varepsilon$ に同時に通用しなければならず、それははるかに強い主張である。練習問題 4 はその特徴づけを求めている。

第二は、定義の否定が量化子の否定の規則で得られることである。「すべての」の否定は「ある……が存在して、……でない」であり、「存在する」の否定は「すべての……について、……でない」である。こうして、$L$ が極限でないとはどういうことかが得られる。

ゲームの言葉でいえば、$L$ が極限でないのは、一人目がどんな応答も通用しない挑戦をもっているときである。提示された $\delta$ がどれほど小さくても、穴あき近傍の点で、その値が帯からはみ出すものがある。関数が $a$ で極限をもたないことを証明するには、どの実数 $L$ も極限でないことを示さなければならない。例題 4 ではそのようにする。

基本的な性質

記法 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ は、ただ一つの数であるかのように、その極限について語っている。これには証明が必要である。すなわち、二つの異なる数が同時に定義を満たすことはありえない、という証明である。ここで、$a$ が定義域の集積点であるという要請が効いてくる。もしそうでなければ、ある $\delta_0 > 0$ が存在して、定義域のどの $x$ も $0 < \abs{x - a} < \delta_0$ を満たさない。いつもこの $\delta_0$ で応じれば、定義の含意はすべての $L$ に対して真になる。前件が決して成り立たないからである。そして、どの数も極限になってしまう。

以下の補題は、商 $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ を簡単にすることを可能にした注意を定式化する。$a$ における極限は、$a$ の近くでの関数の値だけで決まり、$a$ でとる値にも、そこから遠い値にもよらない。

以下の二つの性質は、極限がその点の近くで関数に条件を課すことを述べる。一つ目は関数を有界にとどめ、二つ目は、極限が 0 でないとき、関数に極限の符号をもたせる。どちらも、あらかじめ選んだ $\varepsilon$ で定義を適用して得られ、極限の演算法則の課で積と商の法則を証明するための道具になる。

定義を用いればどんな極限の値も証明できるが、関数が複雑になるにつれて手間は増える。極限の演算法則の課では、この課をもとにして、和、積、商、累乗、根号の法則を証明する。それらの法則を使えば、毎回 $\delta$ を探し直すことなく、たいていの極限を計算できる。

例題

問題は難しさの順に並んでいる。最初の三つは、多項式、根号、商について $\delta$ を構成し、それぞれが $\abs{x - a}$ に伴う因子を押さえる独自のやり方をもつ。四つ目は定義の否定を用いて極限が存在しないことを証明する。最後の問題は、与えられた挑戦に応じる最大の $\delta$ を求める。

練習問題

問題は難しさの順に並んでいる。最初の二つは、別の多項式で半径を制限する技法を繰り返す。三つ目は、振動する関数に定義の否定を適用する。四つ目は、量化子の順序を入れ替えると何が起こるかを調べる。最後の問題は、ただ1点でのみ極限をもつ関数を調べる。どの問題にもヒントがあり、自分で試みた後にだけ開くのがよい。