Άλγεβρα των ορίων

Το σχέδιο των αποδείξεων

Στο μάθημα για το όριο συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής αποδείχθηκε με τον ορισμό ότι $\lim_{x \to 3} x^2 = 9$, και η εργασία συνίστατο στο να φραχθεί η $\abs{x^2 - 9}$ από ένα πολλαπλάσιο της $\abs{x - 3}$. Όλοι οι κανόνες αυτού του μαθήματος έχουν την ίδια μορφή: για να αποδειχθεί ότι μια συνάρτηση $F$ τείνει στο $K$, φράσσεται η απόσταση $\abs{F(x) - K}$ από ένα πολλαπλάσιο αποστάσεων για τις οποίες ήδη γνωρίζουμε ότι γίνονται μικρές. Αν αυτό ισχύει, συμφέρει να αποδειχθεί μία μόνο φορά, με έψιλον και δέλτα, ότι ένα τέτοιο φράγμα αρκεί· έπειτα, κάθε κανόνας ανάγεται στην εύρεση της κατάλληλης ανισότητας, και κανένα επιχείρημα με έψιλον και δέλτα δεν επαναλαμβάνεται.

Σε όλο το μάθημα, οι $f$ και $g$ είναι πραγματικές συναρτήσεις ορισμένες στο ίδιο σύνολο $A$, το σημείο $a$ είναι σημείο συσσώρευσης του $A$ και, όταν λέμε ότι η $f(x)$ ικανοποιεί κάτι «κοντά στο $a$», εννοούμε ότι υπάρχει ένα $r > 0$ τέτοιο ώστε το ικανοποιεί κάθε $x$ του $A$ με $0 < \abs{x - a} < r$. Από το προηγούμενο μάθημα χρησιμοποιούνται ο ορισμός, η μοναδικότητα του ορίου, τα όρια της σταθερής και της ταυτοτικής συνάρτησης, το λήμμα σύμφωνα με το οποίο το όριο εξαρτάται μόνο από τις τιμές κοντά στο σημείο, και η τοπική φραγή μαζί με τη διατήρηση του προσήμου.