Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Theorema compressionis et limites trigonometrici

Svmmarivm

Haec lectio limites obtinet qvos regvlae algebrae limitvm non attingvnt, fvnctionem cvm aliis comparando qvarvm limes notvs est. Primvm demonstratvr limites inaeqvalitates non strictas conservare; deinde theorema compressionis, qvod ad criterivm marginis lectionis svperioris sine vllo novo argvmento per epsilon et delta redvcitvr, et casvs eivs vsitatissimvs: prodvctvm fvnctionis circvmscriptae et fvnctionis ad nihilvm tendentis. Margine sinvs, in Algebra et Geometria II demonstrato, ostenditvr sinvm et cosinvm in omni pvncto limitem habere, valori svo aeqvalem. Inaeqvalitas inter sinvm, arcvm et tangentem deinde limitem fvndamentalem lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 praebet, ex qvo regvlae iam notae ceteros limites trigonometricos dedvcvnt. Problemata theorema compressionis adhibent, limites trigonometricos mvtationibvs variabilis compvtant et limitem ipsivs arctan⁡yy\frac{\arctan y}{y} obtinent.

Proposita discendi

  1. Conservationem inaeqvalitatvm per conservationem signi, et criterio marginis theorema compressionis et limitem prodvcti fvnctionis circvmscriptae et fvnctionis ad nihilvm tendentis demonstrare.
  2. Demonstrare sinvm et cosinvm in omni pvncto limitem habere, valori svo aeqvalem, et inde limitem tangentis dedvcere.
  3. Limitem fvndamentalem lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 demonstrare et ex eo limites ipsorvm tan⁡xx\frac{\tan x}{x}, sin⁡kxx\frac{\sin kx}{x}, 1−cos⁡xx2\frac{1 - \cos x}{x^2} et 1−cos⁡xx\frac{1 - \cos x}{x} dedvcere.
  4. Limites per comparationem et limites trigonometricos compvtare, qvemqve gradvm theorematis lectionis ivstificando.

Limites qvos regvlae non attingvnt

In lectione de algebra limitvm omnis forma 00\frac{0}{0} svblata est expressione transformanda donec factor commvnis simplificaretvr. Qvotiens sin⁡xx\frac{\sin x}{x}, cvm xx ad 00 tendit, eam tractationem non admittit: sinvs polynomivm non est, nec vlla resolvtio in factores factorem xx in nvmeratore apparere facit. Neqve regvla prodvcti de limite ipsivs xsin⁡1xx \sin \frac{1}{x} in 00 decernit, qvia factor sin⁡1x\sin \frac{1}{x} limitem non habet, vt in problemate proposito 3 lectionis de limite fvnctionvm vnivs variabilis realis demonstrandvm erat.

Atqvi in vtroqve casv fvnctio inter dvas alias simpliciores capitvr: valor absolvtvs ipsivs xsin⁡1xx \sin \frac{1}{x} non excedit ∣x∣\abs{x}, et qvotiens sin⁡xx\frac{\sin x}{x}, vt videbitvr, inter cos⁡x\cos x et 11 iacet. Qvod si ita est, semel tantvm demonstrare convenit fvnctionem inter dvas captam qvae ad evndem nvmervm tendvnt ad evm qvoqve tendere. Demonstrationes hvivs lectionis consilivm svperioris seqvvntvr: qvaeqve res ad inaeqvalitatem redvcitvr, et criterivm marginis, vel instrvmentvm ex eo dedvctvm, cetera perficit.

Conventiones lectionis svperioris manent: ff, gg et hh svnt fvnctiones reales in eadem copia AA definitae, pvnctvm aa est pvnctvm accvmvlationis copiae AA, et aliqvid «prope aa» valere significat exsistere r>0r > 0 tale vt omne xx ex AA cvm 0<∣x−a∣<r0 < \abs{x - a} < r id praestet. Revocetvr in memoriam instrvmentvm qvo sectio de tribvs lemmatibvs finita est: si lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L et lim⁡x→ag(x)=M\lim_{x \to a} g(x) = M, omnis fvnctio FF qvae prope aa marginem talem praestat qvalis infra scribitvr, cvm C>0C > 0, ad KK tendit.

∣F(x)−K∣≤C(∣f(x)−L∣+∣g(x)−M∣)\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)