Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Algebra limitvm

Svmmarivm

Haec lectio ex definitione limitis regvlas dedvcit qvibvs limites compvtari possvnt, non qvaerendo qvoqve tempore δ\delta. Demonstrationes ita ordinantvr vt qvaeqve svperioribvs vtatvr: tria lemmata, per epsilon et delta demonstrata, omnem regvlam ad inaeqvalitatem redvcvnt, et ex iis limites svmmae, prodvcti, inversi et qvotientis obtinentvr. Inde seqvvntvr limites polynomiorvm et fvnctionvm rationalivm, qvi svbstitvtionem directam ivstificant; deinde limites radicvm et potentiarvm exponentis rationalis, et theorema de limite compositionis, qvod mvtationem variabilis ivstificat. Lectio finitvr iis qvae regvlae non dicvnt: qvando qvotiens limitem finitvm non habeat et cvr regvlae sensv inverso non valeant. Problemata formas 00\frac{0}{0} in factores resolvendo, rationalem reddendo et variabilem mvtando tollvnt, et constantes determinant vt limes exsistat.

Proposita discendi

  1. Criterivm marginis per epsilon et delta demonstrare et ex eo limites svmmae, prodvcti, inversi et qvotientis dedvcere.
  2. Limites polynomiorvm, fvnctionvm rationalivm, radicvm et potentiarvm exponentis rationalis demonstrare, et svbstitvtionem directam cvm svis condicionibvs adhibere.
  3. Theorema de limite compositionis demonstrare, necessitatem hypothesivm eivs agnoscere et id vt mvtationem variabilis adhibere.
  4. Limites formae 00\frac{0}{0} in factores resolvendo, rationalem reddendo vel variabilem mvtando compvtare, et demonstrare qvando qvotiens limitem finitvm non habeat.

Ratio demonstrationvm

In lectione de limite fvnctionvm vnivs variabilis realis ex definitione demonstratvm est lim⁡x→3x2=9\lim_{x \to 3} x^2 = 9, et opvs in eo constitit vt ∣x2−9∣\abs{x^2 - 9} mvltiplo ipsivs ∣x−3∣\abs{x - 3} circvmscriberetvr. Omnes regvlae hvivs lectionis eandem formam habent: ad ostendendvm fvnctionem FF ad KK tendere, distantia ∣F(x)−K∣\abs{F(x) - K} mvltiplo distantiarvm circvmscribitvr qvas iam constat parvas fieri. Qvod si ita est, semel tantvm per epsilon et delta demonstrare convenit talem marginem svfficere; postea qvaeqve regvla eo redit vt inaeqvalitas idonea inveniatvr, nec vllvm argvmentvm per epsilon et delta iteratvr.

In tota lectione ff et gg svnt fvnctiones reales in eadem copia AA definitae, pvnctvm aa est pvnctvm accvmvlationis copiae AA et, cvm dicitvr f(x)f(x) aliqvid «prope aa» praestare, intellegitvr exsistere r>0r > 0 tale vt omne xx copiae AA cvm 0<∣x−a∣<r0 < \abs{x - a} < r id praestet. Ex lectione svperiore adhibentvr definitio, vnicitas limitis, limites fvnctionis constantis et fvnctionis identicae, lemma qvo limes ex solis valoribvs pvncto propinqvis pendet, et circvmscriptio localis cvm conservatione signi.