Limite et continuité · Topos Uranos

Résumé

Cette leçon mène les limites à leur première conséquence structurelle, la continuité, que la leçon qui suit étend à toutes les fonctions élémentaires. Une fonction est continue en un point quand sa valeur en ce point est celle qu’annoncent les valeurs proches ; avec les limites des leçons qui précèdent, cette idée s’écrit comme le défi et la réponse habituels, avec une seule différence : le point lui-même n’est plus exclu. Il s’ensuit que la continuité en un point d’accumulation équivaut à ce que la limite existe et soit égale à la valeur, et que presque tous ses théorèmes s’héritent des opérations sur les limites sans nouvelle démonstration. On classe les discontinuités en évitables, de saut et essentielles, et l’on répare les évitables par le prolongement par continuité. Le seul argument nouveau est celui de la composée, où la continuité fait plus que la limite : elle supprime l’hypothèse qu’exigeait le théorème de la limite d’une composée, et elle permet de faire passer la limite à l’intérieur d’une fonction continue.

Objectifs d’apprentissage

Définir la continuité en un point, d’un côté et sur un intervalle, et la relier à la limite.
Classer les discontinuités en évitables, de saut et essentielles, et prolonger par continuité une fonction qui présente une discontinuité évitable.
Démontrer la continuité des sommes, des produits, des quotients, des racines et des composées de fonctions continues, et en déduire celle des polynômes, des fonctions rationnelles et des fonctions trigonométriques.
Calculer des limites en les faisant passer à l’intérieur d’une fonction continue, et étudier des fonctions continues en un seul point ou en aucun.

Définition

Dans la leçon sur la limite des fonctions d’une variable réelle, la définition excluait délibérément le point $a$ : la limite décrit ce qui se passe près de $a$ , non en $a$ , et la fonction peut ne pas y être définie. La continuité compare les deux choses : ce qui se passe à proximité et ce qui se passe au point.

DéfinitionFonction continue en un point

Soient $f$ une fonction définie sur un ensemble $A$ et $a$ un élément de $A$ . On dit que $f$ est continue en $a$ si pour tout $\varepsilon > 0$ il existe un $\delta > 0$ tel que tout $x$ de $A$ qui vérifie $\abs{x - a} < \delta$ vérifie aussi $\abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon$ :

(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)

Si $f$ n’est pas continue en $a$ , on dit qu’elle est discontinue en $a$ . Si elle est continue en tous les points d’un ensemble $S$ contenu dans $A$ , on dit qu’elle est continue sur $S$ ; et si elle l’est sur tout son ensemble de définition, on dit simplement qu’elle est continue.

La définition diffère de celle de la limite sur trois points. Le nombre dont les valeurs doivent s’approcher n’est pas un $L$ quelconque, mais $f(a)$ ; c’est pourquoi $a$ doit appartenir à l’ensemble de définition. La réponse $\abs{x - a} < \delta$ n’exclut pas $x = a$ , mais l’inclure ne coûte rien, car $\abs{f(a) - f(a)} = 0$ . Et l’on n’exige pas que $a$ soit un point d’accumulation de $A$ . La négation s’obtient comme dans la leçon sur la limite : $f$ est discontinue en $a$ s’il existe un $\varepsilon > 0$ tel que, pour tout $\delta > 0$ , il y a un $x$ de $A$ avec $\abs{x - a} < \delta$ et $\abs{f(x) - f(a)} \geq \varepsilon$ .

PropositionContinuité et limite

Soient $f$ une fonction définie sur $A$ et $a$ un élément de $A$ . Si $a$ est un point d’accumulation de $A$ , alors $f$ est continue en $a$ si et seulement si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ . Si $a$ est un point isolé de $A$ , alors $f$ est continue en $a$ . Les deux définitions demandent la même chose, sauf au point $a$ , où la continuité est assurée d’elle-même. Sur la figure, la bande entoure la valeur $f(a)$ , qui est maintenant un point plein de la courbe ; à la fin, un point isolé de l’ensemble de définition.

Démonstration

$0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{x - a} < \delta \rightarrow \resaltar{\abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon}$
Si $f$ est continue en $a$ , la réponse $\delta$ à chaque défi $\varepsilon$ vaut en particulier pour les $x$ tels que $0 < \abs{x - a} < \delta$ : c’est une réponse pour la limite, avec $L = f(a)$ .
$x = a \rightarrow \abs{f(a) - f(a)} = \resaltar{0} < \varepsilon$
Inversement, si la limite est $f(a)$ , la réponse de la limite couvre les $x$ distincts de $a$ , et en $x = a$ la condition est toujours vérifiée : c’est une réponse pour la continuité.
$\abs{x - a} < \delta \wedge x \in A \rightarrow x = a \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} = 0 < \varepsilon$
Si $a$ est un point isolé, il existe un $\delta > 0$ tel que le seul élément de $A$ vérifiant $\abs{x - a} < \delta$ est $a$ lui-même. Ce $\delta$ répond à tous les défis à la fois.

Par conséquent, en un point d’accumulation de l’ensemble de définition, la continuité consiste en trois choses : que $f$ soit définie en $a$ , qu’elle ait une limite en $a$ , et que cette limite soit $f(a)$ . Chacune peut faire défaut séparément, et c’est de là que vient la classification des discontinuités. Par exemple, la fonction qui vaut $1$ en tout $x \neq 0$ et $0$ en $x = 0$ , celle du contre-exemple de la composée dans la leçon sur les opérations sur les limites, a pour limite $1$ en $0$ , distincte de sa valeur : elle est discontinue en $0$ .

Dans la suite de cette leçon

Continuité à gauche ou à droite et continuité sur un intervalle
Classification des discontinuités
Opérations sur les fonctions continues
Composition
Propriétés locales
Problèmes résolus
Deux morceaux qui se raccordent
Trois discontinuités distinctes
Une oscillation amortie et une autre qui ne l’est pas
Des limites à l’intérieur de fonctions continues
Une fonction continue en un seul point
Problèmes proposés
Trois morceaux
La valeur absolue d’une fonction continue
Le maximum de deux fonctions continues
Une fonction additive
La fonction de Thomae