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Topos Uranos
Français

Asymptotes et techniques de représentation graphique

Résumé

Cette leçon clôt l’étude des limites de cette unité par leur première application géométrique : les asymptotes. En Algèbre et géométrie, les asymptotes verticales, horizontales et obliques des fonctions rationnelles et des fonctions avec radicaux ont été obtenues avec le tableau de signes et la division des polynômes, et le comportement de la courbe près d’elles a été admis comme un fait intuitif. Ici, on les définit avec les limites à gauche et à droite, les limites à l’infini et les limites infinies, et l’on démontre ces faits admis. On établit qu’une droite est asymptote exactement lorsque la distance de la courbe à cette droite tend vers zéro, on obtient la formule de la pente et de l’ordonnée à l’origine de l’asymptote oblique, et l’on en déduit qu’en chaque extrémité il y en a au plus une. La leçon corrige en outre une croyance répandue, selon laquelle une courbe ne peut pas couper son asymptote, propose une méthode pour représenter une fonction sans dérivées et l’applique à des fonctions d’Algèbre et géométrie, dont les tableaux de signes et les divisions de polynômes se complètent maintenant par des limites.

Objectifs d’apprentissage

  1. Définir par des limites les asymptotes verticales, horizontales et obliques, et les relier à la distance de la courbe à une droite.
  2. Démontrer les formules de la pente et de l’ordonnée à l’origine de l’asymptote oblique, et l’unicité de l’asymptote non verticale en chaque extrémité.
  3. Démontrer les faits admis en Algèbre et géométrie sur le comportement d’une fonction rationnelle près d’un zéro de son dénominateur, et déterminer la position d’une courbe par rapport à son asymptote.
  4. Représenter des fonctions algébriques et trigonométriques en réunissant l’ensemble de définition, les symétries, les points d’intersection avec les axes, le tableau de signes et les asymptotes.

Définition

Dans la leçon sur les fonctions rationnelles d’Algèbre et géométrie, une asymptote était une droite dont la courbe s’approche de plus en plus lorsqu’elle s’éloigne le long de l’une de ses branches. Avec les limites de cette unité, cette idée s’écrit avec précision. Il y a deux manières de s’éloigner : la variable s’approche d’un nombre tandis que les valeurs croissent sans être majorées, ou la variable croît sans être majorée. À la première correspondent les asymptotes verticales ; à la seconde, les autres.

DéfinitionAsymptotes

Soit ff une fonction d’ensemble de définition AA.

  • La droite x=ax = a est une asymptote verticale de la courbe de ff si au moins l’une des limites à gauche et à droite de ff en aa est ∞\infty ou −∞-\infty.
  • Si AA n’est pas majoré, la droite y=mx+by = mx + b est une asymptote de la courbe de ff en ∞\infty si lim⁡x→∞(f(x)−(mx+b))=0\lim_{x \to \infty} \left(f(x) - (mx + b)\right) = 0. On la dit horizontale si m=0m = 0 et oblique si m≠0m \neq 0. On définit de même l’asymptote en −∞-\infty.

Trois remarques précisent la définition. Premièrement : l’asymptote horizontale y=Ly = L en ∞\infty est simplement l’affirmation lim⁡x→∞f(x)=L\lim_{x \to \infty} f(x) = L, de la leçon sur les limites quand la variable tend vers l’infini. Deuxièmement : les asymptotes non verticales se définissent en chaque extrémité séparément, et elles peuvent être distinctes en ∞\infty et en −∞-\infty, comme les droites y=π2y = \frac{\pi}{2} et y=−π2y = -\frac{\pi}{2} de l’arc tangente. Troisièmement : si f(x)−g(x)f(x) - g(x) tend vers 00 pour une fonction gg qui n’est pas du premier degré, comme le polynôme quotient d’une division lorsque le degré du numérateur dépasse de deux ou plus celui du dénominateur, on dit que la courbe y=g(x)y = g(x) est une courbe asymptote ; tout ce qui suit sur les asymptotes obliques vaut pour elle, sauf les formules de la pente et de l’ordonnée à l’origine.

La définition mesure la différence des ordonnées, c’est-à-dire la distance verticale entre la courbe et la droite. L’idée intuitive parle en revanche de la distance de la courbe à la droite, qui se mesure sur la perpendiculaire. La proposition ci-dessous montre que les deux tendent vers zéro en même temps.

PropositionLa distance à l’asymptote

Soit Px=(x,f(x))P_x = (x, f(x)) le point de la courbe d’abscisse xx, et soit rr la droite y=mx+by = mx + b. Alors rr est asymptote de la courbe de ff en ∞\infty si et seulement si lim⁡x→∞d⁡(Px,r)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{d}(P_x, r) = 0. La distance à la droite est la distance verticale multipliée par une constante strictement positive. Sur la figure, la courbe est f(x)=x2+1+1x−1f(x) = \frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{x - 1}, dont l’asymptote est la droite y=x2+1y = \frac{x}{2} + 1.

Démonstration

  1. d⁡(Px,r)=∣mx−f(x)+b∣m2+1=∣f(x)−(mx+b)∣m2+1\operatorname{d}(P_x, r) = \frac{\abs{mx - f(x) + b}}{\sqrt{m^2 + 1}} = \resaltar{\frac{\abs{f(x) - (mx + b)}}{\sqrt{m^2 + 1}}}

    La droite rr a pour équation mx−y+b=0mx - y + b = 0. D’après la formule de la distance d’un point à une droite de la leçon sur les vecteurs du plan, la distance de PxP_x à rr est la distance verticale divisée par m2+1\sqrt{m^2 + 1}, qui ne dépend pas de xx.

  2. f(x)−(mx+b)→0⇔d⁡(Px,r)→0f(x) - (mx + b) \to 0 \Leftrightarrow \resaltar{\operatorname{d}(P_x, r) \to 0}

    D’après le lemme de la limite comme distance qui tend vers zéro de la leçon sur les opérations sur les limites, transposé à l’infini, f(x)−(mx+b)f(x) - (mx + b) tend vers 00 si et seulement si sa valeur absolue tend vers 00 ; et celle-ci tend vers 00 si et seulement si son produit par la constante strictement positive 1m2+1\frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}} y tend aussi, d’après la règle de la combinaison linéaire.