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Topos Uranos
Português

Assíntotas e técnicas de representação gráfica

Resumo

Esta aula encerra o estudo dos limites desta unidade com sua primeira aplicação geométrica: as assíntotas. Em Álgebra e Geometria, as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas das funções racionais e das funções com radicais foram obtidas com o quadro de sinais e a divisão de polinômios, e o comportamento da curva junto a elas foi admitido como um fato intuitivo. Aqui elas são definidas com os limites laterais, os limites no infinito e os limites infinitos, e esses fatos admitidos são demonstrados. Prova-se que uma reta é assíntota exatamente quando a distância da curva a ela tende a zero, obtém-se a fórmula do coeficiente angular e do coeficiente linear da assíntota oblíqua, e deduz-se que em cada extremo há no máximo uma. A aula corrige, além disso, uma crença comum, a de que uma curva não pode cortar sua assíntota, propõe um método para representar uma função sem derivadas e o aplica a funções de Álgebra e Geometria, cujos quadros de sinais e divisões de polinômios se completam agora com limites.

Objetivos de aprendizagem

  1. Definir com limites as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, e relacioná-las com a distância da curva a uma reta.
  2. Demonstrar as fórmulas do coeficiente angular e do coeficiente linear da assíntota oblíqua, e a unicidade da assíntota não vertical em cada extremo.
  3. Demonstrar os fatos admitidos em Álgebra e Geometria sobre o comportamento de uma função racional junto a um zero de seu denominador, e decidir a posição de uma curva em relação à sua assíntota.
  4. Representar funções algébricas e trigonométricas reunindo o domínio, as simetrias, as interseções com os eixos, o quadro de sinais e as assíntotas.

Definição

Na aula sobre as funções racionais de Álgebra e Geometria, uma assíntota era uma reta da qual a curva se aproxima cada vez mais ao afastar-se por algum de seus ramos. Com os limites desta unidade, essa ideia se escreve com precisão. Há duas maneiras de afastar-se: a variável se aproxima de um número enquanto os valores crescem ilimitadamente, ou a variável cresce ilimitadamente. À primeira correspondem as assíntotas verticais; à segunda, as demais.

DefiniçãoAssíntotas

Seja ff uma função com domínio AA.

  • A reta x=ax = a é uma assíntota vertical do gráfico de ff se pelo menos um dos limites laterais de ff em aa é ∞\infty ou −∞-\infty.
  • Se AA não é limitado superiormente, a reta y=mx+by = mx + b é uma assíntota do gráfico de ff em ∞\infty se lim⁡x→∞(f(x)−(mx+b))=0\lim_{x \to \infty} \left(f(x) - (mx + b)\right) = 0. Ela se chama horizontal se m=0m = 0 e oblíqua se m≠0m \neq 0. Do mesmo modo se define a assíntota em −∞-\infty.

Três observações precisam a definição. Primeira: a assíntota horizontal y=Ly = L em ∞\infty é simplesmente a afirmação lim⁡x→∞f(x)=L\lim_{x \to \infty} f(x) = L, da aula sobre os limites quando a variável tende ao infinito. Segunda: as assíntotas não verticais se definem em cada extremo separadamente, e podem ser distintas em ∞\infty e em −∞-\infty, como as retas y=π2y = \frac{\pi}{2} e y=−π2y = -\frac{\pi}{2} do arco-tangente. Terceira: se f(x)−g(x)f(x) - g(x) tende a 00 para uma função gg que não é do primeiro grau, como o polinômio quociente de uma divisão quando o grau do numerador excede em dois ou mais o do denominador, diz-se que a curva y=g(x)y = g(x) é uma assíntota curvilínea; tudo o que segue sobre as assíntotas oblíquas vale para ela, exceto as fórmulas do coeficiente angular e do coeficiente linear.

A definição mede a diferença das ordenadas, isto é, a distância vertical entre a curva e a reta. A ideia intuitiva fala, por outro lado, da distância da curva à reta, que se mede sobre a perpendicular. A proposição a seguir mostra que ambas tendem a zero ao mesmo tempo.

ProposiçãoA distância à assíntota

Seja Px=(x,f(x))P_x = (x, f(x)) o ponto do gráfico de abscissa xx, e seja rr a reta y=mx+by = mx + b. Então rr é assíntota do gráfico de ff em ∞\infty se e somente se lim⁡x→∞d⁡(Px,r)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{d}(P_x, r) = 0. A distância à reta é a distância vertical multiplicada por uma constante positiva. Na figura, a curva é f(x)=x2+1+1x−1f(x) = \frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{x - 1}, cuja assíntota é a reta y=x2+1y = \frac{x}{2} + 1.

Demonstração

  1. d⁡(Px,r)=∣mx−f(x)+b∣m2+1=∣f(x)−(mx+b)∣m2+1\operatorname{d}(P_x, r) = \frac{\abs{mx - f(x) + b}}{\sqrt{m^2 + 1}} = \resaltar{\frac{\abs{f(x) - (mx + b)}}{\sqrt{m^2 + 1}}}

    A reta rr tem a equação mx−y+b=0mx - y + b = 0. Pela fórmula da distância de um ponto a uma reta da aula sobre os vetores no plano, a distância de PxP_x a rr é a distância vertical dividida por m2+1\sqrt{m^2 + 1}, que não depende de xx.

  2. f(x)−(mx+b)→0⇔d⁡(Px,r)→0f(x) - (mx + b) \to 0 \Leftrightarrow \resaltar{\operatorname{d}(P_x, r) \to 0}

    Pelo lema do limite como distância que tende a zero da aula sobre a álgebra dos limites, transposto ao infinito, f(x)−(mx+b)f(x) - (mx + b) tende a 00 se e somente se seu valor absoluto tende a 00; e este tende a 00 se e somente se o faz seu produto pela constante positiva 1m2+1\frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}}, pela regra da combinação linear.