Continuità delle funzioni elementari e limiti notevoli

Riepilogo

Questa lezione dimostra che le funzioni elementari che mancavano, l’esponenziale, il logaritmo, le potenze a esponente reale, le funzioni trigonometriche inverse e le iperboliche, sono continue, con un solo argomento: una funzione monotona i cui valori riempiono un intervallo non può saltare. Con questa continuità e la disuguaglianza fondamentale dell’esponenziale si dimostrano i limiti notevoli dell’esponenziale e del logaritmo, e si ottiene il numero $e$ come limite di $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ . La lezione risolve anche la forma indeterminata $1^\infty$ e confronta l’esponenziale, le potenze e il logaritmo all’infinito.

Obiettivi di apprendimento

Dimostrare che una funzione monotona la cui immagine è un intervallo è continua, e dedurne la continuità dell’inversa e delle funzioni elementari.
Dimostrare i limiti notevoli dell’esponenziale, del logaritmo e delle potenze.
Ottenere il numero $e$ come limite e risolvere la forma indeterminata $1^\infty$ .
Confrontare l’esponenziale, le potenze e il logaritmo all’infinito e vicino a zero.

Funzioni monotone senza salti

La lezione su limite e continuità ha dimostrato che i polinomi, le radici, il valore assoluto e le funzioni trigonometriche sono continui, e ha lasciato in sospeso l’esponenziale, il logaritmo e le funzioni trigonometriche inverse. Per esse non c’è una maggiorazione così semplice come $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ . C’è, invece, un argomento comune: sono tutte monotone, e i loro valori riempiono un intervallo senza lasciare buchi. Una funzione monotona può essere discontinua solo mediante un salto, e un salto lascia un buco tra i valori.

TeoremaFunzioni monotone la cui immagine è un intervallo

Sia $f$ una funzione definita in un intervallo $I$ e monotona in esso, e supponiamo che la sua immagine $f(I) = \left\{ f(x) : x \in I \right\}$ sia un intervallo. Allora $f$ è continua in $I$ . Per la lezione sui limiti unilaterali, da ciascun lato di un punto la funzione monotona ha limite; se tale limite non fosse il valore, resterebbe un buco nell’immagine. La figura mostra una funzione crescente con un salto e il buco che lascia.

Dimostrazione

$\lim_{x \to a^-} f(x) = \dato{l}{L \leq f(a)}, \qquad f(c) \leq L$
Basta il caso crescente: se $f$ è decrescente, $-f$ è crescente e anche la sua immagine è un intervallo. Sia $a$ un punto di $I$ diverso dal suo estremo sinistro, e sia $c < a$ in $I$ . In $\ioo{c}{a}$ la funzione è crescente e limitata da $f(a)$ ; per il teorema del limite di una funzione monotona, il limite sinistro esiste ed è l’estremo superiore di quei valori.
$x < a \rightarrow f(x) \leq L < y, \qquad x \geq a \rightarrow f(x) \geq f(a) > y$
Supponiamo che $L < f(a)$ . Il punto medio $y$ tra $L$ e $f(a)$ sta tra i valori $f(c)$ e $f(a)$ , cosicché appartiene all’immagine, che è un intervallo. Ma nessun $x$ di $I$ lo raggiunge: se $x < a$ , il valore non supera $L$ , e se $x \geq a$ , non scende sotto $f(a)$ . È una contraddizione.
$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = \resaltar{f(a)}$
Pertanto si ha $L = f(a)$ . Allo stesso modo, con l’estremo inferiore e il corollario dell’estremo sinistro della stessa lezione, il limite destro vale $f(a)$ in ogni $a$ di $I$ diverso dal suo estremo destro. I due limiti unilaterali coincidono con il valore, e $f$ è continua in $a$ ; in un estremo di $I$ basta l’unico lato che esiste.

L’ipotesi sull’immagine è necessaria: la parte intera è monotona e discontinua in ogni intero, e la sua immagine, l’insieme degli interi, non è un intervallo. Dal teorema segue subito la continuità delle funzioni inverse.

CorollarioContinuità dell’inversa

Sia $f$ una funzione definita in un intervallo $I$ e strettamente monotona in esso, e supponiamo che la sua immagine $J = f(I)$ sia un intervallo. Allora l’inversa $f^{-1} \colon J \to I$ è continua in $J$ . L’inversa è monotona nello stesso verso, e la sua immagine è l’intervallo $I$ .

Dimostrazione

$f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y') \rightarrow y \geq y', \qquad f^{-1}(J) = \resaltar{I}$
Se $f$ è crescente e $y < y'$ in $J$ , l’inversa non può invertire l’ordine: se fosse $f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y')$ , applicando $f$ si otterrebbe $y \geq y'$ . Pertanto $f^{-1}$ è crescente, e la sua immagine è $I$ ; il teorema dà la continuità. Il caso decrescente è analogo.