Infinitesimi e infiniti equivalenti

Riepilogo

Questa lezione chiude l’unità dei limiti con una tecnica di calcolo che riunisce quasi tutto ciò che si è visto finora: il confronto tra funzioni che tendono a zero o all’infinito. Si definiscono l’ $o$ piccolo, l’ $O$ grande, lo stesso ordine e l’equivalenza, e si dimostra che, in un prodotto o in un quoziente, ogni fattore può essere sostituito con un altro equivalente senza alterare il limite. I limiti trigonometrici, quelli dell’esponenziale, del logaritmo e delle potenze, e quelli dei polinomi, dimostrati nelle lezioni che precedono, si riuniscono in una tabella degli equivalenti, che permette di calcolare a colpo d’occhio limiti che prima richiedevano varie trasformazioni. La lezione mostra anche l’errore più comune con questa tecnica, sostituire all’interno di una somma, quando una somma si può invece sostituire, e come si confrontano le potenze vicino a zero e lontano dall’origine.

Obiettivi di apprendimento

Definire l’ $o$ piccolo, l’ $O$ grande, lo stesso ordine e l’equivalenza di funzioni in un punto, da un lato o all’infinito, e dimostrarne le proprietà.
Dimostrare il principio di sostituzione degli equivalenti nei prodotti e nei quozienti, e riconoscere perché non vale nelle somme.
Dimostrare la tabella degli equivalenti in zero e usarla, con la composizione, per calcolare limiti e determinare l’ordine e la parte principale di un infinitesimo.
Confrontare infiniti e infinitesimi di tipo potenza, e distinguere l’equivalenza dall’esistenza di un asintoto.

Confrontare funzioni

Le lezioni sul teorema del confronto e sui limiti infiniti hanno mostrato che le forme $\frac{0}{0}$ e $\frac{\infty}{\infty}$ non hanno un risultato fisso: il limite di un quoziente di due funzioni che tendono a zero dipende da quanto rapidamente vi tendono. L’idea di questa lezione è misurare tale rapidità confrontando ogni funzione con un’altra più semplice. Come nella lezione sui limiti infiniti, $P$ indica la destinazione della variabile ( $a$ , $a^+$ , $a^-$ , $\infty$ o $-\infty$ ), e «vicino a $P$ » significa in un intorno bucato, da un lato o in una semiretta. Se una funzione è definita solo in un insieme $A$ di cui $a$ è punto di accumulazione, «vicino a $a$ » significa nei punti di $A$ di un intorno bucato di centro $a$ , e i limiti sono quelli della lezione sul limite di funzioni di una variabile reale, presi in $A$ ; le definizioni seguenti si applicano allo stesso modo in quel caso.

DefinizioneConfronto tra funzioni

Siano $f$ e $g$ funzioni definite vicino a $P$ , con $g(x) \neq 0$ vicino a $P$ .

$f$ è trascurabile rispetto a $g$ in $P$ , e si scrive $f = \operatorname{o}(g)$ , che si legge « $f$ è o piccolo di $g$ », se $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ .
$f$ è dominata da $g$ in $P$ , e si scrive $f = \operatorname{O}(g)$ , che si legge « $f$ è O grande di $g$ », se esiste $C > 0$ tale che $\abs{f(x)} \leq C\abs{g(x)}$ vicino a $P$ ; cioè, se il quoziente $\frac{f(x)}{g(x)}$ è limitato vicino a $P$ .
$f$ e $g$ sono dello stesso ordine in $P$ se $\frac{f(x)}{g(x)}$ tende a un numero diverso da zero.
$f$ e $g$ sono equivalenti in $P$ , e si scrive $f \sim g$ , se $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ .

Una funzione che tende a $0$ in $P$ si chiama un infinitesimo in $P$ , e una che tende a $\infty$ o a $-\infty$ , un infinito. Un infinitesimo in $0$ ha ordine $k > 0$ se è dello stesso ordine di $x^k$ (in $0^+$ , se $x^k$ è definita solo per $x > 0$ ), e allora, se $\frac{f(x)}{x^k}$ tende a $c$ , la funzione $c\,x^k$ è la sua parte principale: $f \sim c\,x^k$ .

La parola «infinitesimo» non designa un numero molto piccolo, ma una funzione che tende a zero; la scrittura $\operatorname{o}(g)$ non designa una funzione determinata, ma una qualsiasi di quelle che sono trascurabili rispetto a $g$ . Per esempio, $x^2 = \operatorname{o}(x)$ in $0$ , perché $\frac{x^2}{x} = x$ tende a $0$ ; invece, $x = \operatorname{o}(x^2)$ in $\infty$ , perché $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$ tende a $0$ . Una stessa coppia di funzioni si confronta in modo opposto a seconda della destinazione. Lo stesso ordine e l’equivalenza sono, in fondo, un solo confronto: se $f$ e $g$ sono dello stesso ordine con quoziente che tende a $c$ , allora $f \sim c\,g$ .

ProposizioneProprietà del confronto

In una stessa destinazione $P$ :

l’equivalenza è riflessiva, simmetrica e transitiva: $f \sim f$ ; se $f \sim g$ , allora $g \sim f$ ; e se $f \sim g$ e $g \sim h$ , allora $f \sim h$ ;
$f \sim g$ se e solo se $f - g = \operatorname{o}(g)$ ; in particolare, se $h = \operatorname{o}(g)$ , allora $g + h \sim g$ ;
se $f = \operatorname{o}(h)$ e $g = \operatorname{o}(h)$ , allora $f + g = \operatorname{o}(h)$ e $c\,f = \operatorname{o}(h)$ per ogni reale $c$ .

Ogni affermazione è una regola dell’algebra dei limiti applicata a un quoziente.

Dimostrazione

$\frac{g}{f} = \frac{1}{\frac{f}{g}} \to 1, \qquad \frac{f}{h} = \frac{f}{g} \cdot \frac{g}{h} \to 1 \cdot 1 = \resaltar{1}$
Il quoziente di $f$ per sé stessa vale $1$ . Se $\frac{f}{g}$ tende a $1$ , il suo reciproco tende a $\frac{1}{1} = 1$ , per la regola del reciproco. Se $\frac{f}{g}$ e $\frac{g}{h}$ tendono a $1$ , anche il loro prodotto, per la regola del prodotto.
$\frac{f - g}{g} = \frac{f}{g} - 1 \to 0 \Leftrightarrow \frac{f}{g} \to \resaltar{1}$
Il quoziente di $f - g$ per $g$ è $\frac{f}{g} - 1$ , che tende a $0$ se e solo se $\frac{f}{g}$ tende a $1$ . Con $f = g + h$ , la differenza è $h$ .
$\frac{f + g}{h} = \frac{f}{h} + \frac{g}{h} \to 0 + 0 = \resaltar{0}$
Se $\frac{f}{h}$ e $\frac{g}{h}$ tendono a $0$ , anche la loro somma e il prodotto di ciascuno per una costante, per la regola della combinazione lineare.

L’ $O$ grande non esige che il quoziente abbia limite, ma solo che non cresca senza controllo. Per esempio, $\sin x = \operatorname{O}(1)$ in $\infty$ , benché $\sin x$ non abbia limite lì, e $x \sin \frac{1}{x} = \operatorname{O}(x)$ in $0$ , perché $\abs{x \sin \frac{1}{x}} \leq \abs{x}$ . Per calcolare limiti basta l’ $o$ piccolo; l’ $O$ grande servirà a misurare errori di approssimazione, come quello del polinomio di Taylor, che si studierà in Analisi II. Le sue regole sono le seguenti.

ProposizioneRegole dell’O grande

In una stessa destinazione $P$ :

se $\frac{f}{g}$ ha limite finito in $P$ , allora $f = \operatorname{O}(g)$ ; in particolare, se $f = \operatorname{o}(g)$ o se $f \sim g$ ;
se $f = \operatorname{O}(h)$ e $g = \operatorname{O}(h)$ , allora $f + g = \operatorname{O}(h)$ e $c\,f = \operatorname{O}(h)$ per ogni reale $c$ ;
se $f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ e $f_2 = \operatorname{O}(g_2)$ , allora $f_1 f_2 = \operatorname{O}(g_1 g_2)$ ;
se $f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ e $f_2 = \operatorname{o}(g_2)$ , allora $f_1 f_2 = \operatorname{o}(g_1 g_2)$ .

Ogni regola è una disuguaglianza tra valori assoluti; l’ultima combina una maggiorazione con un quoziente che tende a zero.

Dimostrazione

$\abs{\frac{f(x)}{g(x)}} \leq \abs{\frac{f(x)}{g(x)} - L} + \abs{L} < \resaltar{\abs{L} + 1}$
Se $\frac{f}{g}$ tende a $L$ , la sfida $\varepsilon = 1$ ha risposta: vicino a $P$ , il quoziente dista da $L$ meno di $1$ , e per la disuguaglianza triangolare il suo valore assoluto non supera $\abs{L} + 1$ .
$\abs{f(x) + g(x)} \leq C_1\abs{h(x)} + C_2\abs{h(x)} = \resaltar{(C_1 + C_2)\abs{h(x)}}$
Le maggiorazioni con $C_1$ per $f$ e con $C_2$ per $g$ valgono insieme vicino a $P$ , nell’intersezione dei due intorni. La disuguaglianza triangolare maggiora la somma; il multiplo ha la costante $\abs{c}\,C_1$ .
$\abs{f_1(x) f_2(x)} \leq C_1\abs{g_1(x)} \cdot C_2\abs{g_2(x)} = \resaltar{C_1 C_2 \abs{g_1(x) g_2(x)}}$
Le maggiorazioni dei due fattori si moltiplicano.
$0 \leq \abs{\frac{f_1(x) f_2(x)}{g_1(x) g_2(x)}} \leq C_1 \abs{\frac{f_2(x)}{g_2(x)}} \to \resaltar{0}$
Il quoziente del prodotto per $g_1 g_2$ è il prodotto di un quoziente limitato da $C_1$ e di un altro che tende a $0$ ; per il teorema del confronto, tende a $0$ .