Limiti e continuità: sintesi e sfide

Riepilogo

Questa lezione chiude l’unità sui limiti e sulla continuità. Riunisce in un’unica catena deduttiva ciò che le dieci lezioni dell’unità hanno dimostrato: la definizione del limite con epsilon e delta e le sue proprietà locali, le regole dell’algebra dei limiti ridotte a tre lemmi, il teorema del confronto e i limiti trigonometrici; i limiti unilaterali, all’infinito e infiniti, che ereditano quelle regole per restrizione, per inversione e per il reciproco, insieme agli asintoti; e la continuità, quella delle funzioni elementari, i limiti notevoli e il confronto tra funzioni mediante infinitesimi equivalenti. Spiega come l’unità si appoggia su Algebra e Geometria I e II, i cui fatti ammessi sugli asintoti e sulla continuità trasforma in teoremi, e come prepara lo studio delle derivate e delle loro applicazioni. Termina con una valutazione d’uscita, parallela a quella d’ingresso, e con dieci sfide, più difficili dei problemi delle lezioni, ciascuna delle quali combina risultati di diverse lezioni.

Obiettivi di apprendimento

Esporre in ordine logico le definizioni e i teoremi principali dell’unità, indicando da quali risultati anteriori dipende ciascuno e quali ragionamenti epsilon-delta si riutilizzano.
Distinguere ciò che l’unità ammette da ciò che dimostra, e riconoscere le ipotesi di ciascun risultato, come quella del limite di una composizione o quella della sostituzione di equivalenti.
Mettere in relazione i risultati dell’unità con Algebra e Geometria I e II e con lo studio delle derivate e delle loro applicazioni.
Risolvere problemi non di routine che combinano l’algebra dei limiti, i limiti unilaterali, all’infinito e infiniti, gli asintoti, la continuità, i limiti notevoli e gli infinitesimi equivalenti.

Ciò che l’unità ha ottenuto

L’unità è partita da una domanda e da un’esigenza. La domanda: che cosa significa che i valori di una funzione si avvicinano a un numero quando la variabile si avvicina a un punto. L’esigenza: che la risposta permetta di dimostrare, e non solo di calcolare, e che ogni ragionamento epsilon-delta si faccia una sola volta e si riutilizzi. La risposta è stata un’unica definizione, enunciata nella lezione sul limite di funzioni di una variabile reale: se $a$ è punto di accumulazione del dominio $A$ di $f$ , dire che il limite di $f$ in $a$ è $L$ significa quanto segue.

(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)

Tutto il resto si è ottenuto da essa, per riduzione: le regole di calcolo, a una disuguaglianza; i limiti unilaterali, a limiti di restrizioni; i limiti all’infinito, a limiti unilaterali in zero; i limiti infiniti, a limiti nulli dei reciproci; e la continuità, al limite uguale al valore.

La definizione e l’algebra del limite

La prima lezione ha letto la definizione come un gioco di sfida e risposta, l’ha scritta come enunciato quantificato e ne ha ottenuto la negazione quantificatore per quantificatore. Con l’esigenza che $a$ sia punto di accumulazione del dominio ha dimostrato l’unicità del limite; e con sfide scelte in anticipo, che il limite dipende solo dai valori vicini al punto, che obbliga la funzione a restare limitata vicino a esso e che, se non è zero, le impone il proprio segno. La lezione sull’algebra dei limiti ha ordinato le dimostrazioni per riutilizzarle: tre lemmi, dimostrati con epsilon e delta, garantiscono che ogni funzione $F$ che soddisfi vicino ad $a$ una maggiorazione della forma $\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)$ tende a $K$ , e ogni regola si è ridotta a trovare quella maggiorazione: quella della combinazione lineare discende dalla disuguaglianza triangolare, quella del prodotto dalla limitatezza locale e quella del reciproco dalla permanenza del segno, con un lemma che assicura che restringere il dominio non fa perdere il limite. Da qui sono seguiti la sostituzione diretta nei polinomi e nelle funzioni razionali, i limiti delle radici e delle potenze a esponente razionale, e il teorema della composizione, che giustifica il cambio di variabile con un’ipotesi che un controesempio mostra necessaria: che la funzione interna non assuma il valore del proprio limite vicino al punto. La lezione sul teorema del confronto ha dimostrato che i limiti conservano le disuguaglianze larghe, che una funzione racchiusa tra due che tendono allo stesso numero tende anch’essa a esso, e che il prodotto di una funzione limitata per una che tende a zero tende a zero; con la maggiorazione $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ e la disuguaglianza tra seno, arco e tangente, ha ottenuto il limite fondamentale $\frac{\sin x}{x} \to 1$ e le sue conseguenze.

I lati, l’infinito e gli asintoti

La lezione sui limiti unilaterali li ha definiti come limiti della restrizione della funzione a un lato del punto. Questa decisione ha risparmiato tutto il lavoro restante: i teoremi visti sopra valgono per essi senza una nuova dimostrazione, e il limite esiste se e solo se esistono i due limiti unilaterali e sono uguali. La stessa lezione ha dimostrato, per la prima volta senza calcolarne il valore, che un limite esiste: una funzione crescente e superiormente limitata in un intervallo tende, nel suo estremo destro, all’estremo superiore dei suoi valori, e lo garantisce la completezza. La lezione sui limiti quando la variabile tende all’infinito ha ridotto ciascuno di essi, con il lemma di inversione, a un limite unilaterale in zero, e ha ottenuto così il comportamento delle funzioni razionali lontano dall’origine. La lezione sui limiti infiniti ha completato lo schema con il caso in cui i valori crescono senza limitazioni: il lemma del reciproco li traduce in limiti nulli, cosicché le regole che si riassumono come « $\infty + c = \infty$ » o « $c \cdot \infty = \infty$ » sono teoremi con ipotesi, e le quattro forme indeterminate sono avvertimenti, non risultati. Infine, la lezione sugli asintoti li ha definiti mediante limiti, ha trovato il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine di un asintoto non verticale come due limiti, da cui ce n’è al più uno a ciascun estremo, ha dimostrato gli asintoti verticali delle funzioni razionali e ha ordinato l’abbozzo di un grafico senza derivate; ha anche mostrato che una curva può tagliare il proprio asintoto.

La continuità e il confronto tra funzioni

La lezione su limite e continuità ha definito la continuità in un punto del dominio, ha dimostrato che in un punto di accumulazione equivale al fatto che il limite sia il valore, e ha classificato le discontinuità in eliminabili, di salto ed essenziali. Le regole dell’algebra dei limiti hanno dato la continuità delle operazioni, e la composizione di funzioni continue è risultata continua senza l’ipotesi che esigeva il teorema della composizione dei limiti; ne segue che il limite passa dentro una funzione continua. La lezione sulla continuità delle funzioni elementari ha dimostrato con un solo argomento, quello delle funzioni monotone la cui immagine è un intervallo, la continuità dell’esponenziale, del logaritmo, delle potenze a esponente reale e delle funzioni trigonometriche inverse; con essa e con la disuguaglianza $e^x \geq 1 + x$ ha ottenuto i limiti notevoli, il numero $e$ come limite e la forma $1^\infty$ , e ha confrontato l’esponenziale, le potenze e il logaritmo all’infinito. La lezione sugli infinitesimi e infiniti equivalenti ha letto tutti quei limiti come confronti tra funzioni: ha definito l’ $\operatorname{o}$ piccolo, l’ $\operatorname{O}$ grande e l’equivalenza, ha dimostrato che in un prodotto o in un quoziente ogni fattore può essere sostituito da un altro equivalente, e ha riunito i limiti visti sopra in una tabella di equivalenti in zero.

Ciò che si ammette, ciò che si dimostra e ciò che resta

Il bilancio dell’unità si può riassumere così:

Si ammette un solo assioma: quello di completezza, insieme a quelli di campo e di ordine, secondo il quale ogni insieme non vuoto di reali superiormente limitato ha estremo superiore. Si usano, inoltre, risultati dimostrati in Algebra e Geometria: la disuguaglianza tra seno, arco e tangente, le formule di prostaferesi, la disuguaglianza $e^x \geq 1 + x$ , la monotonia dell’esponenziale e il teorema del fattore.
Si dimostrano fatti che Algebra e Geometria aveva ammesso: gli asintoti verticali e all’infinito delle funzioni razionali, e la continuità delle funzioni razionali, trigonometriche e trigonometriche inverse.
Si riutilizzano cinque strumenti invece di ripetere argomenti: i tre lemmi della maggiorazione, la permanenza del segno, la restrizione del dominio (in particolare, a un lato del punto), l’inversione e il reciproco.
Resta per dopo ciò che esige più dei limiti: il teorema dei valori intermedi e le derivate, nell’unità seguente; il teorema di Weierstrass e la regola di de l’Hôpital, nella terza; e il polinomio di Taylor, in Analisi II.

La figura seguente riunisce i tre tratti in un’unica catena. Ogni nodo della colonna è una definizione o un teorema, numerato secondo l’ordine logico e unito da un arco agli anelli anteriori che la sua dimostrazione usa; intorno fluttuano i sostegni, cioè i principi e gli strumenti a cui la catena ricorre più e più volte, ciascuno unito da una linea continua agli anelli che si appoggiano su di esso e da una tratteggiata all’anello in cui viene stabilito, tranne quelli che provengono da Algebra e Geometria, che sono disegnati come cerchietti vuoti. Facendo clic su un sostegno si evidenziano tutti gli anelli che lo usano, e ogni anello rimanda alla lezione in cui viene dimostrato.

Sostegni della catena

AAssiomi dei reali. Si ammette, da Algebra e Geometria I, che i reali formano un campo ordinato completo: la somma e il prodotto soddisfano gli assiomi di campo, l’ordine soddisfa la tricotomia ed è compatibile con le operazioni, e ogni insieme non vuoto di reali superiormente limitato ha estremo superiore. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
BEredità di Algebra e Geometria. Risultati dimostrati in Algebra e Geometria I e II: la scomposizione di $u^n - v^n$ e la potenza a esponente razionale, $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ e $\sin x < x < \tan x$ se $0 < x < \frac{\pi}{2}$ , le formule di prostaferesi e di riduzione delle potenze, la disuguaglianza $e^x \geq 1 + x$ , la monotonia e l’insieme immagine dell’esponenziale, le funzioni trigonometriche inverse, il teorema del fattore e le tabelle dei segni. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
CCriterio di maggiorazione. Se vicino ad $a$ vale $\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)$ , con $C > 0$ , $f \to L$ e $g \to M$ , allora $F \to K$ ; ogni regola si riduce a trovare una maggiorazione di questo tipo. Stabilito in: 4. Tre lemmi.
DLimitatezza locale e segno. Se $f$ tende ad $L$ in $a$ , vicino ad $a$ vale $\abs{f(x)} < \abs{L} + 1$ ; e se $L \neq 0$ , vicino ad $a$ la funzione ha il segno di $L$ e $\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}$ . Stabilito in: 3. Proprietà locali.
ECambio di variabile. Se $g(x) \to b$ , $f(t) \to L$ quando $t \to b$ , e $g(x) \neq b$ vicino ad $a$ , allora $f(g(x)) \to L$ . Stabilito in: 8. Limite di una composizione.
FRestrizione. Se $f$ tende ad $L$ in $a$ e $a$ è punto di accumulazione di un sottoinsieme $B$ del dominio, anche la restrizione di $f$ a $B$ tende ad $L$ ; un limite unilaterale è il limite di una restrizione, e perciò tutti i teoremi sui limiti valgono per i limiti unilaterali. Stabilito in: 5. Limite di una restrizione.
GInversione. Il limite di $f$ in $\infty$ è il limite di $f\left(\frac{1}{t}\right)$ quando $t$ tende a $0$ da destra, e quello in $-\infty$ , da sinistra; perciò tutti i teoremi sui limiti valgono all’infinito. Stabilito in: 15. Lemma di inversione.
HReciproco. Una funzione tende a $\infty$ se e solo se è positiva vicino alla destinazione e il suo reciproco tende a $0$ ; perciò le regole dei limiti finiti decidono quelli infiniti. Stabilito in: 17. Lemma del reciproco.

Tratto 1 La definizione e l’algebra del limite
- Definire il limite in un punto di accumulazione con epsilon e delta, scriverlo e negarlo come enunciato quantificato, e dimostrarne l’unicità e le proprietà locali.
- Ridurre ogni regola dell’algebra dei limiti a una maggiorazione mediante tre lemmi, e ottenere i limiti delle funzioni razionali, delle radici e delle potenze.
- Cambiare variabile con il teorema della composizione, riconoscendone l’ipotesi.
- Dimostrare il teorema del confronto e, con esso, il limite fondamentale della trigonometria e le sue conseguenze.
1. Definizione di limite. Se $a$ è punto di accumulazione del dominio $A$ di $f$ , il limite di $f$ in $a$ è $L$ quando $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)$ ; e non lo è quando $(\exists \varepsilon > 0)(\forall \delta > 0)(\exists x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \wedge \abs{f(x) - L} \geq \varepsilon\right)$ .
  Dimostrato in: Limite di funzioni di una variabile reale.
2. Unicità del limite. Se $a$ è punto di accumulazione del dominio di $f$ , $\lim_{x \to a} f(x) = L$ e $\lim_{x \to a} f(x) = L'$ , allora $L = L'$ .
  Usa: 1. Definizione di limite. Si appoggia su: A (Assiomi dei reali). Dimostrato in: Limite di funzioni di una variabile reale.
3. Proprietà locali. Il limite in $a$ dipende solo dai valori della funzione in un intorno bucato di centro $a$ ; se $\lim_{x \to a} f(x) = L$ , vicino ad $a$ vale $\abs{f(x)} < \abs{L} + 1$ , e se inoltre $L \neq 0$ , $f(x)$ ha il segno di $L$ e $\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}$ .
  Usa: 1. Definizione di limite. Si appoggia su: A (Assiomi dei reali). Dimostrato in: Limite di funzioni di una variabile reale.
4. Tre lemmi. Il limite di $f$ in $a$ è $L$ se e solo se quello di $\abs{f(x) - L}$ è $0$ ; se $\abs{f(x) - L} \leq C\abs{h(x)}$ vicino ad $a$ , con $C > 0$ e $\lim_{x \to a} h(x) = 0$ , allora $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ; e la somma di due distanze che tendono a zero tende a zero.
  Usa: 1. Definizione di limite. Dimostrato in: Algebra dei limiti.
5. Limite di una restrizione. Se $B$ è un sottoinsieme del dominio $A$ di $f$ , $a$ è punto di accumulazione di $B$ e $\lim_{x \to a} f(x) = L$ , allora anche la restrizione di $f$ a $B$ tende ad $L$ in $a$ : la risposta che vale in $A$ vale in $B$ .
  Usa: 1. Definizione di limite. Dimostrato in: Algebra dei limiti.
6. Algebra dei limiti. Se $\lim_{x \to a} f(x) = L$ e $\lim_{x \to a} g(x) = M$ , allora $\alpha f + \beta g$ tende a $\alpha L + \beta M$ e $fg$ a $LM$ ; e se $M \neq 0$ , $\frac{1}{g}$ tende a $\frac{1}{M}$ e $\frac{f}{g}$ a $\frac{L}{M}$ .
  Usa: 3. Proprietà locali, 4. Tre lemmi. Si appoggia su: C (Criterio di maggiorazione), D (Limitatezza locale e segno), F (Restrizione). Dimostrato in: Algebra dei limiti.
7. Polinomi, radici e potenze. Un polinomio, e una funzione razionale il cui denominatore non si annulla in $a$ , hanno come limite in $a$ il loro valore; $\sqrt[n]{f(x)}$ tende a $\sqrt[n]{L}$ , con $f \geq 0$ se $n$ è pari; e se $L > 0$ , $\left(f(x)\right)^{\frac{p}{q}}$ tende a $L^{\frac{p}{q}}$ .
  Usa: 1. Definizione di limite, 6. Algebra dei limiti. Si appoggia su: B (Eredità di Algebra e Geometria), C (Criterio di maggiorazione), D (Limitatezza locale e segno). Dimostrato in: Algebra dei limiti.
8. Limite di una composizione. Se $\lim_{x \to a} g(x) = b$ , $\lim_{t \to b} f(t) = L$ e $g(x) \neq b$ vicino ad $a$ , allora $\lim_{x \to a} f(g(x)) = L$ ; senza l’ipotesi $g(x) \neq b$ , la conclusione può venire meno.
  Usa: 1. Definizione di limite. Dimostrato in: Algebra dei limiti.
9. Permanenza delle disuguaglianze. Se $f(x) \leq g(x)$ vicino ad $a$ , $\lim_{x \to a} f(x) = L$ e $\lim_{x \to a} g(x) = M$ , allora $L \leq M$ ; la disuguaglianza stretta non si conserva.
  Usa: 6. Algebra dei limiti. Si appoggia su: D (Limitatezza locale e segno). Dimostrato in: Il teorema del confronto e i limiti trigonometrici.
10. Teorema del confronto. Se $h(x) \leq f(x) \leq g(x)$ vicino ad $a$ e $h$ e $g$ tendono ad $L$ , anche $f$ tende ad $L$ ; e il prodotto di una funzione limitata vicino ad $a$ per una che tende a $0$ tende a $0$ .
  Usa: 4. Tre lemmi. Si appoggia su: C (Criterio di maggiorazione). Dimostrato in: Il teorema del confronto e i limiti trigonometrici.
11. Seno e coseno. Per tutti i reali $x$ e $a$ , $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ e $\abs{\cos x - \cos a} \leq \abs{x - a}$ ; quindi $\lim_{x \to a} \sin x = \sin a$ e $\lim_{x \to a} \cos x = \cos a$ .
  Usa: 4. Tre lemmi. Si appoggia su: B (Eredità di Algebra e Geometria), C (Criterio di maggiorazione). Dimostrato in: Il teorema del confronto e i limiti trigonometrici.
12. Limite fondamentale. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ; e quando $x$ tende a $0$ , $\frac{\tan x}{x}$ tende a $1$ , $\frac{\sin kx}{x}$ a $k$ e $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ a $\frac{1}{2}$ .
  Usa: 6. Algebra dei limiti, 10. Teorema del confronto, 11. Seno e coseno. Si appoggia su: B (Eredità di Algebra e Geometria), E (Cambio di variabile). Dimostrato in: Il teorema del confronto e i limiti trigonometrici.
Tratto 2 I lati, l’infinito e gli asintoti
- Definire i limiti unilaterali come limiti di restrizioni, in modo che ereditino tutti i teoremi, e caratterizzare il limite mediante i suoi due lati.
- Ottenere dalla completezza il limite di una funzione monotona e limitata come un estremo superiore.
- Ridurre i limiti all’infinito a limiti unilaterali in zero, e i limiti infiniti a limiti nulli, con le loro regole e le loro forme indeterminate.
- Calcolare gli asintoti di una funzione con due limiti, dimostrare quelli verticali delle funzioni razionali e abbozzare grafici senza derivate.
1. Limiti unilaterali. Il limite destro di $f$ in $a$ è il limite in $a$ della sua restrizione ai punti del dominio maggiori di $a$ , e il limite sinistro, ai minori; se $a$ è punto di accumulazione da entrambi i lati, $f$ ha limite $L$ in $a$ se e solo se i due limiti unilaterali esistono e valgono $L$ .
  Usa: 1. Definizione di limite, 5. Limite di una restrizione, 2. Unicità del limite. Dimostrato in: Limiti unilaterali.
2. Funzioni monotone. Se $f$ è crescente e superiormente limitata in $\ioo{c}{b}$ , allora $\lim_{x \to b^-} f(x) = \sup\left\{ f(x) : c < x < b \right\}$ ; e se è crescente e inferiormente limitata, il suo limite destro in $c$ è l’estremo inferiore dei suoi valori.
  Usa: 6. Algebra dei limiti, 13. Limiti unilaterali. Si appoggia su: A (Assiomi dei reali), E (Cambio di variabile), F (Restrizione). Dimostrato in: Limiti unilaterali.
3. Lemma di inversione. Il limite di $f$ in $\infty$ è $L$ se per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $M$ tale che $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$ quando $x > M$ ; e vale $\lim_{x \to \infty} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{t \to 0^+} f\left(\frac{1}{t}\right) = L$ , e allo stesso modo in $-\infty$ con il limite sinistro.
  Usa: 13. Limiti unilaterali. Dimostrato in: Limiti quando la variabile tende all’infinito.
4. Funzioni razionali all’infinito. Per ogni razionale $r > 0$ , $\frac{1}{x^r}$ tende a $0$ in $\infty$ ; e il quoziente di due polinomi di gradi $n$ e $m$ tende, in $\pm\infty$ , a $0$ se $n < m$ , al quoziente dei coefficienti direttivi se $n = m$ , e non ha limite finito se $n > m$ .
  Usa: 2. Unicità del limite, 6. Algebra dei limiti, 7. Polinomi, radici e potenze. Si appoggia su: D (Limitatezza locale e segno), F (Restrizione), G (Inversione). Dimostrato in: Limiti quando la variabile tende all’infinito.
5. Lemma del reciproco. $f$ tende a $\infty$ in una destinazione $P$ , che è un punto, un lato di un punto o $\pm\infty$ , se per ogni reale $N$ vale $f(x) > N$ vicino a $P$ ; ciò accade se e solo se $f$ è positiva vicino a $P$ e $\frac{1}{f}$ tende a $0$ ; e $f$ tende a $-\infty$ se e solo se $-f$ tende a $\infty$ .
  Usa: 1. Definizione di limite. Dimostrato in: Limiti infiniti.
6. Regole con limiti infiniti. Se $f \leq g$ vicino a $P$ e $f$ tende a $\infty$ , anche $g$ ; se $f$ tende a $\infty$ , anche $f + g$ se $g$ è inferiormente limitata, e $fg$ se $g$ tende a un numero positivo o a $\infty$ ; e un quoziente il cui numeratore tende a un numero positivo e il cui denominatore tende a $0$ con valori positivi tende a $\infty$ .
  Usa: 6. Algebra dei limiti. Si appoggia su: D (Limitatezza locale e segno), F (Restrizione), G (Inversione), H (Reciproco). Dimostrato in: Limiti infiniti.
7. Monotone illimitate. Se $f$ è crescente in $\ioo{c}{b}$ , con $b$ reale o $b = \infty$ , e non è superiormente limitata, allora $f$ tende a $\infty$ da sinistra in $b$ , o in $\infty$ se $b = \infty$ .
  Usa: 17. Lemma del reciproco. Dimostrato in: Limiti infiniti.
8. Composizione con limite infinito. Se $g$ tende a $\infty$ in $P$ e $f(u)$ tende ad $L$ quando $u$ tende a $\infty$ , allora $f(g(x))$ tende ad $L$ in $P$ , senza alcuna ipotesi sui valori di $g$ ; e lo stesso se $f(u)$ tende a $\infty$ o a $-\infty$ .
  Usa: 15. Lemma di inversione, 17. Lemma del reciproco. Dimostrato in: Limiti infiniti.
9. Calcolo dell’asintoto. La retta $y = mx + b$ è asintoto del grafico di $f$ in $\infty$ , cioè $f(x) - (mx + b)$ tende a $0$ , se e solo se $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ e $b = \lim_{x \to \infty} \left(f(x) - mx\right)$ ; quindi a ciascun estremo c’è al più un asintoto non verticale.
  Usa: 2. Unicità del limite, 6. Algebra dei limiti, 16. Funzioni razionali all’infinito. Si appoggia su: G (Inversione). Dimostrato in: Asintoti e tecniche di rappresentazione grafica.
10. Asintoti verticali. Se $r$ è radice del polinomio $B$ e $A(r) \neq 0$ , la retta $x = r$ è asintoto verticale del grafico di $\frac{A}{B}$ , e da ciascun lato di $r$ la funzione tende a $\infty$ o a $-\infty$ secondo il segno che le assegna la tabella dei segni nell’intervallo contiguo.
  Usa: 7. Polinomi, radici e potenze, 18. Regole con limiti infiniti. Si appoggia su: B (Eredità di Algebra e Geometria), D (Limitatezza locale e segno), F (Restrizione). Dimostrato in: Asintoti e tecniche di rappresentazione grafica.
Tratto 3 La continuità e il confronto tra funzioni
- Definire la continuità, metterla in relazione con il limite e classificare le discontinuità in eliminabili, di salto ed essenziali.
- Dimostrare che le operazioni e la composizione conservano la continuità, e che il limite passa dentro una funzione continua.
- Dimostrare la continuità delle funzioni elementari con l’argomento delle funzioni monotone e, con essa, i limiti notevoli e la forma $1^\infty$ .
- Confrontare funzioni con l’ $\operatorname{o}$ piccolo e l’equivalenza, e sostituire equivalenti in prodotti e quozienti, ma non in somme.
1. Continuità e limite. $f$ è continua in un punto $a$ del suo dominio $A$ se $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)$ ; se $a$ è punto di accumulazione di $A$ , ciò equivale a $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ , e se è un punto isolato, vale sempre.
  Usa: 1. Definizione di limite. Dimostrato in: Limite e continuità.
2. Operazioni con funzioni continue. Le combinazioni lineari, i prodotti, i quozienti con denominatore non nullo e le radici di funzioni continue in $a$ sono continui in $a$ ; quindi sono continui nel loro dominio i polinomi, le funzioni razionali, le radici, il valore assoluto, il seno, il coseno e la tangente.
  Usa: 6. Algebra dei limiti, 7. Polinomi, radici e potenze, 11. Seno e coseno, 23. Continuità e limite. Si appoggia su: C (Criterio di maggiorazione). Dimostrato in: Limite e continuità.
3. Composizione di funzioni continue. Se $g$ è continua in $a$ e $f$ è continua in $g(a)$ , allora $f \circ g$ è continua in $a$ ; e se $g(x)$ tende a $b$ e $f$ è continua in $b$ , allora $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(b)$ , anche da un lato o in $\pm\infty$ .
  Usa: 3. Proprietà locali, 23. Continuità e limite. Si appoggia su: F (Restrizione), G (Inversione). Dimostrato in: Limite e continuità.
4. Funzioni elementari continue. Una funzione definita in un intervallo, monotona in esso e la cui immagine è un intervallo è continua, e lo è anche l’inversa di una funzione strettamente monotona con queste proprietà; perciò sono continue nel loro dominio l’esponenziale, il logaritmo, le potenze a esponente reale, le funzioni trigonometriche inverse e le iperboliche.
  Usa: 13. Limiti unilaterali, 14. Funzioni monotone, 23. Continuità e limite, 24. Operazioni con funzioni continue, 25. Composizione di funzioni continue. Si appoggia su: B (Eredità di Algebra e Geometria). Dimostrato in: Continuità delle funzioni elementari e limiti notevoli.
5. Limiti notevoli. Quando $x$ tende a $0$ , $\frac{e^x - 1}{x}$ e $\frac{\ln(1 + x)}{x}$ tendono a $1$ , $\frac{a^x - 1}{x}$ a $\ln a$ e $\frac{\left(1 + x\right)^r - 1}{x}$ a $r$ ; inoltre, $\left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}$ tende a $e$ in $0$ , e $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ , in $\pm\infty$ .
  Usa: 6. Algebra dei limiti, 10. Teorema del confronto, 13. Limiti unilaterali, 26. Funzioni elementari continue, 25. Composizione di funzioni continue. Si appoggia su: B (Eredità di Algebra e Geometria), E (Cambio di variabile), G (Inversione). Dimostrato in: Continuità delle funzioni elementari e limiti notevoli.
6. La forma uno elevato a infinito. Se $f > 0$ vicino a $P$ , $f(x)$ tende a $1$ e $g(x)\left(f(x) - 1\right)$ tende a un reale $\lambda$ , allora $\left(f(x)\right)^{g(x)}$ tende a $e^{\lambda}$ .
  Usa: 6. Algebra dei limiti, 26. Funzioni elementari continue, 25. Composizione di funzioni continue, 27. Limiti notevoli. Dimostrato in: Continuità delle funzioni elementari e limiti notevoli.
7. Esponenziali, potenze e logaritmi. Se $r > 0$ e $a > 1$ , $\frac{x^r}{a^x}$ e $\frac{\ln x}{x^r}$ tendono a $0$ in $\infty$ , e $x^r \ln x$ tende a $0$ quando $x$ tende a $0$ da destra.
  Usa: 10. Teorema del confronto, 16. Funzioni razionali all’infinito, 19. Monotone illimitate, 20. Composizione con limite infinito. Si appoggia su: B (Eredità di Algebra e Geometria), G (Inversione). Dimostrato in: Continuità delle funzioni elementari e limiti notevoli.
8. Confronto tra funzioni. $f = \operatorname{o}(g)$ in $P$ se $\frac{f}{g}$ tende a $0$ , e $f \sim g$ se tende a $1$ ; l’equivalenza è riflessiva, simmetrica e transitiva, e $f \sim g$ se e solo se $f - g = \operatorname{o}(g)$ .
  Usa: 6. Algebra dei limiti. Dimostrato in: Infinitesimi e infiniti equivalenti.
9. Sostituzione di equivalenti. Se $f \sim f_1$ e $g \sim g_1$ in $P$ , allora $\frac{f h}{g}$ ha limite, finito o infinito, se e solo se lo ha $\frac{f_1 h}{g_1}$ , ed entrambi coincidono; il teorema vale per i fattori, non per gli addendi.
  Usa: 6. Algebra dei limiti, 18. Regole con limiti infiniti, 30. Confronto tra funzioni. Dimostrato in: Infinitesimi e infiniti equivalenti.
10. Somma di equivalenti dello stesso segno. Se $f_1 \sim g_1$ e $f_2 \sim g_2$ in $P$ , e $g_1$ e $g_2$ sono entrambe positive, o entrambe negative, vicino a $P$ , allora $f_1 + f_2 \sim g_1 + g_2$ .
  Usa: 4. Tre lemmi, 10. Teorema del confronto, 30. Confronto tra funzioni. Si appoggia su: C (Criterio di maggiorazione). Dimostrato in: Infinitesimi e infiniti equivalenti.
11. Tabella degli equivalenti. In $0$ , $\sin x$ , $\tan x$ , $\arctan x$ , $e^x - 1$ e $\ln(1 + x)$ sono equivalenti a $x$ , $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ , $a^x - 1 \sim x \ln a$ , $\left(1 + x\right)^r - 1 \sim r x$ , e ogni polinomio è equivalente al suo termine di grado minimo; le equivalenze valgono con qualsiasi funzione che tenda a $0$ senza annullarsi al posto di $x$ .
  Usa: 7. Polinomi, radici e potenze, 12. Limite fondamentale, 27. Limiti notevoli. Si appoggia su: E (Cambio di variabile). Dimostrato in: Infinitesimi e infiniti equivalenti.

Verso la derivata. La catena si ferma dove il limite smette di essere l’oggetto di studio e diventa uno strumento: l’unità seguente definisce la derivata come il limite del rapporto incrementale, ne ottiene le regole dall’algebra dei limiti e dalla composizione, le derivate delle funzioni elementari dai limiti notevoli, e il teorema dei valori intermedi dalla permanenza del segno e dalla completezza.