Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Άπειρα όρια

Περίληψη

Το μάθημα αυτό μελετά τις συναρτήσεις των οποίων οι τιμές αυξάνονται ή μειώνονται απεριόριστα. Συμπληρώνει το κοινό πρότυπο των ορισμών ορίου με τη θέση που έλειπε, εκείνη της τιμής κοντά στο ∞\infty, και διακρίνει τα άπειρα όρια, που είναι ένας ακριβής τρόπος να μην υπάρχει όριο, από τις άλλες μορφές απόκλισης. Ένα μόνο λήμμα, το λήμμα του αντιστρόφου, ανάγει τα άπειρα όρια σε όρια ίσα με μηδέν, οπότε οι κανόνες για το άθροισμα, το γινόμενο και το πηλίκο προκύπτουν από εκείνους της άλγεβρας των ορίων· μόνο η σύγκριση, το θεώρημα των μη φραγμένων μονότονων συναρτήσεων και η σύνθεση απαιτούν δικό τους επιχείρημα. Με αυτά ολοκληρώνονται δύο αποτελέσματα που τα προηγούμενα μαθήματα άφησαν μισά: το πηλίκο με παρονομαστή που τείνει στο μηδέν και οι ρητές συναρτήσεις με αριθμητή μεγαλύτερου βαθμού. Το μάθημα δείχνει επίσης γιατί οι απροσδιόριστες μορφές δεν είναι κανόνες, και κλείνει με τη σύνθεση με άπειρα όρια.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να ορίζει με το πρότυπο της πρόκλησης και της απόκρισης τα άπειρα όρια, σε σημείο, από μία πλευρά και στο άπειρο, και να τα διακρίνει από τις άλλες μορφές απόκλισης.
  2. Να αποδεικνύει το λήμμα του αντιστρόφου και να συνάγει από αυτό και από τη σύγκριση τους κανόνες για το άθροισμα, το γινόμενο και το πηλίκο με άπειρα όρια.
  3. Να αναγνωρίζει τις απροσδιόριστες μορφές και να δείχνει με παραδείγματα ότι μπορούν να δώσουν οποιοδήποτε αποτέλεσμα.
  4. Να υπολογίζει άπειρα όρια πολυωνύμων, ρητών συναρτήσεων, τριγωνομετρικών συναρτήσεων και συνθέσεων, και να αποδεικνύει το θεώρημα των μη φραγμένων μονότονων συναρτήσεων.

Η θέση που έλειπε

Στο μάθημα για τα όρια όταν η μεταβλητή τείνει στο άπειρο περιγράφηκε ένα κοινό πρότυπο: κάθε ορισμός ορίου είναι μια πρόκληση σχετικά με τις τιμές με μια απόκριση σχετικά με τη μεταβλητή, και αλλάζει μόνο τι σημαίνει να βρίσκεται κάτι κοντά στο καθένα. Για τη μεταβλητή έχουν ήδη χρησιμοποιηθεί όλες οι μορφές: κοντά σε έναν αριθμό aa, από τη μία πλευρά του, ή κοντά στο ±∞\pm\infty. Για τις τιμές, μόνο μία: κοντά σε έναν αριθμό LL. Το μάθημα αυτό συμπληρώνει το πρότυπο με την υπόλοιπη μορφή, όπου η τιμή βρίσκεται κοντά στο ∞\infty, δηλαδή f(x)>Nf(x) > N, ή κοντά στο −∞-\infty, δηλαδή f(x)<Nf(x) < N.

ΟρισμόςΆπειρα όρια

Έστω aa σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού AA της ff. Λέμε ότι η ff τείνει στο άπειρο όταν το xx τείνει στο aa, και γράφουμε lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty, αν για κάθε πραγματικό NN υπάρχει δ>0\delta > 0 τέτοιο ώστε f(x)>Nf(x) > N για κάθε xx του AA με 0<∣x−a∣<δ0 < \abs{x - a} < \delta. Ομοίως, lim⁡x→af(x)=−∞\lim_{x \to a} f(x) = -\infty αν για κάθε NN υπάρχει δ>0\delta > 0 τέτοιο ώστε f(x)<Nf(x) < N σε αυτά τα xx.

Γραμμένος με ποσοδείκτες, ο ορισμός έχει τη συνηθισμένη μορφή· η πρόκληση είναι τώρα ένα άνω ημιεπίπεδο, εκείνο των σημείων με τεταγμένη μεγαλύτερη από NN:

lim⁡x→af(x)=∞↔(∀N)(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−a∣<δ→f(x)>N)\lim_{x \to a} f(x) = \infty \leftrightarrow (\forall N)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow f(x) > N\right)

Οι παραλλαγές προκύπτουν αλλάζοντας μόνο την απόκριση, όπως στα προηγούμενα μαθήματα: lim⁡x→a+f(x)=∞\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty αν η συνθήκη ισχύει για a<x<a+δa < x < a + \delta· lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty αν υπάρχει MM τέτοιο ώστε να ισχύει για x>Mx > M· και ούτω καθεξής στις υπόλοιπες περιπτώσεις. Στη συνέχεια, το PP δηλώνει οποιονδήποτε από τους προορισμούς της μεταβλητής (aa, a+a^+, a−a^-, ∞\infty ή −∞-\infty), και «κοντά στο PP» σημαίνει σε μια τρυπημένη περιοχή, από τη μία πλευρά ή σε μια ημιευθεία, ανάλογα με την περίπτωση. Όλες οι αποδείξεις του μαθήματος χρησιμοποιούν μία μόνο κοινή ιδιότητα: δύο συνθήκες που ισχύουν κοντά στο PP ισχύουν ταυτόχρονα κοντά στο PP, αν ληφθεί η μικρότερη από δύο ακτίνες ή το μεγαλύτερο από δύο φράγματα. Τα θεωρήματα για πεπερασμένα όρια που επικαλούμαστε σε έναν οποιονδήποτε προορισμό PP (η μοναδικότητα, η τοπική φραγή, η διατήρηση του προσήμου, η άλγεβρα των ορίων και τα λήμματα του μαθήματος για την άλγεβρα των ορίων) ισχύουν σε όλους αυτούς χάρη στο μάθημα για τα πλευρικά όρια και στο λήμμα της αντιστροφής του προηγούμενου μαθήματος, του οποίου η αντιστοιχία δ=1M\delta = \frac{1}{M} ανάμεσα στο φράγμα και την ακτίνα μεταφέρει με τον ίδιο τρόπο τα άπειρα όρια, επειδή δεν εξαρτάται από τη μορφή της πρόκλησης.

Αξίζει να επιμείνουμε σε αυτό που λέει η γραφή. Αν lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty, η συνάρτηση δεν έχει όριο στο aa με την έννοια του μαθήματος για το όριο συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής, επειδή δεν είναι φραγμένη κοντά στο aa, και η τοπική φραγή λέει ότι μια συνάρτηση με όριο είναι φραγμένη. Η ισότητα με το ∞\infty περιγράφει έναν ακριβή τρόπο να μην υπάρχει όριο. Λέμε ότι η ff αποκλίνει στο PP αν δεν έχει πεπερασμένο όριο σε αυτό· το να τείνει στο ∞\infty ή στο −∞-\infty είναι δύο μορφές απόκλισης, αλλά όχι οι μόνες. Η συνάρτηση sin⁡1x\sin \frac{1}{x} αποκλίνει στο 00 και είναι φραγμένη· η συνάρτηση 1xsin⁡1x\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x} αποκλίνει στο 00, δεν είναι φραγμένη κοντά στο 00 και, ωστόσο, δεν τείνει ούτε στο ∞\infty ούτε στο −∞-\infty, επειδή μηδενίζεται σε σημεία τόσο κοντά στο 00 όσο θέλουμε.

ΠρότασηΤα αντίστροφα των x2x^2 και xx στο μηδέν

lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty. Αντίθετα, lim⁡x→0+1x=∞\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty και lim⁡x→0−1x=−∞\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty, οπότε η 1x\frac{1}{x} δεν τείνει ούτε στο ∞\infty ούτε στο −∞-\infty όταν το xx τείνει στο 00. Η απόκριση στην πρόκληση NN είναι η ρίζα του αντιστρόφου του NN. Στο σχήμα, το άνω ημιεπίπεδο είναι η πρόκληση· η λωρίδα δίπλα στο 00, η απόκριση.

Απόδειξη

  1. δ=1N\delta = \dato{d}{\frac{1}{\sqrt{N}}}

    Έστω NN πραγματικός· αρκεί να εξετάσουμε N>0N > 0, επειδή μια απόκριση σε μεγαλύτερη πρόκληση ανταποκρίνεται σε όλες τις μικρότερες. Ως απόκριση λαμβάνεται η τετραγωνική ρίζα του αντιστρόφου του.

  2. 0<x2<1N→1x2>N0 < x^2 < \frac{1}{N} \rightarrow \resaltar{\frac{1}{x^2} > N}

    Αν 0<∣x∣<δ0 < \abs{x} < \delta, το τετράγωνο του xx είναι θετικό και μικρότερο από 1N\frac{1}{N}· όταν παίρνουμε αντίστροφους θετικών αριθμών, η ανισότητα αντιστρέφεται.

  3. 0<x<1N→1x>N,−1N<x<0→1x<−N0 < x < \frac{1}{N} \rightarrow \frac{1}{x} > N, \qquad -\frac{1}{N} < x < 0 \rightarrow \frac{1}{x} < -N

    Για την 1x\frac{1}{x} από δεξιά, η πρόταση του αντιστρόφου του προηγούμενου μαθήματος δίνει την απόκριση δ=1N\delta = \frac{1}{N}. Από αριστερά, η 1x\frac{1}{x} είναι η αντίθετη της 1−x\frac{1}{-x}, και το −x-x βρίσκεται δεξιά του 00: οι τιμές είναι μικρότερες από −N-N.

  4. lim⁡x→0+1x=∞≠−∞=lim⁡x→0−1x\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty \neq -\infty = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}

    Σε κάθε τρυπημένη περιοχή με κέντρο το 00 υπάρχουν τιμές της 1x\frac{1}{x} μεγαλύτερες από 11 και μικρότερες από −1-1: κανένα δ\delta δεν ανταποκρίνεται στην πρόκληση N=1N = 1 για το ∞\infty, ούτε στην πρόκληση N=−1N = -1 για το −∞-\infty.