Il teorema del confronto e i limiti trigonometrici

Limiti che le regole non raggiungono

Nella lezione sull’algebra dei limiti, ogni forma $\frac{0}{0}$ è stata risolta trasformando l’espressione fino a semplificare un fattore comune. Il quoziente $\frac{\sin x}{x}$, quando $x$ tende a $0$, non ammette questo trattamento: il seno non è un polinomio, e nessuna scomposizione fa comparire il fattore $x$ al numeratore. Né la regola del prodotto decide il limite di $x \sin \frac{1}{x}$ in $0$, perché il fattore $\sin \frac{1}{x}$ non ha limite, come si è chiesto di dimostrare nel problema proposto 3 della lezione sul limite di funzioni di una variabile reale.

Ora, in entrambi i casi la funzione resta intrappolata tra altre due più semplici: il valore assoluto di $x \sin \frac{1}{x}$ non supera $\abs{x}$, e il quoziente $\frac{\sin x}{x}$ è, come si vedrà, compreso tra $\cos x$ e $1$. Se è così, conviene dimostrare una volta sola che una funzione intrappolata tra due che tendono allo stesso numero tende anch’essa a quel numero. Le dimostrazioni di questa lezione seguono il piano di quella che precede: ogni risultato si riduce a una disuguaglianza, e il criterio di maggiorazione, o lo strumento che se ne è dedotto, fa il resto.

Restano valide le convenzioni della lezione che precede: $f$, $g$ e $h$ sono funzioni reali definite in uno stesso insieme $A$, il punto $a$ è di accumulazione per $A$, e che qualcosa valga «vicino ad $a$» significa che esiste un $r > 0$ tale che lo soddisfa ogni $x$ di $A$ con $0 < \abs{x - a} < r$. Si ricordi lo strumento con cui si è chiusa la sezione dei tre lemmi: se $\lim_{x \to a} f(x) = L$ e $\lim_{x \to a} g(x) = M$, ogni funzione $F$ che soddisfi vicino ad $a$ una maggiorazione come la seguente, con $C > 0$, tende a $K$.