Algebra dei limiti · Topos Uranos

Riepilogo

Questa lezione deduce dalla definizione di limite le regole che permettono di calcolare limiti senza cercare ogni volta un $\delta$ . Le dimostrazioni sono ordinate in modo che ciascuna sfrutti quelle che la precedono: tre lemmi, dimostrati con epsilon e delta, riducono ogni regola a una disuguaglianza, e con essi si ottengono i limiti della somma, del prodotto, del reciproco e del quoziente. Ne seguono quelli dei polinomi e delle funzioni razionali, che giustificano la sostituzione diretta; poi quelli delle radici e delle potenze a esponente razionale, e il teorema del limite di una composizione, che giustifica il cambio di variabile. La lezione si chiude con ciò che le regole non dicono: quando un quoziente non ha limite finito e perché le regole non valgono in senso inverso. I problemi risolvono forme $\frac{0}{0}$ scomponendo, razionalizzando e cambiando variabile, e determinano costanti affinché un limite esista.

Obiettivi di apprendimento

Dimostrare con epsilon e delta il criterio di maggiorazione e dedurne i limiti della somma, del prodotto, del reciproco e del quoziente.
Dimostrare i limiti dei polinomi, delle funzioni razionali, delle radici e delle potenze a esponente razionale, e applicare la sostituzione diretta con le sue condizioni.
Dimostrare il teorema del limite di una composizione, riconoscere la necessità delle sue ipotesi e applicarlo come cambio di variabile.
Calcolare limiti della forma $\frac{0}{0}$ scomponendo, razionalizzando o cambiando variabile, e dimostrare quando un quoziente non ha limite finito.

Il piano delle dimostrazioni

Nella lezione sul limite di funzioni di una variabile reale si è dimostrato con la definizione che $\lim_{x \to 3} x^2 = 9$ , e il lavoro è consistito nel maggiorare $\abs{x^2 - 9}$ con un multiplo di $\abs{x - 3}$ . Tutte le regole di questa lezione hanno questa stessa forma: per dimostrare che una funzione $F$ tende a $K$ , si maggiora la distanza $\abs{F(x) - K}$ con un multiplo di distanze di cui già si sa che diventano piccole. Se è così, conviene dimostrare una volta sola, con epsilon e delta, che una tale maggiorazione basta; dopo, ogni regola si riduce a trovare la disuguaglianza adeguata, e nessun ragionamento epsilon-delta si ripete.

In tutta la lezione, $f$ e $g$ sono funzioni reali definite in uno stesso insieme $A$ , il punto $a$ è di accumulazione per $A$ e, quando si dice che $f(x)$ soddisfa qualcosa «vicino ad $a$ », si intende che esiste un $r > 0$ tale che ogni $x$ di $A$ con $0 < \abs{x - a} < r$ lo soddisfa. Della lezione che precede si usano la definizione, l’unicità del limite, i limiti della costante e dell’identità, il lemma secondo cui il limite dipende solo dai valori vicini al punto, e la limitatezza locale con la permanenza del segno.