एकपक्षीय सीमाएँ

छलाँगें और किनारे

एक वास्तविक चर के फलनों की सीमा वाले पाठ में सिद्ध किया गया था कि चिह्न फलन, जिसका मान धनात्मक संख्याओं पर $1$ और ऋणात्मक संख्याओं पर $-1$ है ($0$ पर उसे दिया गया मान सीमा को प्रभावित नहीं करता), की $0$ पर कोई सीमा नहीं है। फिर भी $0$ के निकट उसका व्यवहार बहुत सरल है: $0$ के दाईं ओर उसका मान सदा $1$ है, और बाईं ओर सदा $-1$। सीमा की परिभाषा पक्षों में भेद नहीं करती, और इसीलिए यह जानकारी दर्ज नहीं करती। यही बात पूर्णांक भाग के साथ, जिसकी परिभाषा आगे दी जा रही है, प्रत्येक पूर्णांक पर होती है।

परिमेय संख्याओं की सघनता की उपपत्ति में, वास्तविक रेखा वाले पाठ में, सिद्ध किया गया था कि प्रत्येक वास्तविक संख्या $t$ के लिए एक पूर्णांक $m$ विद्यमान है जिसके लिए $m - 1 \leq t < m$। यह पूर्णांक अद्वितीय है, क्योंकि दो अलग-अलग पूर्णांकों के बीच की दूरी कम से कम $1$ होती है और वे दोनों एक सिरे पर विवृत, लंबाई $1$ वाले अंतराल में नहीं समा सकते। पूर्णांक $m - 1$ को $t$ का पूर्णांक भाग कहते हैं और इसे $\lfloor t \rfloor$ लिखते हैं: यह वह अद्वितीय पूर्णांक है जो निम्नलिखित शर्त को संतुष्ट करता है।

उदाहरण के लिए, $\lfloor 2.7 \rfloor = 2$, $\lfloor 3 \rfloor = 3$ और $\lfloor -0.5 \rfloor = -1$। अंतराल $\ico{n}{n + 1}$ में, जहाँ $n$ पूर्णांक है, पूर्णांक भाग का मान सदा $n$ है; $n + 1$ पर पहुँचकर यह एक की छलाँग लगाता है। किसी पूर्णांक $n$ के निकट, फलन का मान बाईं ओर $n - 1$ और दाईं ओर $n$ है।

पूरे पाठ में, $f$ एक वास्तविक फलन है जो एक समुच्चय $A$ पर परिभाषित है, और $A \cap \ioo{a}{\infty}$ लिखा जाता है $A$ के उन बिंदुओं के लिए जो $a$ के दाईं ओर स्थित हैं, और $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ उनके लिए जो उसके बाईं ओर स्थित हैं।