单侧极限 · Topos Uranos

摘要

本课研究函数在一点两侧的性态。右极限和左极限被定义为函数在其中一侧的限制的普通极限，因此前面各课的所有定理对它们都成立，无需新的证明。用 ε-δ 语言只证明两个结果：函数有极限当且仅当它的两个单侧极限都存在且相等；单调有界函数在区间的端点处有单侧极限，等于其值的上确界或下确界。后者是本课程中第一个不必预先知道极限的值就能保证极限存在的定理。这些问题研究分段函数、整数部分，以及在两侧趋于不同数的三角函数的商。

学习目标

用 ε-δ 语言把单侧极限定义为限制的极限，并对它们应用前面各课的定理。
证明函数在一点有极限当且仅当它的两个单侧极限都存在且相等，并用它证明某个极限不存在。
证明单调有界函数在区间的端点处有单侧极限，等于其值的上确界或下确界。
计算分段函数、整数部分和三角函数的商的单侧极限，并确定常数使某个极限存在。

跳跃与边界

在关于实变量函数的极限的课中已经证明，符号函数（在正数处等于 $1$ ，在负数处等于 $-1$ ；它在 $0$ 处被赋予的值不影响极限）在 $0$ 处没有极限。然而它在 $0$ 附近的性态非常简单：在 $0$ 的右侧恒等于 $1$ ，在左侧恒等于 $-1$ 。极限的定义不区分两侧，因此不记录这一信息。整数部分在每个整数处也是如此，它的定义紧接着给出。

在关于实数轴的课中证明有理数的稠密性时，已经证明：对任意实数 $t$ ，存在整数 $m$ 满足 $m - 1 \leq t < m$ 。这个整数是唯一的，因为两个不同的整数相距至少 $1$ ，不可能同时落在一个长为 $1$ 、在一端开口的区间中。整数 $m - 1$ 称为 $t$ 的整数部分，记作 $\lfloor t \rfloor$ ：它是满足下面条件的唯一整数。

\lfloor t \rfloor \in \mathbb{Z}, \qquad \lfloor t \rfloor \leq t < \lfloor t \rfloor + 1

例如， $\lfloor 2.7 \rfloor = 2$ ， $\lfloor 3 \rfloor = 3$ 和 $\lfloor -0.5 \rfloor = -1$ 。在区间 $\ico{n}{n + 1}$ 上（其中 $n$ 为整数），整数部分恒等于 $n$ ；到达 $n + 1$ 时跳升一个单位。在整数 $n$ 附近，函数在左侧等于 $n - 1$ ，在右侧等于 $n$ 。

在整节课中， $f$ 是定义在集合 $A$ 上的实函数；用 $A \cap \ioo{a}{\infty}$ 表示 $A$ 中位于 $a$ 右侧的点，用 $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ 表示位于其左侧的点。