Plan d’études d’Analyse I

Propos et public

Trois problèmes anciens ont conduit au calcul infinitésimal : la vitesse d’un mobile à un instant, la pente de la tangente à une courbe et l’aire d’une figure courbe. Dans les trois, la substitution directe produit $\frac{0}{0}$ ou une somme dépourvue de sens, et la bonne réponse est ce dont s’approchent les approximations. Ce cours donne à cette idée de s’approcher une définition exacte, la limite, et étudie avec elle les deux premiers problèmes, qui conduisent à la dérivée ; le troisième conduit à l’intégrale, objet du cours Analyse II : calcul intégral.

Son propos est de fonder le calcul différentiel des fonctions d’une variable réelle sur la définition de la limite et l’axiome de la borne supérieure, et d’en déduire, avec des démonstrations complètes, ce que la dérivée permet de savoir de la variation, de la forme et des extremums d’une fonction. S’il en est ainsi, le cours n’est pas un répertoire de règles de dérivation, mais un édifice déductif : chaque résultat employé est énoncé et démontré, ou déclaré expressément admis lorsque sa démonstration relève d’un autre cours, comme c’est le cas du théorème qui garantit l’existence des fonctions définies implicitement ou de la rapidité avec laquelle converge la méthode de Newton-Raphson, qui exigent des outils ultérieurs. Les définitions s’écrivent comme des énoncés quantifiés, et les démonstrations par epsilon et delta sont ordonnées pour être réutilisées : trois lemmes de la leçon consacrée aux opérations sur les limites soutiennent les règles de calcul des limites, et la factorisation de Carathéodory, les règles de dérivation.

Il s’adresse à qui a suivi Algèbre et géométrie II, ou en maîtrise par une autre voie les contenus : étudiants de première année universitaire en sciences, en ingénierie, en économie ou en formation des professeurs de mathématiques, élèves des dernières années du lycée qui préparent leur entrée à l’université, et toute personne qui veut reconstruire avec rigueur un calcul différentiel appris comme un ensemble de règles.

Connaissances préalables et prérequis

Le prérequis du cours est Algèbre et géométrie II, qui suppose à son tour Algèbre et géométrie I. De ces deux cours, celui-ci utilise surtout l’axiome de la borne supérieure pour les nombres réels, avec la borne supérieure et la borne inférieure, et le calcul avec les inégalités et les valeurs absolues, que la leçon sur la droite réelle établit et sur lesquels reposent le théorème de Bolzano, le théorème de Weierstrass et le théorème des accroissements finis ; les fonctions, leurs réciproques, leurs transformations et leurs tableaux de signes ; les puissances à exposant réel, le nombre $e$ et la fonction exponentielle, le logarithme et les fonctions hyperboliques ; la récurrence et la formule du binôme de Newton ; et, d’Algèbre et géométrie II, les fonctions trigonométriques, leurs réciproques, les formules d’addition et de transformation de sommes en produits, et l’inégalité $\sin x < x < \tan x$ pour $0 < x < \frac{\pi}{2}$, dont dépend la dérivée du sinus.

Or, beaucoup de ces résultats y ont été admis sans démonstration parce qu’ils exigeaient la limite : la continuité des fonctions rationnelles et des fonctions trigonométriques, les asymptotes et le théorème des valeurs intermédiaires. Ce cours les démontre un par un. Qui a un doute sur l’une des connaissances préalables peut revenir à la synthèse de l’unité correspondante d’Algèbre et géométrie ; en outre, l’évaluation d’entrée de chaque unité comprend des questions sur ce que l’unité tient pour connu, avec la leçon qu’il convient de réviser après chaque erreur.

Le cours est conçu, enfin, pour être suivi en parallèle avec un cours de logique des prédicats, la Logique mathématique II, prévue sur le site : les leçons écrivent les définitions comme des énoncés quantifiés et travaillent leur négation sans dépendre de ce cours. Qui souhaite acquérir auparavant l’habitude de la déduction formelle peut étudier Logique mathématique I : logique propositionnelle.

Où il mène

Deux cours ont celui-ci pour prérequis. Analyse II : calcul intégral définira l’intégrale comme la limite de sommes d’aires de rectangles, la reliera à la dérivée par le théorème fondamental de l’analyse, qui repose sur le corollaire selon lequel deux fonctions de même dérivée diffèrent d’une constante, et parcourra à rebours les règles de dérivation : le changement de variable renverse la règle de dérivation en chaîne, et l’intégration par parties, la règle du produit. Mécanique I : fondements de la mécanique prendra la vitesse et l’accélération comme la dérivée première et la dérivée seconde de la position. Après Analyse II, Analyse III : calcul à plusieurs variables étendra la limite, la dérivée et les extremums aux fonctions de plusieurs variables.

Il s’ensuit ce que ce cours laisse, par décision expresse, aux cours ultérieurs. À Analyse II, la continuité uniforme, les primitives, les suites, qui ouvriront la voie à l’intégrale définie et, à la fin, aux séries, et le polynôme de Taylor, qui majorera l’erreur de la différentielle et démontrera la convergence quadratique de la méthode de Newton-Raphson. À Analyse III, les courbes paramétrées et le théorème des fonctions implicites, que suppose la dérivation implicite de l’unité 2.

Les résultats du cours réapparaissent aussi dans des cours qui ne l’exigent pas. En Mathématiques financières, la capitalisation continue sera une limite remarquable, et le taux qui égale la valeur actuelle d’une suite de versements à un montant donné se calculera par la méthode de Newton-Raphson. En Analyse de données avec R, les modèles de croissance se distingueront par leur comportement à l’infini, et la moyenne d’un ensemble de données s’obtiendra comme le nombre qui rend minimale une somme de carrés. En Programmation en C++ I, la dichotomie se fie au théorème des valeurs intermédiaires, le coût d’un algorithme se mesure avec la notation du grand $\operatorname{O}$, et l’arithmétique à virgule flottante explique les erreurs d’arrondi par lesquelles un ordinateur rend trompeur un tableau de valeurs, comme celui de l’unité 1.

Objectifs d’apprentissage globaux

Les objectifs ci-dessous décrivent ce que toute personne qui achève le cours doit être capable de faire. Chacun est formulé comme une performance observable, de sorte qu’on puisse le vérifier par une tâche concrète ; chaque leçon déclare, à son tour, ses propres objectifs, et la leçon de clôture montre, leçon par leçon, auquel de ces sept chacune a été rattachée. Les objectifs sont numérotés pour pouvoir y être cités.

1. Objectif 1. Démontrer les énoncés du calcul différentiel par un raisonnement déductif explicite : écrire les définitions comme des énoncés quantifiés et les nier, construire des arguments par epsilon et delta qui réutilisent les lemmes déjà démontrés, déduire de l’axiome de la borne supérieure les théorèmes d’existence, montrer par des contre-exemples qu’une hypothèse ne peut pas être supprimée, et distinguer dans chaque démonstration ce qui est déduit de ce qui est admis.
2. Objectif 2. Définir et calculer des limites de fonctions d’une variable réelle, finies, à gauche et à droite, à l’infini et infinies, lever les formes indéterminées par les opérations sur les limites, le théorème des gendarmes, les limites remarquables, les infiniment petits équivalents et la règle de L’Hôpital, et déterminer avec eux les asymptotes d’une fonction et la représentation graphique de sa courbe.
3. Objectif 3. Décider de la continuité d’une fonction et classer ses discontinuités, démontrer la continuité des fonctions élémentaires et de leurs réciproques, et appliquer le théorème de Bolzano, le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de Weierstrass, qui reposent sur l’axiome de la borne supérieure, pour établir l’existence de solutions et de valeurs extrêmes et pour trouver l’image d’un intervalle.
4. Objectif 4. Définir la dérivée comme limite du taux d’accroissement et la caractériser par l’approximation affine et par la factorisation de Carathéodory, démontrer les règles de dérivation, la règle de dérivation en chaîne et la dérivée de la fonction réciproque, et dériver avec elles les fonctions élémentaires, les fonctions définies implicitement, les puissances à exposant variable et les dérivées successives, en précisant l’ensemble de définition de chaque dérivée.
5. Objectif 5. Démontrer et appliquer le théorème de Fermat, le théorème de Rolle, le théorème des accroissements finis de Lagrange et celui de Cauchy, en déduire les critères de monotonie, d’extremums locaux et globaux et de convexité, et étudier avec la dérivée première et la dérivée seconde l’allure de la courbe d’une fonction : sens de variation, extremums, concavité, inflexion et courbure.
6. Objectif 6. Approcher des valeurs de fonctions et des racines d’équations par la différentielle, la méthode de dichotomie et celle de Newton-Raphson, majorer l’erreur de chaque approximation par le théorème des accroissements finis, la monotonie ou la convexité, et reconnaître quand une méthode échoue ou converge lentement.
7. Objectif 7. Modéliser avec la dérivée des situations de la géométrie, de la physique et des autres sciences, comme les taux de variation, les taux liés et les problèmes d’optimisation, en fixant avec précision les variables, leurs unités et l’ensemble de définition, et communiquer par écrit les mises en équation, les calculs et les démonstrations avec une notation correcte, y compris celle de Leibniz, une argumentation complète et un contrôle de la vraisemblance des résultats.

Les objectifs 2, 4 et 5 correspondent, pour l’essentiel, aux trois unités de contenu : le 2 à l’unité 1, qui étudie les limites ; le 4 à l’unité 2, qui étudie les dérivées ; le 5 à l’unité 3, qui applique les théorèmes des accroissements finis. La règle de L’Hôpital, bien qu’elle soit démontrée dans l’unité 3 à partir du théorème des accroissements finis de Cauchy, sert surtout à calculer des limites, et c’est pourquoi elle relève de l’objectif 2. Les objectifs 3 et 6 sont des fils qui traversent les trois unités. L’objectif 3 a pour leçons principales la leçon sur la limite et la continuité de l’unité 1, celle du théorème des valeurs intermédiaires de l’unité 2 et celle du théorème de Weierstrass de l’unité 3 ; les deux dernières reposent sur la complétude, que l’unité 1 utilise déjà pour les limites des fonctions monotones. L’approximation apparaît dans la partie principale d’un infiniment petit, dans la dichotomie, dans la différentielle et dans les majorations que fournit le théorème des accroissements finis, et elle a dans la méthode de Newton-Raphson sa leçon propre. Le premier et le septième, en revanche, sont transversaux : ils n’appartiennent pas à une unité, mais s’exercent dans toutes. Il s’ensuit que leur réussite ne peut être attribuée à une leçon déterminée, et qu’il convient de les cultiver tout au long du cours. Or, tous deux ont aussi des leçons qui les servent de manière principale : le premier, les trois synthèses, dont le cœur reconstruit la chaîne déductive de chaque unité ; le septième, les deux leçons où la mise en équation est la matière même, celle des taux de variation et des taux liés et celle des problèmes d’optimisation.

Contenus

Le cours s’organise en cinq unités. La première et la dernière encadrent le parcours ; les trois intermédiaires développent les contenus. Chacune de celles-ci s’ouvre par une leçon d’introduction, qui présente ses leçons, le contexte historique de ses idées, le problème à leur origine et leur importance, et se clôt par une leçon de synthèse, qui reconstruit la chaîne déductive de l’unité, la relie au reste du cours et aux cours d’Algèbre et géométrie, et propose dix défis d’une difficulté supérieure à celle des problèmes des leçons.

Unité 0. Présentation du cours

Elle se compose de cette leçon, qui fixe le propos, les objectifs globaux, les contenus, la charge de travail et la conception du cours.

Unité 1. Limites et continuité

Son objectif est de définir la limite par epsilon et delta, de démontrer ses règles et de la calculer sous toutes ses formes, finie, à gauche et à droite, à l’infini et infinie ; de définir les asymptotes au moyen des limites ; de définir la continuité et de la démontrer pour les fonctions élémentaires, et de comparer des fonctions au moyen des infiniment petits et des infiniment grands équivalents.

1. Limites et continuité : introduction.
2. Limite des fonctions d’une variable réelle.
3. Opérations sur les limites.
4. Le théorème des gendarmes et les limites trigonométriques.
5. Limites à gauche et à droite.
6. Limites quand la variable tend vers l’infini.
7. Limites infinies.
8. Asymptotes et techniques de représentation graphique.
9. Limite et continuité.
10. Continuité des fonctions élémentaires et limites remarquables.
11. Infiniment petits et infiniment grands équivalents.
12. Limites et continuité : synthèse et défis.

Unité 2. Dérivées

Son objectif est de définir la dérivée comme une limite et de la caractériser par l’approximation affine et par la factorisation de Carathéodory ; de démontrer les règles de dérivation et la règle de dérivation en chaîne ; de démontrer le théorème des valeurs intermédiaires, dont se déduit la continuité de la réciproque qu’exige sa dérivée ; de dériver les fonctions élémentaires, leurs réciproques, les fonctions définies implicitement et les puissances à exposant variable, et d’appliquer les dérivées successives, la différentielle et les taux de variation.

1. Dérivées : introduction.
2. La dérivée comme limite d’une fonction.
3. Règles de dérivation.
4. Dérivées des fonctions élémentaires.
5. Règle de dérivation en chaîne pour la composition de fonctions.
6. Théorème des valeurs intermédiaires.
7. Dérivée de la fonction réciproque et dérivation implicite.
8. La variable en exposant et la dérivation logarithmique.
9. Dérivées successives et différentielle.
10. Taux de variation et taux liés.
11. Dérivées : synthèse et défis.

Unité 3. Applications des dérivées

Son objectif est de démontrer, à partir de l’axiome de la borne supérieure, les théorèmes de Weierstrass, de Fermat, de Rolle, de Lagrange et de Cauchy, et d’en déduire la règle de L’Hôpital et les critères de monotonie, d’extremums et de convexité ; d’étudier la courbure d’une courbe représentative, de résoudre des problèmes d’optimisation et d’approcher des racines par la méthode de Newton-Raphson.

1. Applications des dérivées : introduction.
2. Théorème des valeurs extrêmes de Weierstrass.
3. Théorèmes de Fermat, Rolle, Lagrange et Cauchy.
4. Règle de L’Hôpital.
5. Monotonie et critère de la dérivée première.
6. Maxima et minima d’une fonction.
7. Concavité, convexité et points d’inflexion.
8. Courbure et rayon de courbure.
9. Problèmes d’optimisation.
10. La méthode de Newton-Raphson.
11. Applications des dérivées : synthèse et défis.

Unité 4. Clôture du cours

Elle se compose de la leçon Bilan final d’Analyse I, qui rappelle les sept objectifs globaux, montre sur une figure à quel objectif chaque leçon du cours a été rattachée et quels objectifs spécifiques chaque unité a atteints, et réunit par objectif la première tentative des évaluations de sortie.

Charge de travail et crédits

La charge de travail d’un cours ne se mesure pas aux heures d’exposé, qui n’existent pas dans un cours asynchrone, mais au travail total de qui l’étudie : lire, suivre les démonstrations, résoudre des problèmes et réviser. L’estimation applique la même méthode dans tous les cours du site : elle compte le temps de lecture du texte de chaque leçon à cent mots par minute, en comptant chaque formule comme un mot, vingt minutes par problème résolu, trente-cinq par problème proposé, quarante-cinq par défi et douze par évaluation d’entrée ou de sortie, et ajoute une marge d’un dixième pour la révision.

Résultats

Les leçons des unités 1 à 3 contiennent au total $140$ problèmes résolus, $140$ problèmes proposés et $30$ défis, ainsi que six évaluations d’unité. La charge de travail estimée par unité, arrondie à l’heure, se répartit ainsi :

• Unité 0, présentation du cours : moins de $1$ heure.
• Unité 1, limites et continuité : $66$ heures.
• Unité 2, dérivées : $61$ heures.
• Unité 3, applications des dérivées : $63$ heures.
• Unité 4, clôture du cours : moins de $1$ heure.

Les trois unités de contenu ont une charge semblable : l’unité 1 réunit plus de leçons, et l’unité 3, des leçons plus longues. Le total est d’environ $191$ heures de travail. Il convient de lire ce chiffre pour ce qu’il est : une estimation pour qui étudie toutes les démonstrations et résout tous les problèmes et tous les défis. Qui a déjà étudié l’analyse, ou se limite aux problèmes proposés sans aborder les défis, y passera bien moins de temps ; qui étudie le sujet pour la première fois et sans l’habitude de démontrer peut avoir besoin de davantage, surtout dans l’unité 1, où l’on apprend à raisonner par epsilon et delta.

Or, ce chiffre est nominal : c’est celui qui fixe les crédits du cours, et il suppose une lecture à rythme constant et trois quarts d’heure par défi. Tant qu’il n’est pas mesuré avec de vrais étudiants, il convient de l’accompagner d’une fourchette réaliste. Si la lecture avançait à la moitié du rythme supposé, comme c’est le cas lorsque chaque démonstration est réécrite avec un crayon et du papier, et si chaque défi exigeait soixante-quinze minutes au lieu de quarante-cinq, la même méthode donnerait environ $231$ heures. Par conséquent, la charge de travail à prévoir se situe entre environ $191$ et environ $231$ heures. La borne supérieure est une estimation prudente, non une mesure ; la fourchette sera corrigée lorsqu’on connaîtra le temps qu’y consacrent les personnes qui étudient le cours, et jusque-là les crédits se calculent avec le chiffre nominal.

Rythme suggéré

Pour nommer les rythmes, ce plan suit le même critère que les autres plans du site : le temps plein est celui d’une année universitaire de $60$ crédits, environ $1650$ heures réparties sur une quarantaine de semaines, soit environ $40$ heures par semaine, et le mi-temps en est la moitié, environ $20$ heures par semaine. Il s’ensuit un rythme recommandé d’un semestre de seize semaines, avec environ $12$ heures d’étude par semaine, moins du tiers d’un temps plein ; avec la fourchette réaliste, de $12$ à $14$ heures par semaine, il reste en deçà du mi-temps. Ainsi, Analyse I peut occuper le semestre qui fait suite à Algèbre et géométrie II, et Analyse II, celui d’après.

Un rythme intensif, d’environ $24$ heures par semaine, un peu plus qu’un mi-temps, achève le cours en huit semaines, ce qui équivaut à la charge de qui n’étudie aucun autre cours exigeant pendant la même période. Un rythme plus souple, d’environ $6$ heures par semaine, l’étale sur deux semestres, que l’on peut répartir ainsi : les unités 0 à 2, les limites, la continuité et les dérivées, occupent environ $128$ heures, et les unités 3 et 4, les applications des dérivées et la clôture, environ $63$.

Crédits

Les crédits de ce site mesurent la charge de travail totale qu’un cours exige de qui l’étudie (la lecture, les problèmes, les défis et la révision), et non les heures de cours. Un crédit équivaut à environ $27{,}5$ heures de travail, et une année à temps plein, à $60$ crédits, c’est-à-dire à environ $1650$ heures ; c’est le même critère que celui qui, plus haut, sert à nommer les rythmes d’étude.

Or, en divisant les $191$ heures estimées par $27{,}5$, on obtient 6,95, qui s’arrondit à $7$. Si l’on admet pour le crédit une fourchette de $25$ à $30$ heures de travail, le nombre $C$ de crédits du cours est compris entre 6,4 et 7,6 :

Par conséquent, le cours compte $7$ crédits, un peu moins du huitième d’une année à temps plein. Qui souhaite n’étudier qu’une portion du cours peut se servir de la liste des heures par unité : les unités 0 à 2, par exemple, totalisent environ $128$ heures, soit environ $5$ crédits.

Leur utilité est pratique : ils permettent de comparer entre eux la charge de travail des cours du site et de décider combien il convient d’en étudier à la fois sans dépasser le temps disponible. Qui dispose, par exemple, d’un mi-temps pendant un semestre de seize semaines, c’est-à-dire d’environ $320$ heures, peut aborder des cours totalisant environ $12$ crédits ; à temps plein pendant le même semestre, environ $23$.

Ces crédits sont une mesure propre au site pour planifier l’étude : ils ne correspondent à aucun système officiel de crédits et n’impliquent la reconnaissance académique d’aucun établissement.

Conception du cours

Modalité

Le cours est asynchrone, en ligne et à rythme libre : il n’a ni dates, ni séances en direct, ni échéances, et chaque étudiant avance à la vitesse que lui permettent sa préparation et son temps. Il est proposé dans les quatorze langues du site, avec les mêmes mathématiques dans toutes : les formules et les étapes des démonstrations sont identiques dans chaque version, et seul le texte est traduit. Chaque leçon déclare quelle leçon il convient d’avoir étudiée auparavant, et les premières renvoient aux cours d’Algèbre et géométrie, de sorte que l’ordre recommandé est explicite et peut être vérifié.

La structure d’une leçon

Toutes les leçons thématiques suivent la même structure. Elles commencent par un résumé et par une liste d’objectifs d’apprentissage propres, formulés comme des performances observables. Viennent ensuite la théorie, avec les définitions, les théorèmes énoncés avec précision et leurs démonstrations, et les exemples. Les démonstrations et les exemples se présentent comme des lecteurs pas à pas : chaque étape écrit une ligne du raisonnement, éclaire les termes qui interviennent et, lorsqu’elle s’appuie sur un résultat antérieur, y revient et l’éclaire pendant la lecture, de sorte que la mémoire du raisonnement reste sous les yeux ; beaucoup s’accompagnent d’une figure qui change à chaque étape. La leçon se clôt par cinq problèmes résolus, avec leur solution pas à pas, et cinq problèmes proposés, chacun avec une indication repliée puis la réponse finale, pour que l’étudiant vérifie son résultat sans que le chemin lui soit révélé ; certains problèmes proposés, surtout ceux de démonstration, ajoutent, repliée après la réponse, une solution détaillée, qu’il convient de n’ouvrir qu’après avoir rédigé la sienne.

Les leçons d’introduction et de synthèse ont une structure propre. L’introduction présente l’unité, son histoire, le problème à son origine et son importance ; la synthèse reconstruit sur une figure la chaîne déductive de l’unité, avec les résultats qu’elle réutilise et les maillons qu’elle démontre, la relie aux unités antérieures et aux cours d’Algèbre et géométrie, et propose dix défis, chacun avec une indication, une réponse finale et une solution détaillée repliée, qui combinent plusieurs leçons et exigent plus d’invention que les problèmes proposés.

Le lecteur vocal

Chaque leçon peut être écoutée à voix haute avec le lecteur du site, qui utilise les voix de l’appareil lui-même : le texte est lu tel qu’il est écrit et les formules sont prononcées en mots. Cela permet de réviser une leçon loin de l’écran, de suivre une démonstration en l’écoutant tout en regardant le lecteur pas à pas, et d’étudier avec une déficience visuelle.

Évaluation

Le cours ne note ni ne certifie : son évaluation sur le site est formative. Les problèmes proposés permettent de vérifier la réussite des objectifs de chaque leçon, et les défis, celle des objectifs de chaque unité. Chacune des trois unités de contenu comporte en outre une évaluation d’entrée dans son introduction et une évaluation de sortie dans sa synthèse, avant les défis : des auto-évaluations brèves, corrigées dans le navigateur sans notation. Celle d’entrée compte neuf ou dix questions sur l’unité, plus cinq ou six questions sur ce que l’unité tient pour connu des unités antérieures ou des cours d’Algèbre et géométrie, et celle de sortie, onze ou douze ; toutes deux indiquent quelle leçon réviser après chaque erreur et se comparent entre elles pour montrer la progression. Le bilan final réunit la première tentative de chaque évaluation de sortie dans un profil par objectif global, conservé, comme elles, dans le seul navigateur de l’étudiant. La validation des compétences, avec valeur de certification, se fera plus tard et hors de ce site, sur une autre plateforme.

Pour les objectifs globaux, on suggère en outre les preuves de réussite ci-dessous, que chaque étudiant peut produire par lui-même :

• Objectif 1 : rédiger, sans consulter la leçon, la démonstration d’un théorème du cours, comme la règle de dérivation en chaîne par la factorisation de Carathéodory ou le théorème des accroissements finis de Lagrange, et montrer par un contre-exemple qu’aucune de ses hypothèses n’est superflue.
• Objectif 2 : calculer une limite indéterminée par deux chemins, avec les infiniment petits équivalents et avec la règle de L’Hôpital, et trouver toutes les asymptotes d’une fonction.
• Objectif 3 : démontrer qu’une équation a exactement une solution dans un intervalle, par le théorème de Bolzano et la monotonie, et trouver l’image d’un intervalle fermé et borné par une fonction continue.
• Objectif 4 : dériver une puissance à base et exposant variables et une fonction définie implicitement, en précisant où existe chaque dérivée.
• Objectif 5 : étudier la monotonie, les extremums, la convexité et les points d’inflexion d’une fonction, et tracer avec eux sa courbe.
• Objectif 6 : approcher par la méthode de Newton-Raphson une racine d’une équation que l’on ne sait pas résoudre explicitement, choisir le point de départ et majorer l’erreur de l’approximation obtenue.
• Objectif 7 : rédiger la solution complète d’un problème d’optimisation ou de taux liés, avec mise en équation, ensemble de définition, développement, justification de l’extremum, réponse et contrôle de vraisemblance, de sorte qu’une autre personne puisse la suivre sans explications supplémentaires.

Comment étudier ce cours

Le cours est conçu pour être étudié dans l’ordre. Chaque unité suppose les unités antérieures et les deux cours d’Algèbre et géométrie, et beaucoup de démonstrations citent des résultats de leçons antérieures ; sauter une leçon oblige, tôt ou tard, à y revenir. Cela vaut surtout pour l’unité 1 : les définitions par epsilon et delta et les lemmes de ses premières leçons soutiennent toutes les démonstrations ultérieures.

Chaque unité comporte deux points de contrôle. L’évaluation d’entrée, au début de l’introduction, est le point de départ : il convient d’y répondre avant d’étudier l’unité, sans rien consulter, et de noter les leçons auxquelles renvoient les erreurs, qui sont celles qui demandent le plus de soin. L’évaluation de sortie, dans la synthèse et avant les défis, est le point de comparaison : on y répond après avoir terminé les leçons, également sans consulter, et on la compare avec celle d’entrée pour voir ce qui a changé et quelles leçons il convient de réviser. Dans les deux, c’est la première tentative qui compte, celle que l’on compare et celle que réunit le profil du bilan final ; les tentatives ultérieures se font après avoir vu les retours. Les défis complètent la vérification, car ils exigent de combiner et de rédiger ce que les questions brèves ne font qu’effleurer. Il s’ensuit que qui croit maîtriser déjà une unité ne doit pas en décider sur une seule épreuve : si son évaluation de sortie est solide et s’il résout les défis de la synthèse, il peut passer à l’unité d’après ; sinon, il convient de parcourir les leçons que l’une et les autres signalent.

Dans chaque leçon, il convient de lire d’abord le résumé et les objectifs, qui disent ce que l’on cherche ; d’étudier ensuite la théorie avec un crayon et du papier, en essayant d’anticiper chaque étape des démonstrations avant que le lecteur ne l’écrive ; de tenter les problèmes résolus avant de regarder leur solution, et de résoudre les problèmes proposés sans aide, en n’ouvrant l’indication que lorsque la tentative est épuisée, et la réponse seulement à la fin, pour vérifier. Un problème dont on a consulté la réponse avant de le tenter n’a pas été résolu, mais lu. Dans un cours d’analyse, en outre, il convient de se méfier des tableaux de valeurs et des courbes tracées par une calculatrice : ils suggèrent une limite ou un extremum, mais ne le démontrent pas, et l’unité 1 montre des tableaux trompeurs.

Les défis sont plus difficiles que les problèmes des leçons, et il est normal que certains demandent plusieurs tentatives sur des jours différents. Il ne convient pas de s’arrêter indéfiniment sur l’un d’eux : le noter, continuer d’avancer et y revenir plus tard est souvent le chemin le plus court. Or, la charge de travail estimée suppose que tous sont tentés sérieusement, et c’est dans cet effort que se joue une bonne part de ce que le cours peut enseigner.

Enfin, il convient d’écrire. Rédiger une démonstration ou une solution complète, avec ses prémisses et ses conclusions, est la seule manière de savoir si l’on a compris, et c’est aussi le septième des objectifs du cours. Un cahier d’étude, dans lequel on réécrit avec ses propres mots les définitions et les théorèmes de chaque unité, est le meilleur matériau de révision que le cours puisse laisser, et il le sera plus encore en Analyse II, qui reviendra sur presque tout ce qui est démontré ici.