Limites et continuité : introduction

Résumé

Cette leçon ouvre l’unité sur les limites et la continuité. Elle présente le parcours de l’unité, qui part de la définition epsilon-delta de la limite et aboutit, par des leçons qui réutilisent les démonstrations antérieures au lieu de les répéter, à la continuité des fonctions élémentaires et à la comparaison des infiniment petits ; elle retrace l’histoire de la notion de limite, depuis les paradoxes de Zénon et la méthode d’exhaustion jusqu’à la définition de Weierstrass, en passant par les infinitésimaux de Newton et de Leibniz et la critique de Berkeley ; elle formule le problème à son origine, qui est de donner un sens à un quotient qui devient $\frac{0}{0}$ , et examine pourquoi ni l’idée de s’approcher ni un tableau de valeurs ne suffisent à décider d’une limite. Elle se termine en indiquant où servent les limites et la continuité dans la suite du cours, dans d’autres cours du site et dans la science et la technique.

Objectifs d’apprentissage

Décrire le parcours de l’unité et expliquer ce que démontre chaque leçon et de quels résultats antérieurs elle se sert.
Expliquer pourquoi la vitesse instantanée, la tangente et l’aire exigent la notion de limite, et pourquoi l’idée intuitive de s’approcher et les tableaux de valeurs ne suffisent ni à la définir ni à la calculer.
Situer dans leur contexte historique les stades de la notion de limite, depuis la méthode d’exhaustion jusqu’à la définition epsilon-delta, et identifier le problème ou la critique qui a motivé chacun d’eux.
Indiquer où interviennent les limites et la continuité dans la suite du cours, dans d’autres cours et dans des applications scientifiques et techniques.

Évaluation d’entrée

Avant de parcourir l’unité, il convient de mesurer le point de départ. Cette auto-évaluation n’est pas notée : elle sert à savoir où s’attarder. Les dix premières questions portent, dans l’ordre, sur les dix leçons de contenu de l’unité, une pour chacune, et mesurent une habileté de calcul ou de raisonnement, non un énoncé dont on se souvient ; les mêmes habiletés sont mesurées de nouveau à la fin, dans la leçon de synthèse, avec d’autres données. Les six dernières vérifient ce que cette unité tient pour acquis d’Algèbre et géométrie I et II : la valeur absolue, la borne supérieure, la composition des fonctions, les tableaux de signes, l’inégalité entre le sinus, l’arc et la tangente, et l’inégalité fondamentale de l’exponentielle.

Les contenus de l’unité

Dans Algèbre et géométrie I, la leçon sur les fonctions rationnelles a utilisé les asymptotes verticales et les asymptotes à l’infini, la continuité de ces fonctions et le théorème des valeurs intermédiaires comme des faits admis, sans démonstration, parce qu’ils exigeaient une définition de la limite dont on ne disposait pas encore ; et Algèbre et géométrie II a admis de la même manière la continuité des fonctions trigonométriques et de leurs réciproques. Cette unité donne cette définition et démontre, un par un, les faits admis, sauf les valeurs intermédiaires, qui seront démontrées dans l’unité qui suit. Les démonstrations sont ordonnées pour être réutilisées : quelques-unes se font avec epsilon et delta, et les autres citent les résultats antérieurs au lieu de répéter l’argument. Les leçons suivent cet ordre :

La limite d’une fonction transforme l’idée de s’approcher en la définition epsilon-delta, précise à l’aide des points d’accumulation où elle a un sens, écrit la définition et sa négation comme des énoncés quantifiés, et démontre que la limite est unique, qu’elle ne dépend que des valeurs proches et qu’elle oblige la fonction à rester bornée et à conserver son signe près du point.
Les opérations sur les limites ramènent les règles de calcul à trois lemmes démontrés avec epsilon et delta, dont le principal est le critère de majoration, et en déduisent, à l’aide d’un lemme selon lequel restreindre l’ensemble de définition ne fait pas perdre la limite, les limites de la somme, du produit, de l’inverse et du quotient, celles des polynômes, des fonctions rationnelles, des racines et des puissances à exposant rationnel, et le théorème de la limite d’une composée, qui justifie le changement de variable.
Le théorème des gendarmes démontre, avec le critère de majoration, que les limites conservent les inégalités larges, le théorème lui-même et la limite du produit d’une fonction bornée par une fonction qui tend vers zéro ; avec eux, la leçon obtient les limites du sinus et du cosinus et la limite fondamentale $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ , dont se déduisent les autres limites trigonométriques.
Les limites à gauche et à droite se définissent comme des limites d’une restriction, de sorte qu’elles héritent de tous les théorèmes antérieurs ; la leçon démontre que la limite existe si et seulement si la limite à gauche et la limite à droite existent et coïncident, et qu’une fonction monotone et bornée a une limite à gauche ou à droite égale à la borne supérieure ou à la borne inférieure de ses valeurs, le premier théorème qui assure qu’une limite existe sans en connaître la valeur.
La limite à l’infini définit la limite quand la variable croît indéfiniment et démontre, avec le lemme d’inversion, qu’elle équivaut à une limite à gauche ou à droite en $0$ , de sorte que tous les théorèmes antérieurs valent aussi à l’infini ; avec eux, la leçon calcule les limites des puissances et des fonctions rationnelles.
Les limites infinies se ramènent, avec le lemme de l’inverse, à des limites nulles ; de là et de la comparaison sortent les règles de la somme, du produit et du quotient, et la leçon montre que les formes indéterminées peuvent donner n’importe quel résultat, et démontre le théorème des fonctions monotones non bornées et celui de la composition avec des limites infinies.
Les asymptotes se définissent à l’aide des limites à gauche et à droite, à l’infini et infinies ; la leçon démontre les formules de la pente et de l’ordonnée à l’origine de l’asymptote oblique, l’unicité de l’asymptote non verticale en chaque extrémité et les faits admis en Algèbre et géométrie sur les fonctions rationnelles, et propose une méthode pour représenter des fonctions sans dérivées.
La continuité se définit avec le défi et la réponse habituels, sans exclure le point ; la leçon démontre qu’en un point d’accumulation elle équivaut à ce que la limite existe et soit égale à la valeur, classe les discontinuités en évitables, de saut et essentielles, hérite des opérations sur les limites la continuité des opérations, et démontre que la composée de fonctions continues est continue, de sorte que la limite passe à l’intérieur d’une fonction continue.
Les fonctions élémentaires se révèlent continues par un seul argument, à savoir qu’une fonction monotone dont l’image est un intervalle ne peut pas faire de saut ; avec cette continuité et l’inégalité fondamentale de l’exponentielle, la leçon démontre les limites remarquables de l’exponentielle et du logarithme, obtient le nombre $e$ comme limite, résout la forme $1^\infty$ et compare les fonctions exponentielles, les puissances et le logarithme à l’infini.
Les infiniment petits et les infiniment grands équivalents se comparent à l’aide du petit $\operatorname{o}$ , du grand $\operatorname{O}$ , du même ordre et de l’équivalence ; la leçon démontre que, dans un produit ou un quotient, chaque facteur peut être remplacé par un équivalent, mais pas dans une somme, sauf lorsque les équivalents des termes ont le même signe, et réunit les limites des leçons antérieures dans un tableau d’équivalents en zéro.

L’unité se termine par la leçon de synthèse et défis, qui réunit l’acquis en une chaîne déductive, reprend dans son évaluation de sortie les habiletés de l’évaluation d’entrée et propose dix problèmes de plus grande difficulté.

Le contexte historique

L’ordre logique de l’unité ne coïncide pas non plus avec l’ordre historique. Pendant plus d’un siècle, le calcul infinitésimal s’est pratiqué avec succès sans définition de la limite ; la continuité a été définie avec rigueur avant la limite sous sa forme actuelle, et la définition epsilon-delta est arrivée à la fin du processus, quand le calcul infinitésimal avait déjà résolu les problèmes pour lesquels il était né. Il convient de parcourir cette histoire, car les objections qu’il a dû surmonter sont celles que soulève d’ordinaire qui l’étudie.

L’infini chez les Grecs

Zénon d’Élée, qui vécut entre 490 et 425 avant notre ère, approximativement, proposa contre la possibilité du mouvement des arguments que l’on connaît surtout par la Physique d’Aristote. Celui de la dichotomie soutient que, pour parcourir un chemin, il faut d’abord en atteindre le milieu, et avant cela le milieu de la moitié, et ainsi sans fin, de sorte que le mouvement ne pourrait pas commencer. Le paradoxe pose, sans la résoudre, la question de savoir si une infinité de grandeurs peut avoir pour somme une grandeur finie, comme $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1$ .

Les mathématiciens grecs esquivèrent cette question par la méthode d’exhaustion, à laquelle Eudoxe de Cnide donna une forme rigoureuse vers 370 avant notre ère : pour prouver qu’une aire vaut une certaine quantité, on inscrit dans la figure des polygones dont la différence avec elle peut être rendue plus petite que toute grandeur donnée, et l’on démontre par l’absurde que l’aire ne peut être ni plus grande ni plus petite que cette quantité. Vers 225 avant notre ère, Archimède prouva ainsi que l’aire d’un segment de parabole vaut $\frac{4}{3}$ de l’aire du triangle inscrit de même base et de même sommet, en additionnant les triangles ajoutés à chaque stade, dont les aires forment la progression $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots$ . Le schéma de l’argument, une quantité qui peut être rendue plus petite que toute grandeur donnée, est déjà celui du défi et de la réponse.

Les infinitésimaux de Newton et de Leibniz

Au XVIIe siècle, le problème des tangentes et celui des aires reçurent une méthode générale. Isaac Newton écrivit en octobre 1666 un traité sur les fluxions, qu’il ne publia pas, et en 1671 sa Méthode des fluxions et des suites infinies, qui ne fut publiée qu’en 1736. Gottfried Wilhelm Leibniz introduisit le signe de l’intégrale dans un manuscrit du 29 octobre 1675, et le 21 novembre il écrivit pour la première fois une intégrale avec le signe et la différentielle ; il publia son calcul différentiel en 1684 dans la revue Acta Eruditorum de Leipzig, sous le titre Nova methodus pro maximis et minimis, et son calcul intégral dans la même revue en 1686. Tous deux calculaient avec des accroissements que l’on traite comme non nuls pour pouvoir diviser par eux et comme nuls pour les écarter à la fin.

En 1734, George Berkeley publia L’Analyste, une critique des fondements du calcul de Newton. Il soutint que les incréments évanouissants n’étaient ni des quantités finies, ni des quantités infiniment petites, ni rien, que le calcul changeait d’hypothèse au milieu du raisonnement, et il demanda si l’on ne pouvait pas les appeler des fantômes de quantités disparues. Les résultats étaient corrects ; ce que Berkeley montra, c’est que le raisonnement qui les justifiait ne l’était pas. L’exemple ci-dessous reproduit le calcul qu’il critiquait et montre comment la définition de la limite le résout.

ExempleLe quotient que Berkeley critiquait

On considère la pente de la tangente à la parabole $y = x^2$ au point $(1, 1)$ . La figure trace les sécantes qui joignent ce point à un autre point de la parabole de plus en plus proche, puis le quotient comme fonction de l’accroissement, avec le trou qu’il laisse en $h = 0$ .

Démonstration

$q(h) = \frac{(1 + h)^2 - 1^2}{h}$
La sécante qui joint $(1, 1)$ au point d’abscisse $1 + h$ , avec $h \neq 0$ , a pour pente le taux d’accroissement.
$h \neq 0 \rightarrow \dato{q}{q(h) = 2 + h}$
Pour $h \neq 0$ , le numérateur vaut $2h + h^2$ , et le facteur $h$ se simplifie. Quand $h$ diminue, les sécantes sont de moins en moins inclinées.
$q(0) = \frac{0}{0}, \qquad h \neq 0 \rightarrow q(h) \neq 2$
Voici l’objection de Berkeley : si $h = 0$ , le quotient vaut $\frac{0}{0}$ et ne peut pas être simplifié ; si $h \neq 0$ , le résultat n’est pas $2$ . Le calcul des infinitésimaux utilisait $h \neq 0$ pour diviser et $h = 0$ pour écarter le terme $h$ .
$0 < \abs{h} < \varepsilon \rightarrow \abs{q(h) - 2} = \resaltar{\abs{h}} < \varepsilon$
La définition de la limite lève l’objection : elle n’examine pas $h = 0$ et n’exige pas que $q(h)$ vaille $2$ , mais qu’il soit aussi près de $2$ que l’on veut. Au défi $\varepsilon$ , on répond par $\delta = \varepsilon$ .
$\lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \resaltar{2}, \qquad y = 2x - 1$
Par conséquent, la limite est $2$ , la pente de la tangente, et aucune quantité n’a à être à la fois nulle et non nulle. La droite de pente $2$ qui passe par $(1, 1)$ est la tangente.

La limite comme fondement

L’issue que l’exemple a indiquée s’est frayé un chemin pendant un siècle. Jean le Rond d’Alembert, dans l’article « Différentiel » du quatrième volume de l’Encyclopédie, écrit en 1754, proposa d’asseoir le calcul infinitésimal sur la théorie des limites et définit la dérivée comme la limite d’un quotient d’accroissements. En 1817, Bernard Bolzano publia une démonstration purement analytique du théorème des valeurs intermédiaires, dans le but déclaré de libérer le calcul infinitésimal de la notion d’infinitésimal, et y employa une notion de continuité très proche de l’actuelle ; son œuvre fut peu connue de son vivant. En 1821, Augustin-Louis Cauchy publia son Cours d’analyse, écrit pour les élèves de l’École polytechnique, qui plaça les limites à la base du calcul infinitésimal et définit la fonction continue comme celle dans laquelle un accroissement infiniment petit de la variable produit un accroissement infiniment petit de la fonction.

Au même moment, la notion de fonction changeait. Pour Euler, en 1748, une fonction était une expression analytique ; Peter Gustav Lejeune Dirichlet accepta en 1837 une notion beaucoup plus large, dans laquelle les valeurs peuvent se succéder de n’importe quelle façon, et on lui doit l’exemple de la fonction qui vaut $0$ aux rationnels et $1$ aux irrationnels, discontinue en tout point. Avec des fonctions aussi générales, l’intuition géométrique cessait d’être un guide sûr, et les définitions devaient parler seulement de nombres et d’inégalités.

La définition de Weierstrass

Karl Weierstrass, professeur à l’université de Berlin à partir de 1856, aborda pour la première fois les fondements de l’analyse dans son cours d’introduction à l’analyse de 1859 et 1860. Dans ses leçons, connues surtout par les notes de ses étudiants, la définition de la limite et de la continuité fut écrite avec epsilon et delta, sous la forme qu’utilise ce cours : sans mouvement, sans infinitésimaux, comme un énoncé quantifié sur des nombres réels. En 1872, l’année même où Richard Dedekind et Georg Cantor publièrent leurs constructions des nombres réels, qui démontrent la complétude, Weierstrass présenta à l’Académie des sciences de Berlin une fonction continue qui n’a de dérivée en aucun point, preuve que l’intuition d’une courbe continue ne suffit pas pour raisonner sur elle.

La notation avec laquelle la dernière leçon de l’unité compare des fonctions est postérieure. Paul Bachmann introduisit le symbole $\operatorname{O}$ en 1894, dans Die analytische Zahlentheorie, second volume de son traité de théorie des nombres, et Edmund Landau, qui l’adopta, introduisit le symbole $\operatorname{o}$ en 1909, dans son traité sur la répartition des nombres premiers.

Le problème à son origine

Trois problèmes anciens ont conduit au calcul infinitésimal, et tous trois ont la même structure. La vitesse d’un mobile à un instant devrait être le quotient de la distance parcourue par le temps écoulé lorsque le temps écoulé est nul ; la pente de la tangente à une courbe devrait être celle d’une sécante dont les deux points coïncident ; l’aire d’une figure courbe devrait être la somme d’une infinité de rectangles de largeur nulle. Dans les trois cas, la substitution directe produit $\frac{0}{0}$ ou une somme dépourvue de sens, et le bon résultat est ce dont s’approchent les approximations. Les deux premiers conduisent à la dérivée, qui est la matière de l’unité qui suit ; le troisième, à l’intégrale, qui s’étudie en Analyse II.

Or « ce dont elles s’approchent » n’est pas encore une définition, pour trois raisons. La première est que s’approcher ne suffit pas : la leçon sur la limite des fonctions d’une variable réelle montre que les valeurs de $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ s’approchent de $3$ quand $x$ passe de $0{,}9$ à $0{,}99$ , bien que la limite soit $2$ . La deuxième est qu’un tableau examine un nombre fini de points : la même leçon montre que $\sin\frac{\pi}{x}$ vaut $0$ en tous les points de la forme $\frac{1}{n}$ et n’a pourtant pas de limite en $0$ . La troisième est que les valeurs du tableau peuvent être mal calculées, comme le montre l’exemple ci-dessous.

ExempleUn tableau trompeur

On considère la fonction $q(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 9} - 3}{x^2}$ , définie pour $x \neq 0$ . La figure trace sa courbe représentative, avec le trou en $x = 0$ , les valeurs d’un tableau et la valeur que donne un ordinateur très près de $0$ ; puis la majoration qui décide de la limite.

Démonstration

$q(1) \approx 0{,}1623, \qquad q\left(10^{-1}\right) \approx 0{,}16662, \qquad q\left(10^{-2}\right) \approx 0{,}1666662$
Les valeurs en $1$ , $10^{-1}$ et $10^{-2}$ semblent s’approcher de $0{,}1666\ldots$ , c’est-à-dire de $\frac{1}{6}$ .
$9 + 10^{-16} \approx 9 \rightarrow q\left(10^{-8}\right) \approx \resaltar{0}$
Mais en $x = 10^{-8}$ , un programme qui calcule avec la virgule flottante habituelle en double précision obtient $0$ : la somme $9 + 10^{-16}$ est arrondie à $9$ , et la soustraction du numérateur donne exactement $0$ . Le tableau, à lui seul, ne décide pas entre $\frac{1}{6}$ et $0$ .
$q(x) = \frac{\left(x^2 + 9\right) - 9}{x^2\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)} = \dato{r}{\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9} + 3}}$
Pour $x \neq 0$ , on multiplie et on divise par l’expression conjuguée $\sqrt{x^2 + 9} + 3$ ; le numérateur devient $x^2$ , qui se simplifie.
$\abs{q(x) - \frac{1}{6}} = \frac{x^2}{6\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)^2} \leq \resaltar{\frac{x^2}{216}}$
La distance à $\frac{1}{6}$ s’écrit avec la même expression conjuguée, et se majore car $\sqrt{x^2 + 9} \geq 3$ , de sorte que le carré de $\sqrt{x^2 + 9} + 3$ vaut au moins $36$ .
$0 < \abs{x} < \sqrt{216\varepsilon} \rightarrow \abs{q(x) - \frac{1}{6}} < \varepsilon, \qquad \lim_{x \to 0} q(x) = \resaltar{\frac{1}{6}}$
Au défi $\varepsilon$ , on répond par $\delta = \sqrt{216\varepsilon}$ , et la limite est $\frac{1}{6}$ . Le $0$ de l’ordinateur est une erreur d’arrondi : la majoration assure que $q\left(10^{-8}\right)$ est à une distance de $\frac{1}{6}$ strictement inférieure à $10^{-18}$ .

La définition de la limite répond aux trois objections : elle parle de tous les points proches à la fois, fixe avec des nombres ce que signifie « aussi près que l’on veut » et se démontre par des inégalités, non par des calculs approchés. Mais le problème a une autre face, qui n’est pas de calcul mais d’existence. Beaucoup de limites de l’unité se démontrent après qu’on en a connu ou deviné la valeur ; d’autres, en revanche, existent sans qu’on sache les calculer, et leur existence repose sur la complétude des réels. Le théorème des fonctions monotones de la leçon sur les limites à gauche et à droite donne la limite comme une borne supérieure, et de lui dépend la continuité de l’exponentielle, du logarithme et des autres fonctions élémentaires. La leçon sur la limite et la continuité démontre qu’une fonction continue et strictement positive en un point l’est aussi aux points de son ensemble de définition proches de lui, et cette conservation du signe, jointe à la complétude, donnera dans l’unité qui suit le théorème des valeurs intermédiaires. Sans la complétude, rien de cela ne vaudrait : la fonction $x^2 - 2$ , considérée seulement sur les rationnels, passe de valeurs strictement négatives à des valeurs strictement positives sans jamais s’annuler.

L’importance des limites et de la continuité

Dans la suite du cours

Tout le cours repose sur cette unité. L’unité qui suit, sur les dérivées, définit dans sa première leçon la dérivée comme limite d’une fonction, le taux d’accroissement de l’exemple de Berkeley, et tire les règles de dérivation des opérations sur les limites ; les dérivées du sinus, de l’exponentielle et du logarithme, dans la leçon sur les dérivées des fonctions élémentaires, sont les limites remarquables de cette unité ; la règle de dérivation en chaîne s’appuie sur la composition des fonctions continues ; le théorème des valeurs intermédiaires se démontre avec la conservation du signe et la complétude, et justifie la méthode de dichotomie ; et la dérivée de la réciproque, dans la leçon sur la dérivée de la réciproque et la dérivation implicite, requiert la continuité de la réciproque. La troisième unité, sur les applications des dérivées, commence par le théorème de Weierstrass, selon lequel une fonction continue sur un intervalle fermé et borné atteint son maximum et son minimum, et sur lui s’appuient le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis, la recherche des maxima et minima et les problèmes d’optimisation. La règle de L’Hôpital résout les formes indéterminées que cette unité sait seulement reconnaître, et la méthode de Newton-Raphson, qui clôt le cours, voit sa convergence démontrée par la convexité et la borne supérieure.

Dans d’autres cours

En Analyse II, l’intégrale se définit comme la limite de sommes d’aires de rectangles, le problème d’Archimède ; les suites et les séries, que ce cours n’étudie pas, se traitent avec des définitions du même type, et le polynôme de Taylor mesure son erreur avec le grand $\operatorname{O}$ de la dernière leçon de l’unité. En Analyse III, la définition epsilon-delta passe aux fonctions de plusieurs variables, avec la distance du plan au lieu de la valeur absolue, et la limite peut dépendre du chemin par lequel on arrive au point. En Fondements de la mécanique, la vitesse et l’accélération instantanées sont des limites de quotients d’accroissements. En Mathématiques financières, la capitalisation continue est la limite de $\left(1 + \frac{r}{x}\right)^{x}$ quand $x$ tend vers l’infini, qui vaut $e^{r}$ d’après la leçon sur les limites remarquables. En Analyse de données avec R, les modèles de croissance se distinguent par leur comportement à l’infini, c’est-à-dire par les croissances comparées des fonctions exponentielles, des puissances et du logarithme. En Programmation en C++ I, la dichotomie approche une racine en se fiant au théorème des valeurs intermédiaires, le coût d’un algorithme se mesure avec la notation $\operatorname{O}$ de Bachmann et Landau, et les nombres à virgule flottante obligent à distinguer la limite exacte de la valeur calculée, comme dans le tableau trompeur.

Dans la science et la technique

Toute grandeur qui varie de manière continue, une position, une température, une concentration, une tension électrique, se décrit par des fonctions continues, et ses taux de variation instantanés sont des limites. Les approximations avec lesquelles travaillent l’ingénierie et les sciences expérimentales (la linéarisation d’un phénomène près d’un point d’équilibre, le remplacement de $\sin x$ par $x$ dans les petites oscillations, le fait de négliger un terme devant un autre beaucoup plus grand) sont des équivalences comme celles de la dernière leçon de l’unité, et valent sous les mêmes conditions. Les asymptotes décrivent la valeur de saturation d’un processus qui se stabilise et la croissance non bornée d’un processus qui ne se stabilise pas. Et le calcul numérique, qui résout sur ordinateur ce qui n’a pas de formule close, se fonde sur la distinction de l’exemple du tableau trompeur : un algorithme produit des approximations, et seule une majoration de l’erreur, démontrée par des inégalités, dit à quel point elles s’approchent de la valeur exacte.