Studienplan des Kurses Analysis I

Zweck und Zielgruppe

Drei alte Probleme führten zur Infinitesimalrechnung: die Geschwindigkeit eines bewegten Körpers in einem Augenblick, die Steigung der Tangente an eine Kurve und der Flächeninhalt einer krummlinig begrenzten Figur. In allen dreien liefert das direkte Einsetzen $\frac{0}{0}$ oder eine sinnlose Summe, und die richtige Antwort ist das, dem sich die Näherungen annähern. Dieser Kurs gibt dieser Idee des Annäherns eine exakte Definition, den Grenzwert, und untersucht mit ihr die ersten beiden Probleme, die zur Ableitung führen; das dritte führt zum Integral, dem Gegenstand von Analysis II: Integralrechnung.

Sein Zweck ist es, die Differentialrechnung der Funktionen einer reellen Variablen auf die Definition des Grenzwerts und das Vollständigkeitsaxiom zu gründen und daraus mit vollständigen Beweisen abzuleiten, was die Ableitung über die Änderung, die Gestalt und die Extrema einer Funktion zu wissen erlaubt. Wenn dem so ist, dann ist der Kurs keine Regelsammlung für das Differenzieren, sondern ein deduktives Gebäude: Jedes verwendete Ergebnis wird formuliert und bewiesen oder ausdrücklich als angenommen erklärt, wenn sein Beweis in einen anderen Kurs gehört, wie es beim Satz geschieht, der die Existenz implizit definierter Funktionen sichert, oder bei der Schnelligkeit, mit der das Newton-Raphson-Verfahren konvergiert, die spätere Werkzeuge erfordern. Die Definitionen werden als quantifizierte Aussagen geschrieben, und die Beweise mit Epsilon und Delta sind so geordnet, dass sie wiederverwendet werden: Drei Lemmata der Lektion über die Rechenregeln für Grenzwerte tragen die Grenzwertregeln, und die Carathéodory-Faktorisierung trägt die Ableitungsregeln.

Er richtet sich an alle, die Algebra und Geometrie II abgeschlossen haben oder dessen Inhalte auf anderem Weg beherrschen: Studierende im ersten Studienjahr der Naturwissenschaften, der Ingenieurwissenschaften, der Wirtschaftswissenschaften oder des Lehramts Mathematik, Schülerinnen und Schüler der letzten Schuljahre, die sich auf das Studium vorbereiten, und alle, die eine als Regelsammlung gelernte Differentialrechnung streng neu aufbauen wollen.

Vorkenntnisse und Voraussetzungen

Die Vorbedingung des Kurses ist Algebra und Geometrie II, das seinerseits Algebra und Geometrie I voraussetzt. Aus beiden verwendet der Kurs vor allem das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen, mit Supremum und Infimum, und das Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen, das die Lektion über die Zahlengerade begründet und auf dem der Satz von Bolzano, der Satz von Weierstraß und der Mittelwertsatz beruhen; die Funktionen, ihre Umkehrfunktionen, ihre Transformationen und ihre Vorzeichentabellen; die Potenzen mit reellem Exponenten, die Zahl $e$ und die natürliche Exponentialfunktion, den Logarithmus und die Hyperbelfunktionen; die Induktion und den binomischen Lehrsatz; und aus Algebra und Geometrie II die trigonometrischen Funktionen, ihre Umkehrfunktionen, die Additionstheoreme und die Formeln zur Umformung von Summen in Produkte sowie die Ungleichung $\sin x < x < \tan x$ für $0 < x < \frac{\pi}{2}$, von der die Ableitung des Sinus abhängt.

Nun wurden viele dieser Ergebnisse dort ohne Beweis angenommen, weil sie den Grenzwert erforderten: die Stetigkeit der rationalen Funktionen und der trigonometrischen Funktionen, die Asymptoten und der Zwischenwertsatz. Dieser Kurs beweist sie eines nach dem anderen. Wer bei einer der Vorkenntnisse unsicher ist, kann zur Synthese der entsprechenden Einheit von Algebra und Geometrie greifen; außerdem enthält der Eingangstest jeder Einheit Fragen zu dem, was die Einheit als bekannt voraussetzt, mit der Lektion, die man bei jedem Fehler wiederholen sollte.

Der Kurs ist schließlich dafür gedacht, parallel zu einem Kurs in Prädikatenlogik belegt zu werden, der Mathematischen Logik II, die auf der Website geplant ist: Die Lektionen schreiben die Definitionen als quantifizierte Aussagen und arbeiten mit ihrer Negation, ohne von jenem Kurs abzuhängen. Wer sich vorher die Gewohnheit des formalen Schließens aneignen möchte, kann Mathematische Logik I: Aussagenlogik studieren.

Wohin er führt

Zwei Kurse haben diesen als Vorbedingung. Analysis II: Integralrechnung wird das Integral als Grenzwert von Summen von Rechtecksflächen definieren, es mit der Ableitung durch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbinden, dessen Grundlage das Korollar ist, nach dem sich zwei Funktionen mit derselben Ableitung um eine Konstante unterscheiden, und die Ableitungsregeln in umgekehrter Richtung durchlaufen: Die Substitution kehrt die Kettenregel um, und die partielle Integration die Produktregel. Mechanik I: Grundlagen der Mechanik wird Geschwindigkeit und Beschleunigung als erste und zweite Ableitung des Ortes auffassen. Nach Analysis II wird Analysis III: Analysis mehrerer Veränderlicher den Grenzwert, die Ableitung und die Extrema auf Funktionen mehrerer Variablen übertragen.

Daraus folgt, was dieser Kurs nach ausdrücklicher Entscheidung den späteren überlässt. Analysis II die gleichmäßige Stetigkeit, die Stammfunktionen, die Folgen, die den Weg zum bestimmten Integral und am Ende zu den Reihen öffnen werden, und das Taylorpolynom, das den Fehler des Differentials abschätzen und die quadratische Konvergenz des Newton-Raphson-Verfahrens beweisen wird. Analysis III die parametrisierten Kurven und den Satz über implizite Funktionen, den das implizite Differenzieren der Einheit 2 voraussetzt.

Die Ergebnisse des Kurses kehren auch in Kursen wieder, die ihn nicht voraussetzen. In Finanzmathematik wird die stetige Verzinsung ein Standardgrenzwert sein, und der Zinssatz, der den Barwert einer Reihe von Zahlungen einem gegebenen Betrag gleichsetzt, wird mit dem Newton-Raphson-Verfahren berechnet werden. In Datenanalyse mit R werden sich die Wachstumsmodelle durch ihr Verhalten im Unendlichen unterscheiden, und der Mittelwert von Daten wird sich als die Zahl ergeben, die eine Summe von Quadraten minimiert. In Programmieren in C++ I vertraut das Bisektionsverfahren auf den Zwischenwertsatz, der Aufwand eines Algorithmus wird mit der Notation des großen $\operatorname{O}$ gemessen, und die Gleitkommaarithmetik erklärt die Rundungsfehler, mit denen ein Computer eine Wertetabelle trügerisch macht, wie die der Einheit 1.

Übergeordnete Lernziele

Die folgenden Lernziele beschreiben, was alle, die den Kurs abschließen, können sollen. Jedes ist als beobachtbare Leistung formuliert, sodass es sich mit einer konkreten Aufgabe überprüfen lässt; jede Lektion nennt ihrerseits eigene Lernziele, und die Abschlusslektion zeigt, Lektion für Lektion, welchem dieser sieben jede zugeordnet wurde. Die Lernziele sind nummeriert, damit man sie dort zitieren kann.

1. Lernziel 1. Die Aussagen der Differentialrechnung durch explizites deduktives Schließen beweisen: die Definitionen als quantifizierte Aussagen schreiben und verneinen, Argumente mit Epsilon und Delta aufbauen, die die schon bewiesenen Lemmata wiederverwenden, die Existenzsätze aus dem Vollständigkeitsaxiom herleiten, mit Gegenbeispielen zeigen, dass eine Voraussetzung nicht wegfallen kann, und in jedem Beweis das Hergeleitete vom Angenommenen unterscheiden.
2. Lernziel 2. Grenzwerte von Funktionen einer reellen Variablen definieren und berechnen, endliche, einseitige, im Unendlichen und uneigentliche, die unbestimmten Ausdrücke mit den Rechenregeln für Grenzwerte, dem Einschnürungssatz, den Standardgrenzwerten, den äquivalenten unendlich kleinen Größen und der Regel von L’Hospital auflösen und mit ihnen die Asymptoten einer Funktion bestimmen und ihren Graphen darstellen.
3. Lernziel 3. Über die Stetigkeit einer Funktion entscheiden und ihre Unstetigkeitsstellen klassifizieren, die Stetigkeit der elementaren Funktionen und ihrer Umkehrfunktionen beweisen und den Satz von Bolzano, den Zwischenwertsatz und den Satz von Weierstraß, die auf dem Vollständigkeitsaxiom beruhen, anwenden, um die Existenz von Lösungen und von Extremwerten nachzuweisen und das Bild eines Intervalls zu bestimmen.
4. Lernziel 4. Die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten definieren und sie durch die lineare Approximation und durch die Carathéodory-Faktorisierung charakterisieren, die Ableitungsregeln, die Kettenregel und die Ableitung der Umkehrfunktion beweisen und mit ihnen die elementaren Funktionen, implizit definierte Funktionen und Potenzen mit variablem Exponenten ableiten sowie höhere Ableitungen bilden, wobei der Definitionsbereich jeder Ableitung genau angegeben wird.
5. Lernziel 5. Den Satz von Fermat, den Satz von Rolle, den Mittelwertsatz von Lagrange und den Mittelwertsatz von Cauchy beweisen und anwenden, aus ihnen die Kriterien für Monotonie, für lokale und globale Extrema und für Konvexität herleiten und mit der ersten und der zweiten Ableitung die Gestalt des Graphen einer Funktion untersuchen: Wachstum, Extrema, Konkavität, Wendepunkte und Krümmung.
6. Lernziel 6. Funktionswerte und Nullstellen von Gleichungen mit dem Differential, dem Bisektionsverfahren und dem Newton-Raphson-Verfahren annähern, den Fehler jeder Näherung mit dem Mittelwertsatz, der Monotonie oder der Konvexität abschätzen und erkennen, wann ein Verfahren versagt oder langsam konvergiert.
7. Lernziel 7. Situationen aus der Geometrie, der Physik und den übrigen Wissenschaften mit der Ableitung modellieren, etwa Änderungsraten, gekoppelte Änderungsraten und Optimierungsprobleme, wobei die Variablen, ihre Einheiten und der Definitionsbereich genau festgelegt werden, und die Ansätze, die Rechnungen und die Beweise schriftlich mitteilen, mit korrekter Notation, einschließlich der von Leibniz, vollständiger Argumentation und einer Kontrolle der Plausibilität der Ergebnisse.

Die Lernziele 2, 4 und 5 entsprechen im Wesentlichen den drei inhaltlichen Einheiten: das Lernziel 2 der Einheit 1, die die Grenzwerte untersucht; das Lernziel 4 der Einheit 2, die die Ableitungen untersucht; das Lernziel 5 der Einheit 3, die die Mittelwertsätze anwendet. Die Regel von L’Hospital dient, obwohl sie in der Einheit 3 aus dem Mittelwertsatz von Cauchy bewiesen wird, vor allem der Berechnung von Grenzwerten und gehört deshalb zum Lernziel 2. Die Lernziele 3 und 6 sind Fäden, die die drei Einheiten durchziehen. Das Lernziel 3 hat als Hauptlektionen die Lektion über Grenzwert und Stetigkeit der Einheit 1, die über den Zwischenwertsatz der Einheit 2 und die über den Satz von Weierstraß der Einheit 3; die beiden letzten beruhen auf der Vollständigkeit, die die Einheit 1 schon für die Grenzwerte monotoner Funktionen verwendet. Die Approximation erscheint im Hauptteil einer unendlich kleinen Größe, im Bisektionsverfahren, im Differential und in den Schranken, die der Mittelwertsatz liefert, und sie hat im Newton-Raphson-Verfahren ihre eigene Lektion. Das erste und das siebte Lernziel dagegen sind übergreifend: Sie gehören zu keiner einzelnen Einheit, sondern werden in allen geübt. Daraus folgt, dass ihr Erreichen keiner bestimmten Lektion zugeschrieben werden kann und dass man sie während des ganzen Kurses pflegen sollte. Nun haben beide auch Lektionen, die ihnen in erster Linie dienen: das erste die drei Synthesen, deren Kernstück die deduktive Kette jeder Einheit rekonstruiert; das siebte die beiden Lektionen, in denen der Ansatz selbst der Gegenstand ist, die über Änderungsraten und gekoppelte Änderungsraten und die über Optimierungsprobleme.

Inhalte

Der Kurs ist in fünf Einheiten aufgeteilt. Die erste und die letzte rahmen den Weg ein; die drei mittleren entwickeln die Inhalte. Jede von diesen beginnt mit einer Einführungslektion, die ihre Lektionen, den historischen Hintergrund ihrer Ideen, das Problem, aus dem sie entstanden, und ihre Bedeutung vorstellt, und endet mit einer Synthese-Lektion, die die deduktive Kette der Einheit rekonstruiert, sie mit dem Rest des Kurses und mit Algebra und Geometrie verbindet und zehn Herausforderungen stellt, die schwieriger sind als die Aufgaben der Lektionen.

Einheit 0. Vorstellung des Kurses

Sie besteht aus dieser Lektion, die den Zweck, die übergeordneten Lernziele, die Inhalte, den Aufwand und die Gestaltung des Kurses festlegt.

Einheit 1. Grenzwerte und Stetigkeit

Ihr Ziel ist es, den Grenzwert mit Epsilon und Delta zu definieren, seine Regeln zu beweisen und ihn in allen seinen Formen zu berechnen, endlich, einseitig, im Unendlichen und uneigentlich; die Asymptoten mit Grenzwerten zu definieren; die Stetigkeit zu definieren und für die elementaren Funktionen zu beweisen und Funktionen mithilfe äquivalenter unendlich kleiner und unendlich großer Größen zu vergleichen.

1. Grenzwerte und Stetigkeit: Einführung.
2. Grenzwert von Funktionen einer reellen Variablen.
3. Rechenregeln für Grenzwerte.
4. Der Einschnürungssatz und trigonometrische Grenzwerte.
5. Einseitige Grenzwerte.
6. Grenzwerte, wenn die Variable gegen unendlich strebt.
7. Uneigentliche Grenzwerte.
8. Asymptoten und Techniken der grafischen Darstellung.
9. Grenzwert und Stetigkeit.
10. Stetigkeit der elementaren Funktionen und Standardgrenzwerte.
11. Äquivalente unendlich kleine und unendlich große Größen.
12. Grenzwerte und Stetigkeit: Synthese und Herausforderungen.

Einheit 2. Ableitungen

Ihr Ziel ist es, die Ableitung als Grenzwert zu definieren und sie durch die lineare Approximation und durch die Carathéodory-Faktorisierung zu charakterisieren; die Ableitungsregeln und die Kettenregel zu beweisen; den Zwischenwertsatz zu beweisen, aus dem die Stetigkeit der Umkehrfunktion folgt, die ihre Ableitung erfordert; die elementaren Funktionen, ihre Umkehrfunktionen, implizit definierte Funktionen und Potenzen mit variablem Exponenten abzuleiten und die höheren Ableitungen, das Differential und die Änderungsraten anzuwenden.

1. Ableitungen: Einführung.
2. Die Ableitung als Grenzwert einer Funktion.
3. Ableitungsregeln.
4. Ableitungen der elementaren Funktionen.
5. Kettenregel für die Ableitung verketteter Funktionen.
6. Zwischenwertsatz.
7. Ableitung der Umkehrfunktion und implizites Differenzieren.
8. Die Variable im Exponenten und logarithmisches Differenzieren.
9. Höhere Ableitungen und Differential.
10. Änderungsraten und gekoppelte Änderungsraten.
11. Ableitungen: Synthese und Herausforderungen.

Einheit 3. Anwendungen der Ableitung

Ihr Ziel ist es, ausgehend vom Vollständigkeitsaxiom die Sätze von Weierstraß, Fermat, Rolle, Lagrange und Cauchy zu beweisen und aus ihnen die Regel von L’Hospital und die Kriterien für Monotonie, Extrema und Konvexität herzuleiten; die Krümmung eines Graphen zu untersuchen, Optimierungsprobleme zu lösen und Nullstellen mit dem Newton-Raphson-Verfahren anzunähern.

1. Anwendungen der Ableitung: Einführung.
2. Satz von Weierstraß über Extremwerte.
3. Sätze von Fermat, Rolle, Lagrange und Cauchy.
4. Regel von L’Hospital.
5. Monotonie und Kriterium der ersten Ableitung.
6. Maxima und Minima einer Funktion.
7. Konkavität, Konvexität und Wendepunkte.
8. Krümmung und Krümmungsradius.
9. Optimierungsprobleme.
10. Das Newton-Raphson-Verfahren.
11. Anwendungen der Ableitung: Synthese und Herausforderungen.

Einheit 4. Abschluss des Kurses

Sie besteht aus der Lektion Abschlussbilanz des Kurses Analysis I, die an die sieben übergeordneten Lernziele erinnert, in einer Abbildung zeigt, welchem von ihnen jede Lektion des Kurses zugeordnet wurde und welche Einzelziele jede Einheit erreicht hat, und nach Lernzielen den ersten Versuch der Abschlusstests zusammenführt.

Aufwand und Leistungspunkte

Der Aufwand eines Kurses bemisst sich nicht nach den Vortragsstunden, die es in einem asynchronen Kurs nicht gibt, sondern nach der gesamten Arbeit derer, die ihn studieren: lesen, den Beweisen folgen, Aufgaben lösen und wiederholen. Die Schätzung folgt in allen Kursen der Website derselben Methode: Sie zählt die Lesezeit des Textes jeder Lektion bei hundert Wörtern pro Minute, wobei jede Formel als ein Wort zählt, zwanzig Minuten pro gelöste Aufgabe, fünfunddreißig pro Übungsaufgabe, fünfundvierzig pro Herausforderung und zwölf pro Eingangs- oder Abschlusstest, und schlägt ein Zehntel für die Wiederholung auf.

Ergebnisse

Die Lektionen der Einheiten 1 bis 3 enthalten insgesamt $140$ gelöste Aufgaben, $140$ Übungsaufgaben und $30$ Herausforderungen, dazu sechs Einheitentests. Der geschätzte Aufwand pro Einheit, auf volle Stunden gerundet, verteilt sich so:

• Einheit 0, Vorstellung des Kurses: weniger als $1$ Stunde.
• Einheit 1, Grenzwerte und Stetigkeit: $66$ Stunden.
• Einheit 2, Ableitungen: $61$ Stunden.
• Einheit 3, Anwendungen der Ableitung: $63$ Stunden.
• Einheit 4, Abschluss des Kurses: weniger als $1$ Stunde.

Die drei inhaltlichen Einheiten haben einen ähnlichen Umfang: Die Einheit 1 umfasst mehr Lektionen, die Einheit 3 umfangreichere Lektionen. Insgesamt sind es etwa $191$ Stunden Arbeit. Diese Zahl sollte man als das lesen, was sie ist: eine Schätzung für alle, die sämtliche Beweise studieren und alle Aufgaben und Herausforderungen lösen. Wer schon Analysis studiert hat oder sich auf die Übungsaufgaben beschränkt, ohne die Herausforderungen anzugehen, wird deutlich weniger brauchen; wer das Thema zum ersten Mal und ohne Übung im Beweisen studiert, kann mehr brauchen, vor allem in der Einheit 1, in der man lernt, mit Epsilon und Delta zu argumentieren.

Nun ist die Zahl nominell: Sie legt die Leistungspunkte des Kurses fest und setzt ein Lesen in gleichbleibendem Tempo und eine Dreiviertelstunde pro Herausforderung voraus. Solange sie nicht an realen Studierenden gemessen ist, sollte man sie durch eine realistische Spanne ergänzen. Ginge das Lesen im halben angenommenen Tempo voran, wie es geschieht, wenn man jeden Beweis mit Papier und Bleistift neu schreibt, und verlangte jede Herausforderung fünfundsiebzig statt fünfundvierzig Minuten, so ergäbe dieselbe Methode etwa $231$ Stunden. Daher liegt der zu erwartende Aufwand zwischen etwa $191$ und etwa $231$ Stunden. Die obere Grenze ist eine vorsichtige Schranke, keine Messung; die Spanne wird korrigiert, sobald man die Zeit kennt, die die Studierenden des Kurses tatsächlich aufwenden, und bis dahin werden die Leistungspunkte mit der nominellen Zahl berechnet.

Empfohlenes Tempo

Um die Lerntempi zu benennen, folgt dieser Plan demselben Kriterium wie die übrigen Pläne der Website: Vollzeit entspricht einem Studienjahr von $60$ Leistungspunkten, etwa $1650$ Stunden, verteilt auf rund vierzig Wochen, also etwa $40$ Wochenstunden, und ein Teilzeitstudium der Hälfte davon, etwa $20$ Wochenstunden. Daraus folgt ein empfohlenes Tempo von einem Semester zu sechzehn Wochen mit etwa $12$ Wochenstunden Lernzeit, weniger als einem Drittel der Vollzeit; mit der realistischen Spanne, $12$ bis $14$ Wochenstunden, bleibt es unter einem Teilzeitstudium. So kann Analysis I das Semester nach Algebra und Geometrie II belegen und Analysis II das darauf folgende.

Ein intensives Tempo von etwa $24$ Wochenstunden, etwas mehr als ein Teilzeitstudium, schließt den Kurs in acht Wochen ab, was dem Aufwand von jemandem entspricht, der im selben Zeitraum keinen anderen anspruchsvollen Kurs studiert. Ein großzügigeres Tempo von etwa $6$ Wochenstunden verteilt ihn auf zwei Semester, die sich so aufteilen lassen: Die Einheiten 0 bis 2, die Grenzwerte, die Stetigkeit und die Ableitungen, beanspruchen etwa $128$ Stunden, und die Einheiten 3 und 4, die Anwendungen der Ableitung und der Abschluss, etwa $63$.

Leistungspunkte

Die Leistungspunkte dieser Website messen den gesamten Aufwand, den ein Kurs von denen verlangt, die ihn studieren (das Lesen, die Aufgaben, die Herausforderungen und die Wiederholung), und nicht die Unterrichtsstunden. Ein Leistungspunkt entspricht etwa $27{,}5$ Arbeitsstunden und ein Jahr in Vollzeit $60$ Leistungspunkten, also etwa $1650$ Stunden; das ist dasselbe Kriterium, nach dem oben die Lerntempi benannt werden.

Nun ergibt sich, wenn man die geschätzten $191$ Stunden durch $27{,}5$ teilt, der Wert 6,95, der auf $7$ gerundet wird. Lässt man für den Leistungspunkt eine Spanne von $25$ bis $30$ Arbeitsstunden zu, so ist die Zahl $C$ der Leistungspunkte des Kurses zwischen 6,4 und 7,6 eingegrenzt:

Daher hat der Kurs $7$ Leistungspunkte, etwas weniger als ein Achtel eines Jahres in Vollzeit. Wer nur einen Teil des Kurses studieren möchte, kann die Liste der Stunden pro Einheit verwenden: Die Einheiten 0 bis 2 etwa summieren sich auf rund $128$ Stunden, also auf etwa $5$ Leistungspunkte.

Ihr Nutzen ist praktischer Art: Sie erlauben es, den Aufwand der Kurse der Website miteinander zu vergleichen und zu entscheiden, wie viele man gleichzeitig studieren sollte, ohne die verfügbare Zeit zu überschreiten. Wer zum Beispiel während eines Semesters zu sechzehn Wochen in Teilzeit studieren kann, also über etwa $320$ Stunden verfügt, kann Kurse angehen, die zusammen etwa $12$ Leistungspunkte umfassen; in Vollzeit im selben Semester etwa $23$.

Diese Leistungspunkte sind ein eigenes Maß der Website zur Planung des Studiums: Sie entsprechen keinem offiziellen Leistungspunktesystem und bedeuten keine akademische Anerkennung durch irgendeine Einrichtung.

Gestaltung des Kurses

Studienform

Der Kurs ist asynchron, online und im eigenen Tempo: Er hat keine Termine, keine Live-Sitzungen und keine Fristen, und alle Studierenden kommen so schnell voran, wie ihre Vorbereitung und ihre Zeit es erlauben. Er wird in den vierzehn Sprachen der Website angeboten, mit derselben Mathematik in allen: Die Formeln und die Schritte der Beweise sind in jeder Fassung identisch, und nur der Text wird übersetzt. Jede Lektion gibt an, welche Lektion man vorher studiert haben sollte, und die ersten verweisen auf Algebra und Geometrie, sodass die empfohlene Reihenfolge explizit ist und sich überprüfen lässt.

Der Aufbau einer Lektion

Alle thematischen Lektionen folgen demselben Aufbau. Sie beginnen mit einer Zusammenfassung und einer Liste eigener Lernziele, formuliert als beobachtbare Leistungen. Es folgen die Theorie, mit den Definitionen, den präzise formulierten Sätzen und ihren Beweisen, und die Beispiele. Die Beweise und die Beispiele werden als Schritt-für-Schritt-Abspieler dargeboten: Jeder Schritt schreibt eine Zeile der Argumentation, hebt die beteiligten Terme hervor und, wenn er sich auf ein früheres Ergebnis stützt, holt er es wieder hervor und hebt es beim Lesen hervor, sodass das Gedächtnis der Argumentation sichtbar bleibt; viele werden von einer Abbildung begleitet, die sich mit jedem Schritt ändert. Den Abschluss der Lektion bilden fünf gelöste Aufgaben mit ihrer Schritt-für-Schritt-Lösung und fünf Übungsaufgaben, jede mit einem eingeklappten Hinweis und danach dem Endergebnis, damit die Studierenden ihr Ergebnis prüfen können, ohne dass ihnen der Weg verraten wird; manche Übungsaufgaben, vor allem die Beweisaufgaben, fügen, eingeklappt nach dem Ergebnis, eine ausführliche Lösung hinzu, die man erst öffnen sollte, nachdem man die eigene niedergeschrieben hat.

Die Einführungs- und die Synthese-Lektionen haben einen eigenen Aufbau. Die Einführung stellt die Einheit, ihre Geschichte, das Problem, aus dem sie entstand, und ihre Bedeutung vor; die Synthese rekonstruiert in einer Abbildung die deduktive Kette der Einheit, mit den Ergebnissen, die sie wiederverwendet, und den Gliedern, die sie beweist, verbindet sie mit den früheren Einheiten und mit Algebra und Geometrie und stellt zehn Herausforderungen, jede mit Hinweis, Endergebnis und einer eingeklappten ausführlichen Lösung, die mehrere Lektionen verbinden und mehr Erfindungsgabe verlangen als die Übungsaufgaben.

Die Vorlesefunktion

Jede Lektion kann man sich mit der Vorlesefunktion der Website laut vorlesen lassen, die die Stimmen des eigenen Geräts verwendet: Der Text wird so gelesen, wie er geschrieben ist, und die Formeln werden in Worten ausgesprochen. Das erlaubt, eine Lektion fern vom Bildschirm zu wiederholen, einem Beweis zuzuhören, während man den Schritt-für-Schritt-Abspieler betrachtet, und mit Sehbeeinträchtigungen zu lernen.

Bewertung

Der Kurs vergibt keine Noten und zertifiziert nicht: Seine Bewertung auf der Website ist formativ. Die Übungsaufgaben erlauben zu prüfen, ob die Lernziele jeder Lektion erreicht sind, und die Herausforderungen, ob die Lernziele jeder Einheit erreicht sind. Jede der drei inhaltlichen Einheiten hat außerdem einen Eingangstest in ihrer Einführung und einen Abschlusstest in ihrer Synthese, vor den Herausforderungen: kurze Selbsteinschätzungen, die im Browser ohne Benotung korrigiert werden. Der Eingangstest hat neun oder zehn Fragen zur Einheit und dazu fünf oder sechs über das, was die Einheit aus den früheren oder aus Algebra und Geometrie als bekannt voraussetzt, der Abschlusstest elf oder zwölf; beide geben bei jedem Fehler an, welche Lektion zu wiederholen ist, und werden miteinander verglichen, um den Lernzuwachs zu zeigen. Die Abschlussbilanz führt den ersten Versuch jedes Abschlusstests in einem Profil nach übergeordneten Lernzielen zusammen, das, wie die Tests selbst, nur im Browser der Studierenden gespeichert wird. Die Validierung der Fähigkeiten, mit dem Wert einer Zertifizierung, erfolgt später und außerhalb dieser Website, auf einer anderen Plattform.

Für die übergeordneten Lernziele werden außerdem die folgenden Nachweise des Erreichens vorgeschlagen, die alle Studierenden selbst erbringen können:

• Lernziel 1: ohne die Lektion nachzuschlagen den Beweis eines Satzes des Kurses niederschreiben, etwa der Kettenregel mit der Carathéodory-Faktorisierung oder des Mittelwertsatzes von Lagrange, und mit einem Gegenbeispiel zeigen, dass keine seiner Voraussetzungen überflüssig ist.
• Lernziel 2: einen unbestimmten Grenzwert auf zwei Wegen berechnen, mit äquivalenten unendlich kleinen Größen und mit der Regel von L’Hospital, und alle Asymptoten einer Funktion bestimmen.
• Lernziel 3: mit dem Satz von Bolzano und der Monotonie beweisen, dass eine Gleichung in einem Intervall genau eine Lösung hat, und das Bild eines abgeschlossenen und beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion bestimmen.
• Lernziel 4: eine Potenz mit variabler Basis und variablem Exponenten und eine implizit definierte Funktion ableiten und dabei genau angeben, wo jede Ableitung existiert.
• Lernziel 5: die Monotonie, die Extrema, die Konvexität und die Wendepunkte einer Funktion untersuchen und damit ihren Graphen zeichnen.
• Lernziel 6: mit dem Newton-Raphson-Verfahren eine Nullstelle einer Gleichung annähern, die sich nicht explizit auflösen lässt, den Startwert wählen und den Fehler der erhaltenen Näherung abschätzen.
• Lernziel 7: die vollständige Lösung eines Optimierungsproblems oder einer Aufgabe zu gekoppelten Änderungsraten niederschreiben, mit Ansatz, Definitionsbereich, Durchführung, Begründung des Extremums, Antwort und Plausibilitätskontrolle, sodass eine andere Person ihr ohne zusätzliche Erklärungen folgen kann.

Wie man diesen Kurs studiert

Der Kurs ist dafür gedacht, der Reihe nach studiert zu werden. Jede Einheit setzt die früheren und die beiden Kurse Algebra und Geometrie voraus, und viele Beweise zitieren Ergebnisse aus vorangehenden Lektionen; wer eine Lektion überspringt, muss sie früher oder später nachholen. Das gilt vor allem für die Einheit 1: Die Definitionen mit Epsilon und Delta und die Lemmata ihrer ersten Lektionen tragen alle späteren Beweise.

Jede Einheit hat zwei Kontrollpunkte. Der Eingangstest zu Beginn der Einführung ist der Ausgangspunkt: Man sollte ihn beantworten, bevor man die Einheit studiert, ohne etwas nachzuschlagen, und die Lektionen notieren, auf die die Fehler verweisen, denn sie verlangen die meiste Sorgfalt. Der Abschlusstest in der Synthese und vor den Herausforderungen ist der Vergleich: Man beantwortet ihn nach Abschluss der Lektionen, ebenfalls ohne nachzuschlagen, und vergleicht ihn mit dem Eingangstest, um zu sehen, was sich geändert hat und welche Lektionen man wiederholen sollte. Bei beiden zählt der erste Versuch, der verglichen wird und den das Profil der Abschlussbilanz zusammenführt; die späteren Versuche geschehen schon mit der gesehenen Rückmeldung. Die Herausforderungen vervollständigen die Prüfung, weil sie verlangen, zu verbinden und auszuformulieren, was die kurzen Fragen nur berühren. Daraus folgt, dass, wer glaubt, eine Einheit schon zu beherrschen, das nicht nach einem einzigen Test entscheiden sollte: Ist der eigene Abschlusstest solide und gelingen die Herausforderungen der Synthese, kann man zur Einheit danach übergehen; andernfalls sollte man die Lektionen durchgehen, auf die der eine und die anderen verweisen.

In jeder Lektion sollte man zuerst die Zusammenfassung und die Lernziele lesen, die sagen, worum es geht; dann die Theorie mit Papier und Bleistift studieren und dabei versuchen, jeden Schritt der Beweise vorwegzunehmen, bevor der Abspieler ihn schreibt; die gelösten Aufgaben versuchen, bevor man ihre Lösung ansieht, und die Übungsaufgaben ohne Hilfe lösen, den Hinweis erst öffnen, wenn der eigene Versuch erschöpft ist, und das Ergebnis erst am Ende, zur Kontrolle. Eine Aufgabe, deren Ergebnis man nachgeschlagen hat, bevor man sie versucht hat, ist nicht gelöst, sondern gelesen worden. In einem Analysiskurs sollte man außerdem Wertetabellen und von einem Taschenrechner gezeichneten Graphen misstrauen: Sie legen einen Grenzwert oder ein Extremum nahe, beweisen es aber nicht, und die Einheit 1 zeigt Tabellen, die täuschen.

Die Herausforderungen sind schwieriger als die Aufgaben der Lektionen, und es ist normal, dass manche mehrere Versuche an verschiedenen Tagen erfordern. Man sollte nicht endlos bei einer verweilen: sie notieren, vorankommen und sie später wieder aufnehmen ist oft der kürzeste Weg. Nun setzt der geschätzte Aufwand voraus, dass man alle ernsthaft versucht, und in dieser Anstrengung entscheidet sich ein guter Teil dessen, was der Kurs lehren kann.

Schließlich sollte man schreiben. Einen Beweis oder eine vollständige Lösung mit ihren Prämissen und ihren Schlussfolgerungen auszuformulieren ist die einzige Art zu wissen, ob man verstanden hat, und es ist auch das siebte der Lernziele des Kurses. Ein Studienheft, in dem man die Definitionen und Sätze jeder Einheit mit eigenen Worten neu schreibt, ist das beste Wiederholungsmaterial, das der Kurs hinterlassen kann, und es wird das noch mehr in Analysis II sein, die fast alles wieder aufgreifen wird, was hier bewiesen wird.