Grenzwerte und Stetigkeit: Einführung

Eingangstest

Bevor man die Einheit durcharbeitet, empfiehlt es sich, den Ausgangspunkt zu bestimmen. Diese Selbsteinschätzung wird nicht benotet: Sie dient dazu, zu erkennen, wo man verweilen sollte. Die ersten zehn Fragen betreffen der Reihe nach die zehn inhaltlichen Lektionen der Einheit, je eine, und messen eine Fertigkeit des Rechnens oder des Schließens, nicht eine Aussage, an die man sich erinnert; dieselben Fertigkeiten werden am Ende, in der Lektion der Synthese, mit anderen Daten erneut gemessen. Die letzten sechs prüfen, was diese Einheit aus Algebra und Geometrie I und II als bekannt voraussetzt: den Betrag, das Supremum, die Verkettung von Funktionen, die Vorzeichentabellen, die Ungleichung zwischen Sinus, Bogen und Tangens sowie die Grundungleichung der Exponentialfunktion.

Die Inhalte der Einheit

In Algebra und Geometrie I hat die Lektion über die rationalen Funktionen die senkrechten Asymptoten und die Asymptoten im Unendlichen, die Stetigkeit dieser Funktionen und den Zwischenwertsatz als vorausgesetzte Tatsachen ohne Beweis verwendet, weil sie eine Definition des Grenzwerts verlangten, über die man noch nicht verfügte; und Algebra und Geometrie II hat ebenso die Stetigkeit der trigonometrischen Funktionen und ihrer Umkehrfunktionen angenommen. Diese Einheit liefert jene Definition und beweist die vorausgesetzten Tatsachen eine nach der anderen, mit Ausnahme des Zwischenwertsatzes, der in der nächsten Einheit bewiesen wird. Die Beweise sind so angeordnet, dass sie wiederverwendet werden: Einige wenige werden mit Epsilon und Delta geführt, und die übrigen zitieren die früheren Ergebnisse, statt das Argument zu wiederholen. Die Lektionen folgen dieser Reihenfolge:

1. Der Grenzwert einer Funktion macht aus der Vorstellung des Annäherns die Epsilon-Delta-Definition, präzisiert mit den Häufungspunkten, wo sie sinnvoll ist, schreibt die Definition und ihre Negation als quantifizierte Aussagen und beweist, dass der Grenzwert eindeutig ist, dass er nur von den nahen Werten abhängt und dass er die Funktion zwingt, in der Nähe der Stelle beschränkt zu bleiben und ihr Vorzeichen zu behalten.
2. Die Rechenregeln für Grenzwerte werden auf drei mit Epsilon und Delta bewiesene Lemmata reduziert, deren wichtigstes das Schrankenkriterium ist; aus ihnen folgen, mit einem Lemma, nach dem die Einschränkung des Definitionsbereichs den Grenzwert nicht verlieren lässt, die Grenzwerte der Summe, des Produkts, des Kehrwerts und des Quotienten, die der Polynome, der rationalen Funktionen, der Wurzeln und der Potenzen mit rationalem Exponenten sowie der Satz über den Grenzwert einer Verkettung, der die Substitution rechtfertigt.
3. Der Einschnürungssatz beweist mit dem Schrankenkriterium, dass Grenzwerte nicht strenge Ungleichungen erhalten, den Satz selbst und den Grenzwert des Produkts einer beschränkten Funktion mit einer, die gegen null strebt; mit ihnen gewinnt die Lektion die Grenzwerte des Sinus und des Kosinus und den trigonometrischen Fundamentalgrenzwert $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, aus dem die übrigen trigonometrischen Grenzwerte folgen.
4. Einseitige Grenzwerte werden als Grenzwerte einer Einschränkung definiert, sodass sie alle früheren Sätze erben; die Lektion beweist, dass der Grenzwert genau dann existiert, wenn die beiden einseitigen existieren und übereinstimmen, und dass eine monotone und beschränkte Funktion einen einseitigen Grenzwert hat, der gleich dem Supremum oder dem Infimum ihrer Werte ist: der erste Satz, der die Existenz eines Grenzwerts sichert, ohne dass man seinen Wert kennt.
5. Der Grenzwert im Unendlichen ist der Grenzwert, wenn die Variable unbeschränkt wächst; die Lektion beweist mit dem Inversionslemma, dass er einem einseitigen Grenzwert an der Stelle $0$ entspricht, sodass alle früheren Sätze auch im Unendlichen gelten; mit ihnen berechnet sie die Grenzwerte der Potenzen und der rationalen Funktionen.
6. Uneigentliche Grenzwerte werden mit dem Kehrwertlemma auf Grenzwerte gleich null reduziert; daraus und aus dem Vergleich ergeben sich die Regeln für Summe, Produkt und Quotient, und die Lektion zeigt, dass unbestimmte Ausdrücke jedes beliebige Ergebnis liefern können, und beweist den Satz über unbeschränkte monotone Funktionen und den über die Verkettung mit uneigentlichen Grenzwerten.
7. Asymptoten werden mit den einseitigen Grenzwerten, den Grenzwerten im Unendlichen und den uneigentlichen Grenzwerten definiert; die Lektion beweist die Formeln für die Steigung und den Achsenabschnitt der schiefen Asymptote, die Eindeutigkeit der nicht senkrechten Asymptote an jedem Ende und die in Algebra und Geometrie über die rationalen Funktionen vorausgesetzten Tatsachen, und sie schlägt ein Verfahren vor, Funktionen ohne Ableitungen grafisch darzustellen.
8. Die Stetigkeit wird mit der gewohnten Herausforderung und Antwort definiert, ohne die Stelle auszuschließen; die Lektion beweist, dass sie in einem Häufungspunkt gleichbedeutend damit ist, dass der Grenzwert existiert und gleich dem Funktionswert ist, teilt die Unstetigkeitsstellen in hebbare, Sprungstellen und wesentliche ein, erbt von den Rechenregeln für Grenzwerte die Stetigkeit der Operationen und beweist, dass die Verkettung stetiger Funktionen stetig ist, sodass der Grenzwert in eine stetige Funktion hineingezogen werden kann.
9. Die elementaren Funktionen erweisen sich durch ein einziges Argument als stetig, nämlich dass eine monotone Funktion, deren Bild ein Intervall ist, nicht springen kann; mit dieser Stetigkeit und der Grundungleichung der Exponentialfunktion beweist die Lektion die Standardgrenzwerte der Exponentialfunktion und des Logarithmus, gewinnt die Zahl $e$ als Grenzwert, löst die Form $1^\infty$ und vergleicht Exponentialfunktion, Potenzen und Logarithmus im Unendlichen.
10. Äquivalente unendlich kleine und unendlich große Größen werden mit dem kleinen $\operatorname{o}$, dem großen $\operatorname{O}$, der gleichen Ordnung und der asymptotischen Gleichheit verglichen; die Lektion beweist, dass in einem Produkt oder Quotienten jeder Faktor durch eine asymptotisch gleiche Funktion ersetzt werden kann, nicht aber in einer Summe, außer wenn die asymptotisch gleichen Funktionen der Summanden dasselbe Vorzeichen haben, und fasst die Grenzwerte der früheren Lektionen in einer Tabelle asymptotisch gleicher Funktionen bei null zusammen.

Die Einheit endet mit der Lektion Synthese und Herausforderungen, die das Erreichte in einer deduktiven Kette zusammenfasst, in ihrem Abschlusstest die Fertigkeiten des Eingangstests erneut misst und zehn Aufgaben größerer Schwierigkeit vorschlägt.

Der historische Hintergrund

Auch die logische Reihenfolge der Einheit stimmt nicht mit der historischen überein. Über ein Jahrhundert lang wurde die Infinitesimalrechnung erfolgreich ohne eine Definition des Grenzwerts betrieben; die Stetigkeit wurde streng definiert, bevor es den Grenzwert in seiner heutigen Form gab, und die Epsilon-Delta-Definition kam am Ende des Prozesses, als die Infinitesimalrechnung die Probleme, für die sie entstanden war, bereits gelöst hatte. Es lohnt sich, diese Geschichte nachzuzeichnen, denn die Einwände, die sie überwinden musste, sind dieselben, die beim Lernen gewöhnlich auftauchen.

Das Unendliche bei den Griechen

Zenon von Elea, der ungefähr zwischen 490 und 425 vor unserer Zeitrechnung lebte, brachte gegen die Möglichkeit der Bewegung Argumente vor, die vor allem durch die Physik des Aristoteles bekannt sind. Das Dichotomie-Argument besagt, dass man, um einen Weg zu durchlaufen, zuerst seine Mitte erreichen muss, davor die Mitte der Hälfte und so fort ohne Ende, sodass die Bewegung gar nicht beginnen könnte. Das Paradoxon wirft, ohne sie zu lösen, die Frage auf, ob unendlich viele Größen zusammen eine endliche Größe ergeben können, wie $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1$.

Die griechischen Mathematiker umgingen diese Frage mit der Exhaustionsmethode, der Eudoxos von Knidos um das Jahr 370 vor unserer Zeitrechnung eine strenge Form gab: Um zu beweisen, dass ein Flächeninhalt einen bestimmten Wert hat, beschreibt man der Figur Polygone ein, deren Unterschied zu ihr kleiner als jede gegebene Größe gemacht werden kann, und beweist durch Widerspruch, dass der Flächeninhalt weder größer noch kleiner als dieser Wert sein kann. Um das Jahr 225 vor unserer Zeitrechnung bewies Archimedes auf diese Weise, dass der Flächeninhalt eines Parabelsegments $\frac{4}{3}$ des Flächeninhalts des einbeschriebenen Dreiecks mit derselben Grundseite und derselben Spitze beträgt, indem er die Dreiecke summierte, die auf jeder Stufe hinzukommen und deren Flächeninhalte die Reihe $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots$ bilden. Das Schema des Arguments, eine Größe, die kleiner als jede gegebene Größe gemacht werden kann, ist bereits das von Herausforderung und Antwort.

Die Infinitesimalien von Newton und Leibniz

Im 17. Jahrhundert erhielten das Tangentenproblem und das Flächenproblem eine allgemeine Methode. Isaac Newton schrieb im Oktober 1666 eine Abhandlung über die Fluxionen, die er nicht veröffentlichte, und 1671 seine Methode der Fluxionen und unendlichen Reihen, die erst 1736 veröffentlicht wurde. Gottfried Wilhelm Leibniz führte das Integralzeichen in einem Manuskript vom 29. Oktober 1675 ein, und am 21. November schrieb er zum ersten Mal ein Integral mit dem Zeichen und dem Differential; er veröffentlichte seine Differentialrechnung 1684 in der Leipziger Zeitschrift Acta Eruditorum unter dem Titel Nova methodus pro maximis et minimis und seine Integralrechnung 1686 in derselben Zeitschrift. Beide rechneten mit Zuwächsen, die als von null verschieden behandelt werden, um durch sie dividieren zu können, und als null, um sie am Ende wegzulassen.

1734 veröffentlichte George Berkeley Der Analytiker, eine Kritik der Grundlagen von Newtons Infinitesimalrechnung. Er behauptete, die verschwindenden Inkremente seien weder endliche Größen noch unendlich kleine noch nichts, die Rechnung wechsle mitten im Gedankengang die Voraussetzung, und er fragte, ob man sie nicht Gespenster verschwundener Größen nennen könne. Die Ergebnisse waren richtig; was Berkeley zeigte, ist, dass die Argumentation, die sie rechtfertigte, es nicht war. Das folgende Beispiel gibt die Rechnung wieder, die er kritisierte, und zeigt, wie die Definition des Grenzwerts sie auflöst.

Der Grenzwert als Fundament

Der Ausweg, den das Beispiel gezeigt hat, setzte sich im Lauf eines Jahrhunderts durch. Jean le Rond d’Alembert schlug im Artikel „Différentiel“ des vierten Bandes der Encyclopédie, geschrieben 1754, vor, die Infinitesimalrechnung auf die Theorie der Grenzwerte zu gründen, und definierte die Ableitung als den Grenzwert eines Quotienten von Zuwächsen. 1817 veröffentlichte Bernard Bolzano einen rein analytischen Beweis des Zwischenwertsatzes, mit der erklärten Absicht, die Infinitesimalrechnung vom Begriff des Infinitesimalen zu befreien, und verwendete darin einen Stetigkeitsbegriff, der dem heutigen sehr nahekommt; sein Werk war zu Lebzeiten wenig bekannt. 1821 veröffentlichte Augustin-Louis Cauchy seinen Cours d’analyse, geschrieben für die Studierenden der École polytechnique in Paris, der die Grenzwerte an die Basis der Infinitesimalrechnung stellte und die stetige Funktion als eine solche definierte, bei der ein unendlich kleiner Zuwachs der Variablen einen unendlich kleinen Zuwachs der Funktion hervorruft.

Zur selben Zeit wandelte sich der Funktionsbegriff. Für Euler war eine Funktion 1748 ein analytischer Ausdruck; Peter Gustav Lejeune Dirichlet ließ 1837 einen viel allgemeineren Begriff zu, bei dem die Werte in beliebiger Weise aufeinanderfolgen können, und ihm verdankt man das Beispiel der Funktion, die auf den rationalen Zahlen den Wert $0$ und auf den irrationalen den Wert $1$ hat und an jeder Stelle unstetig ist. Bei so allgemeinen Funktionen hörte die geometrische Anschauung auf, ein sicherer Führer zu sein, und die Definitionen mussten allein von Zahlen und Ungleichungen sprechen.

Die Definition von Weierstraß

Karl Weierstraß, seit 1856 Professor an der Berliner Universität, befasste sich erstmals mit den Grundlagen der Analysis in seiner Vorlesung zur Einführung in die Analysis von 1859 und 1860. In seinen Vorlesungen, die vor allem durch die Mitschriften seiner Studierenden bekannt sind, wurde die Definition des Grenzwerts und der Stetigkeit mit Epsilon und Delta niedergeschrieben, in der Form, die dieser Kurs verwendet: ohne Bewegung, ohne Infinitesimalien, als quantifizierte Aussage über reelle Zahlen. 1872, im selben Jahr, in dem Richard Dedekind und Georg Cantor ihre Konstruktionen der reellen Zahlen veröffentlichten, die die Vollständigkeit beweisen, legte Weierstraß der Berliner Akademie der Wissenschaften eine stetige Funktion vor, die an keiner Stelle eine Ableitung hat, ein Beleg dafür, dass die Anschauung einer stetigen Kurve nicht genügt, um über sie zu schließen.

Die Notation, mit der die letzte Lektion der Einheit Funktionen vergleicht, ist jünger. Paul Bachmann führte das Symbol $\operatorname{O}$ im Jahr 1894 in Die analytische Zahlentheorie, dem zweiten Band seiner Zahlentheorie, ein, und Edmund Landau, der es übernahm, führte das Symbol $\operatorname{o}$ im Jahr 1909 in seinem Handbuch über die Verteilung der Primzahlen ein.

Das Problem, aus dem der Begriff entstand

Drei alte Probleme führten zur Infinitesimalrechnung, und alle drei haben dieselbe Struktur. Die Geschwindigkeit eines bewegten Körpers in einem Augenblick müsste der Quotient aus dem durchlaufenen Weg und der verstrichenen Zeit sein, wenn die verstrichene Zeit null ist; die Steigung der Tangente an eine Kurve müsste die einer Sekante sein, deren beide Punkte zusammenfallen; der Flächeninhalt einer krummlinig begrenzten Figur müsste die Summe unendlich vieler Rechtecke der Breite null sein. In allen drei Fällen liefert direktes Einsetzen $\frac{0}{0}$ oder eine sinnlose Summe, und das richtige Ergebnis ist das, dem sich die Näherungen nähern. Die ersten beiden führen zur Ableitung, die der Gegenstand der nächsten Einheit ist; das dritte zum Integral, das in Analysis II behandelt wird.

Nun ist „das, dem sich die Näherungen nähern“ noch keine Definition, und zwar aus drei Gründen. Der erste ist, dass Annähern nicht genügt: Die Lektion über Grenzwert von Funktionen einer reellen Variablen zeigt, dass sich die Werte von $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ der Zahl $3$ nähern, wenn $x$ von $0{,}9$ zu $0{,}99$ übergeht, obwohl der Grenzwert $2$ ist. Der zweite ist, dass eine Tabelle endlich viele Stellen untersucht: Dieselbe Lektion zeigt, dass $\sin\frac{\pi}{x}$ den Wert $0$ an allen Stellen der Form $\frac{1}{n}$ hat und dennoch keinen Grenzwert an der Stelle $0$ besitzt. Der dritte ist, dass die Werte der Tabelle falsch berechnet sein können, wie das folgende Beispiel zeigt.

Die Definition des Grenzwerts antwortet auf die drei Einwände: Sie spricht von allen nahen Stellen zugleich, legt mit Zahlen fest, was „beliebig nahe“ bedeutet, und wird mit Ungleichungen bewiesen, nicht mit Näherungsrechnungen. Aber das Problem hat eine andere Seite, bei der es nicht um das Rechnen, sondern um die Existenz geht. Viele Grenzwerte der Einheit werden bewiesen, nachdem man ihren Wert kennt oder errät; andere dagegen existieren, ohne dass man sie zu berechnen weiß, und ihre Existenz beruht auf der Vollständigkeit der reellen Zahlen. Der Satz über monotone Funktionen aus der Lektion über einseitige Grenzwerte liefert den Grenzwert als Supremum, und von ihm hängt die Stetigkeit der Exponentialfunktion, des Logarithmus und der übrigen elementaren Funktionen ab. Die Lektion über Grenzwert und Stetigkeit beweist, dass eine an einer Stelle stetige und positive Funktion auch an den nahe gelegenen Stellen ihres Definitionsbereichs positiv ist, und diese Vorzeichenerhaltung wird zusammen mit der Vollständigkeit in der nächsten Einheit den Zwischenwertsatz liefern. Ohne die Vollständigkeit gälte nichts davon: Die Funktion $x^2 - 2$, nur auf den rationalen Zahlen betrachtet, geht von negativen zu positiven Werten über, ohne je null zu werden.

Die Bedeutung von Grenzwerten und Stetigkeit

Im weiteren Kurs

Der ganze Kurs beruht auf dieser Einheit. Die nächste Einheit, über die Ableitungen, definiert in ihrer ersten Lektion die Ableitung als Grenzwert einer Funktion, den Differenzenquotienten aus Berkeleys Beispiel, und gewinnt die Ableitungsregeln aus den Rechenregeln für Grenzwerte; die Ableitungen des Sinus, der Exponentialfunktion und des Logarithmus in der Lektion über die Ableitungen der elementaren Funktionen sind die Standardgrenzwerte dieser Einheit; die Kettenregel stützt sich auf die Verkettung stetiger Funktionen; der Zwischenwertsatz wird mit der Vorzeichenerhaltung und der Vollständigkeit bewiesen und rechtfertigt das Bisektionsverfahren; und die Ableitung der Umkehrfunktion, in der Lektion über die Ableitung der Umkehrfunktion und das implizite Differenzieren, erfordert die Stetigkeit der Umkehrfunktion. Die dritte Einheit, über die Anwendungen der Ableitungen, beginnt mit dem Satz von Weierstraß, nach dem eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall stetige Funktion ihr Maximum und ihr Minimum annimmt, und auf ihn stützen sich der Satz von Rolle und der Mittelwertsatz, die Suche nach Maxima und Minima und die Optimierungsprobleme. Die Regel von L’Hospital löst die unbestimmten Ausdrücke, die diese Einheit nur zu erkennen vermag, und für das Newton-Raphson-Verfahren, mit dem der Kurs schließt, wird die Konvergenz mit der Konvexität und dem Supremum bewiesen.

In anderen Kursen

In Analysis II wird das Integral als Grenzwert von Summen von Rechtecksflächen definiert, das Problem des Archimedes; Folgen und Reihen, die dieser Kurs nicht behandelt, werden mit Definitionen derselben Art untersucht, und das Taylorpolynom misst seinen Fehler mit dem großen $\operatorname{O}$ der letzten Lektion der Einheit. In Analysis III geht die Epsilon-Delta-Definition auf Funktionen mehrerer Variablen über, mit dem Abstand in der Ebene anstelle des Betrags, und der Grenzwert kann vom Weg abhängen, auf dem man sich dem Punkt nähert. In Grundlagen der Mechanik sind die momentane Geschwindigkeit und Beschleunigung Grenzwerte von Quotienten von Zuwächsen. In Finanzmathematik ist die stetige Verzinsung der Grenzwert von $\left(1 + \frac{r}{x}\right)^{x}$, wenn $x$ gegen unendlich strebt, der nach der Lektion über die Standardgrenzwerte gleich $e^{r}$ ist. In Datenanalyse mit R unterscheiden sich die Wachstumsmodelle durch ihr Verhalten im Unendlichen, also durch das, was der Vergleich von Exponentialfunktion, Potenzen und Logarithmus beschreibt. In Programmieren in C++ I nähert das Bisektionsverfahren eine Nullstelle im Vertrauen auf den Zwischenwertsatz an, der Aufwand eines Algorithmus wird mit der Notation $\operatorname{O}$ von Bachmann und Landau gemessen, und die Gleitkommazahlen zwingen dazu, den exakten Grenzwert vom berechneten Wert zu unterscheiden, wie in der trügerischen Tabelle.

In Wissenschaft und Technik

Jede Größe, die sich stetig ändert, eine Lage, eine Temperatur, eine Konzentration, eine elektrische Spannung, wird durch stetige Funktionen beschrieben, und ihre momentanen Änderungsraten sind Grenzwerte. Die Näherungen, mit denen die Ingenieurwissenschaften und die Erfahrungswissenschaften arbeiten (die Linearisierung eines Phänomens in der Nähe eines Gleichgewichtspunkts, das Ersetzen von $\sin x$ durch $x$ bei kleinen Schwingungen, das Vernachlässigen eines Terms gegenüber einem viel größeren), sind asymptotische Gleichheiten wie die der letzten Lektion der Einheit und gelten unter denselben Bedingungen. Die Asymptoten beschreiben den Sättigungswert eines Prozesses, der sich stabilisiert, und das unbeschränkte Wachstum eines Prozesses, der es nicht tut. Und die Numerik, die auf einem Computer löst, was keine geschlossene Formel hat, beruht auf der Unterscheidung aus dem Beispiel der trügerischen Tabelle: Ein Algorithmus liefert Näherungen, und erst eine mit Ungleichungen bewiesene Fehlerschranke sagt, wie nahe sie dem exakten Wert kommen.