Plano de estudos de Álgebra e Geometria I

Propósito e público

Este curso é o primeiro dos dois que reúnem a álgebra e a geometria que precedem o cálculo e a matemática universitária. O seu propósito não é só ensinar a calcular, mas mostrar de onde procede cada cálculo: o curso constrói os seus objetos em vez de supô-los conhecidos, parte de uns poucos axiomas sobre os números naturais e deduz deles, ampliação após ampliação, a aritmética dos inteiros, dos racionais, dos reais e dos complexos na forma algébrica, a álgebra dos polinômios e as funções algébricas, a geometria analítica do plano e, por último, as funções exponencial, logarítmica e hiperbólicas. Cada resultado que se emprega é enunciado e demonstrado, ou é declarado expressamente admitido quando a sua demonstração pertence a outro curso.

Dirige-se a estudantes dos últimos anos do ensino médio que desejam uma preparação sólida antes de ingressar na universidade, a estudantes do primeiro ano universitário de ciências, engenharia, economia ou licenciatura em matemática, e a quem queira reconstruir com rigor uma matemática que aprendeu como um conjunto de receitas. Não supõe mais do que a aritmética escolar: operar com inteiros e frações, e reconhecer as figuras elementares da geometria plana. Ora, como o curso demonstra quase tudo o que afirma, recomenda-se ter estudado antes, ou estudar em paralelo, o curso de Lógica Matemática I: Lógica Proposicional, que ensina a ler e a construir as demonstrações com conectivos, quantificadores e regras de inferência explícitas.

Se isto é assim, o curso ocupa um lugar de entrada no site, e dele dependem três cursos. Matemática Financeira e Análise de Dados com R o exigem como único pré-requisito, porque empregam as progressões, a contagem, as equações e os sistemas lineares, a exponencial e os logaritmos que aqui se constroem. O terceiro é a sua continuação, Álgebra e Geometria II: Trigonometria, Números Complexos e Geometria do Espaço, que retoma o que aqui se alcançou para estudar as funções trigonométricas, a forma polar dos complexos, as matrizes e a geometria analítica do espaço. Daí se segue que quem aspire a Cálculo I deve percorrer ambos os cursos, porque esse curso exige o segundo.

Objetivos de aprendizagem globais

Os objetivos que se seguem descrevem o que um estudante que conclua o curso deve ser capaz de fazer. Cada um é formulado como um desempenho observável, de modo que possa ser verificado com uma tarefa concreta; cada aula temática declara, por sua vez, os seus próprios objetivos, que servem a um ou a vários dos globais, e a aula de encerramento mostra em que unidades e aulas se trabalha cada um. Os oito objetivos são numerados para que possam ser citados.

1. Objetivo 1. Demonstrar enunciados de aritmética, álgebra e geometria mediante raciocínio dedutivo explícito, empregando a demonstração direta, a contraposição, a redução ao absurdo, a indução nas suas diversas formas e o princípio da boa ordenação, e distinguir em cada demonstração o deduzido do admitido.
2. Objetivo 2. Construir os sistemas numéricos com a linguagem dos conjuntos, das relações e das funções: os naturais definidos pelos axiomas de Peano, os inteiros e os racionais como classes de equivalência, os reais como corpo ordenado completo e os complexos como pares de reais; explicar que equação sem solução motiva cada ampliação e que propriedade se ganha ou se perde nela.
3. Objetivo 3. Demonstrar e aplicar a aritmética dos inteiros: a divisão com resto e a divisibilidade, os números primos e a fatoração única, o máximo divisor comum e as equações diofantinas lineares, as congruências, a numeração posicional e a contagem combinatória.
4. Objetivo 4. Transformar expressões algébricas (potências, radicais, polinômios e frações algébricas) e resolver equações, inequações e sistemas do primeiro grau, polinomiais, racionais, com radicais e com valor absoluto, justificando a equivalência de cada transformação e verificando as soluções.
5. Objetivo 5. Analisar funções reais de variável real, determinando o seu domínio, conjunto imagem, sinais, zeros, assíntotas, inversa e composição, e representar o seu gráfico, em particular mediante transformações de gráficos conhecidos.
6. Objetivo 6. Representar lugares geométricos do plano mediante equações e, reciprocamente, reconhecer a curva que uma equação define: retas na forma cartesiana, vetorial e paramétrica, circunferências, parábolas, elipses e hipérboles de eixos paralelos aos coordenados, e regiões definidas por inequações.
7. Objetivo 7. Resolver problemas com as funções exponencial, logarítmica e hiperbólicas, deduzindo as suas propriedades a partir das suas definições e resolvendo as equações e as inequações que as contêm.
8. Objetivo 8. Modelar matematicamente situações da ciência, da técnica, da economia e da vida cotidiana com os instrumentos do curso (sistemas lineares, programação linear, modelos de crescimento e de decaimento), e comunicar por escrito as formulações, os cálculos e as demonstrações com notação correta, argumentação completa e controle da plausibilidade dos resultados.

Os objetivos 2 a 7 correspondem, no essencial, aos grandes temas do curso; o primeiro e o oitavo, em contrapartida, são transversais: não pertencem a uma unidade, mas exercitam-se em todas. Daí se segue que o seu alcance não pode ser atribuído a uma só aula, e que convém cultivá-los ao longo do curso inteiro. Ora, ambos têm também aulas que os servem de modo principal: o primeiro, a introdução da unidade 1, que mostra por que nenhuma quantidade finita de verificações demonstra uma afirmação sobre todos os naturais, e as cinco sínteses, cujo núcleo reconstrói a cadeia dedutiva de cada unidade; o oitavo, aquelas em que a formulação de um problema é a própria matéria: os sistemas lineares que modelam situações, a programação linear e os modelos de crescimento.

Conteúdos

O curso organiza-se em sete unidades. A primeira e a última enquadram o percurso; as cinco intermédias desenvolvem os conteúdos. Cada uma destas abre-se com uma aula de introdução, que apresenta as suas aulas, o contexto histórico das suas ideias, o problema que lhes deu origem e a sua relevância, e fecha-se com uma aula de síntese, que reconstrói a cadeia dedutiva da unidade, a liga ao resto do curso e propõe dez desafios de dificuldade superior à dos problemas das aulas.

Unidade 0. Apresentação do curso

Consta desta aula, que fixa o propósito, os objetivos globais, os conteúdos, a dedicação e o desenho do curso.

Unidade 1. Os números naturais

O seu objetivo é fixar a linguagem dos conjuntos, das relações e das funções, deduzir dos axiomas de Peano a aritmética dos naturais e dos inteiros, até as congruências, e estabelecer a indução como o instrumento de demonstração do curso.

1. Os números naturais: introdução.
2. Conjuntos, relações e funções.
3. Os números naturais e os axiomas de Peano.
4. Operações básicas com números naturais e relações de ordem.
5. Somatórios, progressões e indução.
6. Divisibilidade e divisão com resto.
7. Números primos e o teorema fundamental da aritmética.
8. Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum.
9. Congruências e aritmética modular.
10. Sistemas de numeração posicional.
11. Combinatória elementar e o binômio de Newton.
12. Os números naturais: síntese e desafios.

Unidade 2. Os conjuntos numéricos

O seu objetivo é ampliar os naturais até os complexos, cada vez para resolver uma equação que não tinha solução, e dominar a ordem, o valor absoluto, as potências e as equações do primeiro grau.

1. Os conjuntos numéricos: introdução.
2. Conjuntos numéricos: dos naturais aos complexos.
3. Os números inteiros: construção, sinais e ordem.
4. Os números racionais: frações e suas operações.
5. A representação decimal dos números racionais.
6. A reta real: ordem, intervalos e valor absoluto.
7. Potências de expoente racional e radicais.
8. Equações e inequações do primeiro grau e sistemas lineares.
9. Os números complexos: operações e equações.
10. Os conjuntos numéricos: síntese e desafios.

Unidade 3. Funções algébricas e polinômios

O seu objetivo é fazer da fatoração o instrumento que decide raízes, sinais, inequações, domínios, assíntotas e gráficos das funções algébricas.

1. Funções algébricas e polinômios: introdução.
2. Funções algébricas de variável real.
3. Operações com funções, inversa e transformações de gráficos.
4. Álgebra dos polinômios reais.
5. Fatoração do polinômio quadrático e do trinômio de grau 2n.
6. Raízes de polinômios de grau superior e divisão sintética.
7. Frações algébricas e frações parciais.
8. Quadros de sinais e inequações.
9. Funções racionais: assíntotas e gráfico.
10. Funções com radicais: domínio, sinais e gráfico.
11. Funções algébricas e polinômios: síntese e desafios.

Unidade 4. Geometria analítica do plano

O seu objetivo é traduzir as propriedades geométricas em equações e as equações em curvas, desde a reta até as cônicas e as regiões da programação linear. As suas análogas no espaço, as superfícies quádricas, não se tratam neste curso nem no curso II, que estuda delas apenas a esfera; na organização atual do site, o seu estudo corresponde a Cálculo III.

1. Geometria analítica do plano: introdução.
2. A equação da reta e os sistemas cartesianos.
3. Vetores no plano e equações paramétricas da reta.
4. A equação da parábola: definições e propriedades.
5. Caracterização das parábolas e seus gráficos.
6. A equação da elipse e da circunferência.
7. A circunferência: tangentes, posições relativas e potência.
8. A equação da hipérbole e sua dedução.
9. Seções cônicas: caracterização e gráfico das três cônicas.
10. Inequações no plano e programação linear.
11. Geometria analítica do plano: síntese e desafios.

Unidade 5. Funções exponencial, logarítmica e hiperbólicas

O seu objetivo é definir as funções que convertem somas em produtos e produtos em somas, deduzir as suas propriedades e empregá-las na modelagem do crescimento.

1. Funções exponencial, logarítmica e hiperbólicas: introdução.
2. A função exponencial e a potência de expoente real.
3. O número e e a exponencial natural.
4. A função logarítmica e suas propriedades.
5. Equações e inequações exponenciais e logarítmicas.
6. Modelos de crescimento e decaimento exponencial.
7. As funções hiperbólicas.
8. Funções exponenciais e hiperbólicas: síntese e desafios.

Unidade 6. Encerramento do curso

Consta da aula Balanço final de Álgebra e Geometria I, que recorda os oito objetivos globais, mostra numa figura em que unidades e aulas se trabalha cada um, reúne por objetivo a primeira tentativa das avaliações de saída e indica para onde continua o estudo.

Dedicação e créditos

A dedicação de um curso não se mede pelas horas de exposição, que num curso assíncrono não existem, mas pelo trabalho total do estudante: ler, acompanhar as demonstrações, resolver problemas e revisar. A estimativa considera o tempo de leitura, de estudo dos problemas resolvidos, de trabalho nos propostos e nos desafios e de resposta às avaliações de unidade, com uma margem para a revisão.

Resultados

As aulas do curso contêm no total $212$ problemas resolvidos, $210$ problemas propostos e $50$ desafios. A dedicação estimada por unidade, arredondada à hora, é a que se segue:

• Unidade 0, apresentação do curso: $1$ hora.
• Unidade 1, os números naturais: $69$ horas.
• Unidade 2, os conjuntos numéricos: $58$ horas.
• Unidade 3, funções algébricas e polinômios: $63$ horas.
• Unidade 4, geometria analítica do plano: $62$ horas.
• Unidade 5, funções exponencial, logarítmica e hiperbólicas: $46$ horas.
• Unidade 6, encerramento do curso: menos de uma hora.

O total é de cerca de $299$ horas de trabalho do estudante. Convém ler esta cifra como o que é: uma estimativa para um estudante que estuda todas as demonstrações e resolve todos os problemas e desafios. Quem já domine parte dos conteúdos, ou se limite aos problemas propostos sem abordar os desafios, empregará bastante menos; quem estude o tema pela primeira vez e sem o hábito de demonstrar pode precisar de mais.

Ora, a cifra de $299$ horas é nominal: é a que fixa os créditos do curso, e supõe uma leitura do texto a ritmo constante e três quartos de hora por desafio. Enquanto não for medida com estudantes reais, convém acompanhá-la de uma faixa realista. Se a leitura avançasse à metade do ritmo suposto, como ocorre quando cada demonstração é reescrita com papel e lápis, e cada desafio exigisse setenta e cinco minutos em vez de quarenta e cinco, a mesma estimativa daria cerca de $370$ horas. Portanto, a dedicação esperável situa-se entre cerca de $300$ e cerca de $370$ horas. O extremo superior é uma cota prudente, não uma medição; a faixa será corrigida quando se conhecer o tempo que empregam os que estudam o curso, e até então os créditos são calculados com a cifra nominal.

Ritmo sugerido

Para nomear os ritmos, este plano e o do curso II usam o mesmo critério: a dedicação integral é a de um ano acadêmico de $60$ créditos, cerca de $1650$ horas repartidas em cerca de quarenta semanas, isto é, cerca de $40$ horas semanais, e a dedicação parcial é a metade, cerca de $20$ horas semanais. Daí se segue um ritmo recomendado de um semestre de dezesseis semanas, com cerca de $18$ ou $19$ horas semanais de estudo, pouco menos que a dedicação parcial; com a faixa realista, de $19$ a $23$ horas semanais, situa-se em torno da dedicação parcial. O semestre posterior pode então ser dedicado ao curso de Álgebra e Geometria II. Como alternativa mais folgada, compatível com outras disciplinas exigentes, o curso pode ser repartido em dois semestres, com cerca de $9$ horas semanais: a primeira metade, unidades 0 a 2, ocupa cerca de $128$ horas, e a segunda, unidades 3 a 6, cerca de $171$, de modo que convém começar o segundo semestre com alguma vantagem.

Créditos

Os créditos deste site medem a dedicação total que um curso exige de quem o estuda (a leitura, os problemas, os desafios e a revisão), e não as horas de aula. Um crédito equivale a cerca de $27{,}5$ horas de trabalho, e um ano de dedicação integral, a $60$ créditos, isto é, a cerca de $1650$ horas; é o mesmo critério com que a subseção anterior nomeia os ritmos de estudo.

Ora, dividindo as $299$ horas estimadas por $27{,}5$, obtém-se 10,9, que se arredonda para $11$. Admitindo-se para o crédito uma faixa de $25$ a $30$ horas de trabalho, o número $C$ de créditos do curso fica compreendido entre 10,0 e 12,0:

Portanto, o curso tem $11$ créditos, pouco mais da sexta parte de um ano de dedicação integral. A dedicação é maior que a de uma disciplina semestral corrente de álgebra, e isso se explica pela exigência de estudar todas as demonstrações e pela construção dos sistemas numéricos, que os planos habituais costumam omitir.

A sua utilidade é prática: permitem comparar entre si a carga dos cursos do site e decidir quantos convém estudar ao mesmo tempo sem ultrapassar o tempo disponível. Quem dispuser, por exemplo, de dedicação parcial durante um semestre de dezesseis semanas, isto é, de cerca de $320$ horas, pode abordar cursos que somem cerca de $12$ créditos; com a dedicação integral do mesmo semestre, cerca de $23$.

Estes créditos são uma medida própria do site para planejar o estudo: não correspondem a nenhum sistema oficial de créditos nem implicam o reconhecimento acadêmico de nenhuma instituição.

Desenho do curso

Modalidade

O curso é assíncrono, on-line e de ritmo autônomo: não tem datas, sessões ao vivo nem prazos, e cada estudante avança à velocidade que lhe permitem a sua preparação e o seu tempo. É oferecido nos catorze idiomas do site, com a mesma matemática em todos: as fórmulas e os passos das demonstrações são idênticos em cada versão, e só se traduz o texto. As aulas declaram que outras aulas convém ter estudado antes, de modo que a ordem recomendada é explícita e pode ser verificada.

A estrutura de uma aula

Todas as aulas temáticas seguem a mesma estrutura. Começam com um resumo e com uma lista de objetivos de aprendizagem próprios, formulados como desempenhos observáveis. Seguem-se a teoria, com as definições, os teoremas enunciados com precisão e as suas demonstrações, e os exemplos. As demonstrações e os exemplos apresentam-se como reprodutores passo a passo: cada passo escreve uma linha do raciocínio, ilumina os termos que intervêm e, quando se apoia num resultado precedente, volta a ele e o ilumina enquanto se lê, de modo que a memória do raciocínio fique à vista; muitos são acompanhados de uma figura que muda a cada passo. Fecham a aula cinco problemas resolvidos (seis em duas aulas da unidade 3), com a sua solução passo a passo, e cinco problemas propostos, cada um com uma dica recolhida e, depois, a resposta final, para que o estudante verifique o seu resultado sem que se lhe revele o caminho; os propostos de demonstração acrescentam, recolhida depois da resposta, uma solução desenvolvida, que convém abrir só depois de ter redigido a própria.

As aulas de introdução e de síntese têm uma estrutura própria. A introdução apresenta a unidade, a sua história, o problema que lhe deu origem e a sua relevância; a síntese reconstrói a cadeia dedutiva da unidade, a liga às unidades precedentes e às posteriores, e propõe dez desafios, cada um com dica, resposta final e uma solução desenvolvida recolhida, que combinam várias aulas e exigem mais invenção que os problemas propostos.

O leitor de voz

Cada aula pode ser escutada em voz alta com o leitor do site, que usa as vozes do próprio dispositivo: o texto é lido tal como está escrito e as fórmulas são pronunciadas em palavras. Isto permite revisar uma aula longe da tela, acompanhar uma demonstração escutando-a enquanto se olha o reprodutor passo a passo, e estudar com limitações visuais.

Avaliação

O curso não atribui notas: a sua avaliação é formativa e apoia-se na autoavaliação. Os problemas propostos permitem verificar o alcance dos objetivos de cada aula, e os desafios, o dos objetivos de cada unidade.

A isso acrescentam-se as avaliações de unidade. A de entrada, no início da introdução, é uma autoavaliação breve, de dez perguntas sobre a unidade, às quais a partir da unidade 2 se somam três sobre o que a unidade dá por sabido das precedentes, e mede o ponto de partida; a de saída, na síntese e antes dos desafios, tem doze perguntas, mede o que foi alcançado e compara-se com a de entrada. Ambas se corrigem no próprio navegador: cada resposta recebe uma explicação, cada erro típico, uma observação que o identifica, e cada pergunta remete à aula que convém revisar. Nenhuma delas atribui notas nem certifica, e os seus resultados guardam-se apenas no navegador do estudante; a validação das habilidades adquiridas será feita mais adiante noutra plataforma. As cinco unidades incluem ambas as avaliações, e o balanço final reúne a primeira tentativa de cada avaliação de saída num perfil por objetivo global.

Para os objetivos globais, sugerem-se as evidências de alcance que se seguem:

• Objetivo 1: redigir, sem consultar a aula, a demonstração de um teorema do curso, como a infinitude dos primos ou a unicidade da divisão com resto, e a de um desafio que requeira indução.
• Objetivo 2: explicar por escrito que equação motiva cada ampliação dos naturais aos complexos, e demonstrar que a soma dos inteiros, definida mediante classes de pares de naturais, está bem definida.
• Objetivo 3: resolver uma equação diofantina linear com restrições, e calcular com congruências o resto de uma potência grande.
• Objetivo 4: resolver uma inequação racional ou com radicais e valor absoluto, justificando cada equivalência e verificando a solução.
• Objetivo 5: estudar por completo uma função racional ou com radicais e traçar o seu gráfico sem instrumentos de cálculo, e verificá-lo depois com um.
• Objetivo 6: identificar a cônica que define uma equação do segundo grau sem termo em $xy$, com todos os seus elementos, e descrever mediante inequações uma região limitada por retas e cônicas.
• Objetivo 7: resolver uma equação logarítmica com verificação do domínio, e demonstrar uma identidade hiperbólica a partir das definições.
• Objetivo 8: formular e resolver um problema de programação linear ou ajustar um modelo exponencial a uns dados, e escrever a solução completa, com formulação, desenvolvimento, resposta e controle de plausibilidade, de modo que outra pessoa possa acompanhá-la sem explicações adicionais.

Como estudar este curso

O curso está pensado para ser estudado em ordem. Cada unidade supõe as precedentes, e muitas demonstrações citam resultados de aulas prévias; saltar uma aula obriga, mais cedo ou mais tarde, a voltar a ela.

Cada unidade tem dois pontos de controle. A avaliação de entrada, no início da introdução, é o ponto de partida: convém respondê-la antes de estudar a unidade, sem consultar nada, e anotar as aulas a que remetem os erros, que são as que pedem mais cuidado. A avaliação de saída, na síntese e antes dos desafios, é o contraste: responde-se ao terminar as aulas, também sem consultar, e compara-se com a de entrada para ver o que mudou e que aulas convém revisar. Em ambas conta a primeira tentativa, que é a que se compara e a que reúne o perfil do balanço final; as demais já se fazem com a retroalimentação vista. Os desafios completam a verificação, porque exigem combinar e redigir o que as perguntas breves só tocam. Daí se segue que quem crê dominar já uma unidade não deve decidi-lo por uma só prova: se a sua avaliação de saída é sólida e resolve os desafios da síntese, pode passar à unidade posterior; se não, convém percorrer as aulas que uma e outros assinalem.

Em cada aula, convém ler primeiro o resumo e os objetivos, que dizem o que se busca; estudar depois a teoria com papel e lápis, tentando antecipar cada passo das demonstrações antes que o reprodutor o escreva; tentar os problemas resolvidos antes de olhar a sua solução, e resolver os propostos sem ajuda, abrindo a dica só quando a tentativa se tiver esgotado, e a resposta só no final, para verificar. Um problema cuja resposta se consultou antes de tentá-lo não foi resolvido, mas lido.

Os desafios são mais difíceis que os problemas das aulas, e é normal que alguns requeiram várias tentativas em dias distintos. Não convém deter-se indefinidamente num: anotá-lo, continuar avançando e voltar a ele mais tarde é, com frequência, o caminho mais curto. Ora, a dedicação estimada supõe que todos se tentam com seriedade, e nesse esforço joga-se boa parte do que o curso pode ensinar.

Por último, convém escrever. Redigir uma demonstração ou uma solução completa, com as suas premissas e as suas conclusões, é a única maneira de saber se se compreendeu, e é também o oitavo dos objetivos do curso. Um caderno de estudo, no qual se reescrevam com palavras próprias as definições e os teoremas de cada unidade, é o melhor material de revisão que o curso pode deixar.