Os números naturais: introdução

Avaliação de entrada

Antes de percorrer a unidade, convém medir o ponto de partida. Esta avaliação é uma autoavaliação: não recebe nota, e seu único propósito é orientar o estudo. Suas dez perguntas tratam, uma a uma e em ordem, das dez aulas da unidade; a quarta pede, além disso, que se formule como uma soma um problema descrito com palavras. As mesmas habilidades voltam a ser medidas no final, na aula de síntese; como esta é a primeira unidade do curso, não há perguntas sobre unidades anteriores. Uma pergunta que não se consegue resolver indica a aula em que convém deter-se.

Os conteúdos da unidade

No plano de estudos advertiu-se que o curso constrói seus objetos em vez de supô-los conhecidos. Esta primeira unidade é o alicerce dessa construção: parte de uns poucos axiomas sobre os números com que se conta e deduz deles a aritmética inteira dos naturais. O pouco que admite além disso é declarado expressamente em seu lugar: as regras da teoria ingênua dos conjuntos e da negação dos quantificadores; a existência das funções definidas por recursão, que o teorema da recursão de Dedekind garante; a unicidade do número de elementos de um conjunto finito, e a finitude de seus subconjuntos, em que se apoia a contagem; a comutatividade generalizada dos produtos finitos; e as regras elementares dos inteiros, dos racionais e dos reais, que alguns exemplos e problemas antecipam e que a unidade seguinte constrói. Suas dez aulas formam uma cadeia em que cada elo se apoia nos anteriores.

1. Conjuntos, relações e funções. Fixa a linguagem em que se escreve todo o curso: os conjuntos e suas operações, as relações, em particular as de equivalência e de ordem, e as funções. As relações de equivalência reaparecerão na unidade seguinte, onde os inteiros e os racionais se constroem como classes de pares.
2. Os números naturais e os axiomas de Peano. Define os naturais por meio do $1$, da operação sucessor e de cinco axiomas, o último dos quais é o princípio de indução. Tudo o que vem depois na unidade é consequência desses axiomas e do pouco que se admite expressamente.
3. Operações básicas com números naturais e relações de ordem. Enuncia o teorema da recursão, define com ele a soma, o produto e a potência, demonstra por indução suas propriedades e funda a ordem na soma. Mostra que a subtração e a divisão nem sempre existem entre naturais, o que anuncia a unidade seguinte.
4. Somatórios, progressões e indução. Introduz a notação de somatório, as somas telescópicas e as progressões, e demonstra que a indução ordinária implica a indução forte e o princípio da boa ordenação, e em que sentido estes lhe são equivalentes. O princípio da boa ordenação será o instrumento de quase todas as demonstrações de existência da unidade.
5. Divisibilidade e divisão com resto. Demonstra, com a boa ordenação, que todo inteiro admite um quociente e um resto únicos, e com isso classifica os inteiros segundo seu resto e justifica os critérios de divisibilidade.
6. Números primos e o teorema fundamental da aritmética. Prova que os primos são infinitos e que todo natural maior que $1$ se decompõe em primos de uma única maneira, e disso deduz, entre outras coisas, que a raiz quadrada de um natural que não é quadrado perfeito é irracional.
7. Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum. Apresenta o algoritmo de Euclides, que calcula o máximo divisor comum sem fatorar, deduz dele a identidade de Bézout e resolve por completo as equações diofantinas lineares.
8. Congruências e aritmética modular. Converte a divisão com resto em um cálculo: dois inteiros são congruentes módulo $n$ quando deixam o mesmo resto, e a congruência respeita a soma e o produto, de modo que muitos problemas de divisibilidade se resolvem operando apenas com os restos.
9. Sistemas de numeração posicional. Demonstra que todo natural se escreve de uma única maneira em qualquer base, explica por que os procedimentos escolares de cálculo são corretos e por que os computadores trabalham na base $2$.
10. Combinatória elementar e o binômio de Newton. Define o número de elementos de um conjunto finito, demonstra os princípios aditivo e multiplicativo, ensina com eles a contar sem enumerar, define os coeficientes binomiais e demonstra o binômio de Newton, que reúne a indução, os somatórios e a contagem.

A unidade termina com a aula de síntese e desafios, que reúne o que foi alcançado, repete em sua avaliação de saída as habilidades da avaliação de entrada e propõe problemas de maior dificuldade que combinam várias aulas.

O contexto histórico

Contar é anterior a escrever. Ossos com séries de entalhes, como o de Ishango, encontrado no Congo e com uma antiguidade estimada em uns vinte mil anos, são interpretados com frequência como registros de quantidades. As primeiras civilizações urbanas precisaram contar rebanhos, medir campos e repartir colheitas, e com isso desenvolveram sistemas de numeração: há uns quatro mil anos, os escribas da Mesopotâmia já usavam uma numeração posicional de base $60$, cuja marca perdura na medida do tempo e dos ângulos.

Na Grécia, a partir do século VI antes da nossa era, os pitagóricos estudaram os números por si mesmos e não só como instrumentos de cálculo. Classificaram os números figurados, como os triangulares $1$, $3$, $6$, $10$, que são as somas $1 + 2 + \cdots + n$, e distinguiram os pares dos ímpares. Por volta do ano 300 antes da nossa era, Euclides reuniu nos livros VII a IX dos Elementos a aritmética de seu tempo, ordenada dedutivamente: o algoritmo que leva seu nome, o lema segundo o qual um primo que divide um produto divide um de seus fatores, a demonstração de que os primos são infinitos e a construção dos números perfeitos pares. No século III antes da nossa era, Eratóstenes de Cirene concebeu seu crivo dos primos, e provavelmente no século III da nossa era, Diofanto de Alexandria estudou em sua Aritmética equações cujas soluções deviam ser números inteiros ou racionais.

A numeração decimal com o zero como algarismo formou-se na Índia, foi exposta no século IX por al-Khwarizmi e chegou à Europa, entre outras vias, pelo Liber Abaci de Fibonacci, em 1202. O triângulo dos coeficientes binomiais era conhecido na Índia, na Pérsia e na China séculos antes de Pascal lhe dedicar, em meados do século XVII, o tratado que lhe deu seu nome no Ocidente. Ora, o raciocínio por indução como método explícito de demonstração é tardio: Francesco Maurolico empregou-o numa obra publicada em 1575 para provar que a soma dos primeiros ímpares é um quadrado, e Pascal formulou-o com clareza em seu tratado do triângulo aritmético. No mesmo século, Fermat concebeu o método da descida infinita, uma forma do princípio da boa ordenação, e por volta de 1665 Newton estendeu o binômio de Newton a expoentes fracionários e negativos. Em 1801 Gauss publicou suas Disquisitiones Arithmeticae, com as quais a aritmética se converteu numa teoria sistemática, e nelas se encontra a primeira demonstração explícita da unicidade da fatoração em primos.

Durante o século XIX, a análise matemática foi reconstruída sobre bases aritméticas: os números reais foram definidos a partir dos racionais, como fez Dedekind em 1872 com seus cortes, os racionais a partir dos inteiros, e os inteiros a partir dos naturais. Se é assim, toda a construção repousava nos naturais, e restava responder o que são estes e de que princípios se deduz sua aritmética. Em 1861 Hermann Grassmann havia mostrado que a soma e o produto podem ser definidos recursivamente a partir do sucessor, e que suas propriedades se demonstram por indução. Em 1888 Richard Dedekind publicou seu ensaio O que são e para que servem os números?, que caracteriza os naturais pelo sucessor e pela indução, e em 1889 Giuseppe Peano publicou, em latim, seus Arithmetices principia, nova methodo exposita, com a lista de axiomas que este curso adota e que, como lá, começa no $1$.

O problema que deu origem à teoria

Os naturais são infinitos, e quase tudo o que interessa afirmar deles é uma afirmação sobre todos ao mesmo tempo: que a soma é comutativa, que todo natural maior que $1$ se decompõe em primos, que a soma dos $n$ primeiros ímpares é $n^2$. Nenhuma afirmação desse tipo pode ser verificada examinando os casos um por um, porque nunca se terminaria; e, o que é mais grave, a verificação de muitos casos, por numerosos que sejam, não permite concluir nada sobre os restantes. O problema é, portanto, o seguinte: dada uma propriedade $P$ dos naturais, com que princípios se pode demonstrar que todo natural a cumpre?

O exemplo seguinte mostra até que ponto as verificações podem enganar.

A resposta que Dedekind e Peano deram consiste em declarar, como axioma, o princípio que permite passar do finito ao infinito: se uma propriedade vale para $1$ e se transmite de cada natural a seu sucessor, vale para todos. Daí decorre um programa preciso, que é o desta unidade: definir as operações de modo que cada caso se reduza ao anterior, e demonstrar por indução, ou por algum dos princípios equivalentes, cada uma de suas propriedades. Ora, o problema tem uma segunda face, que percorre toda a unidade: a das operações inversas. A subtração e a divisão nem sempre são possíveis entre naturais, e a pergunta sobre quando o são conduz à divisibilidade, aos primos e ao máximo divisor comum; a pergunta sobre como remediá-lo conduz à unidade seguinte, que amplia os naturais até os complexos.

A relevância dos números naturais

Dentro deste curso, os resultados da unidade reaparecem a todo momento. A aula sobre os números inteiros os constrói como pares de naturais, e a dos racionais, como pares de inteiros; a divisão de polinômios da aula sobre as raízes de polinômios de grau superior imita a divisão com resto, e a regra de Horner procede da notação posicional. A cota do binômio para $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ prepara a aula sobre o número $e$. A continuação deste curso, Álgebra e Geometria II, continua a usá-los: em sua unidade sobre os números complexos na forma polar, a fórmula de De Moivre é demonstrada por indução, e em sua unidade sobre as matrizes e as estruturas algébricas, a aula sobre as estruturas algébricas converte os restos da divisão por $n$ em um anel, que é um corpo exatamente quando $n$ é primo.

Fora deste curso, as sequências e as somas de Cálculo I são estudadas com a notação de somatório e com a indução, e a derivada de uma potência é obtida com o binômio de Newton. Em Fundamentos de Mecânica, a lei que Galileu publicou em 1638, segundo a qual um corpo que cai a partir do repouso percorre, em intervalos de tempo iguais, distâncias proporcionais aos ímpares sucessivos $1, 3, 5, 7, \ldots$, converte-se, pela soma dos primeiros ímpares, na proporcionalidade entre a distância percorrida e o quadrado do tempo. Os juros simples e os juros compostos de Matemática Financeira são progressões aritméticas e geométricas; os programas de Programação em C++ I representam os números na base $2$, calculam restos e aplicam o algoritmo de Euclides, e sua recursão é a mesma ideia que as definições recursivas da soma e do produto. O curso de Lógica Matemática I: Lógica Proposicional estuda as regras de dedução que as demonstrações da unidade empregam.

Na ciência e na técnica, a base $2$ é a linguagem de todo computador, e a aritmética dos restos sustenta os dígitos verificadores com que se detectam erros ao copiar números de documentos, contas ou livros. O sistema criptográfico publicado em 1977 por Rivest, Shamir e Adleman, no qual repousa boa parte da segurança das comunicações, funda-se num contraste que esta unidade permite compreender: o algoritmo de Euclides calcula com rapidez o máximo divisor comum de números de centenas de algarismos, enquanto não se conhece nenhum procedimento rápido para fatorá-los. A combinatória, por fim, é o fundamento do cálculo de probabilidades e, com ele, da estatística e de boa parte da física e da biologia.