Los números naturales: introducción

Evaluación de entrada

Antes de recorrer la unidad conviene medir el punto de partida. Esta evaluación es una autoevaluación: no se califica, y su único propósito es orientar el estudio. Sus diez preguntas tocan, una a una y en orden, las diez clases de la unidad; la cuarta pide, además, plantear como una suma un problema descrito con palabras. Las mismas destrezas se vuelven a medir al final, en la clase de síntesis; como esta es la primera unidad del curso, no hay preguntas sobre unidades anteriores. Una pregunta que no se resuelve señala la clase en que conviene detenerse.

Los contenidos de la unidad

En el plan de estudios se advirtió que el curso construye sus objetos en lugar de suponerlos conocidos. Esta primera unidad es el cimiento de esa construcción: parte de unos pocos axiomas sobre los números con que se cuenta y deduce de ellos la aritmética entera de los naturales. Lo poco que admite además se declara expresamente en su lugar: las reglas de la teoría intuitiva de conjuntos y de la negación de los cuantificadores; la existencia de las funciones definidas por recursión, que garantiza el teorema de recursión de Dedekind; la unicidad del número de elementos de un conjunto finito, y la finitud de sus subconjuntos, en que descansa el conteo; la conmutatividad generalizada de los productos finitos; y las reglas elementales de los enteros, los racionales y los reales, que algunos ejemplos y problemas anticipan y que la unidad siguiente construye. Sus diez clases forman una cadena en la que cada eslabón se apoya en los anteriores.

1. Conjuntos, relaciones y funciones. Fija el lenguaje en que se escribe todo el curso: los conjuntos y sus operaciones, las relaciones, en particular las de equivalencia y de orden, y las funciones. Las relaciones de equivalencia reaparecerán en la unidad siguiente, donde los enteros y los racionales se construyen como clases de pares.
2. Los números naturales y los axiomas de Peano. Define los naturales mediante el $1$, la operación sucesor y cinco axiomas, el último de los cuales es el principio de inducción. Todo lo que sigue en la unidad es consecuencia de estos axiomas y de lo poco que se admite expresamente.
3. Las operaciones básicas y las relaciones de orden. Enuncia el teorema de recursión, define con él la suma, el producto y la potencia, demuestra por inducción sus propiedades y funda el orden en la suma. Muestra que la resta y la división no siempre existen entre naturales, lo que anuncia la unidad siguiente.
4. Sumatorias, progresiones e inducción. Introduce la notación de sumatoria, las sumas telescópicas y las progresiones, y demuestra que la inducción ordinaria implica la inducción fuerte y el principio del buen orden, y en qué sentido estos equivalen a ella. Este último será el instrumento de casi todas las demostraciones de existencia de la unidad.
5. Divisibilidad y división con resto. Demuestra, con el buen orden, que todo entero admite un cociente y un resto únicos, y con ello clasifica los enteros según su resto y justifica los criterios de divisibilidad.
6. Los números primos y el teorema fundamental de la aritmética. Prueba que los primos son infinitos y que todo natural mayor que $1$ se descompone en primos de una única manera, y de ello deduce, entre otras cosas, que la raíz cuadrada de un natural que no es cuadrado perfecto es irracional.
7. El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Presenta el algoritmo de Euclides, que calcula el máximo común divisor sin factorizar, deduce de él la identidad de Bézout y resuelve por completo las ecuaciones diofánticas lineales.
8. Las congruencias y la aritmética modular. Convierte la división con resto en un cálculo: dos enteros son congruentes módulo $n$ cuando dejan el mismo resto, y la congruencia respeta la suma y el producto, de modo que muchos problemas de divisibilidad se resuelven operando solo con los restos.
9. Los sistemas de numeración posicional. Demuestra que todo natural se escribe de una única manera en cualquier base, explica por qué los procedimientos escolares de cálculo son correctos y por qué los computadores trabajan en base $2$.
10. La combinatoria y el binomio de Newton. Define el número de elementos de un conjunto finito, demuestra los principios aditivo y multiplicativo, enseña con ellos a contar sin enumerar, define los coeficientes binomiales y demuestra el teorema del binomio, que reúne la inducción, las sumatorias y el conteo.

La unidad termina con la clase de síntesis y desafíos, que reúne lo logrado, repite en su evaluación de salida las destrezas de la evaluación de entrada y propone problemas de mayor dificultad que combinan varias clases.

El trasfondo histórico

Contar es anterior a escribir. Huesos con series de muescas, como el de Ishango, hallado en el Congo y con una antigüedad estimada en unos veinte mil años, se interpretan a menudo como registros de cantidades. Las primeras civilizaciones urbanas necesitaron contar rebaños, medir campos y repartir cosechas, y con ello desarrollaron sistemas de numeración: hace unos cuatro mil años los escribas de Mesopotamia usaban ya una numeración posicional de base $60$, cuya huella perdura en la medida del tiempo y de los ángulos.

En Grecia, a partir del siglo VI antes de nuestra era, los pitagóricos estudiaron los números por sí mismos y no solo como instrumentos de cálculo. Clasificaron los números figurados, como los triangulares $1$, $3$, $6$, $10$, que son las sumas $1 + 2 + \cdots + n$, y distinguieron los pares de los impares. Hacia el año 300 antes de nuestra era, Euclides reunió en los libros VII a IX de los Elementos la aritmética de su tiempo, ordenada deductivamente: el algoritmo que lleva su nombre, el lema según el cual un primo que divide a un producto divide a uno de sus factores, la demostración de que los primos son infinitos y la construcción de los números perfectos pares. En el siglo III antes de nuestra era, Eratóstenes de Cirene ideó su criba de los primos, y probablemente en el siglo III de nuestra era, Diofanto de Alejandría estudió en su Aritmética ecuaciones cuyas soluciones debían ser números enteros o racionales.

La numeración decimal con el cero como cifra se formó en la India, fue expuesta en el siglo IX por al-Juarismi y llegó a Europa, entre otras vías, por el Liber Abaci de Fibonacci, en 1202. El triángulo de los coeficientes binomiales se conocía en la India, en Persia y en China siglos antes de que Pascal le dedicara, a mediados del siglo XVII, el tratado que le dio su nombre en Occidente. Ahora bien, el razonamiento por inducción como método explícito de demostración es tardío: Francesco Maurolico lo empleó en una obra publicada en 1575 para probar que la suma de los primeros impares es un cuadrado, y Pascal lo formuló con claridad en su tratado del triángulo aritmético. En el mismo siglo, Fermat ideó el método del descenso infinito, una forma del principio del buen orden, y hacia 1665 Newton extendió el teorema del binomio a exponentes fraccionarios y negativos. En 1801 Gauss publicó sus Disquisitiones Arithmeticae, con las que la aritmética se convirtió en una teoría sistemática, y en ellas se encuentra la primera demostración explícita de la unicidad de la factorización en primos.

Durante el siglo XIX, el análisis matemático se reconstruyó sobre bases aritméticas: los números reales se definieron a partir de los racionales, como hizo Dedekind en 1872 con sus cortaduras, los racionales a partir de los enteros, y los enteros a partir de los naturales. Si esto es así, toda la construcción descansaba en los naturales, y quedaba por responder qué son estos y de qué principios se deduce su aritmética. En 1861 Hermann Grassmann había mostrado que la suma y el producto pueden definirse recursivamente a partir del sucesor, y que sus propiedades se demuestran por inducción. En 1888 Richard Dedekind publicó su ensayo ¿Qué son y para qué sirven los números?, que caracteriza los naturales por el sucesor y la inducción, y en 1889 Giuseppe Peano publicó, en latín, sus Arithmetices principia, nova methodo exposita, con la lista de axiomas que este curso adopta, y que como allí comienza en el $1$.

El problema que dio origen a la teoría

Los naturales son infinitos, y casi todo lo que interesa afirmar de ellos es una afirmación sobre todos a la vez: que la suma es conmutativa, que todo natural mayor que $1$ se descompone en primos, que la suma de los $n$ primeros impares es $n^2$. Ninguna afirmación de esta clase puede comprobarse examinando los casos uno por uno, porque nunca se terminaría; y, lo que es más grave, la comprobación de muchos casos, por numerosos que sean, no permite concluir nada sobre los restantes. El problema es, por tanto, el siguiente: dada una propiedad $P$ de los naturales, ¿con qué principios puede demostrarse que todo natural la cumple?

El ejemplo siguiente muestra hasta qué punto las comprobaciones pueden engañar.

La respuesta que dieron Dedekind y Peano consiste en declarar, como axioma, el principio que permite pasar de lo finito a lo infinito: si una propiedad vale para $1$ y se transmite de cada natural a su sucesor, vale para todos. De ello se sigue un programa preciso, que es el de esta unidad: definir las operaciones de manera que cada caso se reduzca al anterior, y demostrar por inducción, o por alguno de los principios equivalentes, cada una de sus propiedades. Ahora bien, el problema tiene una segunda cara, que recorre toda la unidad: la de las operaciones inversas. La resta y la división no siempre son posibles entre naturales, y la pregunta por cuándo lo son conduce a la divisibilidad, a los primos y al máximo común divisor; la pregunta por cómo remediarlo conduce a la unidad siguiente, que amplía los naturales hasta los complejos.

La relevancia de los números naturales

Dentro de este curso, los resultados de la unidad reaparecen a cada paso. La clase sobre los números enteros los construye como pares de naturales, y la de los racionales, como pares de enteros; la división de polinomios de la clase sobre las raíces de polinomios de grado superior imita la división con resto, y la regla de Horner procede de la notación posicional. La cota del binomio para $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ prepara la clase sobre el número $e$. La continuación de este curso, Álgebra y Geometría II, sigue usándolos: en su unidad sobre los números complejos en forma polar, la fórmula de De Moivre se demuestra por inducción, y en su unidad sobre las matrices y las estructuras algebraicas, la clase sobre las estructuras algebraicas convierte los restos de la división entre $n$ en un anillo, que es un cuerpo exactamente cuando $n$ es primo.

Fuera de este curso, las sucesiones y las sumas de Cálculo I se estudian con la notación de sumatoria y con la inducción, y la derivada de una potencia se obtiene con el binomio de Newton. En Fundamentos de Mecánica, la ley que Galileo publicó en 1638, según la cual un cuerpo que cae desde el reposo recorre en intervalos de tiempo iguales distancias proporcionales a los impares sucesivos $1, 3, 5, 7, \ldots$, se convierte, por la suma de los primeros impares, en la proporcionalidad entre la distancia recorrida y el cuadrado del tiempo. El interés simple y el interés compuesto de Matemáticas Financieras son progresiones aritméticas y geométricas; los programas de Programación en C++ I representan los números en base $2$, calculan restos y aplican el algoritmo de Euclides, y su recursión es la misma idea que las definiciones recursivas de la suma y del producto. El curso de Lógica Matemática I: Lógica Proposicional estudia las reglas de deducción que las demostraciones de la unidad emplean.

En la ciencia y la técnica, la base $2$ es el lenguaje de todo computador, y la aritmética de los restos sostiene los dígitos verificadores con que se detectan errores al copiar números de documentos, cuentas o libros. El sistema criptográfico publicado en 1977 por Rivest, Shamir y Adleman, en el que descansa buena parte de la seguridad de las comunicaciones, se funda en un contraste que esta unidad permite comprender: el algoritmo de Euclides calcula con rapidez el máximo común divisor de números de cientos de cifras, mientras que no se conoce ningún procedimiento rápido para factorizarlos. La combinatoria, por último, es el fundamento del cálculo de probabilidades, y con él de la estadística y de buena parte de la física y de la biología.