자연수: 도입 · Topos Uranos

요약

이 수업은 자연수를 다루는 단원을 연다. 단원의 열 수업과 그것들을 잇는 연역의 실마리를 집합의 언어와 페아노 공리에서 이항정리까지 소개하고, 선사 시대의 셈과 유클리드의 산술에서 19세기 말 데데킨트와 페아노의 공리화에 이르기까지 이 생각들의 역사를 살피며, 그것들을 낳은 문제, 곧 무한히 많은 수에 대한 주장을 하나하나 조사하지 않고 증명하는 문제를 정확히 정식화하고, 그것들이 이 강좌, 사이트의 다른 강좌, 그리고 과학과 기술의 어디에서 다시 쓰이는지를 보인다.

학습 목표

단원의 내용 순서를 기술하고, 각 수업이 다음 수업에 무엇을 보태는지 설명한다.
자연수 산술의 주요 결과와 그 저자들을 역사적 맥락 속에 놓는다.
한 가지 예를 사용하여, 왜 유한 번의 확인으로는 모든 자연수에 대한 주장을 증명할 수 없는지, 그리고 수학적 귀납법의 원리가 어떤 역할을 하는지 설명한다.
강좌의 다른 주제와 다른 학문에서 단원이 구축하는 도구를 알아본다.

입문 평가

단원을 공부하기 전에 출발점을 재어 보는 것이 좋다. 이 평가는 자기 평가이다. 점수를 매기지 않으며, 공부의 방향을 잡는 것만이 목적이다. 열 문항은 하나씩 차례로 단원의 열 수업을 다룬다. 넷째 문항은 그 밖에도 말로 기술된 문제를 합으로 세우기를 요구한다. 같은 기능은 마지막 종합 수업에서 다시 잰다. 이것은 강좌의 첫 단원이므로 앞 단원에 대한 문항은 없다. 풀리지 않는 문항은 머물러 공부하면 좋을 수업을 가리킨다.

단원의 내용

학습 계획에서 이 강좌는 대상을 이미 알려진 것으로 가정하는 대신 구성한다고 밝혔다. 이 첫 단원은 그 구성의 토대이다. 셈에 쓰이는 수에 관한 몇 개의 공리에서 출발하여, 그로부터 자연수의 산술 전체를 연역한다. 그 밖에 받아들이는 얼마 안 되는 것은 해당하는 곳에서 명시적으로 밝힌다. 소박한 집합론의 규칙과 양화사의 부정의 규칙, 재귀로 정의되는 함수의 존재(데데킨트의 재귀 정리가 이를 보장한다), 유한집합의 원소의 개수의 유일성과 그 부분집합의 유한성(셈은 이에 기댄다), 유한 개의 곱에 대한 일반화된 교환법칙, 그리고 정수, 유리수, 실수의 기본 규칙(몇몇 예와 문제가 이를 앞당겨 쓰며, 다음 단원이 이를 구성한다)이 그것이다. 단원의 열 수업은 사슬을 이루며, 그 안에서 각 고리는 앞의 고리들에 기댄다.

집합, 관계, 함수. 강좌 전체를 쓰는 언어를 정한다. 집합과 그 연산, 관계, 특히 동치 관계와 순서 관계, 그리고 함수이다. 동치 관계는 다음 단원에서 다시 나타나는데, 거기서 정수와 유리수는 쌍들의 동치류로 구성된다.
자연수와 페아노 공리. $1$ , 후자 연산, 다섯 개의 공리로 자연수를 정의하며, 그 가운데 마지막 공리가 수학적 귀납법의 원리이다. 단원에서 이어지는 모든 것은 이 공리들과 명시적으로 받아들이는 얼마 안 되는 것의 귀결이다.
기본 연산과 순서 관계. 재귀 정리를 진술하고, 그것으로 덧셈, 곱셈, 거듭제곱을 정의하며, 그 성질들을 귀납법으로 증명하고, 순서를 덧셈 위에 세운다. 자연수 사이에서 뺄셈과 나눗셈이 늘 가능하지는 않음을 보이며, 이것이 다음 단원을 예고한다.
합, 수열, 귀납법. 합의 기호, 망원 합, 등차수열과 등비수열을 도입하고, 보통의 귀납법이 강한 귀납법과 정렬성 원리를 함의함을, 그리고 어떤 의미에서 이것들이 보통의 귀납법과 동치인지를 증명한다. 그 가운데 뒤의 것인 정렬성 원리가 단원의 거의 모든 존재 증명의 도구가 될 것이다.
나누어떨어짐과 나머지가 있는 나눗셈. 정렬성 원리로 모든 정수가 유일한 몫과 나머지를 가짐을 증명하고, 이로써 정수를 나머지에 따라 분류하며 배수 판정법을 정당화한다.
소수와 산술의 기본 정리. 소수가 무한히 많음과 $1$ 보다 큰 모든 자연수가 오직 한 가지 방식으로 소수들로 분해됨을 증명하고, 이로부터 무엇보다도 완전제곱수가 아닌 자연수의 제곱근은 무리수임을 이끌어 낸다.
최대공약수와 최소공배수. 소인수분해 없이 최대공약수를 계산하는 유클리드 호제법을 소개하고, 그로부터 베주 항등식을 이끌어 내며, 일차 디오판토스 방정식을 완전히 푼다.
합동식과 모듈러 산술. 나머지가 있는 나눗셈을 계산으로 바꾼다. 두 정수는 같은 나머지를 남길 때 법 $n$ 에 대하여 합동이며, 합동은 덧셈과 곱셈을 보존하므로, 나누어떨어짐에 관한 많은 문제가 나머지만으로 계산하여 풀린다.
위치적 기수법. 모든 자연수가 어떤 밑에서든 오직 한 가지 방식으로 쓰인다는 것을 증명하고, 학교에서 배우는 계산 절차가 왜 옳은지, 그리고 컴퓨터가 왜 $2$ 진법으로 작동하는지 설명한다.
조합론과 이항정리. 유한집합의 원소의 개수를 정의하고, 합의 법칙과 곱의 법칙을 증명하며, 그것들로 나열하지 않고 세는 법을 가르치고, 이항계수를 정의하고, 귀납법, 합, 셈을 한데 모으는 이항정리를 증명한다.

단원은 종합과 도전 과제 수업으로 끝난다. 이 수업은 이룬 것을 모으고, 마무리 평가에서 입문 평가의 기능을 다시 재며, 여러 수업을 결합하는 더 어려운 문제를 낸다.

역사적 배경

셈은 글쓰기보다 앞선다. 일련의 눈금이 새겨진 뼈들, 예컨대 콩고에서 발견되었고 약 이만 년 전의 것으로 추정되는 이샹고 뼈는 흔히 양의 기록으로 해석된다. 최초의 도시 문명은 가축 떼를 세고, 밭을 재고, 수확을 나눌 필요가 있었고, 그 과정에서 기수법을 발전시켰다. 약 사천 년 전에 메소포타미아의 서기들은 이미 $60$ 을 밑으로 하는 위치 기수법을 쓰고 있었으며, 그 흔적은 시간과 각도의 측정에 지금도 남아 있다.

그리스에서는 기원전 6세기부터 피타고라스학파가 수를 계산의 도구로서만이 아니라 그 자체로 연구했다. 그들은 도형수를 분류했는데, 예를 들어 삼각수 $1$ , $3$ , $6$ , $10$ 은 합 $1 + 2 + \cdots + n$ 이며, 또 짝수와 홀수를 구별했다. 기원전 300년 무렵 유클리드는 『원론』 제VII권에서 제IX권에 걸쳐 당대의 산술을 연역적으로 정리하여 모았다. 그의 이름이 붙은 호제법, 소수가 곱의 약수이면 그 인수 가운데 하나의 약수라는 보조정리, 소수가 무한히 많다는 증명, 짝수인 완전수의 구성이 그것이다. 기원전 3세기에는 키레네의 에라토스테네스가 소수의 체를 고안했고, 아마도 기원후 3세기에 알렉산드리아의 디오판토스가 『산술』에서 해가 정수나 유리수여야 하는 방정식을 연구했다.

영을 하나의 숫자로 쓰는 십진 기수법은 인도에서 형성되어, 9세기에 알콰리즈미가 해설했고, 여러 경로를 거쳐 유럽에 전해졌는데, 그 가운데 하나가 1202년 피보나치의 『Liber Abaci』이다. 이항계수의 삼각형은, 17세기 중엽 파스칼이 그것에 논문을 바쳐 서양에서 그의 이름으로 불리게 되기 몇 세기 전에 이미 인도, 페르시아, 중국에 알려져 있었다. 그런데 명시적인 증명 방법으로서의 귀납적 추론은 늦게 나타난다. 프란체스코 마우롤리코는 1575년에 출간된 저작에서 처음 몇 개의 홀수의 합이 제곱수임을 보이기 위해 그것을 사용했고, 파스칼은 산술 삼각형에 관한 논문에서 그것을 명확하게 정식화했다. 같은 세기에 페르마는 정렬성 원리의 한 형태인 무한 강하법을 고안했고, 1665년 무렵 뉴턴은 이항정리를 분수 지수와 음의 지수로 확장했다. 1801년에 가우스는 『Disquisitiones Arithmeticae』를 출간했는데, 이로써 산술은 체계적인 이론이 되었으며, 그 안에 소인수분해의 유일성에 대한 최초의 명시적 증명이 들어 있다.

19세기 동안 해석학은 산술적 토대 위에 재건되었다. 실수는 유리수로부터 정의되었고(데데킨트가 1872년에 그의 절단으로 한 것처럼), 유리수는 정수로부터, 정수는 자연수로부터 정의되었다. 그렇다면 구성 전체가 자연수에 기대고 있었고, 자연수가 무엇이며 그 산술이 어떤 원리로부터 연역되는지에 답하는 일이 남아 있었다. 1861년에 헤르만 그라스만은 덧셈과 곱셈을 후자로부터 재귀적으로 정의할 수 있고 그 성질들을 귀납법으로 증명할 수 있음을 이미 보였다. 1888년 리하르트 데데킨트는 논문 『수란 무엇이며 무엇에 쓰이는가?』를 발표하여 후자와 귀납법으로 자연수를 특징지었고, 1889년 주세페 페아노는 라틴어로 『Arithmetices principia, nova methodo exposita』를 출간하여 이 강좌가 채택하는 공리의 목록을 제시했는데, 이 목록은 거기서처럼 $1$ 에서 시작한다.

이론을 낳은 문제

자연수는 무한히 많으며, 그것에 대해 주장하고 싶은 거의 모든 것은 모든 자연수에 대한 동시의 주장이다. 덧셈은 교환법칙을 만족한다, $1$ 보다 큰 모든 자연수는 소수들로 분해된다, 처음 $n$ 개의 홀수의 합은 $n^2$ 이다 하는 것들이다. 이런 종류의 주장은 어느 것도 경우를 하나하나 조사하여 확인할 수 없다. 결코 끝나지 않을 것이기 때문이다. 더 심각한 것은, 많은 경우를 확인하더라도, 그 수가 아무리 많아도, 나머지 경우에 대해서는 아무것도 결론지을 수 없다는 점이다. 따라서 문제는 다음과 같다. 자연수의 성질 $P$ 가 주어졌을 때, 어떤 원리로 모든 자연수가 그것을 만족함을 증명할 수 있는가?

(\forall n \in \mathbb{N})\,P(n)

다음 예는 확인이 얼마나 사람을 속일 수 있는지를 보여 준다.

예시소수만 만들어 내는 것처럼 보이는 다항식

오일러는 18세기에 식 $n^2 + n + 41$ 이 값 $n = 1, 2, \ldots, 39$ 각각에 대하여 소수를 만들어 낸다고 지적했다. 그것이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 소수를 만들어 내는지 물어볼 만하다.

증명

$1^2 + 1 + 41 = 43, \quad 2^2 + 2 + 41 = 47, \quad 3^2 + 3 + 41 = 53$
처음 몇 값은 소수이며, 이는 제곱이 그 값을 넘지 않는 소수들로 나누어 보아 확인된다.
$39^2 + 39 + 41 = \resaltar{1601}$
확인은 끈기 있게 $n = 39$ 까지 이어 갈 수 있다. 서른아홉 개의 값은 모두 소수이고, 마지막 값은 $1601$ 이다.
$40^2 + 40 + 41 = \resaltar{40 \cdot 41} + 41 = \resaltar{41 \cdot 41}$
$n = 40$ 일 때 처음 두 항은 공통인수 $40$ 을 가지며, 결과는 $41$ 의 $41$ 배이다.
$41^2 + 41 + 41 = 41 \cdot \resaltar{43}$
$n = 41$ 일 때는 실패가 더욱 뚜렷하다. 세 항이 모두 $41$ 의 배수이기 때문이다.
$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2$
서른아홉 번의 유리한 확인으로는 충분하지 않았다. 그 주장은 거짓이다. 반면에 마우롤리코가 귀납법으로 증명한 처음 몇 개의 홀수의 합의 공식은 모든 자연수에 대하여 성립하는데, 그것은 많은 경우에 확인되었기 때문이 아니라 모든 자연수를 아우르는 원리로부터 연역되기 때문이다.

데데킨트와 페아노가 내놓은 답은 유한에서 무한으로 넘어가게 해 주는 원리를 공리로 선언하는 데 있다. 어떤 성질이 $1$ 에 대하여 성립하고 각 자연수에서 그 후자로 전해진다면, 그 성질은 모든 자연수에 대하여 성립한다. 이로부터 명확한 계획이 따르는데, 그것이 이 단원의 계획이다. 각 경우가 바로 앞의 경우로 환원되도록 연산을 정의하고, 그 성질 하나하나를 귀납법이나 그와 동치인 원리 가운데 하나로 증명하는 것이다. 그런데 이 문제에는 단원 전체를 관통하는 둘째 측면이 있다. 역연산의 측면이다. 뺄셈과 나눗셈은 자연수 사이에서 늘 가능하지는 않으며, 언제 가능한가 하는 물음은 나누어떨어짐, 소수, 최대공약수로 이끈다. 그것을 어떻게 바로잡을 것인가 하는 물음은 다음 단원으로 이끄는데, 그 단원은 자연수를 복소수까지 확장한다.

자연수의 의의

이 강좌 안에서 단원의 결과들은 곳곳에서 다시 나타난다. 정수에 관한 수업은 정수를 자연수의 쌍으로 구성하고, 유리수에 관한 수업은 유리수를 정수의 쌍으로 구성한다. 고차 다항식의 근에 관한 수업의 다항식의 나눗셈은 나머지가 있는 나눗셈을 본뜬 것이고, 호너의 방법은 위치 기수법에서 나온다. $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ 에 대한 이항정리의 부등식은 수 $e$ 에 관한 수업을 준비한다. 이 강좌의 후속인 대수학과 기하학 II도 그것들을 계속 사용한다. 그 강좌의 극형식의 복소수에 관한 단원에서는 드무아브르 공식이 귀납법으로 증명되고, 행렬과 대수 구조에 관한 단원에서는 대수적 구조에 관한 수업이 $n$ 으로 나눈 나머지들을 환으로 만드는데, 이 환은 정확히 $n$ 이 소수일 때 체가 된다.

이 강좌 밖에서는 미적분학 I의 수열과 합이 합의 기호와 귀납법으로 연구되고, 거듭제곱의 도함수는 이항정리로 얻어진다. 역학의 기초에서는 갈릴레이가 1638년에 발표한 법칙, 곧 정지 상태에서 떨어지는 물체는 같은 시간 간격 동안 연속하는 홀수 $1, 3, 5, 7, \ldots$ 에 비례하는 거리를 지난다는 법칙이, 처음 몇 개의 홀수의 합에 의해 지난 거리와 시간의 제곱 사이의 비례 관계로 바뀐다. 재무 수학의 단리와 복리는 등차수열과 등비수열이고, C++ 프로그래밍 I의 프로그램들은 수를 $2$ 진법으로 나타내고, 나머지를 계산하며, 유클리드 호제법을 적용하는데, 그 재귀는 덧셈과 곱셈의 재귀적 정의와 같은 생각이다. 수리논리학 I: 명제 논리 강좌는 단원의 증명들이 사용하는 연역 규칙을 연구한다.

과학과 기술에서 $2$ 진법은 모든 컴퓨터의 언어이며, 나머지의 산술은 문서, 계좌, 책의 번호를 옮겨 적을 때 오류를 찾아내는 검증 숫자를 떠받친다. 1977년 리베스트, 샤미르, 애들먼이 발표한 암호 체계는 통신 보안의 상당 부분을 떠받치는데, 이 단원이 이해하게 해 주는 대비에 바탕을 둔다. 유클리드 호제법은 수백 자리 수의 최대공약수를 빠르게 계산하지만, 그 수들을 소인수분해하는 빠른 절차는 알려져 있지 않다. 끝으로 조합론은 확률 계산의 기초이며, 그것을 통해 통계학과 물리학 및 생물학의 상당 부분의 기초이다.