대수학과 기하학 I: 학습 계획

요약

이 수업은 강좌의 첫 단원을 이루며, 강좌의 학습 계획 전체를 제시한다. 강좌의 목적, 대상으로 하는 학생, 이미 안다고 가정하는 것, 그리고 이 강좌가 열어 주는 강좌들을 밝힌다. 강좌가 내세우는 여덟 가지 전체 학습 목표를 진술한다. 일곱 개의 단원과 그것을 이루는 수업들을 기술한다. 강좌가 요구하는 총학습량, 그 단원별 배분, 권장하는 학습 속도, 호환 학점으로의 환산을 추정한다. 수업이 어떻게 구성되어 있고 진척을 어떻게 확인하는지를 설명하며, 마지막으로 강좌를 공부하는 방법에 대해 조언한다.

학습 목표

강좌의 단원 순서를 기술하고, 각 단원이 그 뒤의 단원들에 무엇을 제공하는지 설명한다.
강좌의 전체 학습 목표를 진술하고, 각 목표에 어떤 단원들이 기여하는지 알아본다.
단원별 추정 시간으로부터 강좌 또는 그 일부가 요구하는 학습량을 계산하고, 이를 바탕으로 개인의 학습 속도를 계획한다.
사이트 수업의 구성과, 그 예제 문제, 연습 문제, 도전 과제, 단원 평가를 활용하는 바람직한 방법을 설명한다.

목적과 대상

이 강좌는 미적분학과 대학 수학에 앞서는 대수학과 기하학을 모은 두 강좌 가운데 첫째이다. 그 목적은 계산하는 법을 가르치는 데 그치지 않고, 각 계산이 어디에서 오는지를 보여 주는 데 있다. 강좌는 자신의 대상을 이미 알려진 것으로 가정하지 않고 구성한다. 자연수에 관한 몇 개의 공리에서 출발하여 확장에 확장을 거듭하며 정수, 유리수, 실수, 대수적 형태의 복소수의 산술, 다항식과 대수 함수의 대수, 평면 해석기하학, 그리고 마지막으로 지수함수, 로그함수, 쌍곡선함수를 이끌어 낸다. 사용하는 모든 결과는 진술하고 증명하며, 그 증명이 다른 강좌에 속할 때에는 받아들인 것임을 명시한다.

이 강좌는 대학에 들어가기 전에 탄탄한 준비를 원하는 학교 교육 마지막 학년의 학생, 이학, 공학, 경제학, 수학 교육을 전공하는 대학 첫해 학생, 그리고 한때 정해진 요령의 모음으로 배운 수학을 엄밀하게 다시 세우고 싶은 모든 사람을 대상으로 한다. 학교 산수 이상을 가정하지 않는다. 곧 정수와 분수로 계산할 수 있고 평면기하학의 기본 도형을 알아볼 수 있으면 된다. 그런데 이 강좌는 주장하는 것을 거의 모두 증명하므로, 수리논리학 I: 명제 논리 강좌를 먼저 공부하거나 함께 공부하기를 권한다. 그 강좌는 명시적인 결합사, 양화사, 추론 규칙으로 증명을 읽고 구성하는 법을 가르친다.

그렇다면 이 강좌는 사이트에서 입구의 자리를 차지하며, 세 강좌가 이 강좌에 의존한다. 재무 수학과 R을 이용한 데이터 분석은 이 강좌를 유일한 선수 과목으로 요구하는데, 여기서 구성하는 수열, 세기, 방정식과 연립일차방정식, 지수함수와 로그를 사용하기 때문이다. 셋째는 그 후속편인 대수학과 기하학 II: 삼각법, 복소수, 공간기하학으로, 여기서 이룬 것을 이어받아 삼각함수, 복소수의 극형식, 행렬, 공간 해석기하학을 공부한다. 이로부터 미적분학 I을 목표로 하는 사람은 두 강좌를 모두 거쳐야 한다는 것이 따라 나온다. 그 강좌는 둘째 강좌를 선수 과목으로 요구하기 때문이다.

전체 학습 목표

아래의 목표들은 강좌를 마친 학생이 할 수 있어야 하는 것을 기술한다. 각 목표는 관찰 가능한 수행으로 진술되어, 구체적인 과제로 확인할 수 있다. 주제를 다루는 각 수업은 또한 자신의 목표를 밝히며, 그 목표들은 하나 또는 여러 전체 목표에 이바지한다. 그리고 마무리 수업은 각 목표가 어느 단원과 어느 수업에서 훈련되는지를 보여 준다. 여덟 목표에는 인용할 수 있도록 번호를 붙인다.

목표 1. 명시적인 연역적 추론으로 산술, 대수, 기하의 명제를 증명한다. 이때 직접 증명, 대우에 의한 증명, 귀류법, 여러 형태의 귀납법, 정렬성 원리를 사용하고, 각 증명에서 이끌어 낸 것과 받아들인 것을 구별한다.
목표 2. 집합, 관계, 함수의 언어로 수 체계를 구성한다. 곧 페아노 공리로 정의되는 자연수, 동치류로서의 정수와 유리수, 완비 순서체로서의 실수, 실수의 순서쌍으로서의 복소수이다. 그리고 해가 없는 어떤 방정식이 각 확장을 이끌어 내는지, 그 확장에서 어떤 성질을 얻거나 잃는지를 설명한다.
목표 3. 정수의 산술을 증명하고 응용한다. 곧 나머지가 있는 나눗셈과 나누어떨어짐, 소수와 소인수분해의 유일성, 최대공약수와 일차 디오판토스 방정식, 합동식, 위치적 기수법, 조합적 세기이다.
목표 4. 대수식(거듭제곱, 거듭제곱근, 다항식, 분수식)을 변형하고, 일차의, 다항식의, 분수식의, 거듭제곱근을 포함한, 절댓값을 포함한 방정식, 부등식, 연립방정식을 푼다. 이때 각 변형의 동치성을 정당화하고 해를 검증한다.
목표 5. 실변수 실함수를 분석하여 그 정의역, 치역, 부호, 영점, 점근선, 역함수, 합성을 결정하고, 특히 알려진 그래프의 변환을 통해 그 그래프를 그린다.
목표 6. 평면의 자취를 방정식으로 나타내고, 거꾸로 방정식이 정하는 곡선을 알아본다. 곧 데카르트 형태, 벡터 형태, 매개변수 형태의 직선, 원, 좌표축에 평행한 축을 가진 포물선, 타원, 쌍곡선, 그리고 부등식으로 정해지는 영역이다.
목표 7. 지수함수, 로그함수, 쌍곡선함수로 문제를 푼다. 이때 그 성질을 정의로부터 이끌어 내고, 그 함수들을 포함한 방정식과 부등식을 푼다.
목표 8. 과학, 기술, 경제, 일상생활의 상황을 강좌의 도구(연립일차방정식, 선형계획법, 증가와 감소의 모형)로 수학적으로 모형화하고, 문제의 설정, 계산, 증명을 올바른 기호, 완전한 논증, 결과의 타당성 점검과 함께 글로 전달한다.

목표 2부터 7까지는 본질적으로 강좌의 큰 주제에 대응한다. 반면 첫째와 여덟째 목표는 횡단적이다. 한 단원에 속하지 않고 모든 단원에서 훈련된다. 이로부터 그 달성을 한 수업에 돌릴 수 없으며, 강좌 전체에 걸쳐 길러야 한다는 것이 따라 나온다. 그런데 두 목표에는 주로 그것에 이바지하는 수업도 있다. 첫째 목표에는 유한 번의 확인을 아무리 거듭해도 모든 자연수에 관한 주장이 증명되지 않는 까닭을 보여 주는 1단원의 도입과, 중심 부분에서 각 단원의 연역 사슬을 재구성하는 다섯 종합 수업이 있다. 여덟째 목표에는 문제의 설정 자체가 내용인 수업들, 곧 상황을 모형화하는 연립일차방정식, 선형계획법, 증가 모형의 수업이 있다.

내용

강좌는 일곱 단원으로 이루어진다. 첫 단원과 마지막 단원은 전체 여정의 틀을 이루고, 가운데 다섯 단원이 내용을 전개한다. 이 단원들은 각각 도입 수업으로 시작하는데, 도입 수업은 단원의 수업들, 그 생각의 역사적 배경, 그것들을 낳은 문제, 그 의의를 소개한다. 그리고 종합 수업으로 끝나는데, 종합 수업은 단원의 연역 사슬을 재구성하고, 그것을 강좌의 나머지 부분과 연결하며, 각 수업의 문제보다 어려운 열 개의 도전 과제를 제시한다.

0단원. 강좌 소개

이 단원은 이 수업으로 이루어지며, 강좌의 목적, 전체 목표, 내용, 학습량, 설계를 정한다.

1단원. 자연수

그 목표는 집합, 관계, 함수의 언어를 확립하고, 페아노 공리로부터 자연수와 정수의 산술을 합동식까지 이끌어 내며, 귀납법을 강좌의 증명 도구로 세우는 것이다.

2단원. 수 체계

그 목표는 자연수를 복소수까지 확장하되 매번 해가 없던 방정식을 풀기 위해 확장하는 것, 그리고 순서, 절댓값, 거듭제곱, 일차방정식을 능숙하게 다루는 것이다.

3단원. 대수 함수와 다항식

그 목표는 인수분해를 대수 함수의 근, 부호, 부등식, 정의역, 점근선, 그래프를 결정하는 도구로 만드는 것이다.

4단원. 평면 해석기하학

그 목표는 기하학적 성질을 방정식으로, 방정식을 곡선으로 옮기는 것으로, 직선에서 원뿔곡선, 그리고 선형계획법의 영역까지 이른다. 그 공간에서의 유사물인 이차곡면은 이 강좌에서도 강좌 II에서도 다루지 않으며(강좌 II는 그 가운데 구면만 공부한다), 사이트의 현재 구성에서 그 연구는 미적분학 III에 속한다.

5단원. 지수함수, 로그함수, 쌍곡선함수

그 목표는 합을 곱으로, 곱을 합으로 바꾸는 함수를 정의하고, 그 성질을 이끌어 내며, 그것을 증가의 모형화에 사용하는 것이다.

6단원. 강좌 마무리

이 단원은 대수학과 기하학 I: 최종 결산 수업으로 이루어진다. 이 수업은 여덟 전체 목표를 되돌아보고, 각 목표가 어느 단원과 어느 수업에서 훈련되는지를 그림으로 보여 주며, 마무리 평가의 첫 시도를 목표별로 모으고, 공부가 여기서 어디로 이어지는지를 가리킨다.

학습량과 학점

강좌의 학습량은 강의 시간으로 재지 않는다. 비동기 강좌에는 강의 시간이 없기 때문이다. 재는 것은 학생의 작업 총량, 곧 읽기, 증명 따라가기, 문제 풀기, 복습이다. 추정은 읽는 시간, 예제 문제를 공부하는 시간, 연습 문제와 도전 과제에 매달리는 시간, 단원 평가에 답하는 시간을 고려하고, 복습을 위한 여유를 둔다.

결과

강좌의 수업들은 모두 합쳐 예제 문제 $212$ 개, 연습 문제 $210$ 개, 도전 과제 $50$ 개를 담고 있다. 시간 단위로 반올림한 단원별 추정 학습량은 아래와 같다.

0단원, 강좌 소개: $1$ 시간.
1단원, 자연수: $69$ 시간.
2단원, 수 체계: $58$ 시간.
3단원, 대수 함수와 다항식: $63$ 시간.
4단원, 평면 해석기하학: $62$ 시간.
5단원, 지수함수, 로그함수, 쌍곡선함수: $46$ 시간.
6단원, 강좌 마무리: 한 시간 미만.

합계는 학생의 작업 약 $299$ 시간이다. 이 수치는 있는 그대로 읽어야 한다. 곧 모든 증명을 공부하고 모든 문제와 도전 과제를 푸는 학생에 대한 추정이다. 내용의 일부를 이미 익힌 사람이나 도전 과제에 손대지 않고 연습 문제에 그치는 사람은 훨씬 적은 시간을 쓸 것이고, 이 주제를 처음 공부하며 증명하는 습관이 없는 사람은 더 많은 시간이 필요할 수 있다.

그런데 $299$ 시간이라는 수치는 명목상의 것이다. 강좌의 학점을 정하는 것이 이 수치이며, 본문을 일정한 속도로 읽고 도전 과제 하나에 사분의 삼 시간을 쓴다고 가정한다. 실제 학생으로 측정하기 전까지는 현실적인 범위를 함께 제시하는 것이 좋다. 각 증명을 종이와 연필로 다시 쓸 때처럼 읽기가 가정한 속도의 절반으로 진행되고, 도전 과제 하나에 사십오 분 대신 칠십오 분이 걸린다면, 같은 추정은 약 $370$ 시간이 된다. 따라서 예상되는 학습량은 약 $300$ 시간에서 약 $370$ 시간 사이에 놓인다. 상한은 신중한 한계이지 측정값이 아니다. 이 범위는 강좌를 공부하는 사람들이 실제로 쓰는 시간이 알려지면 수정될 것이며, 그때까지 학점은 명목상의 수치로 계산한다.

권장 속도

속도를 부르는 데에는 이 계획과 강좌 II의 계획이 같은 기준을 쓴다. 전일 학습은 $60$ 학점의 한 학년, 곧 약 사십 주에 걸친 약 $1650$ 시간, 다시 말해 주당 약 $40$ 시간이고, 반일 학습은 그 절반인 주당 약 $20$ 시간이다. 이로부터 권장 속도가 따라 나온다. 십육 주의 한 학기에 주당 약 $18$ 시간 또는 $19$ 시간을 공부하는 것으로, 반일 학습보다 조금 적다. 현실적인 범위로는 주당 $19$ 시간에서 $23$ 시간이며, 대략 반일 학습에 해당한다. 그 뒤의 학기는 대수학과 기하학 II 강좌에 바칠 수 있다. 더 여유 있는 대안으로, 부담이 큰 다른 과목과 병행할 수 있도록 강좌를 두 학기에 나누어 주당 약 $9$ 시간으로 공부할 수도 있다. 전반부인 0단원부터 2단원까지는 약 $128$ 시간, 후반부인 3단원부터 6단원까지는 약 $171$ 시간을 차지하므로, 둘째 학기는 조금 앞서 나간 상태로 시작하는 것이 좋다.

호환 학점으로의 환산

호환 학점 제도는 강좌를 대면 수업 시간이 아니라 강좌가 학생에게 요구하는 작업의 총량으로 잰다. 한 기관에서 이수한 학업을 다른 기관에서 인정받을 수 있게 하려는 것이다. 유럽 학점 교류 및 누적 제도는 볼로냐 선언 이후 유럽의 대학들이 채택한 것으로, 전일 학습의 한 학년에 $60$ 학점을 배정하고, 한 학점을 $25$ 시간에서 $30$ 시간의 작업으로 정한다. 칠레 호환 학점 제도는 칠레의 대학들이 비슷한 설계로 채택한 것으로, 역시 한 학년에 $60$ 학점을 배정하고, 한 학점을 $24$ 시간에서 $31$ 시간의 작업으로 정한다.

그런데 추정한 $299$ 시간을 각 범위의 양 끝으로 나누면, 강좌는 대략 유럽 학점으로 $10$ 학점에서 $12$ 학점(10.0에서 12.0), 칠레 호환 학점으로 $10$ 학점에서 $12$ 학점(9.6에서 12.5)에 해당한다. 두 범위의 중앙값인 학점당 27.5시간을 기준으로 삼으면 두 제도에서 같은 수 10.9를 얻으며, 이를 반올림하면 11이 된다. 유럽 학점에 대해서는 학점 수 $C$ 의 범위가 아래와 같이 정해진다.

\left( \frac{299}{30} \right) \leq C \leq \left( \frac{299}{25} \right)

따라서 이 강좌에는 유럽 학점 $11$ 학점과 칠레 호환 학점 $11$ 학점을 배정할 것을 권장한다. 이는 전일 학습 한 학년의 육분의 일을 조금 넘는다. 이 수치는 보통의 한 학기 대수 과목보다 큰데, 그 까닭은 모든 증명을 공부하도록 요구한다는 점과, 통상의 교육과정이 흔히 생략하는 수 체계의 구성에 있다.

강좌의 설계

형태

강좌는 비동기식이고, 온라인이며, 자기 속도로 진행한다. 일정도, 실시간 수업도, 마감도 없으며, 학생은 저마다 자신의 준비와 시간이 허락하는 속도로 나아간다. 강좌는 사이트의 열네 개 언어로 제공되며, 모든 언어에서 수학은 같다. 수식과 증명의 단계는 모든 판에서 동일하고, 번역되는 것은 본문뿐이다. 각 수업은 먼저 공부해 두면 좋은 다른 수업들을 밝히므로, 권장 순서는 명시적이며 확인할 수 있다.

수업의 구성

주제를 다루는 모든 수업은 같은 구성을 따른다. 요약과, 관찰 가능한 수행으로 진술된 고유한 학습 목표의 목록으로 시작한다. 이어서 이론이 나오는데, 정의, 정확히 진술된 정리와 그 증명, 그리고 예로 이루어진다. 증명과 예는 단계 재생기로 제시된다. 각 단계는 추론의 한 행을 쓰고, 관련된 항을 강조하며, 앞선 결과에 기댈 때는 그 결과로 돌아가 읽는 동안 그것을 강조하여, 추론의 기억이 눈앞에 남게 한다. 많은 예에는 단계마다 바뀌는 그림이 곁들여진다. 수업의 끝에는 단계별 풀이가 붙은 예제 문제 다섯 개(3단원의 두 수업에서는 여섯 개)와 연습 문제 다섯 개가 있다. 연습 문제마다 접힌 힌트와 그 뒤의 최종 답이 있어, 학생은 풀이의 길이 드러나지 않은 채 자신의 결과를 확인할 수 있다. 증명을 요구하는 연습 문제에는 답 뒤에 접힌 풀이 과정이 덧붙는데, 이것은 자신의 풀이를 써 본 뒤에만 여는 것이 좋다.

도입 수업과 종합 수업은 고유한 구성을 가진다. 도입은 단원, 그 역사, 그것을 낳은 문제, 그 의의를 소개한다. 종합은 단원의 연역 사슬을 재구성하고, 그것을 앞뒤의 단원과 연결하며, 열 개의 도전 과제를 제시한다. 도전 과제마다 힌트, 최종 답, 접힌 풀이 과정이 있으며, 도전 과제는 여러 수업을 결합하고 연습 문제보다 더 많은 창의를 요구한다.

음성 읽기

각 수업은 기기 자체의 음성을 사용하는 사이트의 읽기 기능으로 소리 내어 들을 수 있다. 본문은 쓰인 그대로 읽히고, 수식은 말로 발음된다. 이로써 화면에서 떨어져 수업을 복습하거나, 단계 재생기를 보면서 들으며 증명을 따라가거나, 시각에 제약이 있어도 공부할 수 있다.

평가

강좌는 성적을 매기지 않는다. 그 평가는 형성 평가이며 자기 평가에 기반한다. 연습 문제로 각 수업의 목표 달성을, 도전 과제로 각 단원의 목표 달성을 확인할 수 있다.

여기에 단원 평가가 더해진다. 입문 평가는 도입의 처음에 있으며, 단원에 관한 열 문항의 짧은 자기 평가이고, 2단원부터는 단원이 앞 단원들에서 이미 안다고 가정하는 것에 관한 세 문항이 더해진다. 입문 평가는 출발점을 잰다. 마무리 평가는 종합 수업에서 도전 과제 앞에 있으며, 열두 문항으로 이룬 것을 재고 입문 평가와 비교된다. 두 평가 모두 브라우저 안에서 채점된다. 답마다 설명이 붙고, 전형적인 오류마다 그것을 짚어 주는 지적이 붙으며, 문항마다 복습하면 좋은 수업을 가리킨다. 어느 평가도 성적을 매기거나 인증하지 않으며, 그 결과는 학생의 브라우저에만 저장된다. 습득한 능력의 검증은 나중에 다른 플랫폼에서 이루어질 것이다. 다섯 단원 모두 두 평가를 포함하며, 최종 결산은 각 마무리 평가의 첫 시도를 전체 목표별 개요로 모은다.

전체 목표에 대해서는 아래와 같은 달성의 증거를 제안한다.

목표 1: 수업을 참고하지 않고, 소수의 무한성이나 나머지가 있는 나눗셈의 유일성 같은 강좌의 정리의 증명과, 귀납법이 필요한 도전 과제의 증명을 쓴다.
목표 2: 자연수에서 복소수로의 각 확장을 어떤 방정식이 이끌어 내는지 글로 설명하고, 자연수의 순서쌍의 류로 정의한 정수의 덧셈이 잘 정의되어 있음을 증명한다.
목표 3: 제약이 있는 일차 디오판토스 방정식을 풀고, 합동식으로 큰 거듭제곱의 나머지를 계산한다.
목표 4: 분수 부등식, 또는 거듭제곱근과 절댓값을 포함한 부등식을 풀되, 각 동치 변형을 정당화하고 해를 확인한다.
목표 5: 유리함수 또는 거듭제곱근을 포함한 함수를 완전히 조사하고, 계산 도구 없이 그 그래프를 그린 뒤, 도구로 그것을 검증한다.
목표 6: $xy$ 항이 없는 이차방정식이 정하는 원뿔곡선을 그 모든 요소와 함께 판별하고, 직선과 원뿔곡선으로 둘러싸인 영역을 부등식으로 기술한다.
목표 7: 정의역을 확인하면서 로그방정식을 풀고, 정의로부터 쌍곡선함수의 항등식을 증명한다.
목표 8: 선형계획법 문제를 설정하여 풀거나 자료에 지수 모형을 맞추고, 설정, 전개, 답, 타당성 점검을 갖춘 완전한 풀이를 다른 사람이 추가 설명 없이 따라갈 수 있도록 쓴다.

이 강좌를 공부하는 방법

이 강좌는 차례대로 공부하도록 만들어졌다. 각 단원은 앞의 단원들을 전제하며, 많은 증명이 앞선 수업의 결과를 인용한다. 수업 하나를 건너뛰면 조만간 그 수업으로 되돌아가야 한다.

각 단원에는 두 개의 점검 지점이 있다. 입문 평가는 도입의 처음에 있으며 출발점이다. 단원을 공부하기 전에 아무것도 참고하지 않고 답하고, 오류가 가리키는 수업들을 적어 두는 것이 좋다. 그 수업들이 더 주의를 요하는 수업이다. 마무리 평가는 종합 수업에서 도전 과제 앞에 있으며 대조이다. 수업들을 마친 뒤 역시 아무것도 참고하지 않고 답하고, 입문 평가와 비교하여 무엇이 달라졌는지, 어떤 수업을 복습하면 좋은지 본다. 두 평가 모두 첫 시도가 인정되며, 비교되는 것도, 최종 결산의 개요에 모이는 것도 그것이다. 그 뒤의 시도는 이미 피드백을 본 상태에서 이루어진다. 도전 과제는 확인을 완성한다. 짧은 문항이 건드리기만 하는 것을 결합하고 글로 쓰기를 요구하기 때문이다. 이로부터 어떤 단원을 이미 익혔다고 생각하는 사람도 한 번의 시험만으로 그것을 판단해서는 안 된다는 것이 따라 나온다. 마무리 평가의 결과가 탄탄하고 종합 수업의 도전 과제를 풀 수 있다면 그 뒤의 단원으로 넘어가도 된다. 그렇지 않다면 둘이 가리키는 수업들을 다시 공부하는 것이 좋다.

각 수업에서는 먼저 요약과 목표를 읽는 것이 좋다. 그것들은 무엇을 목표로 하는지 말해 준다. 그 뒤 종이와 연필로 이론을 공부하면서, 재생기가 쓰기 전에 증명의 각 단계를 미리 짐작해 본다. 예제 문제는 풀이를 보기 전에 시도하고, 연습 문제는 도움 없이 풀며, 힌트는 시도가 바닥났을 때에만 열고, 답은 마지막에 확인하기 위해서만 연다. 시도하기 전에 답을 본 문제는 푼 것이 아니라 읽은 것이다.

도전 과제는 수업의 문제보다 어려우며, 일부는 서로 다른 날에 여러 번 시도해야 하는 것이 보통이다. 한 과제에 끝없이 머무는 것은 좋지 않다. 그것을 적어 두고, 계속 나아가고, 나중에 그것으로 돌아오는 것이 흔히 가장 짧은 길이다. 그런데 추정한 학습량은 모든 과제를 진지하게 시도한다고 가정하며, 강좌가 가르칠 수 있는 것의 상당 부분이 그 노력에 달려 있다.

마지막으로, 글로 써 보기를 권한다. 전제와 결론을 갖춘 증명이나 완전한 풀이를 쓰는 것은 이해했는지 알 수 있는 유일한 방법이며, 강좌의 여덟째 목표이기도 하다. 각 단원의 정의와 정리를 자신의 말로 다시 쓴 공부 노트는 강좌가 남길 수 있는 가장 좋은 복습 자료이다.