Ratio stvdiorvm cvrsvs Algebrae et Geometriae I

Consilivm et discipvli

Hic cvrsvs primvs est e dvobvs qvi algebram et geometriam colligvnt qvae calcvlvm et mathematicam vniversitariam antecedvnt. Consilivm eivs non est solvm docere compvtare, sed ostendere vnde qvaeqve compvtatio procedat: cvrsvs obiecta sva constrvit pro eis vt nota svpponendis, a pavcis axiomatibvs de nvmeris natvralibvs proficiscitvr et ex eis dedvcit, amplificatione post amplificationem, arithmeticam nvmerorvm integrorvm, rationalivm, realivm et complexorvm in forma binomiali, algebram polynomiorvm et fvnctiones algebraicas, geometriam analyticam plani et, postremo, fvnctiones exponentialem, logarithmicam et hyperbolicas. Qvisqve effectvs qvi adhibetvr envntiatvr et demonstratvr, avt expresse admissvs declaratvr cvm eivs demonstratio ad alivm cvrsvm pertinet.

Dirigitvr ad discipvlos vltimorvm annorvm scholae qvi ante ingressvm in vniversitatem solidam praeparationem cvpivnt, ad stvdiosos primi anni vniversitarii scientiarvm, artis ingeniariae, oeconomiae vel paedagogiae mathematicae, et ad qvemvis qvi mathematicam, qvam vt congeriem praeceptorvm didicit, cvm rigore reficere velit. Nihil svpponit praeter arithmeticam scholarem: cvm integris et fractionibvs operari, et figvras elementares geometriae planae agnoscere. Atqvi, cvm cvrsvs fere omnia qvae affirmat demonstret, commendatvr vt antea stvdeatvr, vel simvl stvdeatvr, cvrsvs Logica Mathematica I: Logica Propositionalis, qvi docet demonstrationes legere et constrvere cvm connexivis, qvantificatoribvs et regvlis inferentiae explicitis.

Qvod si ita est, cvrsvs locvm introitvs in sitv tenet, et ex eo tres cvrsvs pendent. Mathematica Nvmmaria et Analysis Datorvm Lingva R evm vt vnicvm praereqvisitvm postvlant, qvia progressiones, nvmerationem, aeqvationes et systemata linearia, exponentialem et logarithmos adhibent qvi hic constrvvntvr. Tertivs est eivs continvatio, Algebra et Geometria II: Trigonometria, Nvmeri Complexi et Geometria Spatii, qvae ea qvae hic consecvta svnt resvmit vt fvnctiones trigonometricas, formam polarem complexorvm, matrices et geometriam analyticam spatii investiget. Ex qvo seqvitvr vt qvi ad Calcvlvs I aspiret vtrvmqve cvrsvm percvrrere debeat, qvia ille cvrsvs secvndvm postvlat.

Proposita discendi generalia

Proposita qvae infra ponvntvr describvnt qvid discipvlvs qvi cvrsvm absolvit facere possit oporteat. Qvodqve vt actio observabilis formvlatvr, ita vt opere concreto confirmari possit; qvaeqve lectio materiae vicissim sva proposita declarat, qvae vni vel plvribvs ex generalibvs servivnt, et lectio conclvsionis ostendit in qvibvs vnitatibvs et lectionibvs qvodqve tractetvr. Octo proposita nvmerantvr vt citari possint.

1. Propositvm 1. Envntiata arithmeticae, algebrae et geometriae ratiocinatione dedvctiva explicita demonstrare, adhibendo demonstrationem directam, contrapositionem, redvctionem ad absvrdvm, indvctionem in variis eivs formis et principivm bonae ordinationis, et in qvaqve demonstratione dedvcta ab admissis distingvere.
2. Propositvm 2. Genera nvmerorvm lingva copiarvm, relationvm et fvnctionvm constrvere: nvmeros natvrales axiomatibvs Peani definitos, integros et rationales vt classes aeqvivalentiae, reales vt corpvs ordinatvm completvm et complexos vt paria realivm; explicare qvae aeqvatio sine solvtione qvamqve amplificationem moveat et qvae proprietas in ea acqviratvr vel amittatvr.
3. Propositvm 3. Arithmeticam integrorvm demonstrare et applicare: divisionem cvm residvo et divisibilitatem, nvmeros primos et factorizationem vnicam, maximvm commvnem divisorem et aeqvationes Diophanteas lineares, congrventias, nvmerationem positionalem et nvmerationem combinatoriam.
4. Propositvm 4. Expressiones algebraicas (potentias, radicalia, polynomia et fractiones algebraicas) transformare et aeqvationes, inaeqvationes et systemata primi gradvs, polynomialia, rationalia, cvm radicalibvs et cvm valore absolvto solvere, aeqvivalentiam cvivsqve transformationis ivstificando et solvtiones confirmando.
5. Propositvm 5. Fvnctiones reales variabilis realis analysare, earvm dominivm, copiam imaginvm, signa, nihila, asymptotos, inversam et compositionem determinando, et earvm delineationem repraesentare, praesertim per transformationes delineationvm notarvm.
6. Propositvm 6. Loca geometrica plani per aeqvationes repraesentare et, vicissim, cvrvam agnoscere qvam aeqvatio definit: rectas in forma Cartesiana, vectoriali et parametrica, circvmferentias, parabolas, ellipses et hyperbolas axivm axibvs coordinatis parallelorvm, et regiones inaeqvationibvs definitas.
7. Propositvm 7. Problemata cvm fvnctionibvs exponentiali, logarithmica et hyperbolicis solvere, earvm proprietates ex earvm definitionibvs dedvcendo et aeqvationes et inaeqvationes qvae eas continent solvendo.
8. Propositvm 8. Res scientiae, artis technicae, oeconomiae et vitae cotidianae instrvmentis cvrsvs (systematibvs linearibvs, programmatione lineari, exemplaribvs incrementi et decrementi) mathematice effingere, et scripto commvnicare positiones, compvtationes et demonstrationes cvm notatione recta, argvmentatione integra et examine verisimilitvdinis eventvvm.

Proposita a 2 ad 7 magnis cvrsvs argvmentis in svmma respondent; primvm et octavvm, contra, transversalia svnt: non ad vnam vnitatem pertinent, sed in omnibvs exercentvr. Ex qvo seqvitvr vt eorvm assecvtio vni lectioni tribvi non possit, et vt per totvm cvrsvm colenda sint. Atqvi ambo etiam lectiones habent qvae eis praecipve servivnt: primo, introdvctio partis 1, qvae ostendit cvr nvllvs nvmervs finitvs comprobationvm affirmationem de omnibvs nvmeris natvralibvs demonstret, et qvinqve syntheses, qvarvm medvlla catenam dedvctivam cvivsqve vnitatis reficit; octavo, eae in qvibvs positio problematis ipsa materia est: systemata linearia qvae res effingvnt, programmatio linearis et exemplaria incrementi.

Argvmenta

Cvrsvs in septem vnitates digeritvr. Prima et vltima iter circvmdant; qvinqve mediae argvmenta explicant. Qvaeqve earvm a lectione introdvctionis aperitvr, qvae lectiones svas, memoriam historicam idearvm svarvm, qvaestionem vnde ortae svnt et earvm momentvm praesentat, et lectione synthesis clavditvr, qvae catenam dedvctivam vnitatis reficit, eam cvm reliqvo cvrsv conectit et decem provocationes proponit difficiliores qvam problemata lectionvm.

Pars 0. Praesentatio cvrsvs

Constat ex hac lectione, qvae consilivm, proposita generalia, argvmenta, laborem et designationem cvrsvs statvit.

Pars 1. Nvmeri natvrales

Propositvm eivs est lingvam copiarvm, relationvm et fvnctionvm statvere, ex axiomatibvs Peani arithmeticam nvmerorvm natvralivm et integrorvm vsqve ad congrventias dedvcere, et indvctionem vt instrvmentvm demonstrationis cvrsvs constitvere.

1. Nvmeri natvrales: introdvctio.
2. Copiae, relationes et fvnctiones.
3. Nvmeri natvrales et axiomata Peani.
4. Operationes primae nvmerorvm natvralivm et relationes ordinis.
5. Svmmationes, progressiones et indvctio.
6. Divisibilitas et divisio cvm residvo.
7. Nvmeri primi et theorema fvndamentale arithmeticae.
8. Maximvs commvnis divisor et minimvm commvne mvltiplvm.
9. Congrventiae et arithmetica modvlaris.
10. Systemata nvmerationis positionalis.
11. Combinatoria elementaris et binomivm Newtonianvm.
12. Nvmeri natvrales: synthesis et provocationes.

Pars 2. Genera nvmerorvm

Propositvm eivs est nvmeros natvrales vsqve ad complexos amplificare, qvaqve vice vt aeqvatio solvatvr qvae solvtionem non habebat, et ordinem, valorem absolvtvm, potentias et aeqvationes primi gradvs tenere.

1. Genera nvmerorvm: introdvctio.
2. Genera nvmerorvm: a natvralibvs ad complexos.
3. Nvmeri integri: constrvctio, signa et ordo.
4. Nvmeri rationales: fractiones earvmqve operationes.
5. Expressio decimalis nvmerorvm rationalivm.
6. Recta realis: ordo, intervalla et valor absolvtvs.
7. Potentiae exponentis rationalis et radicalia.
8. Aeqvationes et inaeqvationes primi gradvs et systemata linearia.
9. Nvmeri complexi: operationes et aeqvationes.
10. Genera nvmerorvm: synthesis et provocationes.

Pars 3. Fvnctiones algebraicae et polynomia

Propositvm eivs est factorizationem facere instrvmentvm qvod de radicibvs, signis, inaeqvationibvs, dominiis, asymptotis et delineationibvs fvnctionvm algebraicarvm decernit.

1. Fvnctiones algebraicae et polynomia: introdvctio.
2. Fvnctiones algebraicae variabilis realis.
3. Operationes fvnctionvm, inversa et transformatio delineationvm.
4. Algebra polynomiorvm realivm.
5. Factorizatio polynomii qvadratici et trinomii gradvs 2n.
6. Radices polynomiorvm gradvs svperioris et divisio synthetica.
7. Fractiones algebraicae et fractiones partiales.
8. Tabvlae signorvm et inaeqvationes.
9. Fvnctiones rationales: asymptoti et delineatio.
10. Fvnctiones cvm radicalibvs: dominivm, signa et delineatio.
11. Fvnctiones algebraicae et polynomia: synthesis et provocationes.

Pars 4. Geometria analytica plani

Propositvm eivs est proprietates geometricas in aeqvationes et aeqvationes in cvrvas convertere, a recta vsqve ad sectiones conicas et regiones programmationis linearis. Earvm analogae in spatio, svperficies qvadricae, neqve in hoc cvrsv neqve in cvrsv II tractantvr, qvi ex eis solam sphaeram investigat; in ordinatione praesenti sitvs, earvm stvdivm ad Calcvlvs III pertinet.

1. Geometria analytica plani: introdvctio.
2. Aeqvatio rectae et systemata Cartesiana.
3. Vectores in plano et aeqvationes parametricae rectae.
4. Aeqvatio parabolae: definitiones et proprietates.
5. Characterizatio parabolarvm earvmqve delineationes.
6. Aeqvatio ellipsis et circvmferentiae.
7. Circvmferentia: tangentes, positvs mvtvi et potentia pvncti.
8. Aeqvatio hyperbolae eivsqve dedvctio.
9. Sectiones conicae: characterizatio et delineatio.
10. Inaeqvationes in plano et programmatio linearis.
11. Geometria analytica plani: synthesis et provocationes.

Pars 5. Fvnctiones exponentialis, logarithmica et hyperbolicae

Propositvm eivs est fvnctiones definire qvae svmmas in prodvcta et prodvcta in svmmas convertvnt, earvm proprietates dedvcere et eas in incremento effingendo adhibere.

1. Fvnctiones exponentialis, logarithmica et hyperbolicae: introdvctio.
2. Fvnctio exponentialis et potentia exponentis realis.
3. Nvmervs e et exponentialis natvralis.
4. Fvnctio logarithmvs eivsqve proprietates.
5. Aeqvationes et inaeqvationes exponentiales et logarithmicae.
6. Exemplaria incrementi et decrementi exponentialis.
7. Fvnctiones hyperbolicae.
8. Fvnctiones exponentiales: synthesis et provocationes.

Pars 6. Conclvsio cvrsvs

Constat ex lectione Recognitio finalis cvrsvs Algebrae et Geometriae I, qvae octo proposita generalia in memoriam revocat, figvra ostendit in qvibvs vnitatibvs et lectionibvs qvodqve tractetvr, primvm conatvm probationvm finalivm per proposita colligit et indicat qvo stvdivm pergat.

Labor et credita

Labor cvrsvs non horis expositionis metitvr, qvae in cvrsv asynchrono non svnt, sed toto labore discipvli: legere, demonstrationes seqvi, problemata solvere et repetere. Aestimatio tempvs considerat legendi, problemata solvta stvdendi, in propositis et provocationibvs laborandi et probationibvs vnitatis respondendi, cvm spatio ad repetitionem.

Eventvs

Lectiones cvrsvs in vniversvm $212$ problemata solvta, $210$ problemata proposita et $50$ provocationes continent. Labor per vnitates aestimatvs, ad horam rotvndatvs, hic est:

• Pars 0, praesentatio cvrsvs: $1$ hora.
• Pars 1, nvmeri natvrales: $69$ horae.
• Pars 2, genera nvmerorvm: $58$ horae.
• Pars 3, fvnctiones algebraicae et polynomia: $63$ horae.
• Pars 4, geometria analytica plani: $62$ horae.
• Pars 5, fvnctiones exponentialis, logarithmica et hyperbolicae: $46$ horae.
• Pars 6, conclvsio cvrsvs: minvs qvam vna hora.

Svmma est circiter $299$ horarvm laboris discipvli. Hvnc nvmervm legere convenit vt id qvod est: aestimationem pro discipvlo qvi omnes demonstrationes stvdet et omnia problemata et provocationes solvit. Qvi iam aliqvid ex argvmentis tenet, vel se ad problemata proposita restringit provocationibvs non aggressis, mvlto minvs impendet; qvi argvmentvm primvm et sine consvetvdine demonstrandi stvdet, plvribvs egere potest.

Atqvi nvmervs $299$ horarvm nominalis est: is est qvi credita cvrsvs statvit, et lectionem textvs celeritate constanti et dodrantem horae in singvlas provocationes svpponit. Donec cvm discipvlis veris non metiatvr, spatio probabili comitari convenit. Si lectio dimidia celeritate svpposita procederet, vt fit cvm qvaeqve demonstratio charta et stilo rescribitvr, et qvaeqve provocatio septvaginta qvinqve minvta pro qvadraginta qvinqve postvlaret, eadem aestimatio circiter $370$ horas daret. Itaqve labor exspectandvs inter circiter $300$ et circiter $370$ horas sitvs est. Terminvs svperior margo prvdens est, non mensvra; spativm corrigetvr cvm tempvs cognitvm erit qvod impendvnt qvi cvrsvm stvdent, et interea credita nvmero nominali compvtantvr.

Celeritas svasa

Ad celeritates nominandas, haec ratio et ratio cvrsvs II eodem ivdicio vtvntvr: stvdivm plenvm est annvs academicvs $60$ creditorvm, circiter $1650$ horae per qvadraginta fere hebdomades distribvtae, id est circiter $40$ horae in hebdomade, et stvdivm dimidivm eivs dimidivm, circiter $20$ horae in hebdomade. Ex qvo seqvitvr celeritas commendata vnivs semestris sedecim hebdomadvm, cvm circiter $18$ vel $19$ horis stvdii in hebdomade, pavlo minvs qvam stvdio dimidio; cvm spatio probabili, a $19$ ad $23$ horas in hebdomade, circa stvdivm dimidivm versatvr. Semestre deinde inseqvente cvrsvs Algebrae et Geometriae II stvderi potest. Vt optio laxior, cvm aliis disciplinis ardvis congrvens, cvrsvs in dvo semestria distribvi potest, cvm circiter $9$ horis in hebdomade: dimidivm privs, partes 0 ad 2, circiter $128$ horas occvpat, et altervm, partes 3 ad 6, circiter $171$, ita vt altervm semestre cvm aliqvo praecvrsv incipere conveniat.

Aeqvivalentia in creditis transferibilibvs

Systemata creditorvm transferibilivm cvrsvm toto labore metivntvr qvem a discipvlo postvlat, non horis scholarvm praesentivm, eo consilio vt stvdia in vna institvtione peracta in alia agnosci possint. Systema Evropaevm Creditorvm Transferendorvm et Accvmvlandorvm, ab vniversitatibvs Evropaeis post Declarationem Bononiensem receptvm, $60$ credita anno academico stvdii pleni tribvit, et singvla credita inter $25$ et $30$ horas laboris statvit. Systema Creditorvm Transferibilivm Chiliae, ab vniversitatibvs Chilensibvs simili designatione receptvm, item $60$ credita anno academico tribvit et singvla credita inter $24$ et $31$ horas laboris statvit.

Atqvi, si $299$ horae aestimatae per terminos cvivsqve intervalli dividvntvr, cvrsvs inter $10$ et $12$ credita Evropaea fere aeqvat (a 10,0 ad 12,0), et inter $10$ et $12$ credita transferibilia Chilensia (a 9,6 ad 12,5). Si valor medivs vtrivsqve intervalli, 27,5 horae in singvla credita, pro norma svmitvr, in vtroqve systemate idem nvmervs prodit, 10,9, qvi ad 11 rotvndatvr. Pro creditis Evropaeis nvmervs $C$ creditorvm sic circvmscribitvr:

Itaqve commendatvr vt cvrsvi $11$ credita Evropaea et $11$ credita transferibilia Chilensia tribvantvr, id est pavlo plvs qvam sexta portio anni academici stvdii pleni. Nvmervs maior est qvam disciplinae semestralis algebrae vsitatae, idqve explicatvr necessitate omnes demonstrationes stvdendi et constrvctione genervm nvmerorvm, qvam rationes stvdiorvm vsitatae plervmqve omittvnt.

Designatio cvrsvs

Modvs

Cvrsvs asynchronvs est, in rete et celeritatis propriae: dies, sessiones vivas et terminos non habet, et qvisqve discipvlvs ea celeritate progreditvr qvam praeparatio et tempvs eivs sinvnt. Qvattvordecim lingvis sitvs offertvr, eadem mathematica in omnibvs: formvlae et gradvs demonstrationvm in qvaqve versione idem svnt, et solvs textvs vertitvr. Lectiones declarant qvas alias lectiones antea stvdvisse conveniat, ita vt ordo commendatvs explicitvs sit et confirmari possit.

Strvctvra lectionis

Omnes lectiones materiae eandem strvctvram seqvvntvr. Incipivnt a svmmario et a catalogo propositorvm discendi propriorvm, vt actiones observabiles formvlatorvm. Seqvvntvr theoria, cvm definitionibvs, theorematibvs accvrate envntiatis eorvmqve demonstrationibvs, et exempla. Demonstrationes et exempla vt reprodvctores gradatim exhibentvr: qvisqve gradvs versvm ratiocinationis scribit, terminos qvi intersvnt illvstrat et, cvm effectvi antecedenti innititvr, ad evm redit evmqve dvm legitvr illvstrat, ita vt memoria ratiocinationis in conspectv maneat; mvlta figvra comitantvr qvae qvoqve gradv mvtatvr. Lectionem clavdvnt qvinqve problemata solvta (sex in dvabvs lectionibvs partis 3), cvm solvtione gradatim, et qvinqve problemata proposita, qvodqve cvm indicio complicato et deinde responso finali, vt discipvlvs eventvm svvm confirmet nec via ei aperiatvr; problemata proposita demonstrationis, post responsvm complicatam, solvtionem explicatam addvnt, qvam aperire convenit non nisi postqvam discipvlvs svam conscripsit.

Lectiones introdvctionis et synthesis strvctvram propriam habent. Introdvctio vnitatem, eivs historiam, qvaestionem vnde orta est et eivs momentvm praesentat; synthesis catenam dedvctivam vnitatis reficit, eam cvm vnitatibvs antecedentibvs et posterioribvs conectit, et decem provocationes proponit, qvamqve cvm indicio, responso finali et solvtione explicata complicata, qvae plvres lectiones conivngvnt et plvs inventionis postvlant qvam problemata proposita.

Lector vocis

Qvaeqve lectio voce alta avdiri potest lectore sitvs, qvi vocibvs ipsivs instrvmenti vtitvr: textvs legitvr sicvt scriptvs est et formvlae verbis pronvntiantvr. Hoc sinit lectionem procvl a qvadro repetere, demonstrationem avdiendo seqvi dvm reprodvctor gradatim spectatvr, et cvm impedimentis visvs stvdere.

Probatio

Cvrsvs non censvrae svbicit: probatio eivs formativa est et svi ipsivs aestimatione nititvr. Problemata proposita sinvnt confirmare vtrvm proposita cvivsqve lectionis assecvta sint, et provocationes, vtrvm ea cvivsqve vnitatis.

His accedvnt probationes vnitatvm. Initialis, initio introdvctionis, brevis est svi ipsivs aestimatio, decem qvaestionvm de vnitate, qvibvs a parte 2 tres accedvnt de eo qvod vnitas ex antecedentibvs vt notvm praesvpponit, et pvnctvm vnde proficiscitvr metitvr; finalis, in synthesi et ante provocationes, dvodecim qvaestiones habet, qvod assecvtvm est metitvr et cvm initiali comparatvr. Ambae in ipso navigatro corrigvntvr: qvodqve responsvm expositionem accipit, qvisqve error typicvs animadversionem qvae evm agnoscit, et qvaeqve qvaestio ad lectionem remittit qvam repetere convenit. Nevtra censvram dat neqve testificatvr, et eventvs earvm in navigatro discipvli tantvm servantvr; confirmatio facvltatvm acqvisitarvm postea in alio svggestv fiet. Qvinqve vnitates ambas probationes continent, et recognitio finalis primvm conatvm cvivsqve probationis finalis in tabvlam per propositvm generale colligit.

Pro propositis generalibvs haec testimonia assecvtionis svadentvr:

• Propositvm 1: sine lectione consvlta demonstrationem theorematis cvrsvs conscribere, vt infinitatis nvmerorvm primorvm vel vnicitatis divisionis cvm residvo, et eam provocationis qvae indvctionem reqvirat.
• Propositvm 2: scripto explicare qvae aeqvatio qvamqve amplificationem a nvmeris natvralibvs ad complexos moveat, et demonstrare additionem integrorvm, per classes parivm nvmerorvm natvralivm definitam, bene definitam esse.
• Propositvm 3: aeqvationem Diophanteam linearem cvm condicionibvs solvere, et congrventiis residvvm potentiae magnae compvtare.
• Propositvm 4: inaeqvationem rationalem vel cvm radicalibvs et valore absolvto solvere, qvamqve aeqvivalentiam ivstificando et solvtionem confirmando.
• Propositvm 5: fvnctionem rationalem vel cvm radicalibvs integre investigare eivsqve delineationem sine instrvmentis compvtandi dvcere, et postea eam vno instrvmento confirmare.
• Propositvm 6: sectionem conicam agnoscere qvam aeqvatio secvndi gradvs sine termino in $xy$ definit, cvm omnibvs eivs elementis, et inaeqvationibvs regionem describere rectis et sectionibvs conicis terminatam.
• Propositvm 7: aeqvationem logarithmicam cvm examine dominii solvere, et identitatem hyperbolicam ex definitionibvs demonstrare.
• Propositvm 8: problema programmationis linearis ponere et solvere vel exemplar exponentiale datis aptare, et solvtionem integram conscribere, cvm positione, evolvtione, responso et examine verisimilitvdinis, ita vt alivs homo eam sine explicationibvs additis seqvi possit.

Qvomodo hic cvrsvs stvdendvs sit

Cvrsvs ita excogitatvs est vt ordine stvdeatvr. Qvaeqve vnitas antecedentes svpponit, et mvltae demonstrationes effectvs lectionvm antecedentivm citant; lectionem praeterire cogit, serivs ocivs, ad eam redire.

Qvaeqve vnitas dvo pvncta examinis habet. Probatio initialis, initio introdvctionis, pvnctvm vnde proficiscitvr est: ei respondere convenit anteqvam vnitas stvdeatvr, nihil consvlendo, et lectiones notare ad qvas errores remittvnt, qvae maiorem cvram postvlant. Probatio finalis, in synthesi et ante provocationes, comparatio est: ei respondetvr lectionibvs perfectis, item nihil consvlendo, et cvm initiali comparatvr vt videatvr qvid mvtatvm sit et qvas lectiones repetere conveniat. In vtraqve primvs conatvs valet, qvi comparatvr et qvem tabvla recognitionis finalis colligit; posteriores conatvs iam responsis visis fivnt. Provocationes examen complent, qvia postvlant vt conivngatvr et conscribatvr qvod qvaestiones breves tantvm attingvnt. Ex qvo seqvitvr vt qvi se iam vnitatem tenere credat id vna probatione non decernat: si probatio eivs finalis solida est et provocationes synthesis solvit, ad vnitatem posteriorem transire potest; sin minvs, lectiones percvrrere convenit qvas illa et hae indicant.

In qvaqve lectione convenit primvm svmmarivm et proposita legere, qvae dicvnt qvid qvaeratvr; deinde theoriam charta et stilo stvdere, conando qvemqve gradvm demonstrationvm anticipare anteqvam reprodvctor evm scribat; problemata solvta temptare anteqvam eorvm solvtio inspiciatvr, et proposita sine avxilio solvere, indicivm non nisi conatv exhavsto aperiendo, et responsvm tantvm in fine, ad confirmandvm. Problema cvivs responsvm ante conatvm consvltvm est non solvtvm, sed lectvm est.

Provocationes difficiliores svnt qvam problemata lectionvm, et vsitatvm est vt qvaedam plvres conatvs diversis diebvs reqvirant. Non convenit in vna sine fine haerere: eam notare, progredi et postea ad eam redire saepe via brevissima est. Atqvi labor aestimatvs svpponit omnes serio temptari, et in eo conatv magna portio eivs qvod cvrsvs docere potest agitvr.

Postremo convenit scribere. Demonstrationem vel solvtionem integram conscribere, cvm praemissis et conclvsionibvs svis, sola via est sciendi vtrvm intellectvm sit, et est etiam octavvm ex propositis cvrsvs. Libellvs stvdii, in qvo definitiones et theoremata cvivsqve vnitatis verbis propriis rescribvntvr, optima materia repetitionis est qvam cvrsvs relinqvere potest.