Nvmeri natvrales: synthesis et provocationes

Svmmarivm

Haec lectio partem nvmeris natvralibvs dicatam conclvdit. Catenam dedvctivam restitvit qvae a sermone copiarvm et ab axiomatibvs Peani ad binomivm Newtonianvm dvcit, in singvlis anvlis indicans qvod principivm adhibeatvr et qvi effectvs obtineatvr; qvae consecvta svnt ad rationem cvrsvs refert et explicat cvr fines svbtractionis et divisionis inter nvmeros natvrales ad partem seqventem dvcant, qvae generibvs nvmerorvm dicata est. Decem provocationibvs finitvr, difficilioribvs qvam problemata lectionvm, qvae instrvmenta plvrivm earvm conivngere ivbent.

Proposita discendi

Ordinem logicvm effectvvm partis restitvere, principivm agnoscendo cvi vnvmqvodqve nititvr.
Explicare qvomodo indvctio, bona ordinatio, divisio cvm residvo, vnica factorizatio et congrventiae inter se cohaereant.
Ex finibvs svbtractionis et divisionis inter nvmeros natvrales necessitatem genera nvmerorvm amplificandi ostendere.
Problemata solvere qvae indvctionem, divisibilitatem, notationem positionalem et nvmerationem conivngvnt.

Qvae vnitas consecvta est

Pars sibi proposverat arithmeticam nvmerorvm natvralivm ex pavcis principiis dedvcere, nvlla eivs proprietate pro evidenti admissa. Propositvm pavcis exceptionibvs impletvm est, qvarvm vnaqvaeqve svo loco declarata est: regvlae theoriae copiarvm intvitivae et negationis qvantificatorvm, qvae sermo svnt qvo cetera omnia scribvntvr; exsistentia fvnctionvm per recvrsionem definitarvm, qvam theorema recvrsionis Dedekindi praestat et qvae admissa est qvia ad theoriam copiarvm pertinet; vnicitas nvmeri elementorvm copiae finitae, et finitas eivs svbcopiarvm, qvibvs nvmeratio nititvr; commvtativitas generalis, qvae factores prodvcti finiti aliter disponere sinit; et regvlae elementares integrorvm, rationalivm et realivm, qvas pars in exemplis et problematis anticipavit et qvas pars seqvens constrvit. His exceptionibvs factis, iter confectvm legi potest vt vna catena dedvctiva qvattvor segmentis constans.

Fvndamenta: copiae, axiomata, operationes et ordo

Lectio de copiis, relationibvs et fvnctionibvs sermonem statvit qvo pars scribitvr, declarans pavca qvae ex theoria copiarvm admittit, et demonstravit relationes aeqvivalentiae et partitiones dvas facies eivsdem notionis esse: classes aeqvivalentiae partitionem efficivnt, et omnis partitio ab vnica aeqvivalentia oritvr. Hic effectvs in distribvtione integrorvm secvndvm residvvm et in congrventiis rvrsvs apparet, eoqve pars seqvens vtitvr vt integros et rationales tamqvam classes parivm constrvat. In lectione de axiomatibvs Peani nvmeri natvrales definiti svnt per $1$ , operationem svccessoris et qvinqve axiomata; axiomata a secvndo ad qvartvm praestant vt series neqve consistat neqve in se redeat, qvintvm avtem, principivm indvctionis, praestat nvllos esse nvmeros natvrales praeter eos qvi a $1$ attingvntvr. Lectio de operationibvs primis et ordine svper svccessorem, theoremate recvrsionis adhibito, scalam definitionvm recvrsivarvm exstrvxit, in qva vnaqvaeqve operatio per priorem definitvr:

n + S(m) = S(n + m), \qquad n \cdot S(m) = n \cdot m + n, \qquad b^{S(n)} = b^n \cdot b

Ex his definitionibvs per indvctionem dedvctae svnt commvtativitas, associativitas, distribvtivitas et lex cancellationis, et ex additione ordo obtentvs est, cvm trichotomia, transitivitate et monotonia. Svbtractio et divisio vt operationes inversae definitae svnt, sed solvm certis casibvs: $a - b$ exstat cvm $b < a$ , et $\frac{a}{b}$ , cvm $b$ dividit $a$ .

Principia demonstrandi

Lectio de svmmationibvs, progressionibvs et indvctione copiam demonstrationvm avxit. Demonstravit indvctionem ordinariam implicare indvctionem fortem et principivm bonae ordinationis, et bonam ordinationem, adhibitis lemmate qvo omnis nvmervs natvralis a $1$ diversvs svccessor est et proprietatibvs ordinis, vicissim indvctionem implicare, ita vt qvaeqve demonstratio principio vti possit qvod ei maxime natvrale videatvr; svmmis definitionem recvrsivam dedit et proprietates qvibvs compvtari possvnt, et svmmis telescopicis ostendit formvlam dedvci posse, non solvm confirmari. Principivm bonae ordinationis instrvmentvm fvit fere omnivm demonstrationvm exsistentiae qvae secvtae svnt, qvia sinit minimvm elementvm copiae eligere et per minimvm exemplvm contrarivm ratiocinari.

Arithmetica divisibilitatis

Bona ordinatione adhibita, lectio de divisibilitate demonstravit omnem integrvm, cvm per nvmervm natvralem dividitvr, vnicvm qvotientem et vnicvm residvvm habere. Ex eo theoremate qvattvor effectvs qvi seqvvntvr pendent, qvorvm vnvsqvisqve prioribvs nititvr:

Distribvtio integrorvm secvndvm residvvm, qvae per casvs demonstrare sinit, et criteria divisibilitatis, qvae ad hoc redvcvntvr, qvod dvo nvmeri qvi mvltiplo nvmeri $d$ differvnt idem residvvm relinqvvnt cvm per $d$ dividvntvr.
In lectione de nvmeris primis, lemma Evclidis, bona ordinatione et divisione cvm residvo demonstratvm, et cvm eo theorema fvndamentale arithmeticae: omnis nvmervs natvralis maior qvam $1$ vno tantvm modo prodvctvm primorvm est. Ex vnicitate dedvcti svnt nvmervs divisorvm, descriptio qvadratorvm perfectorvm et irrationalitas radicvm qvae exactae non svnt.
In lectione de maximo commvni divisore, algorithmvs Evclidis, qvi divisionem cvm residvo adhibet donec exhavriatvr, identitas Bezovtiana, qvae ex eo dedvcitvr, et solvtio plena aeqvationvm Diophantearvm linearivm.
In lectione de congrventiis, conversio omnivm qvae praecedvnt in calcvlvm: congrventia modvlo $n$ est relatio aeqvivalentiae cvm additione et mvltiplicatione congrvens, cvivs classes $\mathbb{Z}_n$ efficivnt; identitas Bezovtiana decernit qvae residva invertibilia sint et qvando congrventia linearis solvtionem habeat, et theorema Sinicvm de residvis praebet; lemma avtem Evclidis, vna cvm inversis, theorema parvvm Fermatii praebet.

Scriptio et nvmeratio

Lectio de systematibvs nvmerationis positionalis divisionem cvm residvo itervm atqve itervm adhibvit vt demonstraret omnem nvmervm natvralem vno tantvm modo in qvalibet basi scribi, eoqve rationes compvtandi et criteria divisibilitatis in omni basi confirmavit. Lectio de combinatoria et binomio Newtoniano ad initivm rediit, qvia nvmerare est operatio vnde nvmeri natvrales orti svnt: principia additivvm et mvltiplicativvm, ex definitione nvmeri elementorvm per biiectiones demonstrata (altervm per indvctionem ex primo), ad coefficientes binomiales, ad regvlam Pascalis et ad binomivm Newtonianvm dvxervnt, cvivs demonstratio indvctionem, notationem svmmationis et nvmerationem conivngit.

Pictvra qvae seqvitvr qvattvor segmenta in vnam catenam colligit. Qvisqve nodvs colvmnae est definitio avt theorema, secvndvm ordinem logicvm nvmeratvs et arcv cvm anvlis prioribvs conivnctvs qvibvs eivs demonstratio vtitvr; circvm flvitant fvlcra, id est principia et instrvmenta ad qvae catena itervm atqve itervm recvrrit, qvodqve linea continva cvm anvlis qvi ei nitvntvr conivnctvm et linea pvnctata cvm anvlo vbi statvitvr, exceptis iis qvae sine demonstratione admittvntvr, qvae vt circvli vacvi pingvntvr. Fvlcro pvlsato omnes anvli qvi eo vtvntvr illvstrantvr, et qvisqve anvlvs ad lectionem remittit in qva demonstratvr.

Fvlcra catenae

APrincipivm indvctionis. Si proprietas valet pro $1$ et, posita pro qvolibet nvmero natvrali $k$ , valet pro eivs svccessore $S(k)$ , tvm valet pro omnibvs nvmeris natvralibvs. Constitvitvr in: 2. Axiomata Peani.
BTheorema recvrsionis. Constitvto valore in $1$ et regvla qvae valorem in $S(n)$ ex valore in $n$ dat, exstat vnica fvnctio in nvmeris natvralibvs qvae eis satisfacit; sic definivntvr additio, mvltiplicatio, potentia, svmmatio et factoriale. Exsistentia admittitvr; vnicitas per indvctionem demonstratvr. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
CIndvctio fortis. Satis est proprietatem pro $1$ demonstrare et ostendere eam, positam pro omnibvs nvmeris natvralibvs a $1$ vsqve ad $n$ , valere pro $n + 1$ . Constitvitvr in: 9. Indvctio fortis.
DBona ordinatio. Omnis copia non vacva nvmerorvm natvralivm elementvm minimvm habet, qvod per minimvm exemplvm contrarivm ratiocinari sinit. Constitvitvr in: 10. Principivm bonae ordinationis.
EDivisio cvm residvo. Pro omni integro $a$ et omni nvmero natvrali $b$ svnt vnicvs qvotiens $q$ et vnicvm residvvm $r$ talia vt $a = bq + r$ et $0 \leq r < b$ . Constitvitvr in: 12. Divisio cvm residvo.
FCombinationes lineares. Si integer $d$ integros $a$ et $b$ dividit, dividit $ax + by$ pro omnibvs integris $x$ et $y$ ; praesertim eorvm svmmam et differentiam. Constitvitvr in: 11. Proprietates divisibilitatis.
GNvmeri anticipati. Regvlae elementares compvtandi et ordinis integrorvm, rationalivm et realivm (signa, cancellatio, fractiones, radices) in hac parte sine demonstratione anticipantvr; eorvm constrvctio ad partem seqventem pertinet. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
HNvmervs elementorvm. Copia qvae biiectionem cvm $\{1, \ldots, n\}$ admittit $n$ elementa habet; admittitvr hvnc nvmervm vnicvm esse et svbcopias copiae finitae finitas esse. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.

Segmentvm 1 Fvndamenta: copiae, axiomata, operationes et ordo
- Sermonem copiarvm, relationvm et fvnctionvm statvere, et ostendere relationes aeqvivalentiae et partitiones inter se respondere.
- Nvmeros natvrales ex $1$ et svccessore per qvinqve axiomata Peani definire.
- Svper svccessorem scalam definitionvm recvrsivarvm exstrvere: additionem, mvltiplicationem et potentiam.
- Per indvctionem commvtativitatem, associativitatem, distribvtivitatem et legem cancellationis dedvcere.
- Ex additione ordinem obtinere, cvm trichotomia, transitivitate et monotonia, et definire qvando svbtractio et divisio exstent.
1. Aeqvivalentiae et partitiones. Classes relationis aeqvivalentiae in copia partitionem eivs efficivnt, et omnis partitio est copia classivm vnicae relationis aeqvivalentiae.
  Demonstratvr in: Copiae, relationes et fvnctiones.
2. Axiomata Peani. Nvmeri natvrales ex $1$ per svccessorem gignvntvr: $1$ nvllivs eorvm svccessor est, nvmeri natvrales diversi svccessores diversos habent, et omnis copia qvae $1$ et svccessorem cvivsqve svi elementi continet omnes nvmeros natvrales continet.
  Demonstratvr in: Nvmeri natvrales et axiomata Peani.
3. Additio recvrsiva. Additio, per $n + 1 = S(n)$ et $n + S(m) = S(n + m)$ definita, commvtativa, associativa et cancellabilis est.
  Vtitvr: 2. Axiomata Peani. Nititvr: A (Principivm indvctionis), B (Theorema recvrsionis). Demonstratvr in: Operationes primae nvmerorvm natvralivm et relationes ordinis.
4. Mvltiplicatio et potentia. Mvltiplicatio, per $n \cdot 1 = n$ et $n \cdot S(m) = n \cdot m + n$ definita, commvtativa, associativa, distribvtiva et cancellabilis est, et potentia satisfacit $b^n b^m = b^{n + m}$ , $(b^n)^m = b^{nm}$ et $(ab)^n = a^n b^n$ .
  Vtitvr: 3. Additio recvrsiva. Nititvr: A (Principivm indvctionis), B (Theorema recvrsionis). Demonstratvr in: Operationes primae nvmerorvm natvralivm et relationes ordinis.
5. Ordo, svbtractio et divisio. Si $a < b$ significat $a + k = b$ pro aliqvo nvmero natvrali $k$ , inter dvos nvmeros natvrales vna tantvm ex relationibvs $a < b$ , $a = b$ et $b < a$ valet, et ordo transitivvs est et addendo et mvltiplicando servatvr; differentia $a - b$ exstat solvm cvm $b < a$ , et qvotiens $\frac{a}{b}$ solvm cvm $b$ dividit $a$ , et vtraqve per legem cancellationis vnica svnt.
  Vtitvr: 2. Axiomata Peani, 3. Additio recvrsiva, 4. Mvltiplicatio et potentia. Nititvr: A (Principivm indvctionis). Demonstratvr in: Operationes primae nvmerorvm natvralivm et relationes ordinis.
Segmentvm 2 Principia demonstrandi
- Ostendere indvctionem ordinariam, indvctionem fortem et principivm bonae ordinationis aeqvivalentia esse.
- Svmmationem recvrsive definire eivsqve proprietates dedvcere.
- Formvlas svmmis telescopicis dedvcere, non solvm confirmare.
- Progressiones arithmeticas et geometricas svmmare.
1. Indvctio ab aliqvo nvmero natvrali. Proprietas qvae pro $n_0$ valet et a qvoqve nvmero natvrali $k \geq n_0$ ad $k + 1$ transit valet pro omni nvmero natvrali $n \geq n_0$ .
  Vtitvr: 5. Ordo, svbtractio et divisio. Nititvr: A (Principivm indvctionis). Demonstratvr in: Svmmationes, progressiones et indvctio.
2. Svmmatio et svmma telescopica. Recvrsive definita, svmmatio linearis est, in svmmas consecvtivas dividitvr et translationem indicis et inversionem ordinis admittit; svmma differentiarvm inter valores consecvtivos aeqvat vltimvm valorem minvs primvm: $\sum_{k=1}^{n} (b_{k + 1} - b_k) = b_{n + 1} - b_1$ .
  Vtitvr: 4. Mvltiplicatio et potentia, 6. Indvctio ab aliqvo nvmero natvrali. Nititvr: A (Principivm indvctionis), B (Theorema recvrsionis). Demonstratvr in: Svmmationes, progressiones et indvctio.
3. Progressiones. Svmma $n$ terminorvm progressionis arithmeticae est $\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ , et svmma progressionis geometricae cvivs primvs terminvs est $a$ et ratio $r \neq 1$ est $a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$ .
  Vtitvr: 7. Svmmatio et svmma telescopica. Nititvr: A (Principivm indvctionis), G (Nvmeri anticipati). Demonstratvr in: Svmmationes, progressiones et indvctio.
4. Indvctio fortis. Si proprietas valet pro $1$ et, posita pro omnibvs nvmeris natvralibvs a $1$ vsqve ad $n$ , valet pro $n + 1$ , tvm valet pro omnibvs nvmeris natvralibvs.
  Vtitvr: 6. Indvctio ab aliqvo nvmero natvrali. Nititvr: A (Principivm indvctionis). Demonstratvr in: Svmmationes, progressiones et indvctio.
5. Principivm bonae ordinationis. Omnis copia nvmerorvm natvralivm aliqvod elementvm habens elementvm minimvm habet; adhibitis lemmate qvo omnis nvmervs natvralis a $1$ diversvs svccessor est et proprietatibvs ordinis, bona ordinatio vicissim indvctionem implicat, et tria principia aeqvivalentia evadvnt.
  Vtitvr: 5. Ordo, svbtractio et divisio. Nititvr: C (Indvctio fortis). Demonstratvr in: Svmmationes, progressiones et indvctio.
Segmentvm 3 Arithmetica divisibilitatis
- Bona ordinatione exsistentiam et vnicitatem qvotientis et residvi demonstrare.
- Integros secvndvm residvvm distribvere eoqve criteria divisibilitatis fvndare.
- Infinitatem primorvm, lemma Evclidis et vnicam factorizationem cvm earvm conseqventiis demonstrare.
- Maximvm commvnem divisorem algorithmo Evclidis compvtare, ex eo identitatem Bezovtianam dedvcere et aeqvationes Diophanteas lineares solvere.
- Congrventiis compvtare, decernere qvae residva invertibilia sint, congrventias lineares et systemata modvlis inter se primis solvere, et theorema parvvm Fermatii demonstrare.
1. Proprietates divisibilitatis. Divisibilitas inter integros reflexiva et transitiva est, divisor integri $a > 0$ inter $-a$ et $a$ iacet, et si $d$ dividit $a$ et $b$ , dividit omnem combinationem $ax + by$ .
  Vtitvr: 5. Ordo, svbtractio et divisio. Nititvr: G (Nvmeri anticipati). Demonstratvr in: Divisibilitas et divisio cvm residvo.
2. Divisio cvm residvo. Pro omni integro $a$ et omni nvmero natvrali $b$ exstant vnicvs qvotiens $q$ et vnicvm residvvm $r$ talia vt $a = bq + r$ et $0 \leq r < b$ .
  Nititvr: D (Bona ordinatio), G (Nvmeri anticipati). Demonstratvr in: Divisibilitas et divisio cvm residvo.
3. Residva et criteria. Dvo integri idem residvvm relinqvvnt cvm per $d$ dividvntvr si et solvm si eorvm differentia mvltiplvm nvmeri $d$ est; inde seqvvntvr residvvm svmmae, prodvcti et potentiae, et criteria nvmerorvm $3$ , $9$ et $11$ .
  Nititvr: A (Principivm indvctionis), E (Divisio cvm residvo), F (Combinationes lineares). Demonstratvr in: Divisibilitas et divisio cvm residvo.
4. Divisor primvs et infinitas. Omnis nvmervs natvralis $n > 1$ divisorem primvm habet, et si $n$ compositvs est, minimvs eivs divisor primvs $p$ satisfacit $p^2 \leq n$ ; inde seqvitvr nvllvm indicem finitvm omnes nvmeros primos continere.
  Vtitvr: 5. Ordo, svbtractio et divisio, 11. Proprietates divisibilitatis. Nititvr: D (Bona ordinatio), F (Combinationes lineares). Demonstratvr in: Nvmeri primi et theorema fvndamentale arithmeticae.
5. Lemma Evclidis. Si nvmervs primvs prodvctvm $ab$ dividit, dividit $a$ avt dividit $b$ ; et si prodvctvm plvrivm factorvm dividit, aliqvem eorvm dividit.
  Nititvr: A (Principivm indvctionis), D (Bona ordinatio), E (Divisio cvm residvo), F (Combinationes lineares). Demonstratvr in: Nvmeri primi et theorema fvndamentale arithmeticae.
6. Theorema fvndamentale. Omnis nvmervs natvralis $n > 1$ prodvctvm nvmerorvm primorvm est, et ea factorizatio vnica est, ordine factorvm neglecto.
  Vtitvr: 4. Mvltiplicatio et potentia, 15. Lemma Evclidis. Nititvr: D (Bona ordinatio). Demonstratvr in: Nvmeri primi et theorema fvndamentale arithmeticae.
7. Divisores et radices irrationales. Si $n = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}$ , eivs divisores svnt nvmeri $p_1^{f_1} \cdots p_k^{f_k}$ cvm $0 \leq f_i \leq e_i$ , svntqve $(e_1 + 1) \cdots (e_k + 1)$ ; nvmervs natvralis $n > 1$ est potentia $k$ -ta perfecta si et solvm si omnes exponentes eivs factorizationis mvltipla nvmeri $k$ svnt, et si non est, nvlli svnt nvmeri natvrales $a$ et $b$ cvm $a^k = n b^k$ , id est eivs radix $k$ -ta irrationalis est.
  Vtitvr: 15. Lemma Evclidis, 16. Theorema fvndamentale. Nititvr: A (Principivm indvctionis), G (Nvmeri anticipati). Demonstratvr in: Nvmeri primi et theorema fvndamentale arithmeticae.
8. Algorithmvs Evclidis. Si $a = bq + r$ , paria $a, b$ et $b, r$ eosdem divisores commvnes habent; qvapropter $\operatorname{mcd}(a, b)$ est vltimvm residvvm non nvllvm divisionvm svccessivarvm.
  Nititvr: D (Bona ordinatio), E (Divisio cvm residvo), F (Combinationes lineares). Demonstratvr in: Maximvs commvnis divisor et minimvm commvne mvltiplvm.
9. Identitas Bezovtiana. Exstant integri $x$ et $y$ tales vt $ax + by = \operatorname{mcd}(a, b)$ , et maximvs commvnis divisor est minimvs nvmervs natvralis qvi ea forma scribitvr.
  Vtitvr: 18. Algorithmvs Evclidis. Nititvr: A (Principivm indvctionis), F (Combinationes lineares), G (Nvmeri anticipati). Demonstratvr in: Maximvs commvnis divisor et minimvm commvne mvltiplvm.
10. Prodvctvm mcd et mcm. Valet $\operatorname{mcd}(a, b) \cdot \operatorname{mcm}(a, b) = ab$ , et omne mvltiplvm commvne nvmerorvm $a$ et $b$ mvltiplvm est eorvm minimi commvnis mvltipli.
  Vtitvr: 4. Mvltiplicatio et potentia, 16. Theorema fvndamentale, 17. Divisores et radices irrationales. Nititvr: D (Bona ordinatio), E (Divisio cvm residvo), F (Combinationes lineares). Demonstratvr in: Maximvs commvnis divisor et minimvm commvne mvltiplvm.
11. Aeqvationes Diophanteae. Aeqvatio $ax + by = c$ solvtiones integras habet si et solvm si $d = \operatorname{mcd}(a, b)$ dividit $c$ , et tvm omnes svnt $x = x_0 + \frac{b}{d} t$ et $y = y_0 - \frac{a}{d} t$ , vbi $t$ integer est.
  Vtitvr: 19. Identitas Bezovtiana, 20. Prodvctvm mcd et mcm. Nititvr: F (Combinationes lineares), G (Nvmeri anticipati). Demonstratvr in: Maximvs commvnis divisor et minimvm commvne mvltiplvm.
12. Congrventiae et residva. Dvo integri congrventes svnt modvlo $n$ si et solvm si idem residvvm relinqvvnt cvm per $n$ dividvntvr; congrventia est relatio aeqvivalentiae cvm additione et mvltiplicatione congrvens, eivsqve $n$ classes, residvorvm $0, 1, \ldots, n - 1$ , efficivnt $\mathbb{Z}_n$ .
  Vtitvr: 1. Aeqvivalentiae et partitiones, 13. Residva et criteria. Nititvr: E (Divisio cvm residvo), F (Combinationes lineares). Demonstratvr in: Congrventiae et arithmetica modvlaris.
13. Residva invertibilia. Integer $a$ inversvm modvlo $n$ habet si et solvm si $\operatorname{mcd}(a, n) = 1$ , et tvm id vnicvm est modvlo $n$ ; congrventia $ax \equiv b \pmod{n}$ solvtionem habet si et solvm si $d = \operatorname{mcd}(a, n)$ dividit $b$ , et tvm $d$ solvtiones modvlo $n$ habet.
  Vtitvr: 22. Congrventiae et residva, 19. Identitas Bezovtiana, 21. Aeqvationes Diophanteae. Nititvr: F (Combinationes lineares). Demonstratvr in: Congrventiae et arithmetica modvlaris.
14. Theorema Sinicvm de residvis. Si nvmeri natvrales $m$ et $n$ inter se primi svnt, systema ex $x \equiv a \pmod{m}$ et $x \equiv b \pmod{n}$ constans solvtionem habet, eaqve vnica est modvlo $mn$ .
  Vtitvr: 22. Congrventiae et residva, 19. Identitas Bezovtiana, 20. Prodvctvm mcd et mcm. Nititvr: G (Nvmeri anticipati). Demonstratvr in: Congrventiae et arithmetica modvlaris.
15. Theorema parvvm Fermatii. Si $p$ primvs est neqve integrvm $a$ dividit, tvm $a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}$ ; et pro omni integro $a$ , $a^p \equiv a \pmod{p}$ .
  Vtitvr: 22. Congrventiae et residva, 15. Lemma Evclidis, 23. Residva invertibilia. Demonstratvr in: Congrventiae et arithmetica modvlaris.
Segmentvm 4 Scriptio et nvmeratio
- Demonstrare omnem nvmervm natvralem vno tantvm modo in qvalibet basi scribi.
- In omni basi additionem per colvmnas et criteria divisibilitatis confirmare.
- Principiis additivo et mvltiplicativo nvmerare, et ex eis coefficientes binomiales et regvlam Pascalis obtinere.
- Binomivm Newtonianvm demonstrare, qvod indvctionem, notationem svmmationis et nvmerationem conivngit.
1. Repraesentatio positionalis. Pro omni basi $b \geq 2$ omnis nvmervs natvralis vno tantvm modo scribitvr vt $a_k b^k + \cdots + a_1 b + a_0$ , digitis inter $0$ et $b - 1$ positis et $a_k \neq 0$ .
  Nititvr: C (Indvctio fortis), D (Bona ordinatio), E (Divisio cvm residvo). Demonstratvr in: Systemata nvmerationis positionalis.
2. Calcvlvs et criteria in omni basi. Additio per colvmnas repraesentationem svmmae dat, et in basi $b$ nvmervs idem residvvm relinqvit ac svmma digitorvm eivs cvm per $b - 1$ dividitvr, et ac svmma eivs alternans cvm per $b + 1$ dividitvr.
  Vtitvr: 7. Svmmatio et svmma telescopica, 13. Residva et criteria, 26. Repraesentatio positionalis. Nititvr: A (Principivm indvctionis), E (Divisio cvm residvo). Demonstratvr in: Systemata nvmerationis positionalis.
3. Principia nvmerandi. Vnio dvarvm copiarvm sine elementis commvnibvs, qvae $m$ et $n$ elementa habent, $m + n$ elementa habet, et electio dvobvs actibvs facta, qvorvm alter $m$ , alter $n$ modis fit, $mn$ modis efficitvr.
  Vtitvr: 3. Additio recvrsiva, 4. Mvltiplicatio et potentia, 5. Ordo, svbtractio et divisio. Nititvr: A (Principivm indvctionis), H (Nvmervs elementorvm). Demonstratvr in: Combinatoria elementaris et binomivm Newtonianvm.
4. Coefficientes binomiales et regvla Pascalis. Copia $n$ elementorvm habet $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}$ svbcopias $k$ elementorvm; valet $\binom{n + 1}{k} = \binom{n}{k - 1} + \binom{n}{k}$ , vnde coefficientes triangvlvm Pascalis efficivnt, et versvs $n$ svmmam $2^n$ habet.
  Vtitvr: 28. Principia nvmerandi. Nititvr: B (Theorema recvrsionis), H (Nvmervs elementorvm). Demonstratvr in: Combinatoria elementaris et binomivm Newtonianvm.
5. Binomivm Newtonianvm. Pro omnibvs nvmeris $x$ et $y$ , natvralibvs vel, parte seqventi anticipata, realibvs, et omni nvmero natvrali $n$ , valet $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ .
  Vtitvr: 7. Svmmatio et svmma telescopica, 29. Coefficientes binomiales et regvla Pascalis. Nititvr: A (Principivm indvctionis), G (Nvmeri anticipati). Demonstratvr in: Combinatoria elementaris et binomivm Newtonianvm.

Ad genera nvmerorvm. Catena ibi consistit vbi nvmeri natvrales svfficere desinvnt: svbtractio et divisio solvm certis casibvs exstant, et aeqvatio $x^2 = n$ solvtionem rationalem non habet cvm $n$ qvadratvm perfectvm non est. Pars seqvens nvmeros natvrales amplificat vt hvic rei medeatvr.