Натуральные числа: итоги и задачи повышенной трудности

Краткое содержание

Этот урок завершает раздел, посвящённый натуральным числам. Он восстанавливает дедуктивную цепь, ведущую от языка множеств и аксиом Пеано к биному Ньютона, указывая в каждом звене, какой принцип используется и какой результат получается; соотносит достигнутое с планом курса и объясняет, почему ограничения вычитания и деления натуральных чисел ведут к следующему разделу, посвящённому числовым множествам. В конце даны десять задач повышенной трудности, более сложных, чем задачи уроков, которые требуют сочетать средства нескольких из них.

Цели обучения

Восстанавливать логический порядок результатов раздела, указывая принцип, на который опирается каждый из них.
Объяснять, как связаны между собой индукция, вполне упорядоченность, деление с остатком, единственность разложения на простые множители и сравнения.
Обосновывать, исходя из ограничений вычитания и деления натуральных чисел, необходимость расширить числовые множества.
Решать задачи, сочетающие индукцию, делимость, позиционную запись и подсчёт.

Чего достиг раздел

Раздел ставил целью вывести арифметику натуральных чисел из немногих принципов, не принимая ни одно из её свойств как очевидное. Цель достигнута с немногими оговорками, каждая из которых сделана в своём месте: правила наивной теории множеств и отрицания кванторов, составляющие язык, на котором записано всё остальное; существование функций, определённых по рекурсии, которое гарантирует теорема Дедекинда о рекурсии и которое было принято потому, что относится к теории множеств; единственность числа элементов конечного множества и конечность его подмножеств, на которых основан подсчёт; обобщённая коммутативность, позволяющая переставлять множители конечного произведения; и элементарные правила для целых, рациональных и действительных чисел, которые раздел заранее использовал в примерах и задачах и которые строятся в следующем разделе. С этими оговорками пройденный путь можно прочитать как единую дедуктивную цепь из четырёх участков.

Основания: множества, аксиомы, операции и порядок

Урок о множествах, отношениях и функциях закрепил язык, на котором написан раздел, указав то немногое, что принимается из теории множеств, и доказал, что отношения эквивалентности и разбиения суть две стороны одной идеи: классы эквивалентности образуют разбиение, и всякое разбиение происходит от единственной эквивалентности. Этот результат вновь появляется в классификации целых чисел по остатку и в сравнениях, а следующий раздел использует его, чтобы построить целые и рациональные числа как классы пар. В уроке об аксиомах Пеано натуральные числа были определены с помощью $1$ , операции следования и пяти аксиом; аксиомы со второй по четвёртую гарантируют, что последовательность не останавливается и не возвращается сама к себе, а пятая, принцип математической индукции, гарантирует, что нет других натуральных чисел, кроме тех, которых можно достичь, начиная с $1$ . Урок об основных операциях и порядке построил над функцией следования, с помощью теоремы о рекурсии, лестницу определений по рекурсии, в которой каждая операция определяется через предыдущую:

n + S(m) = S(n + m), \qquad n \cdot S(m) = n \cdot m + n, \qquad b^{S(n)} = b^n \cdot b

Из этих определений по индукции были выведены коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность и закон сокращения, а из сложения был получен порядок с трихотомией, транзитивностью и монотонностью. Вычитание и деление были определены как обратные операции, но лишь в некоторых случаях: $a - b$ существует, когда $b < a$ , а $\frac{a}{b}$ , когда $b$ делит $a$ .

Принципы доказательства

Урок о суммах, прогрессиях и индукции расширил запас методов доказательства. В нём доказано, что обычная индукция влечёт сильную индукцию и принцип вполне упорядоченности, и что, с помощью леммы о том, что всякое натуральное число, отличное от $1$ , является последователем, и свойств порядка, вполне упорядоченность в свою очередь влечёт индукцию, так что каждое доказательство может использовать тот принцип, который для него естественнее; в нём суммам дано определение по рекурсии и свойства, позволяющие их вычислять, и на телескопических суммах показано, что формулу можно вывести, а не только проверить. Принцип вполне упорядоченности оказался орудием почти всех последующих доказательств существования, потому что позволяет выбрать наименьший элемент множества и рассуждать методом наименьшего контрпримера.

Арифметика делимости

С помощью вполне упорядоченности урок о делимости доказал, что всякое целое число при делении на натуральное имеет единственные неполное частное и остаток. От этой теоремы зависят четыре результата, перечисленные ниже, каждый из которых опирается на предыдущие:

Классификация целых чисел по остатку, позволяющая доказывать разбором случаев, и признаки делимости, которые сводятся к тому, что два числа, отличающиеся на кратное $d$ , дают одинаковый остаток при делении на $d$ .
В уроке о простых числах лемма Евклида, доказанная с помощью вполне упорядоченности и деления с остатком, а вместе с ней основная теорема арифметики: всякое натуральное число, большее $1$ , единственным образом есть произведение простых. Из единственности выведены число делителей, характеризация полных квадратов и иррациональность корней, которые не извлекаются нацело.
В уроке о наибольшем общем делителе алгоритм Евклида, который применяет деление с остатком, пока оно не исчерпается, соотношение Безу, которое из него выводится, и полное решение линейных диофантовых уравнений.
В уроке о сравнениях превращение всего предыдущего в исчисление: сравнимость по модулю $n$ является отношением эквивалентности, согласованным со сложением и умножением, и её классы образуют $\mathbb{Z}_n$ ; соотношение Безу решает, какие остатки обратимы и когда линейное сравнение имеет решение, и даёт китайскую теорему об остатках; а лемма Евклида вместе с обратными элементами даёт малую теорему Ферма.

Запись и подсчёт

Урок о позиционных системах счисления снова и снова применял деление с остатком, чтобы доказать, что всякое натуральное число единственным образом записывается в любом основании, и тем самым обосновал приёмы вычислений и признаки делимости в любом основании. Урок о комбинаторике и биноме Ньютона вернулся к исходной точке, потому что счёт есть та операция, из которой возникли натуральные числа: правило суммы и правило произведения, доказанные исходя из определения числа элементов через биекции (второе по индукции из первого), привели к биномиальным коэффициентам, к правилу Паскаля и к биному Ньютона, доказательство которого соединяет индукцию, знак суммирования и подсчёт.

Рисунок ниже соединяет четыре участка в одну цепь. Каждый узел столбца есть определение или теорема, пронумерованные в логическом порядке и соединённые дугой с предыдущими звеньями, которые использует их доказательство; вокруг расположены опоры, то есть принципы и средства, к которым цепь обращается снова и снова, и каждая соединена сплошной линией со звеньями, которые на неё опираются, и пунктирной со звеном, где она устанавливается, кроме тех, которые принимаются без доказательства: они изображены кольцами. Нажатие на опору выделяет все звенья, которые её используют, а каждое звено ведёт к уроку, где оно доказывается.

Опоры цепи

AПринцип математической индукции. Если свойство выполняется для $1$ и, при допущении, что оно выполняется для произвольного натурального $k$ , выполняется для его последователя $S(k)$ , то оно выполняется для всех натуральных чисел. Устанавливается в: 2. Аксиомы Пеано.
BТеорема о рекурсии. Если заданы значение в $1$ и правило, дающее значение в $S(n)$ по значению в $n$ , то существует единственная функция на натуральных числах, удовлетворяющая им; так определяются сложение, умножение, возведение в степень, сумма и факториал. Существование принимается; единственность доказывается по индукции. В этом модуле принимается без доказательства.
CСильная индукция. Достаточно доказать свойство для $1$ и то, что, при допущении, что оно выполняется для всех натуральных чисел от $1$ до $n$ , оно выполняется для $n + 1$ . Устанавливается в: 9. Сильная индукция.
DВполне упорядоченность. Всякое непустое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент, что позволяет рассуждать методом наименьшего контрпримера. Устанавливается в: 10. Принцип вполне упорядоченности.
EДеление с остатком. Для всякого целого $a$ и всякого натурального $b$ существуют единственное неполное частное $q$ и единственный остаток $r$ , такие что $a = bq + r$ и $0 \leq r < b$ . Устанавливается в: 12. Деление с остатком.
FЛинейные комбинации. Если целое число $d$ делит целые числа $a$ и $b$ , то оно делит $ax + by$ при всех целых $x$ и $y$ ; в частности, их сумму и их разность. Устанавливается в: 11. Свойства делимости.
GЧисла, используемые заранее. Элементарные правила вычислений и порядка для целых, рациональных и действительных чисел (знаки, сокращение, дроби, корни) заранее используются в этом разделе без доказательства; их построение есть предмет следующего раздела. В этом модуле принимается без доказательства.
HЧисло элементов. Множество, допускающее биекцию на $\{1, \ldots, n\}$ , имеет $n$ элементов; принимается, что это число единственно и что подмножества конечного множества конечны. В этом модуле принимается без доказательства.

Участок 1 Основания: множества, аксиомы, операции и порядок
- Закрепить язык множеств, отношений и функций и доказать, что отношения эквивалентности и разбиения соответствуют друг другу.
- Определить натуральные числа, исходя из $1$ и операции следования, с помощью пяти аксиом Пеано.
- Построить над функцией следования лестницу определений по рекурсии: сложение, умножение и возведение в степень.
- Вывести по индукции коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность и закон сокращения.
- Получить из сложения порядок с трихотомией, транзитивностью и монотонностью и уточнить, когда существуют разность и частное.
1. Эквивалентности и разбиения. Классы отношения эквивалентности на множестве образуют его разбиение, и всякое разбиение есть множество классов единственного отношения эквивалентности.
  Доказывается в уроке: Множества, отношения и функции.
2. Аксиомы Пеано. Натуральные числа порождаются из $1$ с помощью операции следования: $1$ не является последователем никакого числа, у различных натуральных чисел различные последователи, и всякое множество, содержащее $1$ и последователя каждого своего элемента, содержит все натуральные числа.
  Доказывается в уроке: Натуральные числа и аксиомы Пеано.
3. Сложение по рекурсии. Сложение, определённое правилами $n + 1 = S(n)$ и $n + S(m) = S(n + m)$ , коммутативно, ассоциативно и допускает сокращение.
  Использует: 2. Аксиомы Пеано. Опирается на: A (Принцип математической индукции), B (Теорема о рекурсии). Доказывается в уроке: Основные операции с натуральными числами и отношения порядка.
4. Умножение и степень. Умножение, определённое правилами $n \cdot 1 = n$ и $n \cdot S(m) = n \cdot m + n$ , коммутативно, ассоциативно, дистрибутивно и допускает сокращение, а степень удовлетворяет равенствам $b^n b^m = b^{n + m}$ , $(b^n)^m = b^{nm}$ и $(ab)^n = a^n b^n$ .
  Использует: 3. Сложение по рекурсии. Опирается на: A (Принцип математической индукции), B (Теорема о рекурсии). Доказывается в уроке: Основные операции с натуральными числами и отношения порядка.
5. Порядок, вычитание и деление. Если $a < b$ означает, что $a + k = b$ для некоторого натурального $k$ , то между двумя натуральными числами выполняется ровно одно из соотношений $a < b$ , $a = b$ и $b < a$ , а порядок транзитивен и сохраняется при сложении и умножении; разность $a - b$ существует, только когда $b < a$ , а частное $\frac{a}{b}$ , только когда $b$ делит $a$ , и обе единственны в силу закона сокращения.
  Использует: 2. Аксиомы Пеано, 3. Сложение по рекурсии, 4. Умножение и степень. Опирается на: A (Принцип математической индукции). Доказывается в уроке: Основные операции с натуральными числами и отношения порядка.
Участок 2 Принципы доказательства
- Доказать, что обычная индукция, сильная индукция и принцип вполне упорядоченности равносильны.
- Определить сумму по рекурсии и вывести её свойства.
- Выводить формулы с помощью телескопических сумм, а не только проверять их.
- Суммировать арифметические и геометрические прогрессии.
1. Индукция от натурального числа. Свойство, которое выполняется для $n_0$ и переходит от каждого натурального $k \geq n_0$ к $k + 1$ , выполняется для всякого натурального $n \geq n_0$ .
  Использует: 5. Порядок, вычитание и деление. Опирается на: A (Принцип математической индукции). Доказывается в уроке: Суммы, прогрессии и индукция.
2. Сумма и телескопическая сумма. Определённая по рекурсии, сумма линейна, разбивается на последовательные суммы и допускает сдвиг индекса и обращение порядка; сумма разностей последовательных значений равна последнему значению минус первое: $\sum_{k=1}^{n} (b_{k + 1} - b_k) = b_{n + 1} - b_1$ .
  Использует: 4. Умножение и степень, 6. Индукция от натурального числа. Опирается на: A (Принцип математической индукции), B (Теорема о рекурсии). Доказывается в уроке: Суммы, прогрессии и индукция.
3. Прогрессии. Сумма $n$ членов арифметической прогрессии равна $\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ , а сумма геометрической с первым членом $a$ и знаменателем $r \neq 1$ равна $a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$ .
  Использует: 7. Сумма и телескопическая сумма. Опирается на: A (Принцип математической индукции), G (Числа, используемые заранее). Доказывается в уроке: Суммы, прогрессии и индукция.
4. Сильная индукция. Если свойство выполняется для $1$ и, при допущении, что оно выполняется для всех натуральных чисел от $1$ до $n$ , выполняется для $n + 1$ , то оно выполняется для всех натуральных чисел.
  Использует: 6. Индукция от натурального числа. Опирается на: A (Принцип математической индукции). Доказывается в уроке: Суммы, прогрессии и индукция.
5. Принцип вполне упорядоченности. Всякое множество натуральных чисел, содержащее хотя бы один элемент, имеет наименьший элемент; с помощью леммы о том, что всякое натуральное число, отличное от $1$ , является последователем, и свойств порядка вполне упорядоченность в свою очередь влечёт индукцию, и три принципа оказываются равносильными.
  Использует: 5. Порядок, вычитание и деление. Опирается на: C (Сильная индукция). Доказывается в уроке: Суммы, прогрессии и индукция.
Участок 3 Арифметика делимости
- Доказать с помощью вполне упорядоченности существование и единственность неполного частного и остатка.
- Классифицировать целые числа по остатку и основать на этом признаки делимости.
- Доказать бесконечность множества простых чисел, лемму Евклида и единственность разложения на простые множители, вместе с их следствиями.
- Вычислять наибольший общий делитель с помощью алгоритма Евклида, выводить из него соотношение Безу и решать линейные диофантовы уравнения.
- Вычислять со сравнениями, определять, какие остатки обратимы, решать линейные сравнения и системы с взаимно простыми модулями и доказать малую теорему Ферма.
1. Свойства делимости. Делимость целых чисел рефлексивна и транзитивна, делитель целого числа $a > 0$ лежит между $-a$ и $a$ , и если $d$ делит $a$ и $b$ , то он делит всякую комбинацию $ax + by$ .
  Использует: 5. Порядок, вычитание и деление. Опирается на: G (Числа, используемые заранее). Доказывается в уроке: Делимость и деление с остатком.
2. Деление с остатком. Для всякого целого $a$ и всякого натурального $b$ существуют единственное неполное частное $q$ и единственный остаток $r$ , такие что $a = bq + r$ и $0 \leq r < b$ .
  Опирается на: D (Вполне упорядоченность), G (Числа, используемые заранее). Доказывается в уроке: Делимость и деление с остатком.
3. Остатки и признаки. Два целых числа дают одинаковый остаток при делении на $d$ тогда и только тогда, когда их разность кратна $d$ ; отсюда следуют остаток суммы, произведения и степени и признаки делимости на $3$ , на $9$ и на $11$ .
  Опирается на: A (Принцип математической индукции), E (Деление с остатком), F (Линейные комбинации). Доказывается в уроке: Делимость и деление с остатком.
4. Простой делитель и бесконечность. Всякое натуральное $n > 1$ имеет простой делитель, и если $n$ составное, то его наименьший простой делитель $p$ удовлетворяет неравенству $p^2 \leq n$ ; отсюда следует, что никакой конечный список не содержит всех простых чисел.
  Использует: 5. Порядок, вычитание и деление, 11. Свойства делимости. Опирается на: D (Вполне упорядоченность), F (Линейные комбинации). Доказывается в уроке: Простые числа и основная теорема арифметики.
5. Лемма Евклида. Если простое число делит произведение $ab$ , то оно делит $a$ или делит $b$ ; и если оно делит произведение нескольких множителей, то делит какой-нибудь из них.
  Опирается на: A (Принцип математической индукции), D (Вполне упорядоченность), E (Деление с остатком), F (Линейные комбинации). Доказывается в уроке: Простые числа и основная теорема арифметики.
6. Основная теорема. Всякое натуральное $n > 1$ есть произведение простых чисел, и это разложение единственно с точностью до порядка множителей.
  Использует: 4. Умножение и степень, 15. Лемма Евклида. Опирается на: D (Вполне упорядоченность). Доказывается в уроке: Простые числа и основная теорема арифметики.
7. Делители и иррациональные корни. Если $n = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}$ , то его делители суть числа $p_1^{f_1} \cdots p_k^{f_k}$ при $0 \leq f_i \leq e_i$ , и их число равно $(e_1 + 1) \cdots (e_k + 1)$ ; натуральное $n > 1$ есть полная степень порядка $k$ тогда и только тогда, когда все показатели в его разложении кратны $k$ , а если это не так, то не существует натуральных $a$ и $b$ с $a^k = n b^k$ , то есть его корень степени $k$ иррационален.
  Использует: 15. Лемма Евклида, 16. Основная теорема. Опирается на: A (Принцип математической индукции), G (Числа, используемые заранее). Доказывается в уроке: Простые числа и основная теорема арифметики.
8. Алгоритм Евклида. Если $a = bq + r$ , то пары $a, b$ и $b, r$ имеют одни и те же общие делители; следовательно, $\operatorname{\text{НОД}}(a, b)$ есть последний ненулевой остаток последовательных делений.
  Опирается на: D (Вполне упорядоченность), E (Деление с остатком), F (Линейные комбинации). Доказывается в уроке: Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
9. Соотношение Безу. Существуют целые $x$ и $y$ , такие что $ax + by = \operatorname{\text{НОД}}(a, b)$ , и наибольший общий делитель есть наименьшее натуральное число, представимое в таком виде.
  Использует: 18. Алгоритм Евклида. Опирается на: A (Принцип математической индукции), F (Линейные комбинации), G (Числа, используемые заранее). Доказывается в уроке: Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
10. Произведение НОД и НОК. Выполняется $\operatorname{\text{НОД}}(a, b) \cdot \operatorname{\text{НОК}}(a, b) = ab$ , и всякое общее кратное $a$ и $b$ кратно их наименьшему общему кратному.
  Использует: 4. Умножение и степень, 16. Основная теорема, 17. Делители и иррациональные корни. Опирается на: D (Вполне упорядоченность), E (Деление с остатком), F (Линейные комбинации). Доказывается в уроке: Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
11. Диофантовы уравнения. Уравнение $ax + by = c$ имеет целые решения тогда и только тогда, когда $d = \operatorname{\text{НОД}}(a, b)$ делит $c$ , и тогда все они имеют вид $x = x_0 + \frac{b}{d} t$ и $y = y_0 - \frac{a}{d} t$ , где $t$ целое.
  Использует: 19. Соотношение Безу, 20. Произведение НОД и НОК. Опирается на: F (Линейные комбинации), G (Числа, используемые заранее). Доказывается в уроке: Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
12. Сравнения и остатки. Два целых числа сравнимы по модулю $n$ тогда и только тогда, когда они дают одинаковый остаток при делении на $n$ ; сравнимость является отношением эквивалентности, согласованным со сложением и умножением, и её $n$ классов, классы остатков $0, 1, \ldots, n - 1$ , образуют $\mathbb{Z}_n$ .
  Использует: 1. Эквивалентности и разбиения, 13. Остатки и признаки. Опирается на: E (Деление с остатком), F (Линейные комбинации). Доказывается в уроке: Сравнения и модульная арифметика.
13. Обратимые остатки. Целое $a$ имеет обратный по модулю $n$ тогда и только тогда, когда $\operatorname{\text{НОД}}(a, n) = 1$ , и тогда он единствен по модулю $n$ ; сравнение $ax \equiv b \pmod{n}$ имеет решение тогда и только тогда, когда $d = \operatorname{\text{НОД}}(a, n)$ делит $b$ , и тогда оно имеет $d$ решений по модулю $n$ .
  Использует: 22. Сравнения и остатки, 19. Соотношение Безу, 21. Диофантовы уравнения. Опирается на: F (Линейные комбинации). Доказывается в уроке: Сравнения и модульная арифметика.
14. Китайская теорема об остатках. Если натуральные $m$ и $n$ взаимно просты, то система, составленная из $x \equiv a \pmod{m}$ и $x \equiv b \pmod{n}$ , имеет решение, и оно единственно по модулю $mn$ .
  Использует: 22. Сравнения и остатки, 19. Соотношение Безу, 20. Произведение НОД и НОК. Опирается на: G (Числа, используемые заранее). Доказывается в уроке: Сравнения и модульная арифметика.
15. Малая теорема Ферма. Если $p$ простое и не делит целое $a$ , то $a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}$ ; и для всякого целого $a$ выполняется $a^p \equiv a \pmod{p}$ .
  Использует: 22. Сравнения и остатки, 15. Лемма Евклида, 23. Обратимые остатки. Доказывается в уроке: Сравнения и модульная арифметика.
Участок 4 Запись и подсчёт
- Доказать, что всякое натуральное число единственным образом записывается в любом основании.
- Обосновать в любом основании сложение столбиком и признаки делимости.
- Считать с помощью правила суммы и правила произведения и получить из них биномиальные коэффициенты и правило Паскаля.
- Доказать бином Ньютона, соединяющий индукцию, знак суммирования и подсчёт.
1. Позиционная запись. При всяком основании $b \geq 2$ всякое натуральное число единственным образом записывается в виде $a_k b^k + \cdots + a_1 b + a_0$ с цифрами от $0$ до $b - 1$ и $a_k \neq 0$ .
  Опирается на: C (Сильная индукция), D (Вполне упорядоченность), E (Деление с остатком). Доказывается в уроке: Позиционные системы счисления.
2. Вычисления и признаки в любом основании. Сложение столбиком даёт запись суммы, и в системе с основанием $b$ число даёт тот же остаток, что и сумма его цифр, при делении на $b - 1$ , и тот же, что и его знакочередующаяся сумма цифр, при делении на $b + 1$ .
  Использует: 7. Сумма и телескопическая сумма, 13. Остатки и признаки, 26. Позиционная запись. Опирается на: A (Принцип математической индукции), E (Деление с остатком). Доказывается в уроке: Позиционные системы счисления.
3. Правила подсчёта. Объединение двух множеств без общих элементов, из $m$ и из $n$ элементов, имеет $m + n$ элементов, а выбор в два этапа, из $m$ и из $n$ способов, осуществляется $mn$ способами.
  Использует: 3. Сложение по рекурсии, 4. Умножение и степень, 5. Порядок, вычитание и деление. Опирается на: A (Принцип математической индукции), H (Число элементов). Доказывается в уроке: Элементарная комбинаторика и бином Ньютона.
4. Биномиальные коэффициенты и правило Паскаля. Множество из $n$ элементов имеет $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}$ подмножеств из $k$ элементов; выполняется $\binom{n + 1}{k} = \binom{n}{k - 1} + \binom{n}{k}$ , откуда коэффициенты образуют треугольник Паскаля, а сумма строки $n$ равна $2^n$ .
  Использует: 28. Правила подсчёта. Опирается на: B (Теорема о рекурсии), H (Число элементов). Доказывается в уроке: Элементарная комбинаторика и бином Ньютона.
5. Бином Ньютона. Для всех чисел $x$ и $y$ , натуральных или, забегая в следующий раздел, действительных, и всякого натурального $n$ выполняется $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ .
  Использует: 7. Сумма и телескопическая сумма, 29. Биномиальные коэффициенты и правило Паскаля. Опирается на: A (Принцип математической индукции), G (Числа, используемые заранее). Доказывается в уроке: Элементарная комбинаторика и бином Ньютона.

К числовым множествам. Цепь останавливается там, где натуральных чисел становится недостаточно: вычитание и деление существуют лишь в некоторых случаях, и уравнение $x^2 = n$ не имеет рационального решения, когда $n$ не является полным квадратом. Следующий раздел расширяет натуральные числа, чтобы это исправить.

Далее в этом уроке

Раздел внутри курса
Итоговая проверка
Задачи повышенной трудности
Степень, которая догоняет куб
Числа, которые не являются суммами последовательных
Пирамида из апельсинов
Простое число, равное сумме степени и квадрата
Нули в конце факториала
Наибольший общий делитель двух соседних квадратов
Невозможные суммы
Две одинаковые цифры
Подмножества без соседей
Нечётные числа треугольника Паскаля