Les entiers naturels : synthèse et défis

Résumé

Cette leçon clôt l’unité consacrée aux entiers naturels. Elle reconstruit la chaîne déductive qui va du langage des ensembles et des axiomes de Peano à la formule du binôme de Newton, en indiquant à chaque maillon quel principe est utilisé et quel résultat est obtenu ; elle situe l’acquis par rapport au plan du cours et explique pourquoi les limites de la soustraction et de la division entre entiers naturels conduisent à l’unité suivante, consacrée aux ensembles de nombres. Elle se termine par dix défis, d’une difficulté supérieure à celle des problèmes des leçons, qui exigent de combiner les outils de plusieurs d’entre elles.

Objectifs d’apprentissage

Reconstruire l’ordre logique des résultats de l’unité, en identifiant le principe sur lequel repose chacun d’eux.
Expliquer comment s’articulent la récurrence, le bon ordre, la division euclidienne, l’unicité de la factorisation et les congruences.
Justifier, à partir des limites de la soustraction et de la division entre entiers naturels, la nécessité d’élargir les ensembles de nombres.
Résoudre des problèmes qui combinent la récurrence, la divisibilité, la numération de position et le dénombrement.

L’acquis de l’unité

L’unité s’était proposé de déduire l’arithmétique des entiers naturels d’un petit nombre de principes, sans admettre comme évidente aucune de ses propriétés. Le but a été atteint avec quelques réserves, chacune déclarée à sa place : les règles de la théorie naïve des ensembles et de la négation des quantificateurs, qui sont le langage dans lequel s’écrit tout le reste ; l’existence des fonctions définies par récurrence, que garantit le théorème de récurrence de Dedekind et qui a été admise parce qu’elle relève de la théorie des ensembles ; l’unicité du nombre d’éléments d’un ensemble fini, et la finitude de ses sous-ensembles, sur lesquelles repose le dénombrement ; la commutativité généralisée, qui permet de réordonner les facteurs d’un produit fini ; et les règles élémentaires des entiers relatifs, des rationnels et des réels, que l’unité a anticipées dans des exemples et des problèmes et que l’unité suivante construit. Avec ces réserves, le chemin parcouru peut se lire comme une seule chaîne déductive en quatre tronçons.

Les fondements : ensembles, axiomes, opérations et ordre

La leçon sur les ensembles, les relations et les fonctions a fixé le langage dans lequel s’écrit l’unité, en déclarant le peu qu’elle admet de la théorie des ensembles, et a démontré que les relations d’équivalence et les partitions sont les deux faces d’une même idée : les classes d’une équivalence forment une partition, et toute partition provient d’une unique équivalence. Ce résultat réapparaît dans la classification des entiers selon leur reste et dans les congruences, et l’unité suivante s’en sert pour construire les entiers relatifs et les rationnels comme classes de couples. Dans la leçon sur les axiomes de Peano, les entiers naturels ont été définis au moyen de $1$ , de l’opération successeur et de cinq axiomes ; les axiomes deux à quatre garantissent que la suite ne s’arrête pas et ne revient pas sur elle-même, et le cinquième, le principe de récurrence, garantit qu’il n’y a pas d’autres entiers naturels que ceux que l’on atteint à partir de $1$ . La leçon sur les opérations de base et l’ordre a construit sur le successeur, avec le théorème de récurrence, une échelle de définitions par récurrence, dans laquelle chaque opération se définit à l’aide de la précédente :

n + S(m) = S(n + m), \qquad n \cdot S(m) = n \cdot m + n, \qquad b^{S(n)} = b^n \cdot b

De ces définitions on a déduit par récurrence la commutativité, l’associativité, la distributivité et la simplification, et l’on a obtenu l’ordre à partir de l’addition, avec la trichotomie, la transitivité et la monotonie. La soustraction et la division ont été définies comme opérations réciproques, mais seulement dans certains cas : $a - b$ existe lorsque $b < a$ , et $\frac{a}{b}$ , lorsque $b$ divise $a$ .

Les principes de démonstration

La leçon sur les sommes, les suites arithmétiques et géométriques et la récurrence a élargi le répertoire des démonstrations. Elle a prouvé que la récurrence simple implique la récurrence forte et le principe du bon ordre, et que, avec le lemme selon lequel tout entier naturel différent de $1$ est un successeur et les propriétés de l’ordre, le bon ordre implique à son tour la récurrence, de sorte que chaque démonstration peut employer le principe qui lui convient le mieux ; elle a donné aux sommes une définition par récurrence et des propriétés qui permettent de les calculer, et a montré avec les sommes télescopiques qu’une formule peut se déduire, et non seulement se vérifier. Le principe du bon ordre s’est révélé l’instrument de presque toutes les démonstrations d’existence qui ont suivi, parce qu’il permet de choisir le plus petit élément d’un ensemble et de raisonner par le plus petit contre-exemple.

L’arithmétique de la divisibilité

Avec le bon ordre, la leçon sur la divisibilité a démontré que tout entier admet, quand on le divise par un entier naturel, un quotient et un reste uniques. De ce théorème dépendent les quatre résultats suivants, chacun appuyé sur les précédents :

La classification des entiers selon leur reste, qui permet de démontrer par disjonction de cas, et les critères de divisibilité, qui se ramènent au fait que deux nombres qui diffèrent d’un multiple de $d$ ont le même reste dans la division par $d$ .
Dans la leçon sur les nombres premiers, le lemme d’Euclide, démontré avec le bon ordre et la division euclidienne, et avec lui le théorème fondamental de l’arithmétique : tout entier naturel strictement supérieur à $1$ est produit de nombres premiers d’une seule manière. De l’unicité on a déduit le nombre de diviseurs, la caractérisation des carrés parfaits et l’irrationalité des racines qui ne sont pas exactes.
Dans la leçon sur le plus grand commun diviseur, l’algorithme d’Euclide, qui applique la division euclidienne jusqu’à épuisement, l’identité de Bézout, qui s’en déduit, et la résolution complète des équations diophantiennes linéaires.
Dans la leçon sur les congruences, la conversion de tout ce qui précède en un calcul : la congruence modulo $n$ est une relation d’équivalence compatible avec l’addition et la multiplication, dont les classes forment $\mathbb{Z}_n$ ; l’identité de Bézout décide quels restes sont inversibles et quand une congruence linéaire a une solution, et donne le théorème des restes chinois ; et le lemme d’Euclide, joint aux inverses, donne le petit théorème de Fermat.

L’écriture et le dénombrement

La leçon sur les systèmes de numération de position a appliqué la division euclidienne à maintes reprises pour démontrer que tout entier naturel s’écrit d’une seule manière dans n’importe quelle base, et a ainsi justifié les procédés de calcul et les critères de divisibilité dans toute base. La leçon sur la combinatoire et la formule du binôme de Newton est revenue au point de départ, parce que compter est l’opération qui a donné naissance aux entiers naturels : les principes additif et multiplicatif, démontrés à partir de la définition du nombre d’éléments au moyen de bijections (le second par récurrence à partir du premier), ont conduit aux coefficients binomiaux, à la formule de Pascal et à la formule du binôme, dont la démonstration réunit la récurrence, la notation de sommation et le dénombrement.

La figure suivante réunit les quatre tronçons en une seule chaîne. Chaque nœud de la colonne est une définition ou un théorème, numéroté selon l’ordre logique et relié par un arc aux maillons antérieurs qu’utilise sa démonstration ; autour flottent les appuis, c’est-à-dire les principes et les outils auxquels la chaîne recourt sans cesse, chacun relié par un trait plein aux maillons qui reposent sur lui et par un trait pointillé au maillon où il est établi, sauf ceux qui sont admis sans démonstration, qui sont dessinés comme des anneaux. Un clic sur un appui met en évidence tous les maillons qui l’utilisent, et chaque maillon renvoie à la leçon où il est démontré.

Appuis de la chaîne

APrincipe de récurrence. Si une propriété est vraie pour $1$ et si, supposée vraie pour un entier naturel quelconque $k$ , elle est vraie pour son successeur $S(k)$ , alors elle est vraie pour tous les entiers naturels. Établi dans: 2. Axiomes de Peano.
BThéorème de récurrence. Étant donnés la valeur en $1$ et une règle qui donne la valeur en $S(n)$ à partir de la valeur en $n$ , il existe une unique fonction sur les entiers naturels qui les respecte ; c’est ainsi que se définissent l’addition, la multiplication, la puissance, la somme et la factorielle. L’existence est admise ; l’unicité se démontre par récurrence. Admis sans démonstration dans cette unité.
CRécurrence forte. Il suffit de prouver une propriété pour $1$ et de prouver que, supposée vraie pour tous les entiers naturels de $1$ à $n$ , elle est vraie pour $n + 1$ . Établi dans: 9. Récurrence forte.
DBon ordre. Toute partie non vide de l’ensemble des entiers naturels a un plus petit élément, ce qui permet de raisonner par le plus petit contre-exemple. Établi dans: 10. Principe du bon ordre.
EDivision euclidienne. Pour tout entier $a$ et tout entier naturel $b$ , il existe un unique quotient $q$ et un unique reste $r$ tels que $a = bq + r$ et $0 \leq r < b$ . Établi dans: 12. Division euclidienne.
FCombinaisons linéaires. Si un entier $d$ divise les entiers $a$ et $b$ , il divise $ax + by$ pour tous les entiers $x$ et $y$ ; en particulier, leur somme et leur différence. Établi dans: 11. Propriétés de la divisibilité.
GNombres anticipés. Les règles élémentaires de calcul et d’ordre des entiers relatifs, des rationnels et des réels (signes, simplification, fractions, racines) sont anticipées dans cette unité sans démonstration ; leur construction relève de l’unité suivante. Admis sans démonstration dans cette unité.
HNombre d’éléments. Un ensemble en bijection avec $\{1, \ldots, n\}$ a $n$ éléments ; on admet que ce nombre est unique et que les sous-ensembles d’un ensemble fini sont finis. Admis sans démonstration dans cette unité.

Tronçon 1 Les fondements : ensembles, axiomes, opérations et ordre
- Fixer le langage des ensembles, des relations et des fonctions, et prouver que les relations d’équivalence et les partitions se correspondent.
- Définir les entiers naturels à partir de $1$ et du successeur au moyen des cinq axiomes de Peano.
- Construire sur le successeur une échelle de définitions par récurrence : l’addition, la multiplication et la puissance.
- Déduire par récurrence la commutativité, l’associativité, la distributivité et la simplification.
- Obtenir l’ordre à partir de l’addition, avec la trichotomie, la transitivité et la monotonie, et préciser quand la soustraction et la division existent.
1. Équivalences et partitions. Les classes d’une relation d’équivalence sur un ensemble forment une partition de celui-ci, et toute partition est l’ensemble des classes d’une unique relation d’équivalence.
  Démontré dans: Ensembles, relations et fonctions.
2. Axiomes de Peano. Les entiers naturels sont engendrés à partir de $1$ par le successeur : $1$ n’est le successeur d’aucun d’eux, des entiers naturels distincts ont des successeurs distincts, et tout ensemble qui contient $1$ et le successeur de chacun de ses éléments contient tous les entiers naturels.
  Démontré dans: Les entiers naturels et les axiomes de Peano.
3. Addition par récurrence. L’addition, définie par $n + 1 = S(n)$ et $n + S(m) = S(n + m)$ , est commutative, associative et simplifiable.
  Utilise: 2. Axiomes de Peano. Repose sur: A (Principe de récurrence), B (Théorème de récurrence). Démontré dans: Opérations de base sur les entiers naturels et relations d’ordre.
4. Multiplication et puissance. La multiplication, définie par $n \cdot 1 = n$ et $n \cdot S(m) = n \cdot m + n$ , est commutative, associative, distributive et simplifiable, et la puissance vérifie $b^n b^m = b^{n + m}$ , $(b^n)^m = b^{nm}$ et $(ab)^n = a^n b^n$ .
  Utilise: 3. Addition par récurrence. Repose sur: A (Principe de récurrence), B (Théorème de récurrence). Démontré dans: Opérations de base sur les entiers naturels et relations d’ordre.
5. Ordre, soustraction et division. Si $a < b$ signifie que $a + k = b$ pour un certain entier naturel $k$ , alors entre deux entiers naturels a lieu une et une seule des relations $a < b$ , $a = b$ et $b < a$ , et l’ordre est transitif et se conserve par addition et par multiplication ; la différence $a - b$ n’existe que si $b < a$ , et le quotient $\frac{a}{b}$ que si $b$ divise $a$ , et tous deux sont uniques par simplification.
  Utilise: 2. Axiomes de Peano, 3. Addition par récurrence, 4. Multiplication et puissance. Repose sur: A (Principe de récurrence). Démontré dans: Opérations de base sur les entiers naturels et relations d’ordre.
Tronçon 2 Les principes de démonstration
- Prouver que la récurrence simple, la récurrence forte et le principe du bon ordre sont équivalents.
- Définir la somme par récurrence et en déduire les propriétés.
- Déduire des formules au moyen de sommes télescopiques, au lieu de seulement les vérifier.
- Calculer la somme des termes des suites arithmétiques et géométriques.
1. Récurrence à partir d’un entier naturel. Une propriété qui est vraie pour $n_0$ et qui passe de chaque entier naturel $k \geq n_0$ à $k + 1$ est vraie pour tout entier naturel $n \geq n_0$ .
  Utilise: 5. Ordre, soustraction et division. Repose sur: A (Principe de récurrence). Démontré dans: Sommes, suites arithmétiques et géométriques, récurrence.
2. Somme et somme télescopique. Définie par récurrence, la somme est linéaire, se décompose en sommes consécutives et admet le décalage de l’indice et l’inversion de l’ordre ; une somme de différences entre valeurs consécutives vaut la dernière valeur moins la première : $\sum_{k=1}^{n} (b_{k + 1} - b_k) = b_{n + 1} - b_1$ .
  Utilise: 4. Multiplication et puissance, 6. Récurrence à partir d’un entier naturel. Repose sur: A (Principe de récurrence), B (Théorème de récurrence). Démontré dans: Sommes, suites arithmétiques et géométriques, récurrence.
3. Suites arithmétiques et géométriques. La somme de $n$ termes d’une suite arithmétique est $\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ , et celle d’une suite géométrique de premier terme $a$ et de raison $r \neq 1$ est $a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$ .
  Utilise: 7. Somme et somme télescopique. Repose sur: A (Principe de récurrence), G (Nombres anticipés). Démontré dans: Sommes, suites arithmétiques et géométriques, récurrence.
4. Récurrence forte. Si une propriété est vraie pour $1$ et si, supposée vraie pour tous les entiers naturels de $1$ à $n$ , elle est vraie pour $n + 1$ , alors elle est vraie pour tous les entiers naturels.
  Utilise: 6. Récurrence à partir d’un entier naturel. Repose sur: A (Principe de récurrence). Démontré dans: Sommes, suites arithmétiques et géométriques, récurrence.
5. Principe du bon ordre. Tout ensemble d’entiers naturels ayant au moins un élément a un plus petit élément ; avec le lemme selon lequel tout entier naturel différent de $1$ est un successeur et les propriétés de l’ordre, le bon ordre implique à son tour la récurrence, et les trois principes se révèlent équivalents.
  Utilise: 5. Ordre, soustraction et division. Repose sur: C (Récurrence forte). Démontré dans: Sommes, suites arithmétiques et géométriques, récurrence.
Tronçon 3 L’arithmétique de la divisibilité
- Démontrer avec le bon ordre l’existence et l’unicité du quotient et du reste.
- Classer les entiers selon leur reste et fonder sur ce classement les critères de divisibilité.
- Démontrer l’infinitude des nombres premiers, le lemme d’Euclide et l’unicité de la factorisation, avec leurs conséquences.
- Calculer le plus grand commun diviseur avec l’algorithme d’Euclide, en déduire l’identité de Bézout et résoudre les équations diophantiennes linéaires.
- Calculer avec des congruences, décider quels restes sont inversibles, résoudre des congruences linéaires et des systèmes à modules premiers entre eux, et démontrer le petit théorème de Fermat.
1. Propriétés de la divisibilité. La divisibilité entre entiers est réflexive et transitive, un diviseur d’un entier $a > 0$ est compris entre $-a$ et $a$ , et si $d$ divise $a$ et $b$ , il divise toute combinaison $ax + by$ .
  Utilise: 5. Ordre, soustraction et division. Repose sur: G (Nombres anticipés). Démontré dans: Divisibilité et division euclidienne.
2. Division euclidienne. Pour tout entier $a$ et tout entier naturel $b$ , il existe un unique quotient $q$ et un unique reste $r$ tels que $a = bq + r$ et $0 \leq r < b$ .
  Repose sur: D (Bon ordre), G (Nombres anticipés). Démontré dans: Divisibilité et division euclidienne.
3. Restes et critères. Deux entiers ont le même reste dans la division par $d$ si et seulement si leur différence est un multiple de $d$ ; il en découle le reste d’une somme, d’un produit et d’une puissance, et les critères de divisibilité par $3$ , par $9$ et par $11$ .
  Repose sur: A (Principe de récurrence), E (Division euclidienne), F (Combinaisons linéaires). Démontré dans: Divisibilité et division euclidienne.
4. Diviseur premier et infinitude. Tout entier naturel $n > 1$ a un diviseur premier, et si $n$ est composé, son plus petit diviseur premier $p$ vérifie $p^2 \leq n$ ; il en découle qu’aucune liste finie ne contient tous les nombres premiers.
  Utilise: 5. Ordre, soustraction et division, 11. Propriétés de la divisibilité. Repose sur: D (Bon ordre), F (Combinaisons linéaires). Démontré dans: Nombres premiers et théorème fondamental de l’arithmétique.
5. Lemme d’Euclide. Si un nombre premier divise le produit $ab$ , il divise $a$ ou il divise $b$ ; et s’il divise un produit de plusieurs facteurs, il divise l’un d’eux.
  Repose sur: A (Principe de récurrence), D (Bon ordre), E (Division euclidienne), F (Combinaisons linéaires). Démontré dans: Nombres premiers et théorème fondamental de l’arithmétique.
6. Théorème fondamental. Tout entier naturel $n > 1$ est produit de nombres premiers, et cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.
  Utilise: 4. Multiplication et puissance, 15. Lemme d’Euclide. Repose sur: D (Bon ordre). Démontré dans: Nombres premiers et théorème fondamental de l’arithmétique.
7. Diviseurs et racines irrationnelles. Si $n = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}$ , ses diviseurs sont les nombres $p_1^{f_1} \cdots p_k^{f_k}$ avec $0 \leq f_i \leq e_i$ , et il y en a $(e_1 + 1) \cdots (e_k + 1)$ ; un entier naturel $n > 1$ est une puissance $k$ -ième parfaite si et seulement si tous les exposants de sa décomposition sont multiples de $k$ , et s’il ne l’est pas, il n’existe pas d’entiers naturels $a$ et $b$ tels que $a^k = n b^k$ , autrement dit sa racine $k$ -ième est irrationnelle.
  Utilise: 15. Lemme d’Euclide, 16. Théorème fondamental. Repose sur: A (Principe de récurrence), G (Nombres anticipés). Démontré dans: Nombres premiers et théorème fondamental de l’arithmétique.
8. Algorithme d’Euclide. Si $a = bq + r$ , les couples $a, b$ et $b, r$ ont les mêmes diviseurs communs ; par conséquent, $\operatorname{pgcd}(a, b)$ est le dernier reste non nul des divisions successives.
  Repose sur: D (Bon ordre), E (Division euclidienne), F (Combinaisons linéaires). Démontré dans: Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple.
9. Identité de Bézout. Il existe des entiers $x$ et $y$ tels que $ax + by = \operatorname{pgcd}(a, b)$ , et le plus grand commun diviseur est le plus petit entier naturel qui s’écrit sous cette forme.
  Utilise: 18. Algorithme d’Euclide. Repose sur: A (Principe de récurrence), F (Combinaisons linéaires), G (Nombres anticipés). Démontré dans: Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple.
10. Produit du pgcd par le ppcm. On a $\operatorname{pgcd}(a, b) \cdot \operatorname{ppcm}(a, b) = ab$ , et tout multiple commun de $a$ et de $b$ est multiple de leur plus petit commun multiple.
  Utilise: 4. Multiplication et puissance, 16. Théorème fondamental, 17. Diviseurs et racines irrationnelles. Repose sur: D (Bon ordre), E (Division euclidienne), F (Combinaisons linéaires). Démontré dans: Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple.
11. Équations diophantiennes. L’équation $ax + by = c$ a des solutions entières si et seulement si $d = \operatorname{pgcd}(a, b)$ divise $c$ , et alors ce sont toutes les $x = x_0 + \frac{b}{d} t$ et $y = y_0 - \frac{a}{d} t$ , avec $t$ entier.
  Utilise: 19. Identité de Bézout, 20. Produit du pgcd par le ppcm. Repose sur: F (Combinaisons linéaires), G (Nombres anticipés). Démontré dans: Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple.
12. Congruences et restes. Deux entiers sont congrus modulo $n$ si et seulement s’ils ont le même reste dans la division par $n$ ; la congruence est une relation d’équivalence compatible avec l’addition et la multiplication, et ses $n$ classes, celles des restes $0, 1, \ldots, n - 1$ , forment $\mathbb{Z}_n$ .
  Utilise: 1. Équivalences et partitions, 13. Restes et critères. Repose sur: E (Division euclidienne), F (Combinaisons linéaires). Démontré dans: Congruences et arithmétique modulaire.
13. Restes inversibles. Un entier $a$ a un inverse modulo $n$ si et seulement si $\operatorname{pgcd}(a, n) = 1$ , et cet inverse est alors unique modulo $n$ ; la congruence $ax \equiv b \pmod{n}$ a une solution si et seulement si $d = \operatorname{pgcd}(a, n)$ divise $b$ , et elle a alors $d$ solutions modulo $n$ .
  Utilise: 22. Congruences et restes, 19. Identité de Bézout, 21. Équations diophantiennes. Repose sur: F (Combinaisons linéaires). Démontré dans: Congruences et arithmétique modulaire.
14. Théorème des restes chinois. Si les entiers naturels $m$ et $n$ sont premiers entre eux, le système formé par $x \equiv a \pmod{m}$ et $x \equiv b \pmod{n}$ a une solution, unique modulo $mn$ .
  Utilise: 22. Congruences et restes, 19. Identité de Bézout, 20. Produit du pgcd par le ppcm. Repose sur: G (Nombres anticipés). Démontré dans: Congruences et arithmétique modulaire.
15. Petit théorème de Fermat. Si $p$ est premier et ne divise pas l’entier $a$ , alors $a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}$ ; et pour tout entier $a$ , $a^p \equiv a \pmod{p}$ .
  Utilise: 22. Congruences et restes, 15. Lemme d’Euclide, 23. Restes inversibles. Démontré dans: Congruences et arithmétique modulaire.
Tronçon 4 L’écriture et le dénombrement
- Démontrer que tout entier naturel s’écrit d’une seule manière dans n’importe quelle base.
- Justifier dans toute base l’addition posée en colonnes et les critères de divisibilité.
- Dénombrer avec les principes additif et multiplicatif, et en tirer les coefficients binomiaux et la formule de Pascal.
- Démontrer la formule du binôme, qui réunit la récurrence, la notation de sommation et le dénombrement.
1. Numération de position. Pour toute base $b \geq 2$ , tout entier naturel s’écrit d’une seule manière sous la forme $a_k b^k + \cdots + a_1 b + a_0$ , avec des chiffres compris entre $0$ et $b - 1$ et $a_k \neq 0$ .
  Repose sur: C (Récurrence forte), D (Bon ordre), E (Division euclidienne). Démontré dans: Systèmes de numération de position.
2. Calcul et critères dans toute base. L’addition en colonnes donne l’écriture de la somme, et en base $b$ un nombre a le même reste que la somme de ses chiffres dans la division par $b - 1$ , et que sa somme alternée dans la division par $b + 1$ .
  Utilise: 7. Somme et somme télescopique, 13. Restes et critères, 26. Numération de position. Repose sur: A (Principe de récurrence), E (Division euclidienne). Démontré dans: Systèmes de numération de position.
3. Principes de dénombrement. La réunion de deux ensembles sans élément commun, de $m$ et de $n$ éléments, a $m + n$ éléments, et un choix en deux phases, de $m$ et de $n$ manières, se fait de $mn$ manières.
  Utilise: 3. Addition par récurrence, 4. Multiplication et puissance, 5. Ordre, soustraction et division. Repose sur: A (Principe de récurrence), H (Nombre d’éléments). Démontré dans: Combinatoire élémentaire et formule du binôme de Newton.
4. Coefficients binomiaux et formule de Pascal. Un ensemble de $n$ éléments a $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}$ sous-ensembles de $k$ éléments ; on a $\binom{n + 1}{k} = \binom{n}{k - 1} + \binom{n}{k}$ , d’où les coefficients forment le triangle de Pascal, et la ligne $n$ a pour somme $2^n$ .
  Utilise: 28. Principes de dénombrement. Repose sur: B (Théorème de récurrence), H (Nombre d’éléments). Démontré dans: Combinatoire élémentaire et formule du binôme de Newton.
5. Formule du binôme de Newton. Pour tous nombres $x$ et $y$ , entiers naturels ou, en anticipant l’unité suivante, réels, et tout entier naturel $n$ , on a $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ .
  Utilise: 7. Somme et somme télescopique, 29. Coefficients binomiaux et formule de Pascal. Repose sur: A (Principe de récurrence), G (Nombres anticipés). Démontré dans: Combinatoire élémentaire et formule du binôme de Newton.

Vers les ensembles de nombres. La chaîne s’arrête là où les entiers naturels cessent de suffire : la soustraction et la division n’existent que dans certains cas, et l’équation $x^2 = n$ n’a pas de solution rationnelle lorsque $n$ n’est pas un carré parfait. L’unité suivante élargit les entiers naturels pour y remédier.