Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Combinatoria elementaris et binomivm Newtonianvm

Svmmarivm

Haec lectio artes elementares tractat qvibvs elementa copiae finitae nvmerantvr, neqve singvla envmerantvr. Nvmervm elementorvm copiae finitae per biiectiones definit, ex hac definitione principia additivvm et mvltiplicativvm demonstrat, ex eis nvmervm permvtationvm, variationvm et combinationvm dedvcit, et coefficientes binomiales definit, qvorvm symmetria et regvla Pascalis tam nvmerando qvam compvtando demonstrantvr. Deinde hos coefficientes in triangvlo Pascalis disponit, binomivm Newtonianvm, qvod prodvcta notabilia generaliter complectitvr, per indvctionem demonstrat, idqve ad potentias evolvendas, ad coefficientem qvaerendvm et ad approximationem nvmericam adhibet. Vltima est lectio doctrinae partis nvmeris natvralibvs dicatae, qvae lectione synthesis et provocationvm conclvditvr.

Proposita discendi

  1. Principia additivvm et mvltiplicativvm adhibere vt sine envmeratione nvmeretvr, casvs distingvendo cvm condiciones electionis inter se impedivnt.
  2. Permvtationes, variationes et combinationes distingvere, earvmqve nvmervm per factoriale compvtare.
  3. Proprietates coefficientivm binomialivm nvmerando et compvtando demonstrare, et ex eis triangvlvm Pascalis constrvere.
  4. Binomivm Newtonianvm demonstrare idqve ad potentias evolvendas, ad coefficientes compvtandos et ad potentias approximandas adhibere.

Principia nvmerandi

Elementa copiae finitae nvmerare operatio est arithmeticae simplicissima, dvm copia elementvm post elementvm percvrri potest. Cvm avtem elementa sint modi electionem compositam perficiendi, vt decem libros in plvteo ordinare vel ex triginta hominibvs tres deligere qvi ceteros repraesentent, envmeratio fit inexseqvibilis, et nvmervs obtinetvr electione in frvsta vel in actvs divisa. Tota combinatoria elementaris dvobvs principiis nititvr, qvae ex accvrata definitione eivs qvod nvmerare significat demonstrantvr.

Elementa copiae nvmerare est ea nvmeris notare: cviqve nvmero a 11 ad nn elementvm assignare, nvllo repetito et nvllo omisso. Copia AA nn elementa habere dicitvr, vbi nn natvralis est, si exstat biiectio copiae {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\} in AA, id est fvnctio qvae nvmeros distinctos ad elementa distincta mittit et omnia elementa copiae AA attingit; copia vacva 00 elementa habet, et copia est finita si vacva est vel nn elementa habet pro aliqvo natvrali nn. Biiectiones, earvm compositio et inversa in lectione de copiis, relationibvs et fvnctionibvs tractantvr.

Factvm admissvm (nvmervs elementorvm). Sine demonstratione admittitvr nvmervm elementorvm copiae finitae bene definitvm esse: copia non potest simvl mm elementa et nn elementa habere, si m≠nm \neq n. Admittitvr etiam omnem svbcopiam copiae finitae finitam esse.

Vtrvmqve factvm per indvctionem in nn demonstratvr; privs re vera est principivm locvlorvm, secvndvm qvod nvlla est fvnctio qvae n+1n + 1 nvmeros copiae {1,…,n+1}\{1, \ldots, n + 1\} ad nvmeros distinctos copiae {1,…,n}\{1, \ldots, n\} mittat. Demonstrationes eorvm longae svnt nec ideas affervnt qvae postea adhibeantvr, ideoqve admittvntvr. Sine priore, locvtio «nvmervs elementorvm» sensv careret, et demonstratio combinatoria, qvae eandem copiam dvobvs modis nvmerat, conclvdere non posset dvos nvmeros obtentos aeqvales esse.

PropositioPrincipivm additivvm

Si AA habet mm elementa, BB habet nn elementa, et AA et BB nvlla elementa commvnia habent, tvm A∪BA \cup B habet m+nm + n elementa. Figvra demonstrationem seqvitvr cvm m=3m = 3 et n=2n = 2.

Demonstratio

  1. A={f(1),…,f(m)},B={g(1),…,g(n)}A = \{f(1), \ldots, f(m)\}, \quad B = \{g(1), \ldots, g(n)\}

    Ex hypothesi, exstat biiectio ff copiae {1,…,m}\{1, \ldots, m\} in AA et altera, gg, copiae {1,…,n}\{1, \ldots, n\} in BB: elementa vtrivsqve copiae sine repetitionibvs nvmerata svnt.

  2. i≤m ∨ i=m+j,1≤j≤n\dato{p}{i \leq m \ \vee \ i = m + j, \quad 1 \leq j \leq n}

    Per trichotomiam, omnis nvmervs ii a 11 ad m+nm + n avt i≤mi \leq m avt i>mi > m satisfacit; in altero casv, per definitionem ordinis, i=m+ji = m + j pro aliqvo natvrali jj, qvi per legem cancellationis additionis vnicvs est, et j≤nj \leq n per monotoniam additionis.

  3. h(i)=f(i),h(m+j)=g(j)\dato{h}{h(i) = f(i), \quad h(m + j) = g(j)}

    Definimvs hh in {1,…,m+n}\{1, \ldots, m + n\}: primi mm nvmeri vt per ff nvmerantvr, et nn seqventes vt per gg.

  4. A∩B=∅→f(i)≠g(j)A \cap B = \emptyset \rightarrow \resaltar{f(i) \neq g(j)}

    Fvnctio hh nvmeros distinctos ad elementa distincta mittit: dvos nvmeros ex eodem membro, qvia ff et gg id facivnt; dvos ex diversis membris, qvia ad elementvm copiae AA et ad elementvm copiae BB evnt, qvae nvlla elementa commvnia habent.

  5. A∪B={h(1),…,h(m),h(m+1),…,h(m+n)}A \cup B = \{h(1), \ldots, h(m), h(m + 1), \ldots, h(m + n)\}

    Fvnctio hh omnia elementa vnionis attingit: elementa copiae AA svnt valores fvnctionis ff, et ea copiae BB valores fvnctionis gg.

  6. h:{1,…,m+n}→A∪Bh : \{1, \ldots, \resaltar{m + n}\} \to A \cup B

    Ergo hh est biiectio copiae {1,…,m+n}\{1, \ldots, m + n\} in A∪BA \cup B, et vnio m+nm + n elementa habet. Si altera copiarvm vacva est, assertio statim patet.

Per indvctionem in nvmervm copiarvm, principivm ad qvemlibet nvmervm finitvm copiarvm binarvm disivnctarvm extenditvr: vnio copiarvm A1,…,ArA_1, \ldots, A_r, qvae n1,…,nrn_1, \ldots, n_r elementa habent, habet n1+⋯+nrn_1 + \cdots + n_r elementa, qvia vnio primarvm r+1r + 1 est vnio primarvm rr cvm vltima, qvae nvlla elementa commvnia cvm eis habet. Ex eo dedvcitvr altervm principivm, qvod electiones per actvs factas nvmerat.

PropositioPrincipivm mvltiplicativvm

Si electio dvobvs actibvs perficitvr, primo mm modis et secvndo, qvaliscvmqve primvs fverit, nn modis, electio tota m⋅nm \cdot n modis perfici potest. Figvra qvamqve electionem totam vt pvnctvm depingit, in versv primi eivs actvs, cvm n=4n = 4.

Demonstratio

  1. E=E1∪E2∪⋯∪EmE = E_1 \cup E_2 \cup \cdots \cup E_m

    Electiones totas secvndvm primvm actvm congregamvs: svnt mm classes E1,…,EmE_1, \ldots, E_m sine elementis commvnibvs, et qvaeqve nn elementa habet, scilicet nn modos illam primam electionem complendi.

  2. 1⋅n=n1 \cdot n = n

    Per indvctionem in nvmervm mm classivm procedimvs. Gradvs initialis: si m=1m = 1, omnes electiones in E1E_1 svnt, qvae nn elementa habet.

  3. E1∪⋯∪Ek,k⋅n\dato{h}{E_1 \cup \cdots \cup E_k}, \quad k \cdot n

    Gradvs indvctivvs: ponimvs vnionem kk classivm sine elementis commvnibvs, qvarvm qvaeqve nn elementa habet, k⋅nk \cdot n elementa habere.

  4. (E1∪⋯∪Ek)∪Ek+1,k⋅n+n(E_1 \cup \cdots \cup E_k) \cup \resaltar{E_{k + 1}}, \quad k \cdot n + \resaltar{n}

    Vnio k+1k + 1 classivm est vnio primarvm kk cvm vltima, qvae nvlla elementa commvnia cvm eis habet; per principivm additivvm, k⋅n+nk \cdot n + n elementa habet.

  5. k⋅n+n=(k+1)⋅nk \cdot n + n = \resaltar{(k + 1) \cdot n}

    Per lemma S(k)⋅n=k⋅n+nS(k) \cdot n = k \cdot n + n, qvod in lectione de operationibvs demonstratvm est cvm commvtativitas mvltiplicationis ostenderetvr, ille nvmervs est (k+1)⋅n(k + 1) \cdot n.

  6. E1∪⋯∪Em,m⋅nE_1 \cup \cdots \cup E_m, \quad \resaltar{m \cdot n}

    Per principivm indvctionis, vnio mm classivm m⋅nm \cdot n elementa habet: electio tota m⋅nm \cdot n modis perfici potest. In figvra, 3⋅4=123 \cdot 4 = 12.

Eodem modo, per indvctionem in nvmervm actvvm, principivm mvltiplicativvm ad qvemlibet nvmervm finitvm eorvm extenditvr: electio rr actibvs, qvi n1,n2,…,nrn_1, n_2, \ldots, n_r modis respective perfici possvnt, n1n2⋯nrn_1 n_2 \cdots n_r modis perfici potest. Exempli gratia, in systemate decimali, qvod in lectione de systematibvs nvmerationis positionalis tractatvm est, svnt 9⋅10⋅10=9009 \cdot 10 \cdot 10 = 900 nvmeri trivm digitorvm, qvia primvs digitvs 00 esse non potest et ceteri dvo liberi svnt. Animadvertendvm est principivm mvltiplicativvm postvlare vt nvmervs optionvm cvivsqve actvs non pendeat ab eo qvod antea electvm est, etsi optiones ipsae pendeant; si haec condicio deficit, casvs separantvr in qvibvs valet, eorvmqve nvmeri per principivm additivvm addvntvr.

Actvs svccessivi electionis diagrammate arboreo repraesentantvr: ex pvncto initiali, radice, tot rami exevnt qvot optiones primvs actvs habet; ex extremo cvivsqve rami, tot qvot secvndvs, et sic deinceps. Qvodqve iter a radice ad extremvm finale, sive folivm, est electio tota, et principivm mvltiplicativvm folia nvmerat neqve ea depingit.

ExemplvmNvmeri trivm digitorvm ex digitis 11, 22 et 33

Nvmerare nvmeros trivm digitorvm qvi digitis 11, 22 et 33 scribi possvnt nvllo repetito, eosqve conferre cvm eis qvi obtinentvr si repetitio admittitvr.

Demonstratio

  1. 3\resaltar{3}

    Primvs digitvs qvilibet e tribvs esse potest: ex radice tres rami exevnt.

  2. 3⋅2=63 \cdot \resaltar{2} = \resaltar{6}

    Electo primo digito, dvo secvndo relinqvvntvr, qvaliscvmqve primvs fverit: qvisqve ramvs in dvos se findit, et per principivm mvltiplicativvm sex initia possibilia svnt.

  3. 3⋅2⋅1=6\dato{p}{3 \cdot 2 \cdot \resaltar{1} = \resaltar{6}}

    Tertio digito vna sola possibilitas relinqvitvr, ita vt qvodqve initivm vno tantvm modo compleatvr.

  4. 123, 132, 213, 231, 312, 321123, \ 132, \ 213, \ 231, \ 312, \ 321

    Folia arboris, a radice lecta, svnt sex nvmeri qvaesiti, a minimo ad maximvm ordinati.

  5. 3⋅3⋅3=27\resaltar{3 \cdot 3 \cdot 3} = \resaltar{27}

    Si digitos repetere licet, qvisqve actvs tres optiones habet, et arbor mvlto plvra folia habet qvam in casv sine repetitione.