Nvmeri natvrales: introdvctio

Svmmarivm

Haec lectio partem nvmeris natvralibvs dicatam aperit. Decem eivs lectiones exponit et filvm dedvctivvm qvo inter se nectvntvr, a sermone copiarvm et ab axiomatibvs Peani vsqve ad binomivm Newtonianvm; historiam harvm notionvm percvrrit, a nvmeratione praehistorica et ab arithmetica Evclidis vsqve ad axiomatizationem Dedekindi et Peani saecvlo vndevicesimo exevnte; qvaestionem vnde ortae svnt accvrate envntiat, scilicet qvomodo sententia de infinitis nvmeris demonstretvr, singvlis non perscrvtatis, et indicat vbi rvrsvs adhibeantvr in hoc cvrsv, in aliis cvrsibvs sitvs et in scientia et arte.

Proposita discendi

Ordinem argvmentorvm partis describere et explicare qvid vnaqvaeqve lectio seqventi afferat.
Praecipvos effectvs arithmeticae nvmerorvm natvralivm eorvmqve avctores in svo contextv historico collocare.
Exemplo explicare cvr nvllvs nvmervs finitvs verificationvm sententiam de omnibvs nvmeris natvralibvs demonstret, et qvod mvnvs principivm indvctionis gerat.
In aliis cvrsvs argvmentis et in aliis disciplinis instrvmenta agnoscere qvae pars constrvit.

Probatio initialis

Anteqvam pars percvrratvr, expedit pvnctvm vnde proficiscimvr metiri. Haec probatio est svi ipsivs aestimatio: nvlla nota ei tribvitvr, et vnicvm eivs propositvm est stvdivm dirigere. Decem eivs qvaestiones singvlas decem partis lectiones ordine attingvnt; qvarta praeterea ivbet problema verbis descriptvm vt svmmam formare. Eaedem facvltates in fine itervm metivntvr, in lectione synthesis; cvm haec prima cvrsvs pars sit, nvllae svnt qvaestiones de partibvs prioribvs. Qvaestio qvae solvi non potest lectionem indicat in qva immorari expedit.

Qvae vnitas continet

In ratione stvdiorvm monitvm est cvrsvm obiecta sva constrvere potivs qvam ea nota svpponere. Haec prima pars fvndamentvm est hvivs constrvctionis: a pavcis axiomatibvs de nvmeris qvibvs nvmeramvs proficiscitvr et ex eis totam arithmeticam nvmerorvm natvralivm dedvcit. Pavca qvae praeterea admittit svo loco expresse declarantvr: regvlae theoriae copiarvm intvitivae et negationis qvantificatorvm; exsistentia fvnctionvm per recvrsionem definitarvm, qvam theorema recvrsionis Dedekindi praestat; vnicitas nvmeri elementorvm copiae finitae, et finitas copiarvm eivs partialivm, qvibvs nvmeratio nititvr; commvtativitas generalis prodvctorvm finitorvm; et regvlae elementares nvmerorvm integrorvm, rationalivm et realivm, qvas nonnvlla exempla et problemata anticipant et qvas pars seqvens constrvit. Decem eivs lectiones catenam formant in qva qvisqve anvlvs prioribvs nititvr.

Copiae, relationes et fvnctiones. Sermonem statvit qvo totvs cvrsvs scribitvr: copias earvmqve operationes, relationes, praesertim aeqvivalentiae et ordinis, et fvnctiones. Relationes aeqvivalentiae in parte seqventi redibvnt, vbi nvmeri integri et rationales vt classes parivm ordinatorvm constrvvntvr.
Nvmeri natvrales et axiomata Peani. Nvmeros natvrales definit per $1$ , operationem svccessoris et qvinqve axiomata, qvorvm vltimvm est principivm indvctionis. Qvidqvid in parte seqvitvr ex his axiomatibvs et ex pavcis qvae expresse admittvntvr conseqvitvr.
Operationes primae nvmerorvm natvralivm et relationes ordinis. Theorema recvrsionis envntiat, eo additionem, mvltiplicationem et potentiam definit, earvm proprietates per indvctionem demonstrat et ordinem in additione fvndat. Ostendit svbtractionem et divisionem inter nvmeros natvrales non semper exsistere, qvod partem seqventem praenvntiat.
Svmmationes, progressiones et indvctio. Notationem svmmationis, svmmas telescopicas et progressiones introdvcit, et demonstrat indvctionem ordinariam indvctionem fortem et principivm bonae ordinationis implicare, et qvo sensv haec ei aeqvivaleant. Principivm bonae ordinationis instrvmentvm erit omnivm fere demonstrationvm exsistentiae hvivs partis.
Divisibilitas et divisio cvm residvo. Ope bonae ordinationis demonstrat omnem nvmervm integrvm qvotientem et residvvm vnica admittere, et inde nvmeros integros secvndvm residvvm distribvit et criteria divisibilitatis confirmat.
Nvmeri primi et theorema fvndamentale arithmeticae. Ostendit nvmeros primos infinitos esse et omnem nvmervm natvralem maiorem qvam $1$ vno tantvm modo in primos resolvi, et inde dedvcit, inter alia, radicem qvadratam nvmeri natvralis qvi qvadratvm perfectvm non sit irrationalem esse.
Maximvs commvnis divisor et minimvm commvne mvltiplvm. Algorithmvm Evclidis exponit, qvi maximvm commvnem divisorem sine factorizatione compvtat, ex eo identitatem Bezovtianam dedvcit et aeqvationes Diophanteas lineares plane solvit.
Congrventiae et arithmetica modvlaris. Divisionem cvm residvo in calcvlvm convertit: dvo nvmeri integri congrventes modvlo $n$ svnt cvm idem residvvm relinqvvnt, et congrventia additionem et mvltiplicationem servat, ita vt mvlta problemata divisibilitatis solis residvis tractandis solvantvr.
Systemata nvmerationis positionalis. Demonstrat omnem nvmervm natvralem in qvavis basi vno tantvm modo scribi, explicat cvr rationes calcvlandi in schola traditae rectae sint et cvr compvtatra in basi $2$ operentvr.
Combinatoria elementaris et binomivm Newtonianvm. Nvmervm elementorvm copiae finitae definit, principivm additivvm et mvltiplicativvm demonstrat, eorvm ope nvmerare sine envmeratione docet, coefficientes binomiales definit et binomivm Newtonianvm demonstrat, qvod indvctionem, svmmationes et nvmerationem conivngit.

Pars lectione synthesis et provocationvm finitvr, qvae consecvta colligit, in probatione finali facvltates probationis initialis repetit et problemata difficiliora proponit qvae plvres lectiones conivngvnt.

Memoria historica

Nvmerare antiqvivs est qvam scribere. Ossa incisvrarvm seriebvs notata, vt illvd Ishangense, in Congo repertvm et circiter viginti milia annorvm natvm, saepe vt qvantitatvm monvmenta interpretantvr. Primae civitates vrbanae greges nvmerare, agros metiri et messes partiri debvervnt, atqve ita systemata nvmerationis excolvervnt: abhinc circiter qvattvor milia annorvm scribae Mesopotamiae iam nvmeratione positionali in basi $60$ vtebantvr, cvivs vestigivm in mensvra temporis et angvlorvm manet.

In Graecia, a saecvlo sexto ante aeram nostram, Pythagorei nvmeros propter se ipsos, non solvm vt instrvmenta calcvlandi, investigavervnt. Nvmeros figvratos distribvervnt, vt triangvlares $1$ , $3$ , $6$ , $10$ , qvi svnt svmmae $1 + 2 + \cdots + n$ , et pares ab imparibvs distinxervnt. Circa annvm 300 ante aeram nostram Evclides in libris VII ad IX Elementorvm arithmeticam svi temporis collegit, dedvctive ordinatam: algorithmvm qvi eivs nomen fert, lemma secvndvm qvod primvs qvi prodvctvm dividit vnvm ex eivs factoribvs dividit, demonstrationem primos infinitos esse et constrvctionem nvmerorvm perfectorvm parivm. Saecvlo tertio ante aeram nostram Eratosthenes Cyrenaevs cribrvm svvm primorvm excogitavit, et probabiliter saecvlo tertio aerae nostrae Diophantvs Alexandrinvs in Arithmeticis svis aeqvationes investigavit qvarvm solvtiones nvmeri integri vel rationales esse debebant.

Nvmeratio decimalis cvm zero vt digito in India formata est, saecvlo nono ab al-Khwarizmi exposita, et in Evropam, inter alias vias, per Liber Abaci Fibonacci anno 1202 pervenit. Triangvlvm coefficientivm binomialivm in India, in Persia et in Sinis notvm erat saecvlis anteqvam Pascal ei, medio saecvlo septimo decimo, tractatvm dedicavit qvi ei nomen svvm in Occidente dedit. Ratiocinatio avtem per indvctionem vt methodvs demonstrandi expressa sera est: Franciscvs Mavrolycvs ea vsvs est in opere anno 1575 edito vt ostenderet svmmam primorvm imparivm qvadratvm esse, et Pascal eam clare in tractatv de triangvlo arithmetico formavit. Eodem saecvlo Fermat methodvm descensvs infiniti excogitavit, formam principii bonae ordinationis, et circa annvm 1665 Newton binomivm Newtonianvm ad exponentes fractos et negativos extendit. Anno 1801 Gavss Disqvisitiones Arithmeticae edidit, qvibvs arithmetica theoria systematica facta est, et in eis prima demonstratio expressa vnicitatis factorizationis in primos invenitvr.

Saecvlo vndevicesimo analysis mathematica in fvndamentis arithmeticis restitvta est: nvmeri reales ex rationalibvs definiti svnt, vt Dedekind anno 1872 sectionibvs svis fecit, rationales ex integris, et integri ex natvralibvs. Qvod si ita est, tota constrvctio in nvmeris natvralibvs nitebatvr, et restabat vt responderetvr qvid hi essent et ex qvibvs principiis eorvm arithmetica dedvceretvr. Anno 1861 Hermannvs Grassmann ostenderat additionem et mvltiplicationem a svccessore recvrsive definiri posse, et earvm proprietates per indvctionem demonstrari. Anno 1888 Richardvs Dedekind commentationem svam Qvid sint et ad qvid valeant nvmeri? edidit, qvae nvmeros natvrales per svccessorem et indvctionem describit, et anno 1889 Iosephvs Peano Latine sva Arithmetices principia, nova methodo exposita edidit, cvm indice axiomatvm qvem hic cvrsvs adoptat et qvi, vt ibi, a $1$ incipit.

Qvaestio vnde theoria orta est

Nvmeri natvrales infiniti svnt, et fere omnia qvae de eis affirmare refert sententiae svnt de omnibvs simvl: additionem commvtativam esse, omnem nvmervm natvralem maiorem qvam $1$ in primos resolvi, svmmam $n$ primorvm imparivm esse $n^2$ . Nvlla sententia hvivs generis casibvs singvlis perscrvtandis verificari potest, qvia nvmqvam finiretvr; et, qvod gravivs est, verificatio mvltorvm casvvm, qvamvis nvmerosi sint, nihil de reliqvis conclvdere sinit. Qvaestio igitvr haec est: data proprietate $P$ nvmerorvm natvralivm, qvibvs principiis demonstrari potest omnem nvmervm natvralem ea praeditvm esse?

(\forall n \in \mathbb{N})\,P(n)

Exemplvm qvod seqvitvr ostendit qvatenvs verificationes fallere possint.

ExemplvmPolynomivm qvod solos primos prodvcere videtvr

Evler saecvlo dvodevicesimo animadvertit expressionem $n^2 + n + 41$ nvmervm primvm prodvcere pro vnoqvoqve valore $n = 1, 2, \ldots, 39$ . Qvaeri potest nvm evm pro omni nvmero natvrali $n$ prodvcat.

Demonstratio

$1^2 + 1 + 41 = 43, \quad 2^2 + 2 + 41 = 47, \quad 3^2 + 3 + 41 = 53$
Primi valores primi svnt, vt confirmatvr primos temptando qvorvm qvadratvm eos non excedit.
$39^2 + 39 + 41 = \resaltar{1601}$
Verificatio patienter vsqve ad $n = 39$ prodvci potest: triginta novem valores primi svnt, et vltimvs est $1601$ .
$40^2 + 40 + 41 = \resaltar{40 \cdot 41} + 41 = \resaltar{41 \cdot 41}$
Pro $n = 40$ dvo priores termini factorem commvnem $40$ habent, et effectvs est $41$ vicibvs $41$ .
$41^2 + 41 + 41 = 41 \cdot \resaltar{43}$
Pro $n = 41$ defectvs etiam manifestior est, qvia tres termini mvltipla nvmeri $41$ svnt.
$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2$
Triginta novem verificationes faventes non svffecervnt: sententia falsa est. Contra, formvla svmmae primorvm imparivm, qvam Mavrolycvs per indvctionem demonstravit, pro omni nvmero natvrali valet, non qvia in mvltis casibvs verificata est, sed qvia ex principio dedvcitvr qvod omnes complectitvr.

Responsvm qvod Dedekind et Peano dedervnt in eo consistit vt principivm qvo a finito ad infinitvm transire licet vt axioma statvatvr: si proprietas pro $1$ valet et a qvoqve nvmero natvrali ad eivs svccessorem transmittitvr, pro omnibvs valet. Inde seqvitvr ratio accvrata, qvae est hvivs partis: operationes ita definire vt qvisqve casvs ad priorem redvcatvr, et per indvctionem, vel per aliqvod principiorvm aeqvivalentivm, singvlas earvm proprietates demonstrare. Cetervm qvaestio alteram faciem habet, qvae totam partem percvrrit: operationvm inversarvm. Svbtractio et divisio inter nvmeros natvrales non semper possibiles svnt, et qvaestio qvando sint ad divisibilitatem, ad primos et ad maximvm commvnem divisorem dvcit; qvaestio qvomodo id remedietvr ad partem seqventem dvcit, qvae nvmeros natvrales vsqve ad complexos amplificat.

Momentvm nvmerorvm natvralivm

In hoc cvrsv effectvs partis vbiqve redevnt. Lectio de nvmeris integris eos vt paria nvmerorvm natvralivm constrvit, et lectio de rationalibvs vt paria integrorvm; divisio polynomiorvm in lectione de radicibvs polynomiorvm gradvs svperioris divisionem cvm residvo imitatvr, et regvla Horneri ex notatione positionali oritvr. Margo binomialis pro $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ lectionem de nvmero $e$ praeparat. Continvatio hvivs cvrsvs, Algebra et Geometria II, eis vti pergit: in parte sva de nvmeris complexis forma polari, formvla Moivreana per indvctionem demonstratvr, et in parte sva de matricibvs et strvctvris algebraicis, lectio de strvctvris algebraicis residva divisionis per $n$ in anvlvm algebraicvm convertit, qvi corpvs est eo ipso casv qvo $n$ primvs est.

Extra hvnc cvrsvm, series et svmmae Calcvli I notatione svmmationis et indvctione tractantvr, et derivata potentiae binomio Newtoniano obtinetvr. In Fvndamentis Mechanicae lex qvam Galilaevs anno 1638 edidit, secvndvm qvam corpvs ex qviete cadens aeqvalibvs temporis intervallis spatia percvrrit imparibvs continvis $1, 3, 5, 7, \ldots$ proportionalia, per svmmam primorvm imparivm in proportionem inter spativm percvrsvm et qvadratvm temporis convertitvr. Vsvra simplex et vsvra composita Mathematicae Nvmmariae progressiones arithmeticae et geometricae svnt; programmata Programmationis Lingva C++ I nvmeros in basi $2$ repraesentant, residva compvtant et algorithmvm Evclidis adhibent, et eorvm recvrsio eadem notio est ac definitiones recvrsivae additionis et mvltiplicationis. Cvrsvs Logica Mathematica I: Logica Propositionalis regvlas dedvctionis investigat qvibvs demonstrationes partis vtvntvr.

In scientia et arte, basis $2$ sermo est omnis compvtatri, et arithmetica residvorvm digitos verificationis svstinet qvibvs errores deprehendvntvr cvm nvmeri docvmentorvm, rationvm vel librorvm describvntvr. Systema cryptographicvm anno 1977 a Rivest, Shamir et Adleman editvm, in qvo maxima portio secvritatis commvnicationvm nititvr, contrario innititvr qvod haec pars intellegere sinit: algorithmvs Evclidis maximvm commvnem divisorem nvmerorvm centenorvm digitorvm celeriter compvtat, cvm nvlla ratio celeris nota sit qva in factores resolvantvr. Combinatoria deniqve fvndamentvm est calcvli probabilitatvm, et per evm statisticae et magnae portionis physicae et biologiae.