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LatineResumo
Esta aula abre a unidade sobre os conjuntos numéricos. Apresenta o percurso da unidade, que começa nos números naturais e chega, por ampliações sucessivas, aos inteiros, aos racionais, aos reais e aos complexos; reconstrói a história dessas ampliações, desde as frações egípcias e a crise grega dos incomensuráveis até a fundamentação rigorosa do século XIX; formula com precisão o problema que lhes deu origem, que é sempre uma equação sem solução no conjunto disponível, e examina o caso de Bombelli, em que uma equação de soluções reais exige passar pelos números complexos. Termina indicando onde esses conjuntos são empregados no restante do curso, em outros cursos do site e na ciência e na técnica.
Objetivos de aprendizagem
- Descrever o percurso da unidade e explicar o que cada aula traz à sucessão de construções que vai dos naturais aos complexos.
- Formular, para cada ampliação, a equação que a motiva, e indicar que propriedade se ganha e qual se perde em cada etapa.
- Situar em seu contexto histórico as principais etapas da ampliação do conceito de número e identificar o problema de medida, de cálculo ou de fundamento que impulsionou cada uma.
- Indicar onde intervêm os conjuntos numéricos no restante do curso, em outros cursos e em aplicações científicas e técnicas.
Avaliação de entrada
Antes de percorrer a unidade, convém medir o ponto de partida. Esta autoavaliação não atribui nota: serve para saber onde deter-se. As dez primeiras perguntas tratam das oito aulas de conteúdo da unidade: a sexta e a sétima correspondem ambas às potências de expoente racional (a segunda delas, à racionalização), e a décima volta à representação decimal para formular um problema em contexto e comunicar seu resultado em notação científica, com o arredondamento adequado. As mesmas habilidades voltam a ser medidas no final, na aula de síntese, com outros dados; as três últimas verificam o que esta unidade dá por sabido da anterior, sobre os números naturais: a divisão com resto, o máximo divisor comum e o lema de Euclides.
Antes de começar a unidade, meça seu ponto de partida. É uma autoavaliação breve: não recebe nota e seu resultado fica guardado apenas no seu navegador.
Pergunta 1Qual destas equações tem solução em mas não em ?
Sua solução, , já é racional: esta equação é a que obriga a passar dos inteiros aos racionais, não dos racionais aos reais.Sua solução, , é inteira: esta equação motiva a passagem dos naturais aos inteiros.Não tem solução real, porque o quadrado de um real nunca é negativo; suas soluções, e , são complexas.Suas soluções são e , que são reais; e não é racional, porque não é o quadrado de um natural. É o mesmo argumento que demonstra a irracionalidade de .Pergunta 2Na construção dos inteiros, qual destes pares de naturais representa o mesmo inteiro que o par ?
Representa o oposto, : trocar as componentes reflete o par em relação à diagonal. A condição não se cumpre.Multiplicaram-se as duas componentes por , como ao amplificar uma fração. Os pares de naturais se identificam pela diferença, não pelo quociente: .Somou-se a uma só componente, e isso muda a diferença: representa o , porque . Para passar a outro representante é preciso somar o mesmo às duas componentes.Dois pares e são equivalentes quando ; aqui . Ambos representam o inteiro .Pergunta 3Calcular e dar o resultado como fração irredutível.
Resposta correta:
O mínimo múltiplo comum de e é , e . Com o denominador obtém-se , que se simplifica no mesmo resultado. Quem obtém subtraiu numeradores e denominadores separadamente.Pergunta 4Qual destas frações tem representação decimal finita?
O denominador da fração irredutível tem o fator primo , e então a representação é periódica: Não basta que o denominador seja múltiplo de .Que o denominador termine em não basta: tem o fator , e a representação é periódica.Que o denominador seja par não basta: tem o fator , e a representação é periódica.É irredutível e seu denominador é , sem outros fatores primos: a representação é finita, .Pergunta 5Qual é o conjunto dos reais que cumprem ?
Trocou-se o sinal de : de segue-se , não .Os extremos não pertencem ao conjunto, porque a desigualdade é estrita: em tem-se , que não é menor que .Resolveu-se somente . O valor absoluto exige também , e por exemplo dá .A condição equivale a ; com , somando e dividindo por resulta .Pergunta 6Calcular .
Resposta correta:
A potência é a raiz cúbica de , e como , tem-se . Quem obtém esqueceu que o expoente negativo dá o inverso; quem obtém confundiu o expoente negativo com um sinal do resultado.Pergunta 7Qual é o resultado de racionalizar o denominador de ?
Somaram-se os quadrados, : o produto da soma pela diferença de dois números é a diferença de seus quadrados, não sua soma.Conservou-se o binômio do denominador em lugar de seu conjugado. Se este fosse o resultado, valeria , mas vale .Escreveu-se : a raiz de uma diferença não é a diferença das raízes.Multiplicam-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, ; o denominador se converte na diferença dos quadrados, , que se simplifica com o numerador.Pergunta 8Para que valor de o sistema , tem infinitas soluções?
Resposta correta:
O determinante do sistema é , e a segunda equação tem os coeficientes da primeira multiplicados por . Se , ambas as equações são a mesma e há infinitas soluções; se , são incompatíveis e não há nenhuma. Que o determinante seja nulo não basta para que haja infinitas soluções.Revisar: Equações e inequações do primeiro grau e sistemas lineares
Pergunta 9Quais são as soluções em da equação ?
Tomou-se em lugar de na fórmula: a soma das soluções deve ser , não .Falta dividir por . Ao substituir na equação não se obtém .Tomou-se a raiz de em lugar da de . Esses números não são soluções: seu produto é , não .O discriminante é , cuja raiz quadrada em é ; as soluções são , conjugadas, como corresponde a uma equação com coeficientes reais.Pergunta 10Uma torneira mal fechada deixa cair uma gota a cada segundos, e cada gota tem um volume de mililitros. Quantos litros de água ela perde em um ano de dias? Expressar o resultado em notação científica, arredondado a dois algarismos significativos.
Suprimiram-se os algarismos excedentes em vez de arredondar: está mais perto de que de . Truncar pode quase duplicar o erro do arredondamento.Esse número conta mililitros, não litros: falta dividir por .Supôs-se uma gota por segundo; cai a metade, uma a cada dois segundos.Um ano tem segundos; cai a metade desse número de gotas, , que somam mililitros, isto é, litros. Arredondado a dois algarismos significativos, , com um erro relativo menor que .Pergunta 11De unidades anterioresQuais são o quociente e o resto da divisão com resto de por ?
A igualdade é verdadeira, mas o resto deve cumprir . É o quociente truncado em direção ao zero, que coincide com o da divisão com resto somente quando esta é exata ou o dividendo não é negativo.Dividiu-se por e trocou-se somente o sinal do quociente: , não .Cumpre-se com , e o quociente e o resto com essas condições são únicos.Revisar: Divisibilidade e divisão com resto
Pergunta 12De unidades anterioresCalcular o máximo divisor comum de e .
Resposta correta:
Com o algoritmo de Euclides, , e ; o último resto não nulo é . Também e compartilham . Quem obtém calculou o mínimo múltiplo comum, e quem obtém esqueceu o fator comum .Pergunta 13De unidades anterioresSe um primo divide , com natural, o que se pode afirmar?
O lema de Euclides vale para qualquer produto de naturais; o que se exige é que o divisor seja primo, não os fatores.É o contrário: como divide , o quadrado divide .O argumento não depende da paridade: o lema de Euclides vale para todo primo.Pelo lema de Euclides, um primo que divide um produto divide algum dos fatores; aqui ambos os fatores são . É o ponto-chave da demonstração de que não é racional.Revisar: Números primos e o teorema fundamental da aritmética
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