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LatineZusammenfassung
Diese Lektion eröffnet die Einheit über die Zahlbereiche. Sie stellt den Weg der Einheit vor, der von den natürlichen Zahlen ausgeht und durch aufeinanderfolgende Erweiterungen zu den ganzen, den rationalen, den reellen und den komplexen Zahlen gelangt; sie zeichnet die Geschichte dieser Erweiterungen nach, von den ägyptischen Brüchen und der griechischen Krise der inkommensurablen Größen bis zur strengen Grundlegung des 19. Jahrhunderts; sie formuliert präzise das Problem, aus dem sie entstanden, nämlich stets eine Gleichung ohne Lösung im verfügbaren Bereich, und untersucht den Fall Bombelli, in dem eine Gleichung mit reellen Lösungen den Umweg über die komplexen Zahlen verlangt. Zum Schluss zeigt sie, wo diese Zahlbereiche im übrigen Kurs, in anderen Kursen der Website sowie in Wissenschaft und Technik verwendet werden.
Lernziele
- Den Weg der Einheit beschreiben und erklären, was jede Lektion zu der Folge von Konstruktionen beiträgt, die von den natürlichen zu den komplexen Zahlen führt.
- Für jede Erweiterung die Gleichung formulieren, die sie begründet, und angeben, welche Eigenschaft bei jeder Erweiterung gewonnen und welche verloren wird.
- Die wichtigsten Stationen der Erweiterung des Zahlbegriffs in ihren historischen Zusammenhang einordnen und das Problem der Messung, der Rechnung oder der Grundlegung erkennen, das jede von ihnen vorangetrieben hat.
- Angeben, wo die Zahlbereiche im übrigen Kurs, in anderen Kursen und in naturwissenschaftlichen und technischen Anwendungen vorkommen.
Eingangstest
Bevor man die Einheit durcharbeitet, empfiehlt es sich, den Ausgangspunkt zu bestimmen. Diese Selbsteinschätzung wird nicht benotet: Sie dient dazu, zu erkennen, wo man verweilen sollte. Die ersten zehn Fragen betreffen die acht inhaltlichen Lektionen der Einheit: Die sechste und die siebte gehören beide zu den Potenzen mit rationalen Exponenten (die zweite von ihnen zum Rationalmachen des Nenners), und die zehnte kehrt zur Dezimaldarstellung zurück, um eine Aufgabe aus einem Sachzusammenhang anzusetzen und ihr Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise mit der passenden Rundung anzugeben. Dieselben Fertigkeiten werden am Ende, in der Lektion zur Synthese, mit anderen Daten erneut gemessen; die letzten drei prüfen, was diese Einheit aus der vorigen über die natürlichen Zahlen als bekannt voraussetzt: die Division mit Rest, den größten gemeinsamen Teiler und das Lemma von Euklid.
Miss vor Beginn der Einheit deinen Ausgangspunkt. Es ist eine kurze Selbsteinschätzung: Sie wird nicht benotet, und das Ergebnis wird nur in deinem Browser gespeichert.
Frage 1Welche dieser Gleichungen hat eine Lösung in , aber nicht in ?
Ihre Lösung, , ist bereits rational: Diese Gleichung ist diejenige, die den Übergang von den ganzen zu den rationalen Zahlen erzwingt, nicht den von den rationalen zu den reellen Zahlen.Ihre Lösung, , ist ganz: Diese Gleichung begründet den Übergang von den natürlichen zu den ganzen Zahlen.Sie hat keine reelle Lösung, weil das Quadrat einer reellen Zahl nie negativ ist; ihre Lösungen, und , sind komplex.Ihre Lösungen sind und , die reell sind; und ist nicht rational, weil nicht das Quadrat einer natürlichen Zahl ist. Es ist dasselbe Argument, das die Irrationalität von beweist.Wiederholen: Zahlbereiche: von den natürlichen zu den komplexen Zahlen
Frage 2Welches dieser Paare natürlicher Zahlen stellt in der Konstruktion der ganzen Zahlen dieselbe ganze Zahl dar wie das Paar ?
Es stellt die Gegenzahl dar, : Das Vertauschen der Komponenten spiegelt das Paar an der Diagonalen. Die Bedingung ist nicht erfüllt.Beide Komponenten wurden mit multipliziert, wie beim Erweitern eines Bruchs. Die Paare natürlicher Zahlen werden durch die Differenz identifiziert, nicht durch den Quotienten: .Es wurde zu nur einer Komponente addiert, und das ändert die Differenz: stellt die dar, weil . Um zu einem anderen Repräsentanten überzugehen, muss man zu beiden Komponenten dasselbe addieren.Zwei Paare und sind äquivalent, wenn ; hier gilt . Beide stellen die ganze Zahl dar.Wiederholen: Die ganzen Zahlen: Konstruktion, Vorzeichen und Ordnung
Frage 3Berechne und gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.
Richtige Antwort:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von und ist , und es gilt . Mit dem Nenner erhält man , was sich zum selben Ergebnis kürzen lässt. Wer erhält, hat Zähler und Nenner getrennt subtrahiert.Wiederholen: Die rationalen Zahlen: Brüche und ihre Rechenoperationen
Frage 4Welcher dieser Brüche hat eine abbrechende Dezimaldarstellung?
Der Nenner des vollständig gekürzten Bruchs hat den Primfaktor , und daher ist die Darstellung periodisch: Es genügt nicht, dass der Nenner ein Vielfaches von ist.Dass der Nenner auf endet, genügt nicht: hat den Faktor , und die Darstellung ist periodisch.Dass der Nenner gerade ist, genügt nicht: hat den Faktor , und die Darstellung ist periodisch.Er ist vollständig gekürzt, und sein Nenner ist , ohne andere Primfaktoren: Die Darstellung bricht ab, .Wiederholen: Die Dezimaldarstellung der rationalen Zahlen
Frage 5Welches ist die Menge der reellen Zahlen , die erfüllen?
Das Vorzeichen von wurde geändert: Aus folgt , nicht .Die Endpunkte gehören nicht zur Menge, weil die Ungleichung streng ist: Bei gilt , und das ist nicht kleiner als .Es wurde nur gelöst. Der Betrag verlangt auch , und zum Beispiel liefert den Wert .Die Bedingung ist äquivalent zu ; mit ergibt sich durch Addition von und Division durch die Ungleichung .Wiederholen: Die Zahlengerade: Ordnung, Intervalle und Betrag
Frage 6Berechne .
Richtige Antwort:
Die Potenz ist die Kubikwurzel aus , und da , gilt . Wer erhält, hat vergessen, dass der negative Exponent das Inverse liefert; wer erhält, hat den negativen Exponenten mit einem Vorzeichen des Ergebnisses verwechselt.Wiederholen: Potenzen mit rationalen Exponenten und Wurzeln
Frage 7Was ergibt sich, wenn man den Nenner von rational macht?
Die Quadrate wurden addiert, : Das Produkt aus der Summe und der Differenz zweier Zahlen ist die Differenz ihrer Quadrate, nicht ihre Summe.Es wurde das Binom des Nenners statt seines konjugierten Ausdrucks beibehalten. Wäre dies das Ergebnis, so wäre gleich , es ist aber .Es wurde geschrieben: Die Wurzel einer Differenz ist nicht die Differenz der Wurzeln.Zähler und Nenner werden mit dem konjugierten Ausdruck des Nenners multipliziert, ; der Nenner wird zur Differenz der Quadrate, , die sich mit dem Zähler kürzt.Wiederholen: Potenzen mit rationalen Exponenten und Wurzeln
Frage 8Für welchen Wert von hat das System , unendlich viele Lösungen?
Richtige Antwort:
Die Determinante des Systems ist , und die zweite Gleichung hat die Koeffizienten der ersten, multipliziert mit . Ist , so sind beide Gleichungen dieselbe, und es gibt unendlich viele Lösungen; ist , so widersprechen sie einander, und es gibt keine. Dass die Determinante null ist, genügt nicht dafür, dass es unendlich viele Lösungen gibt.Wiederholen: Lineare Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme
Frage 9Welches sind in die Lösungen der Gleichung ?
Es wurde statt in die Formel eingesetzt: Die Summe der Lösungen muss sein, nicht .Es fehlt die Division durch . Setzt man in die Gleichung ein, so erhält man nicht .Es wurde die Wurzel aus statt der aus gezogen. Diese Zahlen sind keine Lösungen: Ihr Produkt ist , nicht .Die Diskriminante ist , deren Quadratwurzel in gleich ist; die Lösungen sind , konjugiert, wie es sich für eine Gleichung mit reellen Koeffizienten gehört.Wiederholen: Die komplexen Zahlen: Rechenoperationen und Gleichungen
Frage 10Ein undichter Wasserhahn lässt alle Sekunden einen Tropfen fallen, und jeder Tropfen hat ein Volumen von Millilitern. Wie viele Liter Wasser verliert er in einem Jahr mit Tagen? Gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an, auf zwei signifikante Stellen gerundet.
Die überzähligen Ziffern wurden abgeschnitten, statt zu runden: liegt näher an als an . Abschneiden kann den Fehler des Rundens fast verdoppeln.Diese Zahl zählt Milliliter, nicht Liter: Es fehlt die Division durch .Es wurde ein Tropfen pro Sekunde angenommen; es fallen aber nur halb so viele, einer alle zwei Sekunden.Ein Jahr hat Sekunden; es fallen halb so viele Tropfen, also , die zusammen Milliliter ergeben, das heißt Liter. Auf zwei signifikante Stellen gerundet ergibt sich , mit einem relativen Fehler kleiner als .Wiederholen: Die Dezimaldarstellung der rationalen Zahlen
Frage 11Aus früheren EinheitenWelches sind der Quotient und der Rest bei der Division mit Rest von durch ?
Die Gleichung ist richtig, aber der Rest muss erfüllen. Das ist der zur Null hin abgeschnittene Quotient, der mit dem der Division mit Rest nur übereinstimmt, wenn diese aufgeht oder der Dividend nicht negativ ist.Es wurde durch geteilt und nur das Vorzeichen des Quotienten geändert: , nicht .Es gilt mit , und Quotient und Rest mit diesen Bedingungen sind eindeutig bestimmt.Wiederholen: Teilbarkeit und Division mit Rest
Frage 12Aus früheren EinheitenBerechne den größten gemeinsamen Teiler von und .
Richtige Antwort:
Mit dem euklidischen Algorithmus erhält man , und ; der letzte von null verschiedene Rest ist . Ebenso haben und den Faktor gemeinsam. Wer erhält, hat das kleinste gemeinsame Vielfache berechnet, und wer erhält, hat den gemeinsamen Faktor vergessen.Wiederholen: Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches
Frage 13Aus früheren EinheitenWenn eine Primzahl die Zahl teilt, wobei natürlich ist, was lässt sich dann sagen?
Das Lemma von Euklid gilt für jedes Produkt natürlicher Zahlen; verlangt wird, dass der Teiler eine Primzahl ist, nicht die Faktoren.Es ist umgekehrt: Da die Zahl teilt, teilt das Quadrat die Zahl .Das Argument hängt nicht von der Parität ab: Das Lemma von Euklid gilt für jede Primzahl.Nach dem Lemma von Euklid teilt eine Primzahl, die ein Produkt teilt, einen der Faktoren; hier sind beide Faktoren . Das ist der entscheidende Punkt im Beweis, dass nicht rational ist.Wiederholen: Primzahlen und der Fundamentalsatz der Arithmetik
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