Ratio stvdiorvm cvrsvs Calcvli I

Consilivm et discipvli

Tres qvaestiones antiqvae ad calcvlvm dvxervnt: velocitas corporis moti in instanti, declivitas tangentis cvrvae et area figvrae cvrvilineae. In omnibvs tribvs svbstitvtio directa $\frac{0}{0}$ vel svmmam sine sensv praebet, et responsio recta est id ad qvod approximationes accedvnt. Hic cvrsvs hvic notioni accedendi definitionem exactam dat, limitem, eaqve dvas primas qvaestiones tractat, qvae ad derivatam dvcvnt; tertia ad integrale dvcit, materiam cvrsvs Calcvlvs II: Calcvlvs Integralis.

Consilivm eivs est calcvlvm differentialem fvnctionvm vnivs variabilis realis in definitione limitis et in axiomate completvdinis fvndare, et ex eis, demonstrationibvs integris, dedvcere qvid derivata de mvtatione, de forma et de extremis fvnctionis scire sinat. Qvod si ita est, cvrsvs non est congeries regvlarvm derivandi, sed aedificivm dedvctivvm: omnis effectvs qvi adhibetvr envntiatvr et demonstratvr, avt expresse admissvs declaratvr cvm demonstratio eivs ad alivm cvrsvm pertinet, vt fit in theoremate qvod exsistentiam fvnctionvm implicite definitarvm praestat avt in celeritate qva methodvs Newtoni et Raphsoni convergit, qvae instrvmenta posteriora postvlant. Definitiones vt envntiata qvantificata scribvntvr, et demonstrationes per epsilon et delta ita ordinantvr vt itervm adhiberi possint: tria lemmata lectionis de algebra limitvm regvlas limitvm svstinent, et factorizatio Carathéodorii regvlas derivandi.

Dirigitvr ad eos qvi cvrsvm Algebra et Geometria II absolvervnt, vel argvmenta eivs alia via tenent: discipvlos primi anni vniversitatis scientiarvm, artis machinalis, oeconomiae vel institvtionis magistrorvm mathematicae, discipvlos vltimorvm annorvm scholae qvi ingressvm in vniversitatem parant, et qvemlibet hominem qvi calcvlvm differentialem vt congeriem regvlarvm didicit et evm cvm rigore reficere vvlt.

Cognitiones praeviae et praereqvisita

Praereqvisitvm cvrsvs est Algebra et Geometria II, qvi vicissim Algebra et Geometria I svpponit. Ex dvobvs cvrsvs praesertim adhibet axioma completvdinis nvmerorvm realivm, cvm svpremo et infimo, et calcvlvm cvm inaeqvalitatibvs et valoribvs absolvtis, qvem lectio de recta reali statvit et in qvo theorema Bolzani, theorema Weierstrassii et theorema valoris medii nitvntvr; fvnctiones, inversas earvm, transformationes earvm et tabvlas signorvm earvm; potentias exponentis realis, nvmervm $e$ et exponentialem natvralem, logarithmvm et fvnctiones hyperbolicas; indvctionem et binomivm Newtonianvm; et, ex Algebra et Geometria II, fvnctiones trigonometricas, inversas earvm, formvlas additionis et transformationis svmmarvm in prodvcta, et inaeqvalitatem $\sin x < x < \tan x$ pro $0 < x < \frac{\pi}{2}$, ex qva derivata sinvs pendet.

Atqvi mvlti ex illis effectibvs ibi sine demonstratione admissi svnt qvia limitem postvlabant: continvitas fvnctionvm rationalivm et trigonometricarvm, asymptoti et theorema valoris intermedii. Hic cvrsvs eos singillatim demonstrat. Qvi de aliqva cognitione praevia dvbitat ad synthesim partis respondentis Algebrae et Geometriae redire potest; praeterea probatio initialis cvivsqve partis qvaestiones continet de eo qvod pars vt notvm svpponit, cvm lectione qvam post qvemqve errorem repetere convenit.

Cvrsvs deniqve ita excogitatvs est vt simvl cvm cvrsv logicae praedicatorvm freqventetvr, Logica Mathematica II, qvae in sitv praevidetvr: lectiones definitiones vt envntiata qvantificata scribvnt et negationem earvm tractant nec ex illo cvrsv pendent. Qvi consvetvdinem dedvctionis formalis antea acqvirere vvlt cvrsvm Logica Mathematica I: Logica Propositionalis stvdere potest.

Qvo dvcat

Dvo cvrsvs hvnc vt praereqvisitvm habent. Cvrsvs Calcvlvs II: Calcvlvs Integralis integrale definiet vt limitem svmmarvm arearvm rectangvlorvm, id cvm derivata per theorema fvndamentale calcvli conivnget, cvivs fvndamentvm est corollarivm secvndvm qvod dvae fvnctiones eadem derivata praeditae constante differvnt, et regvlas derivandi retrorsvm percvrret: svbstitvtio regvlam catenae invertit, et integratio per partes regvlam prodvcti. Cvrsvs Mechanica I: Fvndamenta Mechanicae velocitatem et accelerationem vt derivatam primam et secvndam positionis svmet. Post Calcvlvm II, cvrsvs Calcvlvs III: Calcvlvs Plvrivm Variabilivm limitem, derivatam et extrema ad fvnctiones plvrivm variabilivm transferet.

Ex qvo seqvitvr qvid hic cvrsvs, consilio expresso, posterioribvs relinqvat. Calcvlo II, continvitatem vniformem, primitivas, svccessiones, qvae viam ad integrale definitvm et, in fine, ad series aperient, et polynomivm Taylorianvm, qvod errorem differentialis circvmscribet et convergentiam qvadraticam methodi Newtoni et Raphsoni demonstrabit. Calcvlo III, cvrvas parametricas et theorema fvnctionis implicitae, qvod derivatio implicita partis 2 svpponit.

Effectvs cvrsvs etiam in cvrsibvs redevnt qvi evm non postvlant. In cvrsv Mathematica Nvmmaria capitalizatio continva limes notabilis erit, et modvs vsvrae qvi valorem praesentem seriei pensionvm svmmae datae aeqvat methodo Newtoni et Raphsoni compvtabitvr. In cvrsv Analysis Datorvm Lingva R exemplaria incrementi per modvm qvo se ad infinitvm gervnt distingventvr, et media datorvm vt nvmervs obtinebitvr qvi svmmam qvadratorvm minimam reddit. In cvrsv Programmatio Lingva C++ I bisectio theoremati valoris intermedii confidit, svmptvs algorithmi notatione $\operatorname{O}$ magni metitvr, et arithmetica pvncti flvitantis errores rotvndationis explicat qvibvs compvtatrvm tabvlam valorvm fallacem reddit, vt illam partis 1.

Proposita discendi generalia

Proposita qvae infra ponvntvr describvnt qvid qvisqvis cvrsvm absolvit facere possit oporteat. Qvodqve vt actio observabilis formvlatvr, ita vt opere concreto confirmari possit; qvaeqve lectio vicissim sva proposita declarat, et lectio conclvsionis ostendit, lectione post lectionem, cvi ex his septem qvaeqve assignata sit. Proposita nvmerantvr vt ibi citari possint.

1. Propositvm 1. Envntiata calcvli differentialis ratiocinatione dedvctiva explicita demonstrare: definitiones vt envntiata qvantificata scribere et negare, argvmenta per epsilon et delta constrvere qvae lemmata iam demonstrata itervm adhibeant, theoremata exsistentiae ex axiomate completvdinis dedvcere, exemplis contrariis ostendere hypothesim tolli non posse, et in qvaqve demonstratione dedvcta ab admissis distingvere.
2. Propositvm 2. Limites fvnctionvm vnivs variabilis realis definire et compvtare, finitos, laterales, in infinito et infinitos, formas indeterminatas solvere per algebram limitvm, theorema compressionis, limites notabiles, infinitesima aeqvivalentia et regvlam Hospitalii, et per haec asymptotos fvnctionis determinare et delineationem eivs repraesentare.
3. Propositvm 3. De continvitate fvnctionis decernere et discontinvitates eivs in classes digerere, continvitatem fvnctionvm elementarivm et inversarvm earvm demonstrare, et theorema Bolzani, theorema valoris intermedii et theorema Weierstrassii, qvae in axiomate completvdinis nitvntvr, adhibere vt exsistentia solvtionvm et valorvm extremorvm ostendatvr et imago intervalli inveniatvr.
4. Propositvm 4. Derivatam vt limitem qvotientis incrementalis definire eamqve per approximationem linearem et per factorizationem Carathéodorii describere, regvlas derivandi, regvlam catenae et derivatam fvnctionis inversae demonstrare, et per eas fvnctiones elementares, fvnctiones implicite definitas, potentias exponentis variabilis et derivatas svccessivas derivare, dominivm cvivsqve derivatae accvrate definiendo.
5. Propositvm 5. Theoremata Fermatii et Rollii, theorema valoris medii Lagrangii et theorema valoris medii Cavchii demonstrare et adhibere, ex eis criteria monotoniae, extremorvm localivm et absolvtorvm et convexitatis dedvcere, et per derivatam primam et secvndam formam delineationis fvnctionis investigare: incrementvm, extrema, concavitatem, inflexionem et cvrvatvram.
6. Propositvm 6. Valores fvnctionvm et radices aeqvationvm per differentiale, methodvm bisectionis et methodvm Newtoni et Raphsoni approximare, errorem cvivsqve approximationis per theorema valoris medii, monotoniam vel convexitatem circvmscribere, et agnoscere qvando methodvs deficiat vel lente convergat.
7. Propositvm 7. Res geometriae, physicae et ceterarvm scientiarvm per derivatam exemplaribvs exprimere, vt rationes mvtationis, rationes mvtationis conexas et problemata optimizationis, variabilibvs, vnitatibvs mensvrae earvm et dominio accvrate statvtis, et formationes problematvm, compvtationes et demonstrationes scripto commvnicare, cvm notatione recta, etiam Leibnitiana, argvmentatione integra et examine verisimilitvdinis eventvvm.

Proposita 2, 4 et 5 tribvs partibvs argvmentorvm fere respondent: propositvm 2 parti 1, qvae limites tractat; propositvm 4 parti 2, qvae derivatas tractat; propositvm 5 parti 3, qvae theoremata valoris medii adhibet. Regvla Hospitalii, qvamqvam in parte 3 ex theoremate valoris medii Cavchii demonstratvr, praesertim ad limites compvtandos inservit, et ideo ad propositvm 2 pertinet. Proposita 3 et 6 fila svnt qvae tres partes percvrrvnt. Propositvm 3 lectiones principales habet lectionem de limite et continvitate partis 1, eam de theoremate valoris intermedii partis 2 et eam de theoremate Weierstrassii partis 3; dvae vltimae in completvdine nitvntvr, qva pars 1 iam ad limites fvnctionvm monotonarvm vtitvr. Approximatio apparet in parte principali infinitesimi, in bisectione, in differentiali et in marginibvs qvas theorema valoris medii praebet, et in methodo Newtoni et Raphsoni lectionem propriam habet. Primvm et septimvm, contra, transversa svnt: non ad vnam partem pertinent, sed in omnibvs exercentvr. Ex qvo seqvitvr vt assecvtio eorvm nvlli certae lectioni attribvi possit, et vt ea per totvm cvrsvm colere conveniat. Atqvi ambo etiam lectiones habent qvae eis praecipve servivnt: primvm, tres syntheses, qvarvm medvlla catenam dedvctivam cvivsqve partis reficit; septimvm, dvae lectiones in qvibvs formatio problematis ipsa materia est, ea de rationibvs mvtationis et rationibvs mvtationis conexis et ea de problematibvs optimizationis.

Argvmenta

Cvrsvs in qvinqve partes digeritvr. Prima et vltima iter circvmdant; tres mediae argvmenta explicant. Qvaeqve earvm a lectione introdvctionis aperitvr, qvae lectiones svas, memoriam historicam idearvm svarvm, qvaestionem vnde ortae svnt et earvm momentvm praesentat, et lectione synthesis clavditvr, qvae catenam dedvctivam partis reficit, eam cvm reliqvo cvrsv et cvm Algebra et Geometria conectit et decem provocationes proponit difficiliores qvam problemata lectionvm.

Pars 0. Praesentatio cvrsvs

Constat ex hac lectione, qvae consilivm, proposita generalia, argvmenta, laborem et designationem cvrsvs statvit.

Pars 1. Limites et continvitas

Propositvm eivs est limitem per epsilon et delta definire, regvlas eivs demonstrare et evm in omnibvs formis eivs compvtare, finitvm, lateralem, in infinito et infinitvm; asymptotos per limites definire; continvitatem definire et pro fvnctionibvs elementaribvs demonstrare, et fvnctiones per infinitesima et infinita aeqvivalentia comparare.

1. Limites et continvitas: introdvctio.
2. Limes fvnctionvm vnivs variabilis realis.
3. Algebra limitvm.
4. Theorema compressionis et limites trigonometrici.
5. Limites laterales.
6. Limites cvm variabilis ad infinitvm tendit.
7. Limites infiniti.
8. Asymptoti et artes repraesentationis graphicae.
9. Limes et continvitas.
10. Continvitas fvnctionvm elementarivm et limites notabiles.
11. Infinitesima et infinita aeqvivalentia.
12. Limites et continvitas: synthesis et provocationes.

Pars 2. Derivatae

Propositvm eivs est derivatam vt limitem definire eamqve per approximationem linearem et per factorizationem Carathéodorii describere; regvlas derivandi et regvlam catenae demonstrare; theorema valoris intermedii demonstrare, ex qvo dedvcitvr continvitas inversae qvam derivata eivs postvlat; fvnctiones elementares, inversas earvm, fvnctiones implicite definitas et potentias exponentis variabilis derivare, et derivatas svccessivas, differentiale et rationes mvtationis adhibere.

1. Derivatae: introdvctio.
2. Derivata vt limes fvnctionis.
3. Regvlae derivandi.
4. Derivatae fvnctionvm elementarivm.
5. Regvla catenae ad derivandam compositionem fvnctionvm.
6. Theorema valoris intermedii.
7. Derivata fvnctionis inversae et derivatio implicita.
8. Variabilis in exponente et derivatio logarithmica.
9. Derivatae svccessivae et differentiale.
10. Rationes mvtationis et rationes mvtationis conexae.
11. Derivatae: synthesis et provocationes.

Pars 3. Applicationes derivatarvm

Propositvm eivs est ex axiomate completvdinis theoremata Weierstrassii, Fermatii, Rollii, Lagrangii et Cavchii demonstrare, et ex eis regvlam Hospitalii et criteria monotoniae, extremorvm et convexitatis dedvcere; cvrvatvram delineationis investigare, problemata optimizationis solvere et radices methodo Newtoni et Raphsoni approximare.

1. Applicationes derivatarvm: introdvctio.
2. Theorema Weierstrassii de valoribvs extremis.
3. Theoremata Fermatii, Rollii, Lagrangii et Cavchii.
4. Regvla Hospitalii.
5. Monotonia et criterivm derivatae primae.
6. Maxima et minima fvnctionis.
7. Concavitas, convexitas et pvncta inflexionis.
8. Cvrvatvra et radivs cvrvatvrae.
9. Problemata optimizationis.
10. Methodvs Newtoni et Raphsoni.
11. Applicationes derivatarvm: synthesis et provocationes.

Pars 4. Conclvsio cvrsvs

Constat ex lectione Recognitio finalis cvrsvs Calcvli I, qvae septem proposita generalia in memoriam revocat, figvra ostendit cvi eorvm qvaeqve lectio cvrsvs assignata sit et qvae proposita singvlaria qvaeqve pars assecvta sit, et primvm conatvm probationvm finalivm per proposita colligit.

Labor et credita

Labor cvrsvs non horis expositionis metitvr, qvae in cvrsv asynchrono non svnt, sed toto labore eivs qvi evm stvdet: legere, demonstrationes seqvi, problemata solvere et repetere. Aestimatio eandem methodvm in omnibvs cvrsibvs sitvs seqvitvr: nvmerat tempvs legendi textvm cvivsqve lectionis centenis verbis in minvta, singvlas formvlas vt singvla verba nvmerando, viginti minvta in singvla problemata solvta, triginta qvinqve in singvla problemata proposita, qvadraginta qvinqve in singvlas provocationes et dvodecim in singvlas probationes initiales vel finales, et decimam portionem ad repetitionem addit.

Eventvs

Lectiones partivm 1 ad 3 in vniversvm $140$ problemata solvta, $140$ problemata proposita et $30$ provocationes continent, praeter sex probationes partivm. Labor per partes aestimatvs, ad horam rotvndatvs, hic est:

• Pars 0, praesentatio cvrsvs: minvs qvam $1$ hora.
• Pars 1, limites et continvitas: $66$ horae.
• Pars 2, derivatae: $61$ horae.
• Pars 3, applicationes derivatarvm: $63$ horae.
• Pars 4, conclvsio cvrsvs: minvs qvam $1$ hora.

Tres partes argvmentorvm onvs simile habent: pars 1 plvres lectiones complectitvr, pars 3 lectiones longiores. Svmma est circiter $191$ horarvm laboris. Hvnc nvmervm legere convenit vt id qvod est: aestimationem pro eo qvi omnes demonstrationes stvdet et omnia problemata et provocationes solvit. Qvi iam calcvlvm stvdvit, vel se ad problemata proposita restringit provocationibvs non aggressis, mvlto minvs impendet; qvi argvmentvm primvm et sine consvetvdine demonstrandi stvdet, plvribvs egere potest, praesertim in parte 1, vbi discitvr per epsilon et delta ratiocinari.

Atqvi nvmervs nominalis est: is est qvi credita cvrsvs statvit, et lectionem celeritate constanti et dodrantem horae in singvlas provocationes svpponit. Donec cvm discipvlis veris non metiatvr, spatio probabili comitari convenit. Si lectio dimidia celeritate svpposita procederet, vt fit cvm qvaeqve demonstratio charta et stilo rescribitvr, et qvaeqve provocatio septvaginta qvinqve minvta pro qvadraginta qvinqve postvlaret, eadem methodvs circiter $231$ horas daret. Itaqve labor exspectandvs inter circiter $191$ et circiter $231$ horas sitvs est. Terminvs svperior margo prvdens est, non mensvra; spativm corrigetvr cvm tempvs cognitvm erit qvod impendvnt qvi cvrsvm stvdent, et interea credita nvmero nominali compvtantvr.

Celeritas svasa

Ad celeritates nominandas, haec ratio eodem ivdicio vtitvr qvo ceterae rationes sitvs: stvdivm plenvm est annvs academicvs $60$ creditorvm, circiter $1650$ horae per qvadraginta fere hebdomades distribvtae, id est circiter $40$ horae in hebdomade, et stvdivm dimidivm eivs dimidivm, circiter $20$ horae in hebdomade. Ex qvo seqvitvr celeritas commendata vnivs semestris sedecim hebdomadvm, cvm circiter $12$ horis stvdii in hebdomade, minvs qvam tertia portione stvdii pleni; cvm spatio probabili, a $12$ ad $14$ horas in hebdomade, infra stvdivm dimidivm manet. Sic Calcvlvs I semestre occvpare potest qvod Algebram et Geometriam II excipit, et Calcvlvs II id qvod deinde venit.

Celeritas intenta, circiter $24$ horarvm in hebdomade, pavlo plvs qvam stvdivm dimidivm, cvrsvm octo hebdomadibvs absolvit, qvod aeqvivalet labori eivs qvi nvllvm alivm cvrsvm ardvvm eodem tempore stvdet. Celeritas laxior, circiter $6$ horarvm in hebdomade, evm in dvo semestria extendit, qvae sic dividi possvnt: partes 0 ad 2, limites, continvitas et derivatae, circiter $128$ horas occvpant, et partes 3 et 4, applicationes derivatarvm et conclvsio, circiter $63$.

Credita

Credita hvivs sitvs totvm laborem metivntvr qvem cvrsvs ab eo qvi evm stvdet postvlat (legendi, problemata solvendi, provocationes aggrediendi et repetendi), non horas scholarvm. Singvla credita circiter $27{,}5$ horis laboris aeqvivalent, et annvs stvdii pleni $60$ creditis, id est circiter $1650$ horis; idem est ivdicivm qvo sectio svperior celeritates stvdendi nominat.

Atqvi, si $191$ horae aestimatae per $27{,}5$ dividvntvr, prodit nvmervs 6,95, qvi ad $7$ rotvndatvr. Si pro singvlis creditis spativm a $25$ ad $30$ horas laboris admittitvr, nvmervs $C$ creditorvm cvrsvs inter 6,4 et 7,6 circvmscribitvr:

Itaqve cvrsvs $7$ credita habet, pavlo minvs qvam octavam portionem anni stvdii pleni. Qvi solvm aliqvam portionem cvrsvs stvdere velit, indice horarvm per partes vti potest: partes 0 ad 2, exempli gratia, circiter $128$ horas complent, id est circiter $5$ credita.

Vtilitas eorvm practica est: sinvnt onvs cvrsvvm sitvs inter se comparare et decernere qvot simvl stvdere conveniat, ne tempvs qvod svppetit excedatvr. Stvdio dimidio per semestre sedecim hebdomadvm, id est circiter $320$ horis, exempli gratia, cvrsvs aggredi licet qvi simvl circiter $12$ credita efficivnt; stvdio pleno eivsdem semestris, circiter $23$.

Haec credita mensvra propria sitvs svnt ad stvdivm ordinandvm: nvlli systemati pvblico creditorvm respondent neqve agnitionem academicam vllivs institvtionis affervnt.

Designatio cvrsvs

Modvs

Cvrsvs asynchronvs est, in rete et celeritatis propriae: dies, sessiones vivas et terminos non habet, et qvisqve discipvlvs ea celeritate progreditvr qvam praeparatio et tempvs eivs sinvnt. Qvattvordecim lingvis sitvs offertvr, eadem mathematica in omnibvs: formvlae et gradvs demonstrationvm in qvaqve versione idem svnt, et solvs textvs vertitvr. Qvaeqve lectio declarat qvam lectionem antea stvdvisse conveniat, et primae ad Algebram et Geometriam remittvnt, ita vt ordo commendatvs explicitvs sit et confirmari possit.

Strvctvra lectionis

Omnes lectiones materiae eandem strvctvram seqvvntvr. Incipivnt a svmmario et a catalogo propositorvm discendi propriorvm, vt actiones observabiles formvlatorvm. Seqvvntvr theoria, cvm definitionibvs, theorematibvs accvrate envntiatis eorvmqve demonstrationibvs, et exempla. Demonstrationes et exempla vt reprodvctores gradatim exhibentvr: qvisqve gradvs versvm ratiocinationis scribit, terminos qvi intersvnt illvstrat et, cvm effectvi antecedenti innititvr, ad evm redit evmqve dvm legitvr illvstrat, ita vt memoria ratiocinationis in conspectv maneat; mvlta figvra comitantvr qvae qvoqve gradv mvtatvr. Lectionem clavdvnt qvinqve problemata solvta, cvm solvtione gradatim, et qvinqve problemata proposita, qvodqve cvm indicio complicato et deinde responso finali, vt discipvlvs eventvm svvm confirmet nec via ei aperiatvr; qvaedam problemata proposita, praesertim ea demonstrationis, post responsvm complicatam solvtionem explicatam addvnt, qvam aperire convenit non nisi postqvam discipvlvs svam conscripsit.

Lectiones introdvctionis et synthesis strvctvram propriam habent. Introdvctio partem, eivs historiam, qvaestionem vnde orta est et eivs momentvm praesentat; synthesis catenam dedvctivam partis figvra reficit, cvm effectibvs qvos itervm adhibet et anvlis qvos demonstrat, eam cvm partibvs antecedentibvs et cvm Algebra et Geometria conectit, et decem provocationes proponit, qvamqve cvm indicio, responso finali et solvtione explicata complicata, qvae plvres lectiones conivngvnt et plvs inventionis postvlant qvam problemata proposita.

Lector vocis

Qvaeqve lectio voce alta avdiri potest lectore sitvs, qvi vocibvs ipsivs instrvmenti vtitvr: textvs legitvr sicvt scriptvs est et formvlae verbis pronvntiantvr. Hoc sinit lectionem procvl a qvadro repetere, demonstrationem avdiendo seqvi dvm reprodvctor gradatim spectatvr, et cvm impedimentis visvs stvdere.

Probatio

Cvrsvs neqve censvrae svbicit neqve testificatvr: probatio eivs in sitv formativa est. Problemata proposita sinvnt confirmare vtrvm proposita cvivsqve lectionis assecvta sint, et provocationes, vtrvm ea cvivsqve partis. Qvaeqve ex tribvs partibvs argvmentorvm praeterea probationem initialem in introdvctione sva et finalem in synthesi sva habet, ante provocationes: breves svi ipsivs aestimationes, in navigatro sine censvra correctas. Initialis novem vel decem qvaestiones de parte habet, et praeterea qvinqve vel sex de eo qvod pars ex antecedentibvs vel ex Algebra et Geometria vt notvm praesvpponit, finalis vndecim vel dvodecim; ambae indicant qvam lectionem post qvemqve errorem repetere oporteat et inter se comparantvr vt progressvs ostendatvr. Recognitio finalis primvm conatvm cvivsqve probationis finalis in tabvlam per propositvm generale colligit, qvae, vt illae, in navigatro discipvli tantvm servatvr. Confirmatio facvltatvm, cvm vi testificationis, postea et extra hvnc sitvm fiet, in alio svggestv.

Pro propositis generalibvs praeterea haec testimonia assecvtionis svadentvr, qvae qvisqve discipvlvs per se efficere potest:

• Propositvm 1: demonstrationem theorematis cvrsvs, lectione non consvlta, conscribere, vt regvlae catenae per factorizationem Carathéodorii vel theorematis valoris medii Lagrangii, et exemplo contrario ostendere nvllam eivs hypothesim svperflvam esse.
• Propositvm 2: limitem indeterminatvm dvabvs viis compvtare, per infinitesima aeqvivalentia et per regvlam Hospitalii, et omnes asymptotos fvnctionis invenire.
• Propositvm 3: per theorema Bolzani et monotoniam demonstrare aeqvationem in intervallo vnam prorsvs solvtionem habere, et imaginem intervalli clavsi et circvmscripti per fvnctionem continvam invenire.
• Propositvm 4: potentiam basis et exponentis variabilivm et fvnctionem implicite definitam derivare, accvrate definiendo vbi qvaeqve derivata exsistat.
• Propositvm 5: monotoniam, extrema, convexitatem et pvncta inflexionis fvnctionis investigare, et per ea delineationem eivs dvcere.
• Propositvm 6: methodo Newtoni et Raphsoni radicem aeqvationis qvae explicite solvi non potest approximare, pvnctvm initiale eligere et errorem approximationis obtentae circvmscribere.
• Propositvm 7: solvtionem integram problematis optimizationis vel rationvm mvtationis conexarvm conscribere, cvm formatione problematis, dominio, evolvtione, ivstificatione extremi, responso et examine verisimilitvdinis, ita vt alivs homo eam sine explicationibvs additis seqvi possit.

Qvomodo hic cvrsvs stvdendvs sit

Cvrsvs ita excogitatvs est vt ordine stvdeatvr. Qvaeqve pars antecedentes et dvos cvrsvs Algebrae et Geometriae svpponit, et mvltae demonstrationes effectvs lectionvm antecedentivm citant; lectionem praeterire cogit, serivs ocivs, ad eam redire. Hoc praesertim de parte 1 valet: definitiones per epsilon et delta et lemmata primarvm eivs lectionvm omnes demonstrationes posteriores svstinent.

Qvaeqve pars dvo pvncta examinis habet. Probatio initialis, initio introdvctionis, pvnctvm vnde proficiscitvr est: ei respondere convenit anteqvam pars stvdeatvr, nihil consvlendo, et lectiones notare ad qvas errores remittvnt, qvae maiorem cvram postvlant. Probatio finalis, in synthesi et ante provocationes, comparatio est: ei respondetvr lectionibvs perfectis, item nihil consvlendo, et cvm initiali comparatvr vt videatvr qvid mvtatvm sit et qvas lectiones repetere conveniat. In vtraqve primvs conatvs valet, qvi comparatvr et qvem tabvla recognitionis finalis colligit; posteriores conatvs iam responsis visis fivnt. Provocationes examen complent, qvia postvlant vt conivngatvr et conscribatvr qvod qvaestiones breves tantvm attingvnt. Ex qvo seqvitvr vt qvi se iam partem tenere credat id vna probatione non decernat: si probatio eivs finalis solida est et provocationes synthesis solvit, ad partem posteriorem transire potest; sin minvs, lectiones percvrrere convenit qvas illa et hae indicant.

In qvaqve lectione convenit primvm svmmarivm et proposita legere, qvae dicvnt qvid qvaeratvr; deinde theoriam charta et stilo stvdere, conando qvemqve gradvm demonstrationvm anticipare anteqvam reprodvctor evm scribat; problemata solvta temptare anteqvam eorvm solvtio inspiciatvr, et proposita sine avxilio solvere, indicivm non nisi conatv exhavsto aperiendo, et responsvm tantvm in fine, ad confirmandvm. Problema cvivs responsvm ante conatvm consvltvm est non solvtvm, sed lectvm est. In cvrsv calcvli praeterea convenit tabvlis valorvm et delineationibvs a machina calcvlatoria dvctis diffidere: limitem vel extremvm svggervnt, sed non demonstrant, et pars 1 tabvlas fallaces ostendit.

Provocationes difficiliores svnt qvam problemata lectionvm, et vsitatvm est vt qvaedam plvres conatvs diversis diebvs reqvirant. Non convenit in vna sine fine haerere: eam notare, progredi et postea ad eam redire saepe via brevissima est. Atqvi labor aestimatvs svpponit omnes serio temptari, et in eo conatv magna portio eivs qvod cvrsvs docere potest agitvr.

Postremo convenit scribere. Demonstrationem vel solvtionem integram conscribere, cvm praemissis et conclvsionibvs svis, sola via est sciendi vtrvm intellectvm sit, et est etiam septimvm ex propositis cvrsvs. Libellvs stvdii, in qvo definitiones et theoremata cvivsqve partis verbis propriis rescribvntvr, optima materia repetitionis est qvam cvrsvs relinqvere potest, eritqve etiam magis in Calcvlo II, qvi ad omnia fere qvae hic demonstrantvr redibit.